完全收敛性与可测函数序列几种收敛性的关系

泛函分析关于各种收敛的定义及其关系讨论1.弱收敛：设χ是一个巴拿赫空间，{}n x ⊂χ，x χ∈，称{}n x 弱收敛到x ，记做nx x ，是指：对于∀f ∈χ*都有()()lim .n n f x f x →∞=这时x 称做点列n x 的弱极限。

2.强收敛：0n x x -→()n →∞，也称为按范数收敛，x 是n x 的强极限。

强收敛与弱收敛的关系：若dim χ<∞，则弱收敛与强收敛是等价的。

命题：弱收敛若存在必唯一，强极限若存在必是弱极限。

当dim =χ∞时，弱极限存在却未必有强极限。

定理：设是一个巴拿赫空间，nx x ，则0，()01,2,,i i n λ∃≥=，11ni i λ==∑，使得01.ni ii x xλε=-≤∑既然也是一个赋范线性空间，在上自然也有两种收敛性：强收敛和弱收敛。

所谓弱收敛nf f ，是指对x χ****∀∈都有()().n n x f x f **→3.*弱收敛：设χ是巴拿赫空间，{}n f χ*⊂，f χ*∈。

称n f *弱收敛到f，记做lim n n f f ω*→∞-=，是指：对于x χ∀∈，都有()()lim n n f x f x →∞=。

这时f 称做泛函序列{}n f 的*弱极限。

*弱收敛与弱收敛的关系：由于χχ**⊂，因此χ*上的弱收敛蕴含着χ*上的*弱收敛，而且当χ是一个自反空间时，*弱收敛与弱收敛等价。

定理：设χ是巴拿赫空间，又设{}n x ⊂χ，x χ∈，则为了nx x ，必须且仅须⑴n x 有界；⑵对χ*中的一个稠密子集M *上的一切f 都有()()lim n n f x f x →∞=。

定理：设χ是一个B 空间，又设{}n f χ*⊂，{}f χ*⊂，则为了n f *弱收敛到f ，必须且仅须⑴n f 有界；⑵对χ中的一个稠密子集M 上的一切x 都有()()lim n n f x f x →∞=。

4.依测度收敛： 设{}n f 是q E R ⊂上的一列..a e 有限的可测函数列，若在E 上..a e 有限的可测函数()f x 满足下列关系：对于任意的0σ>有lim 0n x mE f f σ→∞⎡-≥⎤=⎣⎦，则称函数列{}n f 依测度收敛于f ，记为()()n f x f x ⇒。

