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第1讲 三角函数的图象与性质[考情考向·高考导航]1．高考对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．2．主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下．[真题体验]1．(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝，则|a －b |＝( )23A. B. C. D ．11555255解析：B [∵cos 2α＝cos 2α－sin 2 α＝＝＝，∴tan 2 α＝，∴tancos2 α－sin2 αsin2 α＋cos2 α1－tan2 αtan2 α＋12315α＝±，当tan α＝时，a ＝＝，∴a ＝，b ＝，∴|a －b |＝；当tan α＝－时，5555b255552555555a ＝＝－，∴a ＝－，b ＝－，∴|a －b |＝.]b25555255552．(2017·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝cos ，则下列结论错误的是( )(x ＋π3)A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝对称8π3C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在单调递减(π2，π)解析：D [当x ∈时，x ＋∈，函数在该区间内不单调．本题选择D 选(π2，π)π3(5π6，4π3)项．]3．(2019·全国Ⅱ卷)若x 1＝，x 2＝是函数f (x )＝sin ωx (ω>0) 两个相邻的极值点，则π43π4ω＝( )A ．2B.C ．1 D.3212解析：A [由正弦函数图象可知＝x 2－x 1＝－＝，∴T ＝π，∴ω＝＝＝2.]T23π4π4π22πT 2ππ4．(2019·天津卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g (x )的最小正周期为2π，且g ＝，则f ＝( )(π4)2(3π8)A ．－2B ．－2C.D ．22解析：C [在x ＝0处有定义的奇函数必有f (0)＝0.f (x )为奇函数，可知f (0)＝A sin φ＝0，由|φ|＜π可得φ＝0；把其图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得g (x )＝A sin ωx ，12由g (x )的最小正周期为2π可得ω＝2，由g ＝，可得A ＝2，(π4)2所以f (x )＝2sin 2x ，f ＝2sin ＝.故选C.](3π8)3π42[主干整合]1．三角函数的图象及性质函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象单调性在[－＋2k π，＋2k π]π2π2(k ∈Z )上递增，在[＋2k π，＋2k π](k ∈Z )π23π2上递减在[2k π－π，2k π](k ∈Z )上递增，在[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上递减在(－＋k π，＋k π)π2π2(k ∈Z )上都是增函数对称中心坐标(k π，0)，k ∈Z(k π＋，0)，k ∈Zπ2(，0)k ∈Zk π2对称轴方程渐近线x＝k π＋，k ∈Zπ2x ＝k π，k ∈Zx ＝k π＋(k ∈Z )π22.三角函数图象的两种变换方法热点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系[题组突破]1．(2020·资阳模拟)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (2,1)，则tan等于( )(2α＋π4)A ．－7B ．－17C.D ．717解析：A [由角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (2,1)，可得x ＝2，y ＝1，tan α＝＝，y x 12∴tan 2α＝＝＝，2tan α1－tan2α11－1443∴tan＝＝＝－7.](2α＋π4)tan 2α＋tanπ41－tan 2αtanπ443＋11－43×12．(2020·衡水调研卷)已知sin(3π＋α)＝2sin ，则(3π2＋α)等于( )A. B.1213C.D ．－1616解析：D [∵sin(3π＋α)＝2sin ，(3π2＋α)∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，则＝sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝＝＝－.]2cos α－4cos α10cos α＋2cos α－212163．(2020·衡水信息卷)已知曲线f (x )＝x 3－2x 2－x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则cos 2－2cos 2α－3sin(2π－α)cos(π＋α)的值为( )(π2＋α)A. B ．－8545C.D ．－4323解析：A [由f (x )＝x 3－2x 2－x 可知f ′(x )＝3x 2－4x －1，∴tan α＝f ′(1)＝－2，cos 2－2cos 2α－3sin(2π－α)cos(π＋α)(π2＋α)＝(－sin α)2－2cos 2α－3sin αcos α＝sin 2α－2cos 2α－3sin αcos α＝＝sin2α－2cos2α－3sin αcos αsin2α＋cos2αtan2α－3tan α－2tan2α＋1＝＝.]4＋6－2585 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．热点二 三角函数的图象及应用直观想象素养直观想象是指借助空间想象感知事物的形态与变化，利用几何图形理解和解决数学问题．主要包括：利用图形描述数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思想.[例1] (1)(2020·东营模拟)已知函数f (x )＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，为了得到(ωx ＋π3)函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移个单位长度π12B ．向右平移个单位长度π12C ．向左平移个单位长度5π12D ．向右平移个单位长度5π12[解析] A [由题意知，函数f (x )的最小正周期T ＝π，所以ω＝2，即f (x )＝sin，g (x )＝cos 2x ，(2x ＋π3)把g (x )＝cos 2x 变形得g (x )＝sin ＝sin，所以只要将f (x )的图象向左平(2x ＋π2)[2(x ＋π12)＋π3]移个单位长度，即可得到g (x )＝cos 2x 的图象，故选A.]π12(2)(2020·厦门模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向右平移个单位长度后得到函数g (x )的图象，若函数g (x )在区间上的值域5π12[－π6，θ]为[－1,2]，则θ＝________.[解析] 由函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象，则A ＝2，＝－＝，解得T ＝π，T213π127π12π2所以ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋φ)，当x ＝时，f ＝2sin＝0，π3(π3)(2×π3＋φ)又|φ|＜π，解得φ＝－，2π3所以f (x )＝2sin，(2x －2π3)因为函数f (x )的图象向右平移个单位长度后得到函数g (x )的图象，5π12所以g (x )＝2sin＝2cos 2x ，[2(x －5π12)－2π3]若函数g (x )在上的值域为[－1,2]，[－π6，θ]则2cos 2θ＝－1即θ＝k π＋，k ∈Z 或θ＝k π＋，k ∈Z ，故θ＝.π32π3π3[答案] π3(1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．(1)(2020·杭州模拟)已知函数f (x )＝cos －cos 2x ，若要得到一个奇函数的图象，3(2x －π2)则可以将函数f (x )的图象( )A ．向左平移个单位长度π6B ．向右平移个单位长度π6C ．向左平移个单位长度π12D ．向右平移个单位长度π12解析：C [f (x )＝cos －cos 2x ＝cos －cos 2x ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin3(2x －π2)3(π2－2x )3＝2sin 2，所以将f (x )的图象向左平移个单位长度可得到奇函数y ＝2sin 2x 的(2x －π6)(x －π12)π12图象，故选C.](2)(2019·哈尔滨三模)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，已知点A (0，)，B ，若将它的图象向右平移个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数3(π6，0)π6g (x )图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝B ．x ＝π12π4C ．x ＝D ．x ＝π32π3解析：A [∵f (0)＝2sin φ＝，∴sinφ＝，又|φ|＜π，∴φ＝或，又f ＝2sin 332π32π3(π6)＝0，∴＋φ＝k π(k ∈Z )，∴ω＝×＝6k －2(k ∈Z )，或(πω6＋φ)πω6(k π－π3)6πω＝×＝6k －4(k ∈Z )，又ω＞0，且(k π－2π3)6π＝＝＞，∴ω＜3，∴ω＝2，φ＝，∴f (x )＝2sin ，将其图象向右平移个单T 42π4ωπ2ωπ62π3(2x ＋2π3)π6位长度，得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝2sin＝2sin ，g (x )图象的对称轴方[2(x －π6)＋2π3](2x ＋π3)程满足2x ＋＝k π＋(k ∈Z )，π3π2∴x ＝＋(k ∈Z )，故选A.]k π2π12热点三 三角函数的性质及应用[例2] (1)(2019·全国Ⅱ卷)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是( )π2(π4，π2)A ．f (x )＝|cos 2x |B ．f (x )＝|sin 2x |C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |[解析]A [作出函数f (x )＝|cos 2x |的图象，如图．由图象可知f (x )＝|cos 2x |的周期为，在区间上单调递增．π2(π4，π2)同理可得f (x )＝|sin2x |的周期为，在区间上单调递减，f (x )＝cos|x |的周期为2π.f (x )π2(π4，π2)＝sin|x |不是周期函数，排除B ，C ，D.故选A.](2)(2019·保定三模)已知函数f (x )＝2cos(ω＞0)满足：f ＝f ，且在区间(ωx ＋π6)(8π3)(14π3)内有最大值但没有最小值．给出下列四个命题：(8π3，14π3)p 1：f (x )在区间[0,2π]上单调递减；p 2：f (x )在最小正周期是4π；p 3：f (x )的图象关于直线x ＝对称；π2p 4：f (x )的图象关于点对称．(－4π3，0)其中的真命题是( )A ．p 1，p 2 B ．p 1，p 3C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4[解析] C [由题意得，当x ＝＝时，f (x )取得最大值，则cos＝1，8π3＋14π3211π3(11πω3＋π6)＋＝2k π，ω＝(k ∈N *)，又易知T ＝≥－＝2π，0＜ω≤1，11πω3π612k －1222πω14π38π3所以k ＝1，ω＝，f (x )＝2cos .12(x 2＋π6)故f (x )的最小正周期T ＝＝4π，p 2是真命题，2πω又f＝0，因此f (x )的图象关于点对称，p 4是真命题．