3.2.2 抛物线的简单性质 课件(北师大选修2-1)

距离相等，所以常把抛物线上点到焦点距离转化为到准 线距离处理．即：若p(x0，y0)是抛物线y2＝2px上任意一 p 点，则p到焦点F的距离为|PF|＝x0＋2(称为焦半径)．
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4．平面上点P到定点(0，－1)的距离比它到y＝2的距离小1，
则点P轨迹方程为________．
解析：由题意，即点P到(0，－1)距离与它到y＝1距离相等， 即点P是以(0，－1)为焦点的抛物线，方程为x2＝－4y. 答案：x2＝－4y
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理解教材 新知
§2
知识点
第 三 章
考点一 把握热点 考向 考点二 考点三 应用创新演练
2.2
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太阳能是最清洁的能源．太阳能灶是日常
生活中应用太阳能的典型例子．太阳能灶接受 面是抛物线一部分绕其对称轴旋转一周形成的 曲面．它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上，经镜 面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶
利用定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离．
(2) ．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB是抛物线y2＝ 2px(p>0)过焦点F的一条弦，则①|AB|＝x1＋x2＋p，
p2 ②x1·2＝ 4 ，y1y2＝－p2. x
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6．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)B(x2， y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|的值为 ( )
把光能转化为热能的理论依据．
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问题1：抛物线有几个焦点？
提示：一个． 问题2：抛物线的顶点与椭圆有什么不同？ 提示：椭圆有四个顶点，抛物线只有一个顶点． 问题3：抛物线有对称中心吗？ 提示：没有． 问题4：抛物线有对称轴吗？若有对称轴，有几条？
提示：有；1条．
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抛物线的简单性质
类型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py(p>0)
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[例1]
已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 3 ，求这条
轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2 抛物线的方程．
[思路点拨]
因为圆和抛物线都关于x轴对称，所以
它们的交点也关于x轴对称，即公共弦被x轴垂直平分， 于是由弦长等于2 3，可知交点纵坐标为± 3.
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[精解详析]如图，设所求抛物线的方程为 y2＝2px(p>0)或 y2＝ －2px(p>0)， 设交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)， 则|y1|＋|y2|＝2 3，即 y1－y2＝2 3. 由对称性知 y2＝－y1，∴y1＝ 3. 将 y1＝ 3代入 x2＋y2＝4 得 x＝± 1， ∴点(1， 3)、(－1， 3)分别在抛物线 y2＝2px、y2＝－2px 上． 3 ∴3＝2p 或 3＝(－2p)× (－1)，p＝2. 故所求抛物线的方程为 y2＝3x 或 y2＝－3x.
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x1＋x2 p x1＋x2＋p 则 d＝ ＋ ＝ ， 2 2 2 |AB| ∴d＝ ， 2 p 即圆心到准线 x＝－ 的距离等于圆的半径． 2 (9 分) (10 分)
∴以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． (12 分)
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[一点通] (1) ．涉及抛物线的焦半径、焦点弦长问题可以优先考虑
设直线 l 与抛物线两交点 A、B 坐标分别为
x1＋x2 y1＋y2 M ， 2 . 2
(x1，y1)、(x2，y2)，则中点
(3 分)
p p 而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋2＋x2＋2 ＝x1＋x2＋p. p 设圆心 M 到准线 x＝－2的距离为 d， (6 分)
1.∴A
3 1 ，2. 2
设抛物线方程为 y2＝2px(p>0)， 1 3 3 ∴4＝2p·2 ，∴p＝ 12 ， 3 ∴抛物线方程为 y ＝ 6 x，
2
3 同理，当抛物线的焦点在 x 轴负半轴上时，方程为 y ＝－ 6 x.
2
答案：C 返回
3．已知顶点在原点，以x轴为对称轴，且过焦点垂直于x轴
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[例2]
若动点M到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0
的距离小1，求动点M的轨迹方程． [思路点拨] “点M与点F的距离比它到直线l：x＋5＝0
的距离小1”，就是“点M与点F的距离等于它到直线x＋4＝0
的距离”，由此可知点M的轨迹是以F为焦点，直线x＋4＝0
为准线的抛物线．
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[精解详析] (x，y)．
如图，设点 M 的坐标为
由已知条件可知，点 M 与点 F 的距 离等于它到直线 x＋4＝0 的距离． 根据抛物线的定义， M 的轨迹是以 点 p F(4,0)为焦点的抛物线，且2＝4，即 p＝8. 因为焦点在 x 轴的正半轴上，所以点 M 的轨迹方程为：y2＝16x.