83§3.2 可测函数的收敛性教学目的 使学生对可测函数序列的几乎处处收敛性, 依测度收敛性和几乎一致收敛性及它们的之间蕴涵关系有一个全面的了解.本节要点 本节引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性. 特别是依测度收敛是一种全新的收敛, 与熟知的处处收敛有很大的差异. Egorov 定理和Riesz 定理等揭示了这几种收敛之间的关系. Riesz 定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁.设),,(µF X 是一测度空间. 以下所有的讨论都是在这一测度空间上进行的. 先介绍几乎处处成立的概念.几乎处处成立的性质 设)(x P 是一个定义在E 上与x 有关的命题. 若 存在一个零测度集N , 使得当N x ∉时)(x P 成立(换言之, })(:{不成立x P x N ⊂), 则称P (关于测度µ)在E 上几乎处处成立. 记为)(x P a.e.−µ, 或者)(x P a.e.在上面的定义中, 若)(x P 几乎处处成立, 则集})(:{不成立x P x 包含在一个零测度集内. 若})(:{不成立x P x 是可测集, 则由测度的单调性知道.0}))(:({=不成立x P x µ 特别地, 当测度空间),,(µF X 是完备的时候如此.例1 设给定两个函数f 和g . 若存在一个零测度集N , 使得当N x ∉时),()(x g x f = 则称f 和g 几乎处处相等, 记为g f = a.e.例2 设f 为一广义实值函数. 若存在一个零测度集N, 使得当N x ∉时,+∞<f 则称f 是几乎处处有限的, 记为+∞<f , a.e.注1 设f 是几乎处处有限的可测函数, 则存在一零测度集N, 使得当N x ∉时.+∞<f 令.~c N fI f = 则f ~是处处有限的可测函数并且 a.e..~f f =因此, 在讨论几乎处处有限的可测函数的性质时, 若在一个零测度集上改变函数的值不影响该性质, 则不妨假定所讨论的函数是处处有限的.注意, f 几乎处处有限与 a.e.M f ≤是不同的概念. a.e.M f ≤表示84存在一个零测度集N , 使得f 在c N 上有界. 显然 a.e.M f ≤蕴涵f 几乎处处有限. 但反之不然. 例如, 设),10(1)(≤<=x xx f .)0(+∞=f 则f 在)1,0(上关于L 测度是几乎处处有限的, 但在)1,0(中并不存在一个L 零测度集N 和,0>M 使得在N −)1,0(上, .)(M x f ≤ 初学者常常在这里发生误解, 应当引起注意.可测函数的几种收敛性 和定义在区间上的函数列的一致收敛一样, 可以定义在任意集上的函数列的一致收敛性. 设E 是X 的子集. )1(,≥n f f n 定义在E 上的函数. 若对任意0>ε, 存在,0>N 使得当N n ≥时, 对一切E x ∈成立,)()(ε<−x f x f n 则称}{n f 在E 上一致收敛于f , 记为..un f f n →定义1 设}{n f 为一可测函数列, f 为一可测函数.(1) 若存在一个零测度集N , 使得当N x ∉时, 有)()(lim x f x f n n =∞→, 则称}{n f 几乎处处收敛于f , 记为f f n n =∞→lim a.e., 或f f n → a.e.. (2) 若对任给的0>ε, 总有.0})({lim =≥−+∞→εµf f n n则称}{n f 依测度收敛于f , 记为.f f n → µ(3) 若对任给的0>δ, 存在可测集δE , δµδ<)(E , 使得}{n f在c E δ上一致收敛于f , 则称}{n f 几乎一致收敛于f , 记为n nf lim =f a.un., 或 f f n → a..un..容易证明, 若将两个a.e.相等的函数不加区别, 则上述几种极限的极限是唯一的. 例如, 若,a.e.f f n → g f n → a.e., 则g f = a.e.. 其证明留作习题.例3 设))),,0[(),,0([m +∞+∞M 为区间),0[∞+上的Lebesgue 测度空间. 其中)),0[(+∞M 是),0[∞+上的L 可测集所成的σ-代数, m 是1R 上的L 测度在),0[∞+上的限制. 令85.1),(1)(),1(≥−=n x I x f n n n则对任意,0>x ).(0)(∞→→n x f n 当0=x 时)(x f n 不收敛于0. 但,0})0({=m 因此在),0[∞+上.0a.e. → n f 由于对,21=ε ).(,0)),[]1,0([})21({/+∞→ → +∞=+∞∪=≥n n n m f m n 因此}{n f 不依测度收敛于0. 这个例子表明在一般情况下, 几乎处处收敛不一定能推出依测度收敛.例4 设)]),1,0[(],1,0[(m M 是]1,0[上的Lebesgue 测度空间. 令.1,)(≥=n x x f n n则对任意0>δ, }{n f 在]1,0[δ−上一致收敛于0.由于δδ=−])1,1((m 可以任意小, 因此0a..un. → n f . 又显然.0a.e. → n f例5 设)]),1,0[(],1,0[(m M 是]1,0[上的Lebesgue 测度空间. 令.1,,,1,1[≥=−=n n i ni n i A i n L 将}{i n A 先按照n 后按照i 的顺序重新编号记为}{n E . 显然.0)(→n E m 令)()(x I x f n E n =, 1≥n ,.0)(=x f对任意0>ε, 由于.,0)(})({∞→→=≥−n E m f f m n n ε故}{n f 依测度收敛于f . 但}{n f 在]1,0[上处处不收敛. 事实上, 对任意]1,0[0∈x , 必有无穷多个n E 包含0x , 也有无穷多个n E 不包含0x . 故有无穷多个n 使得,1)(0=x f n 又有无穷多个n 使得.0)(0=x f n 因此}{n f 在0x 不收敛. 这个例子表明依测度收敛不能推出几乎处处收敛. 例3和例4表明, 依测度收敛和几乎处处收敛所包含的信息可能相差很大.几种收敛性之间的关系 为叙述简单计, 以下我们设所讨论的函数都是实值可测函数. 但以下结果对几乎处处有限的可测函数也是成立的由(见注1的说明).引理2 设+∞<)(X µ. 若.a.e.f f n → 则对任意0>ε有86.0)}{(lim =≥−∞=∞→U n i i n f f εµ 证明 设0>ε是一给定的正数. 任取X x ∈, 若对任意,1≥n 存在,n i ≥ 使得.)()(ε≥−x f x f i 则)()(x f x f n 不收敛于. 这表明IU ∞=∞=≥−1}{n n i i f fε)}.()(:{/x f x f x n → ⊂由于,a.e.f f n → 因此由上式知道.0}{1=≥−∞=∞=IU n n i i f f εµ 由于+∞<)(X µ, 由测度的上连续性, 我们有0}{}{lim 1=≥−= ≥−∞=∞=∞=∞→IU U n n i i n i i n f f f f εµεµ. ■ 容易证明, 若,a..un.f f n → 则f f n → a.e.(其证明留作习题). 下面的定理表明当+∞<)(X µ时, 其逆也成立.定理3 (叶戈洛夫)若+∞<)(X µ, 则f f n → a.e.蕴涵.a..un.f f n →证明 设+∞<)(X µ, .a.e.f f n → 由引理2 , 对任意0>ε, 有.0}{lim =≥−∞=∞→U n i i n f f εµ 于是对任意的0>δ和自然数1≥k , 存在自然数k n 使得.2}1{k n i i k k f f δµ< ≥−∞=U 令.}1{1U U ∞=∞=≥−=k n i i kk f f E δ 由测度的次可数可加性我们有 .2}1{)(11δδµµδ=≤ ≥−≤∑∑∞=∞=∞=k k k n i i k k f f E U 往证在c E δ上, }{n f 一致收敛于f . 事实上, 由De Morgan 公式得87.1,}1{}1{1≥<−⊂<−=∞=∞=∞=k k f f k f f E kk n i i k n i i c I I I δ (1) 对任意0>ε, 取k 足够大使得.1ε<k则由(1)式知道, 当k n i ≥时对一切c E x δ∈, 有.1)()(ε<<−kx f x f i 即在c E δ上}{n f 一致收敛于f . 这就证明了f f n → a..un.. 定理证毕. 注 2 在叶戈洛夫定理中, 条件+∞<)(X µ不能去掉. 例如, 若令),()(),[x I x f n n +∞= .1≥n 则}{n f 在1R 上处处收敛于0. 但容易知道}{n f 不是几乎一致收敛于0.定理4 若+∞<)(X µ, 则f f n → a.e.蕴涵.f f n → µ证明 设+∞<)(X µ, .a.e.f f n → . 由引理2 , 对任意0>ε有.0}{lim =≥−∞=∞→U n i i n f f εµ 由测度的单调性立即得到()≤≥−∞→}{lim εµf f n n .0}{lim =≥−∞=∞→U n i i n f f εµ 即.f f n → µ ■ 本节例3表明, 在定理4中, 条件+∞<)(X µ不能去掉.定理5 (Riesz)若,f f n → µ 则存在}{n f 的子列}{k n f , 使得.a.e.f f k n →证明 设.f f n → µ 对任意0>ε和0>δ, 存在1≥N , 使得当Nn ≥时, 有δεµ<≥−})({f f n .于是对任意自然数1≥k , 存在自然数k n , 使得.21})1({k n k f f k <≥−µ (2)88我们可适当选取k n 使得L ,2,1,1=<+k n n k k . 往证.a.e.f f k n → 令L I ,2,1,}1{=<−=∞=i k f f E ik n i k . 对任意i E x ∈, 当i k ≥时, .1)()(kx f x f k n <− 这表明}{k n f 在i E 上收敛于f . 令.1U ∞==i i E E 则}{k n f 在E 上收敛于f . 往证.0)(=c E µ 由De Morgan 公式, 我们有.}1{11I IU ∞=∞=∞=≥−==i i i k n c i c k f f E E k 利用(2)容易得到.1)(1≤c E µ 因此由测度的上连续性并且利用(2), 我们有.021lim })1({lim }1{lim )(=≤≥−≤ ≥−=∑∑∞=∞→∞=∞→∞=∞→i k k i ik n i ik n i ck f f k f f E k k µµµU 这就证明了.a.e.f f k n → ■定理6 设+∞<)(X µ. 则f f n → µ当且仅当}{n f 的任一子列}{k n f 都存在其子列}{k n f ′, 使得).(a.e.∞→′ → ′k f f k n证明 必要性(此时不需设+∞<)(X µ). 设.f f n → µ 显然}{n f 的任一子列}{k n f 也依测度收敛于 f. 由定理 5 , 存在}{k n f 的子列}{k n f ′, 使得).(a.e.∞→′ → ′k f f k n充分性. 用反证法. 若}{n f 不依测度收敛于f , 则存在,0>ε 使得.0}({/ → ≥−εµf f n 于是存在0>δ和}{n f 的子列}{kn f , 使得 .})({δεµ≥≥−f f kn 由此知}{k n f 的任何子列}{k n f ′都不能依测度收敛于f . 由定理4, }{k n f ′也不89能a.e.收敛于f . 这与定理所设的条件矛盾. 故必有.f f n → µ ■定理5和定理6给出了依测度收敛和几乎处处收敛的联系. 利用这种联系, 常常可以把依测度收敛的问题转化为几乎处处的问题. 而几乎处处收敛是比较容易处理的.例 6 设)1(,,,≥n g f g f n n 是有限测度空间),,(µF X 上的几乎处处有限的可测函数, ,f f n → µ .g g n → µ 又设h 是2R 上的连续函数. 则).,(),(.g f h g f h n n → µ特别地, .fg g f n n → µ证明 不妨设)1(,,,≥n g f g f n n 都是处处有限的. 设),(k k n n g f h 是),(n n g f h 的任一子列. 由定理6, 存在}{k n f 的子列}{k n f ′使得).(a.e.∞→′ → ′k f f k n 同理存在}{k n g ′的子列, 不妨仍记为}{k n g ′, 使得).(a.e.∞→′ → ′k g g k n 既然h 是连续的, 因此有).,(),( a.e.g f h g f h k k n n → ′′这表明),(n n g f h 的任一子列),(k k n n g f h , 都存在其子列),(k k n n g f h ′′使得).,(),( a.e.g f h g f h k k n n → ′′ 再次应用定理6, 知道).,(),(.g f h g f h n n → µ 特别地, 若取,),(xy y x h = 则得到.fg g f n n → µ ■小结 本节介绍了几乎处处收敛, 依测度收敛和几乎一致收敛, 它们是伴随测度的建立而产生的新的收敛性.几种收敛性之间有一些蕴涵关系. 其中最重要的是Egorov 定理和Riesz 定理.利用Riesz 定理,可以把较难处理的依测度收敛的问题化为几乎处处收敛的问题.习题 习题三, 第18题—第28题.。