故选C.](－4π3)(－4π3，0)(3)(2019·唐山调研)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0)．若f (x )在区间上具有单调性，且f ＝f ＝－f ，则f (x )的最小正周期为________．[π6，π2](π2)(2π3)(π6)[解析] ∵f (x )在区间上具有单调性，且f ＝f ，∴x ＝和x ＝均不是f (x )的极[π6，π2](π2)(2π3)π22π3值点，其极值应该在x ＝＝处取得，∵f ＝－f ，π2＋2π327π12(π12)(π6)∴x ＝也不是函数f (x )的极值点，又f (x )在区间上具有单调性，∴x ＝－＝π6[π6，π2]π6(7π12－π2)为f (x )的另一个相邻的极值点，故函数f (x )的最小正周期T ＝2×＝π.π12(7π12－π12)[答案] π求解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的三种意识(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式．(2)整体意识：类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入的方法求解．①令ωx ＋φ＝k π＋(k ∈Z )，可求得对称轴方程．π2②令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，可求得对称中心的横坐标．③将ωx ＋φ看作整体，可求得y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，注意ω的符号．(3)讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论．(1)(2020·长沙模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1，f (α)＝－1，f (β)＝1，若(ω＞0，|φ|＜π2)|α－β|的最小值为，且f (x )的图象关于点对称，则函数f (x )的单调递增区间是( )3π4(π4，1)A.，k ∈Z[－π2＋2k π，π＋2k π]B.，k ∈Z[－π2＋3k π，π＋3k π]C.，k ∈Z[π＋2k π，5π2＋2k π]D.，k ∈Z[π＋3k π，5π2＋3k π]解析：B [(1)本题考查三角函数的图象和性质．由f (α)＝－1，f (β)＝1可知f (x )的图象关于直线x ＝α对称，关于点(β，1)对称，所以最小正周期T ＝4|α－β|min ＝3π＝，则ω＝，又2πω23f ＝2sin ＋1＝1，则sin ＝0，又|φ|＜，则φ＝－，则f (x )(π4)(23×π4＋φ)(π6＋φ)π2π6＝2sin ＋1，由－＋2k π≤x －≤＋2k π，k ∈Z 得－＋3k π≤x ≤π＋3k π，k ∈Z ，即函(23x －π6)π223π6π2π2数f (x )的单调递增区间是，k ∈Z ，故选B.][－π2＋3k π，π＋3k π](2)(2019·全国Ⅰ卷)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间单调递增 ③f (x )在[－π，π]有4个零点 ④f (x )的最(π2，π)大值为2.其中所有正确结论的编号是( )A ．①②④ B ．②④C ．①④D ．①③解析：C [∵f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |，∴f (x )是偶函数，①对；f (x )在区间上单调递减，②错；(π2，π)f (x )在[－π，π]上有3个零点，③错；f (x )的最大值为2，④对．故选C.](3)(多选题)关于函数f (x )＝2sin＋1，下列叙述正确的是( )(2x ＋π4)A ．其图象关于直线x ＝对称π4B ．其图象可由y ＝2sin＋1图象上所有点的横坐标变为原来的得到(x ＋π4)12C ．其图象关于点对称(3π8，0)D ．其值域[－1,3]解析：BD [本题考查三角函数性质的综合应用以及三角函数图象的伸缩变换．f ＝2sin ＋1＝＋1，不是函数的最值，因此函数f (x )的图象不关于直线(π4)(2×π4＋π4)2x ＝对称，故A 错误；y ＝2sin＋1图象上所有点的横坐标变为原来的得到f (x )＝2sinπ4(x ＋π4)12＋1的图象，故B 正确；设y ＝2sin ，则当x ＝时，y ＝2sin(2x ＋π4)(2x ＋π4)3π8＝2sin π＝0，即函数y ＝2sin ＋1的图象关于点对称，故C 错误；(2×3π8＋π4)(2x ＋π4)(3π8，1)当sin ＝1时，函数f (x )取得最大值3，当sin＝－1时，函数f (x )取得最小值(2x ＋π4)(2x ＋π4)－1，即函数f (x )的值域是[－1,3]，故D 正确，故选BD.]限时40分钟 满分80分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2020·南昌段考)已知角θ的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点M (－3,4)，则cos 2θ－sin 2θ＋tan θ的值为( )A ．－ B.1217512175C ．－D.79757975解析：A [设O 为坐标原点，则由已知得|OM |＝5，因而cos θ＝－，sinθ＝，tan3545θ＝－，则cos 2θ－sin 2θ＋tan θ＝－－＝－.]43925162543121752．(2019·青岛三模)如图①，这个美妙的螺旋叫做特奥多鲁斯螺旋，是由公元5世纪古希腊哲学家特奥多鲁斯给出的，螺旋由一系列直角三角形组成，如图②，第一个三角形是边长为1的等腰直角三角形，以后每个直角三角形以上一个三角形的斜边为直角边，另一条直角边为1.将这些直角三角形在公共顶点处的角依次记为α1，α2，α3，…，则与α1＋α2＋α3＋α4最接近的角是( )参考值：tan 55°≈1.428，tan 60°≈1.732，tan 65°≈2.145，≈1.4142A ．120°B ．130°C ．135°D ．140°解析：C [由题意可得，α1，α2，α3，α4都是锐角，且α1＝45°，tan α2＝＝，tan1222α3＝＝，所以α3＝30°，tan α4＝＝，所以α1＋α3＝75°.又tan(α2＋α4)＝13331412＝≈1.87，接近tan 60°，故α2＋α4接近60°，故与α1＋α2＋α3＋α4最接tan α2＋tan α41－tan α2·tan α46＋527近的角是135°.]3．(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝的最小正周期为( )tan x1＋tan2 x A. B.π4π2C ．πD ．2π解析：C [由已知得f (x )＝＝＝＝sin x ·cos x ＝sin 2x ，tan x1＋tan2 x sin x cos x1＋(sin x cos x )2sin x cos xcos2 x ＋sin2 x cos2 x 12所以f (x )的最小正周期为T ＝＝π，故选C.]2π24．(2019·成都二诊)将函数y ＝2sin sin 的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度，(x ＋π3)(π6－x )所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为( )A. B.π6π12C.D.π4π3解析：A [由y ＝2sinsin 可得y ＝2sin cos ＝sin ，该函数(x ＋π3)(π6－x)(x ＋π3)(x ＋π3)(2x ＋2π3)的图象向左平移φ个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g (x )＝sin＝sin [2(x ＋φ)＋2π3]，因为g (x )＝sin为奇函数，所以2φ＋＝k π(k ∈Z )，(2x ＋2φ＋2π3)(2x ＋2φ＋2π3)2π3φ＝－(k ∈Z )，又φ＞0，故φ的最小值为，选A.]k π2π3π65．(2020·广州模拟)已知函数f (x )＝sin (ω＞0)在区间上单调递增，则ω的(ωx ＋π6)[－π4，2π3]取值范围为( )A.B.(0，83](0，12]C.D.[12，83][38，2]解析：B [通解：因为x ∈，所以ωx ＋∈，因为函数f (x )[－π4，2π3]π6[－π4ω＋π6，2π3ω＋π6]＝sin(ω＞0)在区间上单调递增，所以Error!又ω＞0，所以0＜ω≤，选B.(ωx ＋π6)[－π4，2π3]12优解：取ω＝1，f ＝sin ＝－sin ＜0，f ＝sin ＝sin ＝1，f ＝sin(－π4)(－π4＋π6)π12(π3)(π3＋π6)π2(2π3)＝sin ＝，不满足题意，排除A ，C ，D ，选B.](2π3＋π6)5π6126．(2019·洛阳统考)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝03(|φ|＜π2)对称，则y ＝f (x )在的值域为( )[π4，3π8]A ．[－，0] B ．[－2,0]2C ．(－，0)D ．(－2,0)2解析：A [由题意得函数f (x )＝2sin ，因为其图象关于直线x ＝0对称，所以(2x ＋π6＋φ)2×0＋＋φ＝＋k π(k ∈Z )，即φ＝＋k π(k ∈Z )，又|φ|＜，所以φ＝，f (x )π6π2π3π2π3＝2sin＝2cos 2x .当≤x ≤时，≤2x ≤，所以y ＝f (x )在上的值域为(2x ＋π6＋π3)π43π8π23π4[π4，3π8][－，0]．]27．(2018·天津卷)将函数y ＝sin 的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的(2x ＋π5)π10函数( )A ．在区间上单调递增[3π4，5π4]B ．在区间上单调递减[3π4，π]C ．在区间上单调递增[5π4，3π2]D ．在区间上单调递减[3π2，2π]解析：A [由函数图象平移变换的性质可知：将y ＝sin的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：(2x ＋π5)π10y ＝sin＝2sin x .[2(x －π10)＋π5]则函数的单调递增区间满足：2k π－≤2x ≤2k π＋(k ∈Z )，π2π2即k π－≤x ≤k π＋(k ∈Z ) ，π4π4令k ＝1可得一个单调递增区间为：.[3π4，5π4]函数的单调递减区间满足：2k π＋≤2x ≤2k π＋(k ∈Z )，π23π2即k π＋≤x ≤k π＋(k ∈Z ) ，π43π4令k ＝1可得一个单调递减区间为：.本题选择A 选项．][5π4，7π4]8．(2020·贵阳监测)函数f (x )＝A sin(ω＞0)的图象与x 轴正半轴交点的横坐标构成(ωx ＋π6)一个公差为的等差数列，若要得到函数g (x )＝A sin ωx 的图象，只要将f (x )的图象( )π2A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位π6π6C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位π12π12解析：D [正弦函数图象与x 轴相邻交点横坐标相差为半个周期，即d ＝＝，又因为T2πωd ＝，所以ω＝2，则f (x )＝A sin ＝A sin，所以只要将函数f (x )的图象向右平π2(ωx ＋π6)[2(x ＋π12)]移个单位就能得到g (x )＝sin ωx 的图象．]π129.(2019·德州三模)如图是函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)图象的一部分，对不同的(A ＞0，|φ|≤π2)x 1，x 2∈[a ，b ]，若f (x 1)＝f (x 2)，有f (x 1＋x 2)＝，则( )2A ．f (x )在区间内单调递增(－38π，π8)B ．f (x )在区间内单调递减(－38π，π8)C ．