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[一点通]
由于抛物线上的点到焦点距离与到准线
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5．已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点
P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，
求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最 小值时P点坐标． 解：将x＝3代入抛物线方程
y2＝2x，得y＝± 6. ∵ 6>2，∴A在抛物线内部．
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1 设抛物线上点 P 到准线 l：x＝－ 的距离为 d， 2 由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d， 7 由图可知，当 PA⊥l 时，|PA|＋d 最小，最小值为 ， 2 设 P(x0，y0)，则 y0＝2， ∴x0＝2. 故 P 点坐标为(2,2).
的弦AB的长为8，求出抛物线的方程，并指出它的焦点 坐标和准线方程．
解：当焦点在x轴正半轴上时， 设方程为y2＝2px(p>0)． p 当x＝2时，y＝± p，由|AB|＝2p＝8，得p＝4.
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故抛物线方程为y2＝8x，焦点坐标为(2,0)，准线 方程为x＝－2. 当焦点在x轴的负半轴上时， 设方程为y2＝－2px(p>0)． 由对称性知抛物线方程为y2＝－8x， 焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2.
1．抛物线 y2＝2px 上的点 P(x0，y0)到焦点 F 的距离(焦 p 半径)：|PF|＝x0＋ . 2 2．若过抛物线 y2＝2px 的焦点的直线与抛物线相交于 A(x1， 1)， 2， 2)两点， y B(x y 则|AB|＝x1＋x2＋p(焦点弦公式)． 当 AB⊥x 轴时，AB 为通径且|AB|＝2p. 3．解决与焦点弦有关的问题：一是注意运用焦点弦所 在直线方程和抛物线方程联立方程组， 再结合根与系数的关 系解题；二是注意焦点弦、焦半径公式的应用，注意整体思 想的运用．
答案：y2＝4x
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2．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为 顶点且过A，B的抛物线方程是 3 A．y ＝ 6 x
2
( 3 B．y ＝－ 6 x
2
)
3 C．y2＝± 6 x
3 D．y2＝± 3 x
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解析：当抛物线焦点在 x 轴正半轴上时，如图所示，∵△OAB 为 等边三角形，且边长为
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[例3]
(12分)已知抛物线y2＝2px(p>0)，直线l过抛物
p 线焦点F2，0与抛物线交于A、B两点．
求证：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
[思路点拨]
解答本题可设出A、B两点坐标，并
用A、B的坐标表示圆心坐标，然后证明圆心到准线的 距离为圆的半径．
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[精解详析]
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类型 顶点 离心率 性 开口方向 质
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px
x20) e＝1 向右 向左
2py(p>0)
2py(p>0)
向上
向下
过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点
通径
P1，P2，线段P1P2叫抛物线的通径，长度|P1P2|
＝ 2p . 返回
1．抛物线只有一条对称轴，没有对称中心； 2． 抛物线只有一个顶点、 一个焦点、 一条准线； 3．抛物线的离心率是确定的，e＝1； 4．抛物线的焦点和准线分别在顶点的两侧，且 p 它们到顶点的距离相等，均为 . 2
x2＝－ 2py(p>0)
图像
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类型
y2＝2px(p>0)
p F(2，0) p x＝－2
y2＝－2px
(p>0)
p F(－2，0)
p x＝2
x2＝2py(p>0)
p F(0，2)
x2＝－
2py(p>0)
p F(0，－2)
焦点 性 质 范围 对称轴 准线
p y＝－2
p y＝2
x≥0，y∈R x≥0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 x轴 y轴
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[一点通]
由抛物线的性质求抛物线的标准方程时，
关键是确定抛物线的焦点位置，并结合其性质求解p的值，
其主要步骤为：
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1．以椭圆x2＋2y2＝1中心为顶点，右顶点为焦点的
抛物线的标准方程为________．
解析：∵椭圆x2＋2y2＝1的中心为原点，右顶点为(1,0)， p ∴2＝1，p＝2且抛物线的焦点在x轴正半轴上． ∴所求抛物线的标准方程为y2＝4x.
A．10
C．6
B．8
D．4
解析：∵y2＝4x，∴2p＝4，p＝2. ∴由抛物线定义知： |AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝
x1＋x2＋2＝6＋2＝8. 答案：B 返回
7．(2011· 山东高考改编)已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦
点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中 点的纵坐标为2，则该抛物线的标准方程为________． 解析：设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)．过焦点F(，0)且斜率 p 为1的直线方程为y＝x－ ，与抛物线方程联立可得y2－ 2 2py－p2＝0. 由线段AB的中点的纵坐标为2，得y1＋y2＝2p＝4. 所以p＝2，故抛物线标准方程为y2＝4x. 答案：y2＝4x 返回