函数列的几种收敛性王佩（西北师范大学数学与信息科学学院甘肃兰州730070）摘要: 讨论和总结函数列的收敛、一致收敛、处处收敛，几乎处处收敛、几乎处处一致收敛、依测度收敛、近乎收敛、近乎一致收敛、强收敛及其它们之间的关系和相关命题.关键词：函数列；收敛；Several kinds of convergence for the sequence of funcationsWang pei(College of Mathematics and Information Science,Northwest Normal University,Lanzhou730070,China)Abstract:This article discusses and summarizes the relationship between the convergence, uniform convergence,everywhere convergence,almost everywhere convergence,almost everywhere uniform convergence,convergence in measure,nearly convergence,nearly uniform convergence and strong convergence for the sequence of funcations.Key words: the sequence of funcations; convergence;一、几种收敛的定义1、收敛的定义定义1：设{}n a为数列，a为定数.若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时有ε<-ana,则称数列{}n a收敛于a，定数a称为数列{}n a的极限，并记作limn→∞an=a,或()∞→→naan.定义2：设f为定义在[)+∞,a上的函数，A为定数.若对任给的ε>0，存在正数M（≥a），使得当x>M时有 |f(x)-A|<ε,则称函数f当x趋于+ ∞时以A 为极限，记作limx→∞f(x)=A或f(x)→A(x→+ ∞).用c.表示.2、一致收敛的定义设函数列{fn(x)}与函数f(x)定义在同一数集E上，若对任意的ε>0,总存在自然数N，使得当n>N时，对一切x∈E都有| fn(x)- f(x)|<ε,则称函数列{fn (x)}在E上一致收敛于f(x)，记作fn(x)→ f(x)，（n→∞）x∈E.用u.c.表示.3、几乎处处收敛的定义设函数列{fn (x)}与函数f(x)定义在同一可测集E上，若函数列{fn(x)}在E上满足mE（fn (x)→ f(x)）=0，（其中“→”表示不收敛于），则称{fn(x)}在E上几乎处处收敛于f(x)，记作limn→∞ fn(x)= f(x)a.e.于E，或fn→fa.e.于E.用a.c.表示.4、几乎处处一致收敛设函数列{fn (x)}与函数f(x)定义在同一可测集E上，若函数列{fn(x)}在E上满足mE（fn (x)−→−uc f(x)）=0，（其中“−→−uc”表示不一致收敛于），则称{fn (x)}在E上几乎处处一致收敛于f(x)，记作limn→∞fn(x)= f(x)a.e.于E，或fn−→−uc f a.e.于E.用a.u.c.表示.5、依测度收敛设函数列{fn(x)}是可测集E上一列a.e.有限的可测函数，若有E上一列a.e.有限的可测函数f(x)满足下列关系：对任意σ>0有limnmE [|f n-f|≥σ]=0，则称函数列{f n}依测度收敛于f,或度量收敛于f记为：fn(x)⇒ f(x).6、近乎收敛若νδ>0,∃ Eσ⊂E,使得m Eσ< δ,且f n(x)−→−c f(x) (在E- Eσ上)，则称函数列{fn (x)}在E上近乎收敛于函数f(x)，记为fn(x)−→−c n. f(x)或简记为fn−→−c n. f.用n.c.表示.7、近乎一致收敛若νδ>0,∃ Eσ⊂E,使得m Eσ< δ,，且f n(x)−→−c u. f(x)在E- Eσ上），则称函数列{fn (x)}在E上近乎一致于函数f(x)，记为fn(x)−−→−c u n.. f(x)或f n−−→−c u n.. f.用n.u.c.表示.8、强收敛设fn (x)，f(x)属于L p,若fn(x)，f(x)得距离)()(f xfxn-敛于0（当n→+ ∞）,则称fn (x)强收敛于f(x),简记为：fn−→−强 f.二、几中收敛的关系1 一致收敛与处处收敛、几乎处处收敛的关系若{fn(x)}在E上一致收敛，则在E上逐点收敛，即处处收敛，处处收敛一定几乎处处收敛.但几乎处处收敛不一定处处收敛，处处收敛也不一定一致收敛.2 处处收敛、几乎处处收敛与依测度收敛的关系2.1依测度收敛不论是在有限可测集上，还是在一般可测集上，即“从整体上”推不出几乎处处收敛.例1 依测度收敛而处处不收敛的函数.取E=(]1,0,将E等分，定义两个函数：f（1）1(x)=⎧⎨⎩⎥⎦⎤⎝⎛∈⎥⎦⎤⎝⎛∈1,21x,0,21,01x，f（1）2(x)=⎧⎨⎩.1,21,1,21,0x⎥⎦⎤⎝⎛∈⎥⎦⎤⎝⎛∈x，然后将(]10，四等分、八等分等等.一般地，对每个n,作2n个函数：f（n）j (x)=⎧⎨⎩.2,21,0,2,21x1⎥⎦⎤⎝⎛-∉⎥⎦⎤⎝⎛-∈nnnnjjxjj，j=1,2,…,2n.把{ f（n）j，j=1,2,…,2n.}先按n后按j的顺序逐个地排成一列：f（1）1(x)，f（1）2(x)，…，f（n）1(x)，f（n）2(x)，…，f（n）2n(x), (1)f（n）j(x)在这个序列中是第N=2n-2+j个函数.可以证明这个序列是依测度收敛于零的.这是因为对任何σ>0,E[|f（n）j -0|≥σ]或是空集（当σ＞1），或是⎥⎦⎤⎝⎛-nnj2,21j（当0<σ≤1），所以m(E[|f（n）j -0|≥σ])≤n21(当σ＞1时，左端为0).于是当N=2n-2+j（j=1,2,…,2n）趋于∞时，n→∞.由此可见lim N→∞ m(E[|f（n）j-0|≥σ])=0,即f（n）j(x)⇒0.但是函数列（1）在(]1,0上的任何一点都不收敛.事实上，对任何点x0∈(]1,0,无论n多么大，总存在j,使x0∈⎥⎦⎤⎝⎛-nnj2,21j,因而f（n）j (x)=1，然而f（n）j+1(x)=0或f（n）j-1(x)=0，换言之，对任何x0∈(]1,0，在{f（n）j (x)}中必有两子列，一个恒为1，另一个恒为零，所以序列（1）在(]1,0上任何点都是发散的.2．2反过来，一个a.e，收敛的函数列也可以不是依测度收敛的.例2 取E=(0,+∞),作函数列：f（n）(x)=⎧⎨⎩(](),,,0,0x1+∞∈∈nxn，n=1,2,….显然fn (x)→1(n→+∞),当x∈E.但是当0<σ<1时，E[|fn-1|≥σ]=（n, +∞),且m(n, +∞)=∞.这说明{ fn}不依测度收敛于1.2.3尽管两种收敛区别很大，一种收敛不能包含另一种收敛，但是下列定理反映出它们还是有密切联系的.定理1（黎斯F.Riesz）设在E上{fn }测度收敛于f,则存在子列{ fni}在E上a.e.收敛于f.定理2(勒贝格Lebesgue) 设（1） mE<∞;（2） {fn}是E上a.e.有限的可测函数列；（3） {fn }在E上a.e.收敛于a.e.有限的函数f,则 fn（x）⇒f(x).定理3设fn（x）⇒f(x)， f n（x）⇒g（x）,则f(x)=g(x)在E上几乎处处成立.3 几乎处处收敛与近一致收敛3.1 在有限可测集上，几乎处处收敛一定近一致收敛叶果洛夫（Eτopob ）定理：设mE<+∞,f和f1,f2,…,fn,…都是E上几乎处处有限的可测函数，若limn→∞f n(x)=f(x)，a.e.于E，则对任何σ>0,存在可测集Eσ⊂E,使得m Eσ<σ,且在E-Eσ上{ f n(x)}一致收敛于f(x).3.2 在一般可测集上（mE=+∞），几乎处处收敛不一定近一致收敛Eτopob定理中mE<+∞的条件不可少.例如考虑可测函数例fn (x)=Χ(0,n)(x),n=1,2,…, x∈(0, ∞).它在(0, ∞)上处处收敛于f(x)≡1,但在(0, ∞)中的任一个有限测度集外均不一致收敛于f(x)≡1.又如取E= (0,+ ∞)，则mE=+∞，作E上函数列：fn (x)=⎧⎨⎩[)().,,0;,0x1+∞∈∈nxn，n=1,2,…, limn→∞fn(x)= f(x)≡1 (0<x<∞)取δ=1, 则对任何可测集Eδ⊂E，若m Eδ<δ=1，故m(E-Eδ)= ∞,于是集E-Eδ无界.取ε=1/2,对任意N存在n=N+1和x0>N+1,且x∈E-Eδ时，| fn(x)-f(x0)|=|0-1|>ε.所以在E-Eδ上{ fn(x)}不一致收敛于f(x).3.3 不论在有限还是一般可测集上，近一致收敛一定几乎处处收敛叶果洛夫（Eτopob ）定理的逆定理成立可说明这一结论.设可测集E上可测函数列fn (x) 近一致收敛于f(x)，则fn(x)几乎处处收敛于f(x).4 近一致收敛与依测度收敛4.1 无论是在有限还是一般可测集上，近一致收敛一定依测度收敛设f和f1,f2,…,fn,…都是E上几乎处处有限的可测函数，若{ fn(x)}在E上近一致收敛于f(x)，则fn(x)⇒ f(x).证明由条件对任意δ>0及σ>0,存在N=N(σ,δ)及E的可测子集Eδ，且m Eδ=δ,当n≥N时，对一切x∈E-Eδ，| fn(x)- f(x)|<σ，因此，对任意x 0∈E-Eδ，x∈()()∞=<-NnxfxfEn,σE-Eδ()∞=<-⊂NnnfxfE.x)(σ于是对任何x∈E- ∞=<-NnffEnσ= ∞=≥-NnnffEσ,必有x∈Eδ,即∞=≥-Nn nf fE σ⊂E δ综上所述，对δ>0，σ>0，存在N=N(σ,δ)，当n ≥N 时，m( ∞=≥-Nn n f f E σ)≤m E δ<δ,从而mE[|f n -f|≥σ]<δ.