f (x )在区间内单调递增(－512π，π12)D ．f (x )在区间内单调递减(－512π，π12)解析：A [根据图象得出：A ＝2，对称轴方程为x ＝，所以2sin(x 1＋x 2＋φ)x 1＋x 22＝2⇒x 1＋x 2＋φ＝，π2所以x 1＋x 2＝－φ，因为f (x 1＋x 2)＝，π22所以2sin ＝，即sin(π－φ)＝，因为|φ|≤，所以φ＝，所以f (x )＝2sin[2(π2－φ)＋φ]222π2π4，因为－＋2k π≤2x ＋≤＋2k π，k ∈Z ，所以－＋k π≤x ≤＋k π，k ∈Z ，即为f (x )(2x ＋π4)π2π4π23π8π8的单调递增区间．]10．(2019·辽宁省五校协作体联考)设ω＞0，将函数y ＝2cos 的图象向右平移个(ωx ＋π5)π5单位长度后与函数y ＝2sin的图象重合，则ω的最小值是( )(ωx ＋π5)A. B.1232C.D.5272解析：C [通解 将函数y ＝2cos的图象向右平移个单位长度后，得y ＝2cos(ωx ＋π5)π5的图象，由已知得2cos ＝2sin ，所以cos ＝sin[ω(x －π5)＋π5][ω(x －π5)＋π5](ωx ＋π5)[ω(x －π5)＋π5]，当ω＝时，cos ＝cos ≠sin ；当ω＝时，(ωx ＋π5)12[12(x －π5)＋π5](12x ＋π10)(12x ＋π5)32cos ＝cos ≠sin ；当ω＝时，cos ＝cos ＝sin [32(x －π5)＋π5](32x －π10)(32x ＋π5)52[52(x －π5)＋π5](52x －π2＋π5)，所以ω的最小值为.故选C.(52x ＋π5)52优解 将函数y ＝2cos的图象向右平移个单位长度后，得(ωx ＋π5)π5y ＝2cos＝2cos 的图象，由已知得cos ＝sin ，所[ω(x －π5)＋π5](ωx ＋π5－π5ω)(ωx ＋π5－π5ω)(ωx ＋π5)以sin ＝sin ，所以＋＋2k π＝ωx ＋，k ∈Z ，所以[π2＋(ωx ＋π5－π5ω)](ωx ＋π5)π2(ωx ＋π5－π5ω)π5ω＝＋10k ，k ∈Z ，又ω＞0，所以ω的最小值为.故选C.]525211．(多选题)在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点P (－1，m )(m >0)，则下列各式的值一定为负的是( )A ．sin α＋cos αB ．sin α－cos αC ．sin αcos αD.sin αtan α解析：CD [本题考查三角函数定义的应用及三角函数值符号的判断．由已知得r ＝|OP |＝，则sin α＝>0，cos α＝－<0，tan α＝－m <0，m 2＋1mm 2＋11m 2＋1∴sin x ＋cos α的符号不确定，sin α－cos α>0，sin αcos α<0，＝cos α<0.故选CD.]sin αtan α12．(2019·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝sin (ω＞0)，已知f (x )在[0,2π]有且仅有5个零点，(ωx ＋π5)下述四个结论：①f (x )在(0,2π)有且仅有3个极大值点；②f (x )在(0,2π)有且仅有2个极小值点；③f (x )在单调递增；④ω的取值范围是.(0，π10)[125，2910)其中所有正确结论的编号是( )A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④解析：D [∵f (x )＝sin(ω＞0)，在[0,2π]有且仅有5个零(ωx ＋π5)点．∴0≤x ≤2π，≤ωx ＋≤2πω＋，5π≤2πω＋＜6π，≤ω＜，④正确．如图π5π5π5π51252910x 1，x 2，x 3为极大值点为3个，①正确；极小值点为2个或3个. ②不正确．当0＜x ＜时，＜ωx ＋＜＋，当ω＝时，＋＝＋＝＜.π10π5π5ωπ10π52910ωπ10π529π10020π10049π100π2∴③正确，故选D.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·全国Ⅰ卷)函数f (x )＝sin －3cos x 的最小值为________．(2x ＋3π2)解析：∵f (x )＝sin －3cos x ＝－cos 2x －3cos x ，(2x ＋3π2)∴f (x )min ＝－4.答案：－414．(2019·吉林三模)将函数f (x )＝2cos 2x 的图象向右平移个单位后得到函数g (x )的图象，π6若函数g (x )在区间和上均单调递增，则实数a 的取值范围是____________．[0，a3][2a ，7π6]解析：由题意可知，函数f (x )在区间和上均单调递增，根据f (x )[－π6，a 3－π6][2a －π6，π]＝2cos 2x 的图象可知，－≤0且≤2a －≤π，解得≤a ≤.a 3π6π2π6π3π2答案：[π3，π2]15．(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos (ω>0)．若f (x )≤f 对任意的实数x 都成立，(ωx －π6)(π4)则ω的最小值为________．解析：本题考查三角函数．∵f (x )≤f 对任意x ∈R 恒成立，∴f 为f (x )的最大值，∴f(π4)(π4)＝cos ＝1，∴ω－＝2k π，解得ω＝8k ＋，k ∈Z ，又∵ω>0，∴ω的最小值为.(π4)(π4ω－π6)π4π62323答案：2316．(2019·烟台三模)函数f (x )＝的图象与函数g (x )＝2sin x (0≤x ≤4)的图象的所有交12－x π2点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则f (y 1＋y 2＋…＋y n )＋g (x 1＋x 2＋…＋x n )＝________.解析：如图，画出函数f (x )和g (x )的图象，可知有4个交点，并且关于点(2,0)对称，所以y 1＋y 2＋y 3＋y 4＝0，x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝8，所以f (y 1＋y 2＋y 3＋y 4)＋g (x 1＋x 2＋x 3＋x 4)＝f (0)＋g (8)＝＋0＝.1212答案：12。
第1讲 函数的图象与性质 [考情考向·高考导航]1．高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下． 2．对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题．3．对函数性质的考查，主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．[真题体验]1．(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln(1－x )B ．y ＝ln(2－x )C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )解析：B [y ＝ln x 过点(1,0)，(1,0)关于x ＝1的对称点是(1,0)，而只有B 选项过此点，故选B.]2．(2019·全国Ⅱ卷)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x <0时，f (x )＝( ) A ．e －x －1 B ．e －x ＋1 C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1解析：D [当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝e －x －1， 又∵f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝e －x －1， 即f (x )＝－e －x ＋1.]3．(2018·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )解析：B [∵f (－x )＝e －x －e x (－x )2＝－e x －e －xx 2＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，排除选项A ；又∵f (1)＝e －1e>1，排除选项C 、D ，故选B.]4．(2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x ＞0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)解析：D [画出函数f (x )的图象如图，①当2x ＜0，x ＋1≥0时f (x ＋1)＜f (2x )成立，∴－1≤x ＜0.②当2x ≤0，x ＋1≤0时，要使f (x ＋1)＜f (2x )成立，只需x ＋1＞2x ，∴x ≤－1.由①②知满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是(－∞，0)．][主干整合]1．函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．函数的性质 (1)单调性对于函数y ＝f (x )定义域内某一区间D 上的任意x 1，x 2，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0(＜0)⇔y ＝f (x )在D 上是增(减)函数；对于函数y ＝f (x )定义域内某一区间D 上的任意x 1，x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0(＜0)⇔y ＝f (x )在D上是增(减)函数．(2)奇偶性对于定义域(关于原点对称)内的任意x ，f (x )＋f (－x )＝0⇔y ＝f (x )是奇函数； 对于定义域(关于原点对称)内的任意x ，f (x )－f (－x )＝0⇔y ＝f (x )是偶函数． (3)周期性①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )是周期函数，其中一个周期是T ＝2a (a ≠0)； ②若满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期函数，其中一个周期是T ＝2a (a ≠0)； ③若满足f (x ＋a )＝1f (x )，则f (x )是周期函数，其中一个周期是T ＝2a (a ≠0)；④若函数满足f (x ＋a )＝－1f (x )，则f (x )是周期函数，其中一个周期是T ＝2a (a ≠0)． (4)对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．提醒：函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (a －x )的图象对称轴为x ＝0，并非直线x ＝a .②若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．③若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则该函数图象关于点(a ，b )成中心对称．热点一 函数及其表示[题组突破]1．(2020·苏州模拟)函数f (x )的定义域是[0,3]，则函数y ＝f (2x －1)lg (2－x )的定义域是____________________．解析：因为函数f (x )的定义域是[0,3]，所以由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x －1≤3，2－x ＞0，lg (2－x )≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧12≤x ≤2，x ＜2，x ≠1.即12≤x ＜2且x ≠1，即函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ＜2且x ≠1. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ＜2且x ≠1 2．