由依测度收敛的定义可知，f n (x)⇒ f(x). 4.2 不论在有限可测集还是一般可测集上，依测度收敛不一定近一致收敛，但必有子列近一致收敛.依测度收敛但不几乎处处收敛的例子同时也说明依测度收敛不一定近一致收敛.5 几乎处处收敛与强收敛5.1几乎处处收敛不一定强收敛例 f n (x) =⎧⎨⎩.110,0,10,n ≤≤=<<x n x n x 及，显然在[]1,0上f n 处处收敛于f=0,然而并不强收敛于f.事实上f n -f ={dx n n ⎰12}21=n →∞（n →∞）. 5.2 强收敛不一定几乎处处收敛例 )(f k i = ⎧⎨⎩.,1,0,,1,1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∉⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈k i k i x k i k i x令Φn (x)= )(f k i,Φ(x)=0.则：()()x x n φφ-={()⎰1x n φ}21=k1→0(n →∞),Φn (x)−→−强 Φ(x),而Φn (x)在任一点都不收敛.6 依测度收敛与强收敛6.1强收敛一定依测度收敛可证明，对任何ε>0,设E n (ε)=E{x:|f n (x)-f(x)|≥0},),(|)()(|)(|)()(f|22εεεn n n nmE dx x f x f E dx x f x E ≥-≥-⎰⎰f n →f,∴mE n (ε)→0,即f n (x)⇒f(x). 6.2 依测度收敛不一定强收敛例 E=[]10，，在E 上作函数列如下： f 1(1)(x)=1 x ∈[)10，, f 1(2)(x)= ⎧⎨⎩01 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,2121,0x x … f i (k)(x)= ⎧⎨⎩01[)⎪⎭⎫⎢⎣⎡--∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈k i k i x k i k i ,11,0,1x (i=1,2…,k) 上述的函数列记为Φ1（x ）, Φ2（x ）, Φ3（x ）,…, Φn （x ）,…,可证Φn （x ）⇒Φ（x ）≡0，但却处处不收敛于Φ（x ）.证明 若ε>1, E n (ε)为空集，显然lim n →∞E n (ε)=0；若0<ε≤1,则E n (ε)=E{x:| Φn （x ）-Φ（x ）|≥ε}=⎪⎭⎫⎢⎣⎡k i k ,1-i ,所以mE{x:| Φn （x ）-Φ（x ）|≥ε}=k1，于是当n →∞,显然k →∞.故lim n →∞E n (ε)=0，从而Φn （x ）⇒Φ（x ），而对任x 0∈[)10，,Φn （x 0）中总有无穷个1，无穷个0，即{Φn （x ）}处处不收敛.三、相关命题及证明命题1 f n ..a c E −−→ f ⇔ f n ..n c E−−→ f 证明 “⇒” 由定义立得“⇐” 设f n ..n c E−−→ f ，则∀K ，∃E k ⊂E,使得m E k <k1,且 f n .kc E E -−−−→f 记 E 0= ∞=1k k E ，则m E 0=0,E- E 0= ∞=-1)(k k E E∴ f n .kc E E -−−−→f 且m E 0=0 即f n ..a c E −−→ f 证毕命题 2 f n ...n u c E −−−→f ⇔f n ..n c E−−→f 证明 “⇒” 由定义立得“⇐” 设f n ..n c E −−→f ，则由命题1知 f n ..a c E−−→ f 而 m E<∞,故由叶果洛夫定理有 f n ...n u c E−−−→ f 证毕命题 3 若f n ...n u c E−−−→f ，则f n ⇒f命题 4 若f n ⇒f ，则∃{k n f }⊂{f n }，使得k n f ...n u c E−−−→f (k →∞) 证明 任取定{εk }→0,{δk }→0,且∑∞=1k k δ<∞，则由“⇒” 的定义知：可取定 n 1>N(ε1, δk )，使得 m E(|1f n -f|≥ε1)< δ12n > n 1, 2n > N(ε2, δ2), 使得 m E(|1f n -f|≥ε2)< δ2… … …∀ δ>0,由∑∞=1k k δ<∞知，∃K 1，使得∑∞=1k k δ<δ记 E δ=)|(|1k k k n f f E k ε≥-∞= 则 m E δ<δ又∀ δ>0，由{εk }→0，知∃K 2，使得εk 2<ε,于是当k ≥k 0=max{k 1,k 2},且x ∈(E- E δ)时，有 |k n f （x ）-f(x)|< εk <ε∴k n f （x ）..u c E Eδ-−−−→f (k →∞) 且m E δ<δ 即 k n f ...n u c E−−−→f (k →∞) 证毕命题 5 f n ⇒f ⇔ {k n f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{k n f }，使得1f k n ⇒f （i →∞）证明∀ σ>0,记a n=m E(|f n -f|≥σ) (n=1,2,…)∀ δ>0, f n ⇒f,则由“⇒”的定义有 lim n →∞a n =lim n →∞m E(|f n -f|≥σ)=0故∀ {k n a }⊂{a n },∃ {i n a }⊂{k n a },使得 lim n →∞k n a =0即∀{kn f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{kn f }，使得lim n →∞m E （|1f k n -f|≥σ）=0 亦即1f k n ⇒f （i →∞）“⇐” 设∀{k n f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{k n f }，使得lim i →∞i n a =lim i →∞m E （|1f k n -f|≥σ）=0∴ lim n →∞a n =0 即 lim n →∞m E(|f n -f|≥σ)=0亦即 f n ⇒f 证毕命题 6 ∀{k n f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{k n f }，使得1f k n ⇒f （i →∞）则有{k n f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{k n f }，使得1f k n ...n u c E−−−→f （i →∞） 证明“⇒”设∀{k n f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{k n f }，使得1f k n ⇒f （i →∞）则由命题4知：{1f k n }⊂{k n f }，使得 1f k n ...n u c E−−−→f （i →∞） 综上所述，结论成立.“⇐” 设∀{k n f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{k n f }，使得1f k n ...n u c E−−−→f （i →∞） 则由命题3知： 1f k n ⇒f （i →∞）综上述，结论成立.命题7 若∀{k n f }⊂{f n }，∃{k n f }⊂{f n }，使得 1f k n ...n u c E−−−→f （i →∞） 则∃{m n f }⊂{f n }，使得m n f ...n u c E−−−→f （m →∞）命题8 若∀{k n f }⊂{f n }，∃{k n f }⊂{f n }，使得1f k n ..a c E−−→ f （i →∞） 则∃{m n f }⊂{f n }，使得m n f ..a c E−−→ f （m →∞）. 命题7和命题8的结论是容易证明的，不再叙述.命题9 若f n ..n c E −−→f,则∃{k n f }⊂{f n }，使得k n f ..a c E−−→f(k →∞）命题10 ∃{k n f }⊂{f n }，使得k n f ...n u c E−−−→f （k →∞）⇔{k n f }⊂{f n }，使得k n f ..a c E−−→ f （k →∞）命题11∀{k n f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{k n f }，使得 1f k n ...n u c E−−−→f （i →∞） ⇔ {kn f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{kn f }，使得 1f k n ..a c E−−→ f （i →∞）. 由命题1和命题2可立得命题9、命题10和命题11的结论.经上所述可测函数各种收敛性的关系的关系图如下：从上图清楚你地看出，一致连续这个条件最强，所得到的结果也最多.参考文献[1] 程其襄等. 实变函数与泛函分析基础[M]. 北京：高等教育出版社，2003. [2] 周明强. 实便函数论[M]. 北京：北京大学出版社，2007. [3] 薛昌兴. 实变函数与泛函分析（上册）[M]. 北京：高等教育出版社，1993. [4] 华东师范大学数学系. 数学分析（上册）[M]. 北京：高等教育出版社,2001. [5] 赵焕光. 实变函数[M]. 成都：四川大学出版社,2004.。

可测函数列的几种收敛性关系段胜忠;杨国翠【摘要】对可测函数列的几种收敛性的定义和性质进行归纳和总结,讨论他们之间的关系,并给出相应的证明,从而使各种收敛之间的关系更加明了.【期刊名称】《保山学院学报》【年(卷),期】2014(033)005【总页数】3页(P12-14)【关键词】可测函数列;一致收敛;几乎处处收敛;依测度收敛;强收敛;弱收敛【作者】段胜忠;杨国翠【作者单位】保山学院数学学院,云南保山678000;保山学院数学学院,云南保山678000【正文语种】中文【中图分类】O13可测函数列的一致收敛、几乎处处收敛、依测度收敛、强收敛、弱收敛是经典实变函数和泛函分析理论中几种重要的收敛关系。

本文的目的在于对可测函数列的几种收敛性的相互关系给出总结和证明，从而为偏微分方程研究中所使用的弱收敛方法提供理论依据。

定义1.1设fn(x)(n=1,2,3…)，f(x)均为定义在可测集Ω上的几乎处处有限的可测函数，若满足，则称{fn(x)}在Ω上一致收敛于f(x)，记为定义1.2设{fn(x)}是定义在可测集Ω上的一列可测函数，若存在Ω中的点集E，满足m(E)，∀x∈Ω\E，则称{fn(x)}在Ω上几乎处处收敛于f(x)，记为fn(x)→f(x),a.e.于Ω。

定义1.3设{fn(x)}是定义在可测集Ω上的一列可测函数，若∀σ＞0有0，则称函数列{fn(x)}在Ω上依测度收敛于f(x)，记为fn(x)⇒f(x)。

定义1.4设fn(n=1，2，3…)，f∈Lp(Ω)，若当n→∞时，有||fn-f||→0，则称fn强收敛于f，记为定义1.5设fn(n=1,2,3…)，f∈Lp(Ω)，若对每一个g∈Lq(Ω)（q为p的共轭数），当n→∞时，有则称fn弱收敛于f，记为fn(x)（1）一致收敛与几乎处处收敛的关系若函数列fn(x)一致收敛于f(x)，则几乎处处收敛于f(x)。