(2018·江苏卷)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0＜x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2＜x ≤0，则f (f (15))的值为________．解析：因为f (x ＋4)＝f (x )，函数的周期为4，所以y ＝sin(2x ＋4)，f (15)＝f (－1)，f (－1)＝⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12，∴f (f (15))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝cos π4＝22. 答案：223．(2017·课标全国Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＞1的x 的取值范围是________．解析：由题意：g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋32，x ≤02x＋x ＋12，0＜x ≤12(2＋1)2x －1，x ＞12，函数g (x )在区间(－∞，0]，⎝⎛⎦⎤0，12，⎝⎛⎭⎫12，＋∞三段区间内均单调递增，且：g ⎝⎛⎭⎫－14＝1,20＋0＋12＞1，(2＋1)×20－1＞1，据此x 的取值范围是：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．(多选题)在下列四组函数中，f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x －1，g (x )＝x 2－1x ＋1B ．f (x )＝|x ＋1|，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥－1，－1－x ，x <－1C ．f (x )＝1，g (x )＝(x ＋1)0D ．f (x )＝(x )2x ，g (x )＝x(x )2解析：BD [本题考查判断两个函数是否相同．对于A ，函数f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠－1}，f (x )与g (x )的定义域不相同，则不是同一函数；对于B ，函数f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为R ，f (x )与g (x )的定义域相同，f (x )＝|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥－1，－1－x ，x <－1，对应关系相同，则f (x )与g (x )是同一函数；对于C ，函数f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠－1}，f (x )与g (x )的定义域不相同，则不是同一函数；对于D ，函数f (x )＝(x )2x ＝1(x >0)，g (x )＝x(x )2＝1(x >0)的定义域与对应法则均相同，是同一函数．故选BD.]函数及其表示问题的注意点1．求函数的定义域时，要全面地列出不等式组，不可遗漏，并且要注意所列不等式中是否包含等号．2．对于分段函数解方程或不等式的问题，要注意在所应用函数解析式对应的自变量的范围这个大前提，要在这个前提条件下解决问题．热点二 函数的图象及其应用[例1] (1)(2019·全国Ⅰ卷)函数f (x )＝sin x ＋xcos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为( )[解析] D [∵f (－x )＝sin (－x )－xcos (－x )＋(－x )2＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A.当x ＝π时，f (π)＝π－1＋π2＞0，排除B ，C.故选D.](2)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( ) A ．{x |－1＜x ≤0} B ．{x |－1≤x ≤1} C ．{x |－1＜x ≤1} D ．{x |－1＜x ≤2} [解析]C [令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝log 2(x ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1＜x ≤1}．]识图、用图的方法技巧(1)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围，变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．如例1(1)(2)用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究．如例1(2)(1)(2019·南昌三模)函数f (x )＝x (e －x －e x )4x 2－1的部分图象大致是( )解析：B [因为函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，f (－x )＝－x (e x －e －x )4x 2－1＝x (e －x －e x )4x 2－1＝f (x )，所以f (x )为偶函数，所以f (x )的图象关于y 轴对称，故排除A ， 令f (x )＝0，即x (e －x －e x )4x 2－1＝0，解得x ＝0，所以函数f (x )只有一个零点，故排除D ， 当x ＝1时，f (1)＝1e－e 3＜0，故排除C ，综上所述，只有B 符合．](2)(2019·德州三模)用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．解析：f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图象如图中实线所示．令x ＋2＝10－x ，得x ＝4.故当x ＝4时，f (x )取最大值，又f (4)＝6，所以f (x )的最大值为6.答案：6热点三 函数的性质及其应用确定函数的单调性、奇偶性、对称性等[例2] (1)(2019·唐山调研)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A ．f (x )在(0,2)单调递增 B ．f (x )在(0,2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称[解析] C [由题意知，f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误；又f ′(x )＝1x －12－x ＝2(1－x )x (2－x )(0＜x ＜2)，在(0,1)上单调递增，在[1,2)上单调递减，A 、B 错误．故选C.](2)(2019·大同三模)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，1B.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ [解析] A [f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，所以f (x )＞f (2x －1)⇔f (|x |)＞f (|2x －1|)⇔|x |＞|2x －1|⇔13＜x ＜1.]函数性质的综合应用[例3] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50[解析] C [f (x )是奇函数，图象关于原点对称，又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )关于x ＝1对称，故知f (x )是周期函数，周期T ＝4. 又∵f (2)＝f (0)＝0，f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，f (4)＝f (－2)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋0＋(－2)＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.](2)(2019·武汉三模)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1，则( )A ．f (－3)＜f (2)＜f ⎝⎛⎭⎫52B ．f ⎝⎛⎭⎫52＜f (－3)＜f (2)C ．f (2)＜f (－3)＜f ⎝⎛⎭⎫52D ．f (2)＜f ⎝⎛⎭⎫52＜f (－3)[解析] D [因为f (x －1)＝f (x ＋1)，所以f (x )＝f (x ＋2)，即函数的周期是2，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1＝x ·e x－1e x ＋1，则f (－x )＝－x ·e －x－1e －x ＋1＝－x ·1－e x 1＋e x ＝x ·e x－1e x ＋1＝f (x )，则函数f (x )为偶函数，当0≤x ＜1时，函数y ＝x 为增函数，y ＝1－2e x＋1也为增函数，则函数f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1＝x ·e x －1e x ＋1在0≤x ＜1为增函数，则f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫52－2＝f ⎝⎛⎭⎫12，f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (1)，f (2)＝f (0)，则f (0)＜f ⎝⎛⎭⎫12＜f (1)，即f (2)＜f ⎝⎛⎭⎫52＜f (－3)．]函数三个性质的应用(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )．(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性．(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．(1)(2019·贵阳调研)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.解析：∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f ((x ＋2)＋4)＝f ((x ＋2)－2)，即f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )是周期为6的周期函数， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)． 又f (x )是定义在R 上偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6. 答案：6(2)(2019·青岛三模)已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R )在区间[－1,0]上单调递增，且满足f (1－x )＋f (1＋x )＝0，给出下列判断：①f (5)＝0；②f (x )在[1,2]上是减函数；③函数y ＝f (x )没有最小值；④函数f (x )在x ＝0处取得最大值；⑤f (x )的图象关于直线x ＝1对称．其中正确的序号是________．解析：因为f (1－x )＋f (1＋x )＝0，所以函数y ＝f (x )(x ∈R )关于点(1,0)对称，且周期为4，画出满足条件的图象，结合图象可知①②④正确．答案：①②④限时40分钟 满分80分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2020·湖北部分重点中学起点考试)已知函数f (x )＝(e x ＋e －x )ln 1－x1＋x－1，若f (a )＝1，则f (－a )＝( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：D [解法一 由题意，f (a )＋f (－a )＝(e a ＋e －a )ln 1－a 1＋a －1＋(e a ＋e －a )ln 1＋a 1－a－1＝(e a＋e －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫ln1－a 1＋a ＋ln 1＋a 1－a －2＝－2，所以f (－a )＝－2－f (a )＝－3，故选D.