逆命题一般不成立。

例如函数列fn(x)=xn(n=1,2,3…)在Ω=［0,1］上几乎处处收敛于零,但并不一致收敛于零。

可测函数列常见的几种收敛摘 要：本文介绍了可测函数列常见的几种收敛：一致收敛、几乎一致收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等以及它们之间的关系．关键字：可测函数列；一致收敛；几乎一致收敛；几乎处处收敛；依测度收敛前言在数学分析中我们知道一致收敛是函数列很重要的性质，比如它能保证函数列的极限过程和(R)积分过程可交换次序等．可是一般而言函数列的一致收敛性是不方便证明的，而且有些函数列在其收敛域内也不一定是一致收敛的，如文中所给的例2函数()f x 在收敛域[0,1]内不一致收敛，但对于一个0δ>当0δ→时在[0,]δ内一致收敛，这不见说明了一致收敛的特殊性，也验证了我们平时常说的“矛盾的同一性和矛盾的斗争性是相了解的、相辅相成的”[1]1 可测函数列几种收敛的定义1.1 一致收敛[3]设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是定义在点集E 上的实值函数．若对于0,ε∀>存在,K N +∈使得对于,k K x E ∀≥∀∈都有()()k f x f x ε-<则称}{()k f x 在E 上一致收敛到()f x ．记作： u k f f −−→(其中u 表示一致uniform)．1.2 点点收敛若函数列12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 在点集D E ⊂上每一点都收敛，则称它在D 上点点收敛．例1 定义在[0,1]E =上的函数列1(),1k f x kx =+则()k f x 在E 上点点收敛到函数 1,0,()0,0 1.x f x x =⎧=⎨<≤⎩而且还能看出{()}k f x 在[]0,1上不一致收敛到()f x ，但对于0,{()}k f x δ∀>在[,1]δ上一致收敛到()f x ．1.3 几乎一致收敛[3]设E 是可测集，若0,,E E δδ∀>∃⊂使得(\),m E E δδ<在E δ上有u k f f−−→则称{()}k f x 在E 上几乎一致收敛与()f x ，并记作...a u k f f −−→(其中a.u ．表示几乎一致almost uniform) ．例2 定义在[]0,1E =上的函数()k k f x x =在[]0,1上收敛却不一致收敛．但是只要从[]0,1的右端点去掉任一小的一段使之成为[]()0,10,0δδδ->→则{()}k f x 在此区间上就一致收敛，像这样的收敛我们就可以称之为在[]0,1E =上几乎一致收敛与0．1.4 几乎处处收敛[3]设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是定义在点集n E R ⊂上的广义实值函数．若存在E 中点集Z ，有()0,m Z =及对于每一个元素\x E Z ∈，有lim ()()k x f x f x →∞= 则称{()}k f x 在E 上几乎处处收敛与()f x ，并简记为,.[]k f f a e E →或..a e k f f −−→若上文的例1也可以称之为在[]0,1上几乎处处收敛与()f x ．1.5 依测度收敛例3在[0,1)上构造函数列{()}k f x 如下：对于k N +∈，存在唯一的自然数i 和j ，使得2,i k j =+其中02,i j ≤≤令1[,)22()(),1,2,,[0,1).i i k j j f x x k x χ+==∈任意给定的0[0,1),x ∈对于每一个自然数i ，有且仅有一个j ，使得01[,)22i i j j x +∈．数列0{()}f x 中有无穷多项为1，有无穷多项为0．由此可知，函数列{()}k f x 在[0,1)上点点不收敛．因此仅考虑点收敛将得不到任何信息．然而仔细观察数列0{()}k f x 虽然有无穷多个1出现，但是在“频率”意义下，0却也大量出现．这一事实可以用点集测度语言来刻画．只要k 足够大，对于01,ε<≤点集{[0,1)()0}{[0,1)()1}1[,)22k k i i x f x x f x j j ε∈-≥=∈=+= 的测度非常小．事实上 1({[0,1)()0})2k i m x f x ε∈-≥=． 这样对于任给的0,δ>总可以取到0,k 也就是取到0,i 使得当0k k >时，有({[0,1)()0})1k m x f x εδ∈-<>-其中02i δ-<．这个不等式说明，对于充分大的h ，出现0的“频率”接近1．我们将把这样一种现象称为函数列{()}k f x 在区间[0,1)上依测度收敛到零函数，并将抽象出以下定义[3]：设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是可测集E 上几乎处处有限的可测函数．若对于任意给定的0,ε>有lim (())0,k x m E f f ε→∞->= 则称{()}k f x 在E 上依测度收敛到函数()f x ，记为.m k f f −−→2 可测函数列几种收敛的关系2.1 点点收敛与一致收敛的关系由上述定义我们可以知道u k f f −−→，必有{()}k f x 点点收敛于()f x ．如例1． 反之则不一定成立，如例2．而且还可以得到若{()}k f x 是可测集E 上的可测函数列，则()f x 也是可测函数．2.2 几乎处处收敛与一致收敛的关系由定义可知有一致收敛必几乎处处收敛....()a u a e k k f f f f −−→⇒−−→．反之则不然，如例2．而且还可以得到若{()}k f x 是可测集E 上的可测函数列，则极限函数()f x 也是可测函数．应用：从数学分析我们知道一致收敛的函数列对于求极限运算和(R)积分运算、微分运算与(R)积分运算等可以交换次序．2.3 几乎处处收敛与一致收敛的关系叶果洛夫(E ΓopoB )定理[5]：设(),{}n m E f <∞是E 上一列 a.e ．收敛于一个a.e ．有限的函数f 的可测函数，则对于任意的0δ>，存在子集E E δ⊂，使{}n f 在E δ上一致收敛，且(\)m E E δδ<．注 定理中“()m E <∞”不可去掉如：例4定义在(0,)E =+∞的函数列1,(0,]()(1,2,).0,(,)m x m x m x m f ∈⎧==⎨∈+∞⎩则m f 在(0,)+∞上处处收敛于1，但对于任何正数δ及任何可测集E δ，当时(\)m E E δδ<时，m f 在E δ上不一致收敛于1．这是因为，当时(\)m E E δδ<时，E δ不能全部含于(0,]m 中，必有(,)m E m x δ∈+∞，于是有()0m m x f =．sup ()1()11m m m x E f x f x δ∈-≥-=所以()m x f 在E δ上不一致收敛与1，也即定理中“()m E <∞”不可去掉[4]．由定义我们知道一致收敛必是几乎处处收敛的，反之则不成立．但它们又有密切的关系，即使上述定理告诉我们几乎处处收敛“基本上”是一致收敛的(在除去一个测度为任意小集合的子集上)．应用 由上述定理我们还可以得到“鲁津定理”：设()f x 是E 上 a.e ．有限的可测函数，则对于任意的0δ>，存在闭子集E F δ⊂，使()f x 在F δ上是连续函数，且(\)m E F δδ<．也就是说：在E 上a.e ．有限的可测函数“基本上”是连续的(在除去一个测度为任意小集合的子集上)．也即我们可以用连续函数来逼近a.e ．有限的可测函数．2.4几乎处处收敛与依测度收敛的关系例5 取(0,1]E =，将E 等分，定义两个函数：(1)111,(0,]2()10,(,1]2x x x f ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩， (1)210,(0,]2()11,(,1]2x x x f ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩． 然后将(0,1]四等分、八等分等等．一般的，对于每个n ，作2n 个函数：()11,(,]22()1,2,,2.10,(,]22n n n n j n j j x x j j j x f -⎧∈⎪⎪==⎨-⎪∉⎪⎩．我们把(),1,2,,2{}n j x j f =，先n 按后按j 的顺序逐个的排成一列：(1)(1)()()()12122(),(),,(),(),,(),n n n n x f x f x f x f x f (1)()()n j x f 在这个序列中是第22n j N -+=个函数．可以证明这个函数列是依测度收敛于零的．这是因为对于任何的0σ>，()0[]n j f E σ-≥或是空集(当1σ>)，或是1,22(]n nj j - (当01σ<≤)，所以 ()102([])n j n f m E σ-≥≤ (当时1σ>时，左端为0)．由于当2(1,2,,2.)2n n j j N -+==趋于∞时n →∞，由此可见()([0])0lim n j N m E f σ→∞-≥=， 也即()()0m n j x f −−→．但是函数列(1)在上的任何一点都不收敛．事实上，对于任何点0(0,1]x ∈，无论n多么大，总存在j ，使01(,]22n n j j x -∈，因而()0()1n j x f =，然而()10()0n j x f +=或()10()0n j x f -=，换言之，对于任何0(0,1]x ∈，在()0(){}n j x f 中必有两子列，一个恒为1，另一个恒为0．所以序列(1)在(0,1]上任何点都是发散的．这也就说明依测度收敛的函数列不一定处处收敛，也就是说依测度收敛不能包含几乎处处收敛，但仍有：黎斯(F ．Riesz) [5] 设在E 上{}n f 测度收敛于f ，则存在子列{}i n f 在E 上a.e ．收敛于f ．例6 如例4，当()1()m x n f →→∞当x E ∈．但是当01σ<<时，1[](,)m f E m σ-≥=+∞且(,)m m +∞=∞．这说明}{n f 不依测度收敛于1．这个例子又说明了几乎处处收敛也不包含依测度收敛，但是有下述关系： 勒贝格(Lebesgue) [5] 设mE <∞，{}n f 是E 上a.e ．有限的可测函数列， {}n f 在E 上a.e ．收敛于a.e ．有限的函数f ，则()()m n x f x f −−→．此定理中的“mE <∞”不可去掉，原因参看例1．定理也说明在的在的条件mE <∞下，依测度收敛弱于几乎处处收敛．有以上定理黎斯又给出了一个用几乎处处收敛来判断依测度收敛的充要条件：设mE <∞，{}n f 是E 上的可测函数列，那么{}n f 依测度收敛于f 的充要条件是：{}n f 的任何子列{}k n f 中必可找到一个几乎处处收敛于f 的子序列．证明（必要性） 由于{}n f 依测度收敛于f ，由定义知道这时{}n f 的的任何子序列{}k n f 必也依测度收敛于f ，由黎斯定理可知{}k n f 中必存在几乎处处收敛于f 的子序列．（充分性） 如果{}n f 不依测度收敛于f ，即存在一个0σ>，使得()n f f m E σ-≥不趋于0．因此必有子序列{}k n f ，使得(())0.lim kn k m E f f a σ→∞-≥=> 这样{}k n f 就不可能再有子序列几乎处处收敛于f 了，否则由勒贝格定理知将有{}kn f 依测度收敛于f ，即 (())0.lim kn k m E f f σ→∞-≥= 这与上式矛盾，所以{}n f 依测度收敛于f ．应用 依测度收敛在概率统计中有重要的意义，如例3；它也是证明中心极限定理的重要依据，由中心极限定理我们可以知道用一个正态分布来模拟一个样本容量较大的样本的概率分布， 从而简化了大样本概率分布的处理和计算[7]． 结束语：上述定义中的各种收敛的极限函数都是唯一的，而且从本文还可以知道一致收敛是最强的收敛，它蕴含了点点收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等上述几种收敛．各种收敛都有不同的意义，在各种实践中作用也各不同．参考文献：[1]马克思主义基本原理概论教材编写课题组．马克思主义基本原理概论[M]．高等教育出版社，2009,7[2] 华东师范大学数学系．数学分析(第三版)[M]．高等教育出版社，2001,6．[3] 郭懋正．实变函数与泛函分析[M]．北京大学出版社，2005,2[4] 柳藩，钱佩玲．实变函数论与泛函分析[M]．北京师范大学出版社，1987．[5] 程其襄，张奠宙，魏国强等．实变函数与泛函分析既基础[M]．高等教育出版社，2003,7．[6] 夏道行，严绍宗等复旦大学数学系主编．实变函数与应用泛函分析基础[M]．上海科学技术出版社．1987．[7] 茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程[M]．高等教育出版社，2004,7．[文档可能无法思考全面，请浏览后下载，另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意!]。