解法二 令g (x )＝f (x )＋1＝(e x ＋e －x )ln1－x 1＋x ，则g (－x )＝(e －x ＋e x )ln 1＋x 1－x ＝－(e x ＋e －x )ln 1－x 1＋x＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以f (－a )＝g (－a )－1＝－g (a )－1＝－f (a )－2＝－3，故选D.]2．(2020·唐山摸底)设函数f (x )＝x (e x ＋e －x )，则f (x )( ) A ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析：A [通解 由已知可知，f (－x )＝(－x )(e －x ＋e x )＝－x (e x ＋e －x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．f ′(x )＝e x ＋e －x ＋x (e x －e －x )，当x ＞0时，e x ＞e －x ，所以x (e x －e －x )＞0，又e x ＋e －x ＞0，所以f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，故选A.优解 根据题意知f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．又f (1)＜f (2)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，故选A.]3．(2019·合肥调研)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，则g (f (－7))＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2解析：D [函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，设x ＜0，则－x ＞0，则f (－x )＝log 2(－x ＋1)， 因为f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x ＋1)， 所以g (x )＝－log 2(－x ＋1)(x ＜0)， 所以f (－7)＝g (－7)＝－log 2(7＋1)＝－3， 所以g (－3)＝－log 2(3＋1)＝－2.]4．(2020·大连模拟)若函数f (x )同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”： (1)∀x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0；(2)∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0.①f (x )＝sin x ；②f (x )＝－2x 3；③f (x )＝1－x ；④f (x )＝ln(x 2＋1＋x )． 以上四个函数中，“优美函数”的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：B [由条件(1)，得f (x )是奇函数，由条件(2)，得f (x )是R 上的减函数．对于①，f (x )＝sin x 在R 上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f (x )＝－2x 3既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f (x )＝1－x 不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f (x )在R 上单调递增，故不是“优美函数”．故选B.]5．(2020·辽宁五校协作体联考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≥0时，f (x )＝(－x ＋a ＋1)log 2(x ＋2)＋x ＋m ，其中a ，m 是常数，且a ＞0.若f (0)＋f (a )＝1，则f (m －3)＝( )A ．1B ．－1C ．6D ．－6解析：C [由题意知f (0)＝a ＋1＋m ＝0，所以a ＋m ＝－1，又f (a )＝log 2(a ＋2)＋a ＋m ，f (0)＋f (a )＝1，所以log 2(a ＋2)＝2，解得a ＝2，所以m ＝－3.于是，当x ≥0时，f (x )＝(3－x )log 2(x ＋2)＋x －3.故f (m －3)＝f (－6)＝－f (6)＝－(－3log 28＋3)＝6.故选C.]6．(组合型选择题)函数y＝f(x)和y＝g(x)在[－2,2]上的图象分别如图(1)(2)所示：给出下列四个命题：①方程f(g(x))＝0有且仅有6个根；②方程g(f(x))＝0有且仅有3个根；③方程f(f(x))＝0有且仅有5个根；④方程g(f(g))＝0有且仅有4个根；其中正确命题的个数是()A．4 B．3C．2 D．1解析：B[由图象可得－2≤g(x)≤2，－2≤f(x)≤2.对于①，观察f(x)的图象，可知满足方程f(g(x))＝0的g(x)有三个不同的值，一个值在－2或－1之间，一个值为0，一个值在1与2之间．再观察g(x)的图象，由图象知，g(x)的值在－2与－1之间时对应了2个x值，g(x)＝0时对应了2个x值，g(x)的值在1与2之间时对应了2个x值，故方程f(g(x))＝0有且仅有6个根，故①正确．对于②，观察g(x)的图象，可知满足g(f(x))＝0的f(x)有两个不同的值，一个值处于－2与－1之间，另一个值处于0与1之间．观察f(x)的图象，知f(x)的值在－2与－1之间时对应了1个x值，f(x)的值在0与1之间时对应了3个x值，所以方程g(f(x))＝0有且仅有4个根，故②不正确．对于③，观察f(x)的图象，可知满足方程f(f(x))＝0的f(x)有3个不同的值，一个值在－2与－1之间，一个值为0，一个值在1与2之间．再观察f(x)的图象，由图象知f(x)的值在－2与－1之间时对应了1个x值，f(x)＝0时对应了3个x值，f(x)的值在1与2之间时对应了1个x值，故方程f(f(x))＝0有且仅有5个根，故③正确．对于④，观察g(x)的图象，可知满足方程g(g(x))＝0的g(x)有2个不同的值，一个值在－2与－1之间，一个值在0与1之间．再观察g(x)的图象，由图象可知g(x)的值在－2与－1之间时对应了2个x值，g(x)的值在0与1之间时对应了2个x值，故方程g(g(x))＝0有且仅有4个根，故④正确．综上所述，正确命题的个数是3.故选B.]7．(2019·广州二模)已知定义在R 上的函数f (x )，对任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立，若函数y ＝f (x ＋1)的图象关于直线x ＝－1对称，则f (2 022)的值为( )A ．2 018B ．－2 018C ．0D ．4解析：C [依题意得，函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝0对称，因此函数y ＝f (x )是偶函数，且f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)，即f (2)＝f (2)＋f (2)，所以f (2)＝0，所以f (x ＋4)＝f (x )，即函数y ＝f (x )是以4为周期的函数，f (2 022)＝f (4×505＋2)＝f (2)＝0.]8．(2019·苏州调研)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )解析：C [令f (x )＝sin 2x1－cos x，∵f (1)＝sin 21－cos 1＞0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，∴排除选项A ，D.由1－cos x ≠0得x ≠2k π(k ∈Z )， 故函数f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝sin (－2x )1－cos (－x )＝－sin 2x1－cos x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，∴排除选项B.故选C.] 9．已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)．当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫1a |x ＋b |的图象为()解析：B [因为x ∈(0,4)，所以x ＋1＞1，所以f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2 (x ＋1)×9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＝2时取等号，且f (x )的最小值为1，所以a ＝2，b ＝1，所以g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x ＋1|，其图象关于直线x ＝－1对称，又g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x ＋1|≤⎝⎛⎭⎫120＝1，所以B.] 10．(2020·河北衡水中学模拟)已知函数f (x )＝22 019x ＋1＋sin x ，其中f ′(x )为函数f (x )的导数，则f (2 018)＋f (－2 018)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)等于( )A ．2B ．2 019C ．2 018D ．0解析：A [由题意得f (x )＋f (－x )＝2， ∴f (2 018)＋f (－2 018)＝2，由f (x )＋f (－x )＝2可得f (x )－1＋f (－x )－1＝0， ∴y ＝f (x )－1为奇函数， ∴y ＝f (x )－1的导函数为偶函数，即y ＝f ′(x )为偶函数，其图象关于y 轴对称， ∴f ′(2 019)－f ′(－2 019)＝0，∴f (2 018)＋f (－2 018)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)＝2.故选A.]11．(2019·定州二模)已知a ＞0，设函数f (x )＝2 019x ＋1＋2 0172 019x ＋1(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝( )A ．2 017B ．2 019C ．4 040D ．4 036解析：D [由题意得f (x )＝2 019x ＋1＋2 0172 019x ＋1＝2 019－22 019x ＋1.因为y ＝2 019x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，所以f (x )＝2 019－22 019x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，所以M ＝f (a )，N ＝f (－a )，所以M ＋N ＝f (a )＋f (－a )＝4 038－22 019a＋1－22 019－a ＋1＝4 036.] 12．(2019·贵阳监测)已知函数f (x )＝2xx －1，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )的图象关于点(1,2)中心对称B ．函数f (x )在(－∞，1)上是增函数C ．函数f (x )的图象上存在不同的两点A 、B ，使得直线AB ∥x 轴D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称解析：A [因为f (x )＝2x x －1＝2(x －1)＋2x －1＝2x －1＋2，所以该函数图象可以由y ＝2x 的图象向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到，所以函数f (x )的图象关于点(1,2)中心对称，A 正确，D 错误；易知函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，故B 错误；易知函数f (x )的图象是由y ＝2x的图象平移得到的，所以不存在不同的两点A 、B ，使得直线AB ∥x 轴，C 错误．故选A.] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2020·安徽江淮十校联考)函数f (x )＝log 13(x 2＋2)＋13|x |＋1，若f (2x ＋1)≥f (x )，则实数x的取值范围是____________．解析：易知f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴|2x ＋1|≤|x |，解得－1≤x ≤－13，∴x ∈⎣⎡⎦⎤－1，－13. 答案：⎣⎡⎦⎤－1，－13 14．(2019·北京卷)设函数f (x )＝e x ＋a e －x (a 为常数)．若f (x )为奇函数，则a ＝____________；若f (x )是R 上的增函数，则a 的取值范围是____________．解析：若函数f (x )＝e x ＋a e －x 为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，e －x ＋a e x ＝－(e x ＋a e －x )恒成立，即(a ＋1)(e x ＋e －x )＝0恒成立，欲(a ＋1)(e x ＋e －x )＝0对任意的x 恒成立．需a ＋1＝0，即a ＝－1时，所以a ＝－1.若函数f (x )＝e x ＋a e －x 是R 上的增函数，则f ′(x )＝e x －a e －x ≥0恒成立，a ≤e 2x ，a ≤0. 即实数a 的取值范围是(－∞，0]． 答案：－1 (－∞，0]15．(2020·湖北省八校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(ln x )2＋a ln x ＋b ，x ＞0，e x ＋12，x ≤0，若f (e 2)＝f (1)，f (e)＝43f (0)，则函数f (x )的值域为________________． 解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋2a ＋b ＝b ，1＋a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3，∴当x ＞0时，f (x )＝(ln x )2－2ln x ＋3＝(ln x －1)2＋2≥2；当x ≤0时，12＜e x ＋12≤e 0＋12＝32，则函数f (x )的值域为⎝⎛⎦⎤12，32∪[2，＋∞)． 答案：⎝⎛⎦⎤12，32∪[2，＋∞)16．(2020·辽宁五校联考)如果定义在R 上的函数f (x )满足：对任意的x 1≠x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)≥x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称f (x )为“H 函数”，给出下列函数：①y ＝－x 3＋x ＋1；②y ＝3x －2(sin x －cos x )③y ＝1－e x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x (x ≥1)，0(x ＜1)；⑤y ＝xx 2＋1.其中是“H 函数”的是________．(写出所有满足条件的函数的序号)解析：因为x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)≥x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，所以f (x 1)(x 1－x 2)－f (x 2)(x 1－x 2)≥0，即[f (x 1)－f (x 2)](x 1－x 2)≥0，分析可得，若函数f (x )为“H 函数”，则函数f (x )为增函数或常函数．对于①，y ＝－x 3＋x ＋1，则y ′＝－3x 2＋1，所以y ＝－x 3＋x ＋1既不是R 上的增函数也不是常函数，故其不是“H 函数”；对于②，y ＝3x －2(sin x －cos x )，则y ′＝3－2(cos x ＋sin x )＝3－22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＞0，所以y ＝3x －2(sin x －cos x )是R 上的增函数，故其是“H 函数”；对于③，y ＝1－e x是R 上的减函数，故其不是“H 函数”；对于④，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x (x ≥1)，0(x ＜1)，当x ＜1时，是常函数，当x ≥1时，是增函数，且当x ＝1时，ln x ＝0，故其是“H 函数”；对于⑤，y ＝x x 2＋1，当x ≠0时，y ＝1x ＋1x ，不是R 上的增函数也不是常函数，故其不是“H 函数”．所以满足条件的函数的序号是②④.答案：②④。
第1讲 函数图象与性质A 级 基础通关一、选择题1．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2（x －1），x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：由已知得a ＞0，所以a ＋1＞1， 因为f (a )＝f (a ＋1)，所以a ＝2(a ＋1－1)， 解得a ＝14，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2(4－1)＝6.答案：C2．(2019·天一大联考)若函数f (x )＝m －13x －1的图象关于原点对称，则函数f (x )在(－∞，0)上的值域( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞C ．(1，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 解析：依题意，函数f (x )为奇函数，故f (－x )＝－f (x )，解得m ＝－12.故f (x )＝－12－13x －1，且f (x )在(－∞，0)上单调递增．当x →－∞时，f (x )―→12，当x →0－时，f (x )→＋∞.故函数f (x )在(－∞，0)上的值域是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：A3．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A ．f (x )在(0，2)上单调递增 B ．f (x )在(0，2)上单调递减 C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称 D ．y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解析：由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误．答案：C4．(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x－e－xx2的图象大致为( )解析：f (x )＝e x －e －xx 2为奇函数，排除A ；当x ＞0，f (1)＝e －1e ＞2，排除C 、D ，只有B 项满足．答案：B5．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (32a －1)≥f (－3)，则a 的最大值是( )A ．1B.12C.14D.34解析：f (x )在R 上是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，所以f (x )在(0，＋∞)上是减函数，由f (32a －1)≥f (－3)＝f (3)，所以32a －1≤3，则2a －1≤12，所以a ≤34.因此a 的最大值为34.答案：D 二、填空题6．(2018·江苏卷)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0＜x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2＜x ≤0，则f (f (15))的值为________．解析：因为函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，所以函数f (x )的最小正周期为4. 又因为在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0＜x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2＜x ≤0，所以f (f (15))＝f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22.答案：227．已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 2 5.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：法1：易知g (x )＝xf (x )在R 上为偶函数， 因为奇函数f (x )在R 上是增函数，且f (0)＝0. 所以g (x )在(0，＋∞)上是增函数．又3＞log 25.1＞2＞20.8，且a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)， 所以g (3)＞g (log 25.1)＞g (20.8)，则c ＞a ＞b .法2：(特殊化)取f (x )＝x ，则g (x )＝x 2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又3＞log 25.1＞20.8，从而可得c ＞a ＞b . 答案：c ＞a ＞b8．(2019·天津卷)设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝5，则（x ＋1）（2y ＋1）xy的最小值为________．解析：因为x ＞0，y ＞0，所以xy ＞0. 因为x ＋2y ＝5，所以（x ＋1）（2y ＋1）xy＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy＝2xy ＋6xy＝2xy ＋6xy≥212＝4 3.当且仅当2xy ＝6xy时取等号．所以（x ＋1）（2y ＋1）xy的最小值为4 3.答案：4 39．已知函数f (x )＝x 2－x －1x ＋1，g (x )＝－e x －1－ln x ＋a 对任意的x 1∈[1，3]，x 2∈[1，3]恒有f (x 1)≥g (x 2)成立，则a 的范围是________．解析：f (x )＝（x ＋1）2－3（x ＋1）＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－3.易知f ′(x )＞0，所以f (x )在[1，3]上是增函数，f (x )min ＝f (1)＝－12.又g (x )在[1，3]上是减函数，知g (x )max ＝g (1)＝a －1. 若恒有f (x 1)≥g (x 2)成立，则－12≥a －1，所以a ≤12.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12三、解答题10．已知函数f (x )＝a －22x ＋1.(1)求f (0)；(2)探究f (x )的单调性，并证明你的结论；(3)若f (x )为奇函数，求满足f (ax )＜f (2)的x 的范围． 解：(1)f (0)＝a －220＋1＝a －1.(2)因为f (x )的定义域为R ， 所以任取x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝a －22x 1＋1－a ＋22x 2＋1＝2·（2x 1－2x 2）（1＋2x 1）（1＋2x 2）. 