第三章 可测函数为了引进新的积分，我们还需要引进一类重要的函数即可测集上的可测函数，这类函数一方面与数学分析中的连续函数有着密切的联系，另一方面比连续函数更为广泛、应用价值更大.这里我们需要强调，今后所提到的函数都是指定义在n R 中某点集上的单值实函数，且允许它的值可以取±∞（±∞也称为非正常实数，通常的实数称为有限实数或实数）.另外，我们规定：(+∞)+（+∞）=+∞，（-∞）+（-∞）=-∞，对于任意实数a ，总有a +(+∞)=(+∞)+a =+∞，a +(-∞)=-∞，对于b >0，c <0，b ·(±∞)=±∞，c ·(±∞)= ∞，(±∞)·（±∞）=+∞， （+∞）·（-∞）=（-∞）·（+∞）=-∞，0·（±∞）=（±∞）·0=0， 对∞≠b ，o b =∞，对o c ≠，∞=oc， 但（+∞）-（+∞），（±∞）+（ ∞），（-∞）-（-∞）均无意义.§1 可测函数的定义及简单性质可测函数的定义方法很多，本节，我们将采用从简单到复杂的方法定义可测函数，即先给出简单的可测函数，然后分析这些函数的测度特性从而归纳出一般可测函数的定义.一、可测函数的定义及等价定义1．简单函数定义1 设E n R ⊂为一个可测集，)(x f 为定义在E 上的实函数，如果 （1）E = mi i E 1=，其中i E 为两两不交的可测集，（2）在每个i E 上)(x f =i c ，即)(x f = ⎩⎨⎧1C C m1E x E x m ∈∈ ，亦即∑==m i E i x c x f i 1)()(χ，其中)(x i E χ表示i E 的特征函数，则称)(x f 为E 上的简单函数.显然)(x D =⎩⎨⎧01 上的无理点为上的有理点为]1,0[]1,0[x x 及 )sgn(x =⎪⎩⎪⎨⎧-10100<=>x x x 均为其定义域上的简单函数.注 只有当可测集E 的分解为有限不交可测分解，且在每个小可测集上)(x f 的取值为常数时，)(x f 才是E 上的简单函数.可以证明，可测集E 上的两个简单函数)(),(x g x f 的和、差及乘积仍为E 上的简单函数，且当0)(≠x g 时，)()(x g x f 也是E 上的简单函数。

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科教论坛科技风2020年10月DOC10.19392/ki.1671-7341.202028033随机变量序列的几种收敛性注记杨元启三峡大学理学院湖北宜昌443002摘要：随机变量序列的收敛性理论主要源自测度论中可测函数序列的收敛性理论，但由于概率测度的特殊性，使得随机变量序列的敛散性有自己的特点。