因为y ＝2x在R 上单调递增且x 1＜x 2，所以0＜2x 1＜2x 2，所以2x 1－2x 2＜0，2x 1＋1＞0，2x 2＋1＞0. 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． 所以f (x )在R 上单调递增．(3)因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 即a －22－x ＋1＝－a ＋22x ＋1，解得a ＝1(或用f (0)＝0去解)． 所以f (ax )＜f (2)即为f (x )＜f (2)， 又因为f (x )在R 上单调递增，所以x ＜2.B 级 能力提升11．已知定义在D ＝[－4，4]上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，－4≤x ≤0，2|x －2|，0＜x ≤4对任意x ∈D ，存在x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：作出函数f (x )的图象如图所示，由任意x ∈D ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知，f (x 1)，f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，由图可知|x 1－x 2|max ＝8，|x 1－x 2|min ＝1，所以|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为9.答案：C12．已知函数f (x )＝x 2－2ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)求函数f (x )的极值；(2)设函数k (x )＝f (x )－h (x )，若函数k (x )在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －2x＝0，得x ＝1.当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在x ＝1处取得极小值为1，无极大值．(2)k (x )＝f (x )－h (x )＝x －2ln x －a (x ＞0)， 所以k ′(x )＝1－2x，令k ′(x )＞0，得x ＞2，所以k (x )在[1，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增， 所以当x ＝2时，函数k (x )取得最小值k (2)＝2－2ln 2－a . 因为函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间[1，3]上恰有两个不同零点， 即有k (x )在[1，2)和(2，3]内有各一个零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧k （1）≥0，k （2）＜0，k （3）≥0，即有⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≥0，2－2ln 2－a ＜0，3－2ln 3－a ≥0，解得2－2ln 2＜a ≤3－2ln 3.故实数a 的取值范围是(2－2ln 2，3－2ln 3]．。
2020年新课标高考数学重点知识强化课1 函数的图象与性质[复习导读] 函数是中学数学的核心概念，函数的图象与性质既是中学数学教学的重点，又是高考考查的重点与热点，题型以选择题、填空题为主，既重视三基，又注重思想方法的考查，备考时，要透彻理解函数，尤其是分段函数的概念，切实掌握函数的性质，并加强函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用意识．重点1 函数图象的应用例1已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，12，2x －1，x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为 A.⎣⎡⎦⎤14，23∪⎣⎡⎦⎤43，74 B.⎣⎡⎦⎤－34，－13∪⎣⎡⎦⎤14，23 C.⎣⎡⎦⎤13，34∪⎣⎡⎦⎤43，74 D.⎣⎡⎦⎤－34，－13∪⎣⎡⎦⎤13，34 A [画出函数f (x )的图象，如图，当0≤x ≤12时，令f (x )＝cos πx ≤12，解得13≤x ≤12；当x ＞12时，令f (x )＝2x －1≤12，解得12＜x ≤34，故有13≤x ≤34.因为f (x )是偶函数，所以f (x )≤12的解集为⎣⎡⎦⎤－34，－13∪⎣⎡⎦⎤13，34，故f (x －1)≤12的解集为⎣⎡⎦⎤14，23∪⎣⎡⎦⎤43，74.] [迁移探究1] 在本例条件下，若关于x 的方程f (x )＝k 有2个不同的实数解，求实数k 的取值范围．[解] 由函数f (x )的图象(图略)可知，当k ＝0或k >1时，方程f (x )＝k 有2个不同的实数解，即实数k 的取值范围是k ＝0或k >1.12分[迁移探究2] 在本例条件下，若函数y ＝f (x )－k |x |恰有两个零点，求实数k 的取值范围． [解] 函数y ＝f (x )－k |x |恰有两个零点，即函数y ＝f (x )的图象与y ＝k |x |的图象恰有两个交点，借助函数图象(图略)可知k ≥2或k ＝0，即实数k 的取值范围为k ＝0或k ≥2.12分[规律方法] 1.利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性．2．有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图象的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值或范围．3．有关不等式的问题常常转化为两个函数图象的上、下关系来解．[对点训练1] 已知函数y ＝f (x )的图象是圆x 2＋y 2＝2上的两段弧，如图1所示，则不等式f (x )>f (－x )－2x 的解集是________．图1(－1,0)∪(1，2] [由图象可知，函数f (x )为奇函数，故原不等式可等价转化为f (x )>－x ，在同一直角坐标系中分别画出y ＝f (x )与y ＝－x 的图象，由图象可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，2]．]重点2 函数性质的综合应用☞角度1 单调性与奇偶性结合例2-1 (1)(2017·石家庄质检(二))下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝lg xC ．y ＝|x |－1D ．y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |(2)(2016·天津高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，12 B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫12，32 D.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ (1)C (2)C [(1)函数y ＝1x 是奇函数，排除A ；函数y ＝lg x 既不是奇函数，也不是偶函数，排除B ；当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |＝⎝⎛⎭⎫12x单调递减，排除D ；函数y ＝|x |－1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故选C.(2)因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (－x )＝f (x )，且f (x )在(0，＋∞)上单调递减．由f (2|a －1|)＞f (－2)，f (－2)＝f (2)可得2|a －1|＜2，即|a －1|＜12，所以12＜a ＜32.]☞角度2 奇偶性与周期性结合例2-2 (2017·贵阳适应性考试(二))若函数f (x )＝a sin 2x ＋b tan x ＋1，且f (－3)＝5，则f (π＋3)＝________.－3 [令g (x )＝a sin 2x ＋b tan x ，则g (x )是奇函数，且最小正周期是π，由f (－3)＝g (－3)＋1＝5，得g(－3)＝4，则g(3)＝－g(－3)＝－4，则f(π＋3)＝g(π＋3)＋1＝g(3)＋1＝－4＋1＝－3.]☞角度3单调性、奇偶性与周期性结合例2-3已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)D[因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，所以f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．][规律方法]函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．重点3 函数图象与性质的综合应用例3 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,1)B ．[0,2]C ．[－2,2)D ．[－1,2)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f x －，x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)(1)D (2)C [(1)由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ＞a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a .因为g (x )有三个不同的零点，所以2－x ＝0在x ＞a 时有一个解．由x ＝2，得a ＜2. 由x 2＋3x ＋2＝0，得x ＝－1或x ＝－2， 由x ≤a ，得a ≥－1.综上，a 的取值范围为[－1,2)．(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f x －，x ＞0的图象如图所示，当a <1时，函数y ＝f (x )的图象与函数f (x )＝x ＋a 的图象有两个交点，即方程f (x )＝x ＋a有且只有两个不相等的实数根．][规律方法] 解决分段函数与函数零点的综合问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解零点，注意取值范围内的大前提，以及函数性质和数形结合在判断零点个数时的强大功能．[对点训练2] 已知f (x )的定义域为实数集R ，∀x ∈R ，f (3＋2x )＝f (7－2x )，若f (x )＝0恰有n 个不同实数根，且这n 个不同实数根之和等于75，则n ＝________.15 [由f (3＋2x )＝f (7－2x )得函数f (x )的图象关于直线x ＝5对称，则f (x )＝0的n 个实根的和为5n ＝75，解得n ＝15.]重点强化训练1 函数的图象与性质A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝( ) A ．－12B.12 C ．2D ．－2B [因为函数f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)＝log 22＝12.]2．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3C [用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C.]3．函数f (x )＝3x ＋12x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)C [因为函数f (x )在定义域上单调递增， 又f (－2)＝3－2－1－2＝－269＜0，f (－1)＝3－1－12－2＝－136＜0，f (0)＝30＋0－2＝－1＜0，f (1)＝3＋12－2＝32＞0，所以f (0)f (1)＜0，所以函数f (x )的零点所在区间是(0,1)．]4．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2] B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎦⎤12，2D ．(0,2]C [∵f (log a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，∴原不等式可化为f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，∴0≤log 2a ≤1，即1≤a ≤2.∵f (x )是偶函数，∴f (log 2a )≤f (－1)．又f (x )在区间(－∞，0]上单调递减，∴－1≤log 2a ≤0，∴12≤a ≤1.综上可知12≤a ≤2.]5．(2017·陕西质检(二))若f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，∀x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1＜0，则( )A ．f (3)＜f (1)＜f (－2)B ．f (1)＜f (－2)＜f (3)C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)D ．f (3)＜f (－2)＜f (1) D [由对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)，f x 2－f x 1x 2－x 1＜0得函数f (x )为[0，＋∞)上的减函数，又因为函数f (x )为偶函数，所以f (3)＜f (2)＝f (－2)＜f (1)，故选D.]二、填空题6．函数y ＝f (x )在x ∈[－2,2]上的图象如图2所示，则当x ∈[－2,2]时，f (x )＋f (－x )＝________.图20 [由题图可知，函数f (x )为奇函数， 所以f (x )＋f (－x )＝0.]7．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为________．[0,1] [设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由题意知，f (x )取遍所有的正实数．当a ＝0时，f (x )＝2x＋1符合条件；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a ≥0，解得0＜a ≤1，所以0≤a ≤1.]8．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，且f (2)＝0，则满足f (x －1)＜0的x 的取值范围是________．(－∞，－1)∪(1,3) [依题意当x ∈(1，＋∞)时，f (x －1)＜0＝f (2)的解集为x ＜3，即1＜x ＜3；当x ∈(－∞，1)时，f (x －1)＜0＝f (－2)的解集为x ＜－1，即x ＜－1.综上所述，满足f (x －1)＜0的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(1,3)．]三、解答题9．已知函数f (x )＝2x ，当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解，两个解？ [解] 令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示.3分由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；9分当0＜m ＜2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解.12分 10．函数f (x )＝m ＋log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(8,2)和(1，－1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝2f (x )－f (x －1)，求g (x )的最小值及取得最小值时x 的值．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ f＝2，f ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1，3分解得m ＝－1，a ＝2，故函数解析式为f (x )＝－1＋log 2x .5分 (2)g (x )＝2f (x )－f (x －1)＝2(－1＋log 2x )－[－1＋log 2(x －1)] ＝log 2x 2x －1－1(x ＞1).7分 ∵x 2x －1＝x －2＋x －＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥2x －1x －1＋2＝4.9分当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立．而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增， 则log 2x 2x －1－1≥log 24－1＝1，故当x ＝2时，函数g (x )取得最小值1.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则不等式⎪⎪⎪⎪f x －f ⎝⎛⎭⎫ln 1x 2＜f (1)的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫0，1e B ．(0，e) C.⎝⎛⎭⎫1e ，eD ．(e ，＋∞)C [f (x )为R 上的奇函数，则f ⎝⎛⎭⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝－f (ln x )，所以⎪⎪⎪⎪fx－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x 2＝|fx ＋fx2＝|f (ln x )|，即原不等式可化为|f (ln x )|＜f (1)，所以－f (1)＜f (ln x )＜f (1)，即f (－1)＜f (ln x )＜f (1)．又由已知可得f (x )在R 上单调递增，所以－1＜ln x ＜1，解得1e ＜x ＜e ，故选C.]2．已知函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数与奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 019)的值为________．0 [g (－x )＝f (－x －1)，由f (x )，g (x )分别是偶函数与奇函数，得g (x )＝－f (x ＋1)，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，即f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，故函数f (x )是以4为周期的周期函数，则f (2 019)＝f (505×4－1)＝f (－1)＝g (0)＝0.]3．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围． [解] (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ， 有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)， ∴f (1)＝0.3分 (2)f (x )为偶函数.4分 证明如下：令x 1＝x 2＝－1， 有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )为偶函数.7分(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数，∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16).9分又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴0<|x－1|<16，解得－15<x<17且x≠1，11分∴x的取值范围是{x|－15<x<17且x≠1}.12分。
④当⎩⎨⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时.f (x ＋1)＝1.f (2x )＝1.不合题意．综上.不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞.0)． 故选D ．方法二：∵ f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，1，x ＞0，∴ 函数f (x )的图象如图所示．由图可知.当x ＋1≤0且2x ≤0时.函数f (x )为减函数.故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x .此时x ≤－1.当2x ＜0且x ＋1＞0时.f (2x )＞1.f (x ＋1)＝1. 满足f (x ＋1)＜f (2x )． 此时－1＜x ＜0.综上.不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞.－1]∪(－1,0)＝(－∞.0)． 故选D ．6．(20xx·江苏卷.5)函数f (x )＝log2x －1的定义域为{x |x ≥2}. [解析] 由log 2x －1≥0.即log 2x ≥log 22.解得x ≥2.所以函数f (x )＝log2x －1的定义域为{x |x ≥2}．7．(20xx·全国卷Ⅲ.16)已知函数f (x )＝ln(1＋x2－x )＋1.f (a )＝4.则f (－a )＝－2.[解析] ∵ f (x )＋f (－x )＝ln(1＋x2－x )＋1＋ln(1＋x2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2.∴ f (a )＋f (－a )＝2.∴ f (－a )＝－2.命题方向1 函数的图象及其应用例1 (1)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x ).当x ∈[0,2]时.f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ∈[0，1)，－x 2＋2x ，x ∈[1，2]，则函数y ＝f (x )在[2,4]上的大致图象是( A )的取值范围是(－1, 3).log(23．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数.若对于任意给定的不等实数x1、x2.不等式x1f(x1)＋x2f(x2)<x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立.则不等式f(1－x)<0的解集为( C ) A．(－∞.0) B．(0.＋∞)C．(－∞.1) D．(1.＋∞)[解析]由条件式得(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0.∴x1<x2时.f(x1)>f(x2).x1>x2时.f(x1)<f(x2).∴f(x)为减函数.又f(x)为R上的奇函数.∴f(0)＝0.∴不等式f(1－x)<0化为f(1－x)<f(0).∴1－x>0.∴x<1.故选C．4.如图.过单位圆O上一点P作圆O的切线MN.点Q为圆O上一动点.当点Q由点P逆时针方向运动时.设∠POQ＝x.弓形PRQ的面积为S.则S＝f(x)在x∈[0,2π]上的大致图象是( B )[解析]S＝f(x)＝S扇型PRQ＋S△POQ＝12(2π－x)·12＋12sin x＝π－12x＋12sin x.则f′(x)＝12(cos x－1)≤0.所以函数S＝f(x)在[0,2π]上为减函数.当x＝0和x＝2π时.分别取得最大值与最小值．又当x从0逐渐增大到π时.cos x逐渐减小.切线斜率逐渐减小.曲线越来越陡；当x从π逐渐增大到2π时.cos x逐渐增大.切线斜率逐渐增大.曲线越来越平缓.结合选项可知.B正确．。