这些理论既是概率论的重点，也是难点。

本文准备详细介绍随机变量序列的各种收敛性概念,讨论他们之间的联系，并以适当的例题来说明收敛的性质。

关键词:几乎必然收敛;依概率收敛；完全收敛;一致可积性本科教材中关于随机变量序列的收敛概念一般只有两种:依概率收敛和依分布收敛,分别关联大数定律和中心极限定理。

但根据序列收敛的强弱,有多种强弱不同的收敛概念,它们的侧重点不一样，相互之间也有联系，讨论如下。

设79,9，”=1,2,3｝是概率空间(*,,p)上的随机变量序列，随机变量9的分布函数记作F(0=p(X<x+,x(R,X n 的分布函数记作F(0#以下是几种常用的收敛性：(1)若对F(0)的每个连续点0,有0)=F(0)，则称随机变量序列｛X”｝依分布收敛于X,记作X”厶X；(2)若对任意&>0,li rn P(X…-X|'&)=0,则称随机变P量序列｛X”｝依概率收敛于随机变量X,记作X”一X；(3)设r>0,=X”存在，且”X”-X|'=0,则称随机变量序列｛X”｝r阶收敛于随机变量X,记作X”二X,这时易知=X>也存在；(4)若P(”im X…=X)=1,则称随机变量序列｛X”｝几乎必然收敛于随机变量X,记作X”上$X；(5)若对任意的&>0,都有lim-P(|X»-X|'&)=0称随”$"7=”c机变量序列｛X”｝完全收敛于随机变量X,记作X”一X#下面几个概念与随机变量序列的收敛性关系密切：(1)对任给的&>0,存在(使得对任一"(F,当P(")d 时，便有spf j X”|$p<&,则称随机变量列｛X”｝是一致绝对连续的；(2)若epJj X”|$P<",则称随机变量列｛X”｝积分一致 有界；(3)若sp|X”|$P=0,则称随机变量列｛X”｝是一致可积的；由测度论的理论,有下列结论:(1)｛X”｝是一致可积的充要条件是｛X”｝是一致绝对连续的且积分一致有界；(2)X”上$X当且仅当对于任意的&>0,^｛*”7X”-X丨'&｝｝=0以及X”上$x当且仅当对于任意的&>0,P(/*7X m-X|'&｝)=0；”=1>=”P(3)X…-$X当且仅当对｛X”｝的任一子序列｛X”？，均存在子序列7X”》｝0｛X”？,使得X”7上$x；“、a・s.,、，P(4)X”一X时必有X”一X；r P(5)X”---------$X时必有X”----------$X；P<(6)X”---------$X时必有X”----------$X；C., a.s.(7)X”---------$X时必有X”----------$X；(8)”F"IX-XI=0的充要条件是｛X”｝是一致可积且PX”$X上述部分结论的证明可以从本文所列文献中找到，这里就不赘述了#我们只证(2)和(7)#先介绍一个引理#"8888弓【理如果-P("”)<8,则P(/U"”)=0,P(*/"”.)=1,即事件序列｛"”｝中有无穷多个"”发生的概率为0,或者说事件序列｛"”｝中至多有有限个"”发生的概率为1;如果P("”)=8,而｛"”｝是两两独立的事件序列，则P8888(/*"”)=1,P(*/"”.)=0,即事件序列｛"”｝中有无穷多个"”发生的概率为1,或者说事件序列｛"”｝中至多有有限个"”发生的概率为0#这是著名的波雷尔-康特立引理#(2)的证明:若X”上$X,即*中除了某个概率测度为零的集合8以外的所有点)对于任何&>0,当”>”0(&,)时就有t”_X I<&,也就是说，满足对任意的”,总存在>'”，使得X”-X的点)必属于零测度集8,亦即/*7X”-X'”一1>—”&｝08,因此P(/*7|X>-X|'&｝)=0；”=1>=”所以说X”上$X当且仅当对于任意的&>0,P (/*7X m-X|'&｝)=0；”=1>=”66科技风2020年10月另外，根据概率的连续性，显然有P(/*i19-91>&!)=+=17=+0i U/P{U7丨9”-9|'&}=0,反之,若对于任意的&>0, >=+有U m：{U79”-9|'&}=0,则由于/U79”-9|'&8 +$">=++=1>=+"880U7X m-9|'&,有0!：(/U7X m-9|)!Um：>=++=1>=++$8 {U+7.|9>-9|}=0综上有：as889—」9%对于任意的&>0,P(/U7丨9”-9|)=0+=1>—+%对于任意的&>0,fm P{U7丨9”-9|}=0#+—8>—+C8(7)的证明：因为9―$9,即任意的&>0,Um-：+$87=+ (9,,-9'&)—0,因此Um：{U7丨9”-9|}<Um-：+$8>=++$8>=+ (9m-9|'&)=0,即|=9#以下通过几个例子进一步讨论随机变量序列的性质#例1设{9”}为相互独立的随机变量序列，若9…上$证明:设9…上$0,则对任意的&>0,有：(/U79-0)=0”=17=+即：(limyp7I9t1>&)=0,由｛9…｝相互独立及波雷尔-康特立引理，知-:(9>'&)<8,因此Um-：>=1”$8>=+ (9”|'&)=0,此即9 0注：(1)显然，此结论可改为：若｛9…｝相互独立，则9…上$0等价于9…亠0'或者，若｛9…｝相互独立，则9…上$0等价于2&>0,-：7(191>&)!<8#+=1(2)若｛9｝独立，｛,”｝为常数列，则9上$0等价于2&>0,-：7(19<8#”—1例2设｛9”｝为以概率1单调的随机变量序列，且9…: a.s.—9,则9”一9#:证明:不妨设2)(*,｛9”｝为单调递增，由于9…-$9,因此对｛9”｝的任一子序列｛9”？,均存在子序列｛9”？0 79…7!,使得9”7上$9,而｛9”｝为单调递增，故2)(*,9”$ 9,因此9”9#例3设随机变量序列｛9+｝依分布收敛于常数，，则9”:-----，#「1久',证明：常数，的分布函数；(0)=匸，｛9”｝依分布0x<<收敛于，,对任意的&>0,：(丨9”-|'&)=：(9”<,-&+：(9”'a+&)<;”(a-&)+—：(9”«+£&二；”(Q-&)+—;”(a+&:-0)=0+1-1二0,所以9”---a#例4设｛9”｝是独立同分布的随机变量序列，二阶矩有2”：界,则十*-@@―”(”+1)@12”证明:记=91=#,A91=*2,则*2<8,=(,2八-忑)—”(”1)@=1 )”乔17=( -9心A含9)=心-2”2”川-弘予，A(»-9)=4*2亍-==232”+11*2$0,(”$8)2=13”(”+1)2”由契贝雪夫不等式有2&>0,P(I十丁--=91I'&)”(”1)=12”<”(”&)@——$0,(+$»)，亦即尸石-9厶=91# &”(”+1)=1例5设｛9”｝为独立同分布的随机变量序列，密度函数「2-0a)兀'a</(0=L，记B”=m/791，…9”!，则B”—a# 050<af1-2"(0"a)兀'a 证明：容易算得公共分布函数;(0)-,0050<a'a时,：(B”>0)=：(m/791，…9”!>0)=：(/{9=>0)=1=(1-F(0))”=2一0-)2&>0,P(I”-a l'&)=：(B”'a+&)+P(B”<a-&)=2兀+：(*79=<a-&!)=1=2^+-：(9=<a-&)=1—e-&+0$0,”$8:<所以B”$a，因此,B”$a#例6设{9”}为独立同分布的随机变量序列,P(9”=1)1”9»=：(9”=0)=*,B”=-出”=1,2,3,则B”的分布收敛于27=12［0,1］上的均匀分布#证明：9»的特征函数为/()=*(1+e")—as寺2“,；的特征函数为+()-寺(1+e")=cos2)71“,7=1,2,3,由于97独立同分布,7=1,2,3,故B”的特征函数为,”(-=3(cos7=1tsin命抽')=丁-----------eM-,由于”/0”(-=〒Cn寺=Sm2”+丄(2“-1)，而［0,1］上的均匀分布的特征函数恰为丄*2“-1), It It由逆极限定理知B”的分布收敛于［0,1］上的均匀分布#参考文献：［1］王寿仁.概率论基础与随机过程［M&.北京：科学出版社，1997.［2］严家安.测度论讲义.北京:科学出版社,2000.［3］周民强.实变函数论.北京：北京大学出版社,2003.［4］严士健，王隽骧，刘秀芳.概率论基础.北京：科技出版社,$982.67。