函数周期性和对称性（知识点，练习题）
f(x?T)?f(x)恒成立为非零常数，对于定义域内的任一x，使一．定义：若T则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
二．重要结论
??????xfy?T?aaxffx??为周期的周期函数；是以1、，则
2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。 ??????xfa?fa?xfx?T?2a为周期的周期函数是以若函数，则
3、1 (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。
4、y=f(x)满足f(x+a)=??xf1 是它的一个周期。f(x)为周期函数且2a
5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= (a>0),则???xf1?f(x)??xf T?2a为周期的周期函数.
6、是以，则??a)f(x1?f(x)1?f(x)??xf T?4a为周期的周期函数
7、是以，则.
??f(x?a)1?f(x)8、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a）是它的一个周期。
????????ba?yB,ba,?xRyA f(x))(xy?f是以、9、函数都对称，则函数的图象关于两点
00??ab2?为周期的周期函数；
??????b?ayaR,A?x f(x))(xy?f bx?的图象关于和直线是以都对称，则函数10、函数0??a4?b 为周期的周期函数；
a是它的一个周期。2的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且11、若偶函数y=f(x)a 是它的一个周期。x=a对称，则f(x)为周期函数且412、若奇函数y=f(x)的图像关于直线13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。
T)f(=0. ，T≠0), 则(x14、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)∈R2函数的轴对称：三
a?b????????xfa?x??fb?xfyy?fx?x对的图象关于直线定理1：如果函数满足，则函数
2.
称????????x?y?fxffa?x?fa?xy ax?. 的图象关于直线1推论：如果函数对称，则函数满足????????xffy?xfx??xfy?0?x轴）对称y（的图象关于直线，则函数满足：如果函数2推论
四函数的点对称：
??????????b,axf?a?xfy?f?x2fba?xy?对称. 如果函数的图象关于点满足，则函数定理2：
??????????,0axf?a?xfy?f?x0fya?x?对称：如果函数的图象关于点. 满足，则函数推论
3??????????0,0xf?fy?xy?f?xf?x0对称.的图象关于原点4：如果函数特满足，则函数推论别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.
五函数周期性的性质：
??????xfxb)?f?x?f(b?f(a?x)?fxaa?b）（其中R在上满足，则函数定理3：若函数，且????bxa2y?f?为周期.
以??????xfxb?f?f(b?xf(a?x)??f)a?x?a?b）（其中，在R上满足，定理4：若函数且则函????ba2y?f?x为周期数以.
??????xfxf?bb?x)?x)?f?a?x?f(f(aa?b）（其中定理5：若函数上满足，则函，且在
R????b4?f?xay为周期数.
以以上几类情形具有一定的迷惑性,但读者若能区分是考查单一函数还是两个函数,同时分析条件特征必能拨开迷雾,马到成功.下面以例题来分析. ??????????xxff???x4??f2,xf?上单调递，且函数满足在区间例1．已知定义为R的函数????xfxf?4??x2?xx?x的值（）如果，且.
，则增.221121A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能为0 D．可正可负. ????????44ff?xfx?x???fx?不过我们可以取特殊值代分析：，形似周期函数但事
实上不是，????4f?fx?x??x2?x变形，使入，通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用代替??????????xf02,??2,??f2xfx2??上单对称3.因此图象关于点.为在区间.它的特征就是推论??2,??上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位调递
增，在区间.（如图）
?????x,2??2x?4上单调递增，所以，且函数在12????????4x?x?f?x??f4?xff，，又由12????????xf???f?x?444f(?)x?f??x40
2
，有1111?????????????x0??????fxfxfxf4xfxf?A.
选.111121．
当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为A.
[1,2])(x?x)fx)f(x)?f(2f(上是减函数，则若上定义的函数是偶函数，且在区间.练1：在R f(x)( ) [?2,?1][3,4]上是减函数上是增函数，在区间 A.在区间
[?2,?1][3,4]上是减函数B. 在区间上是增函数，在区间4][3,1]2,??[上是增函数上
是减函数，在区间 C. 在区间4][3,1]2,[??上是增函数D. 在区间上是减函数，在
区间
1?))f(xx)?f(2?xf(对称，即分析：由可知图象关于x)(xf0x?可得到为偶函数图象关于的应用.又因
为对称，推论12][1,)f(xf(x)上是，结合在区间为周期函数且最小正周期为2)(xf B
.减函数，可得如右故选草图)(xf0)?f(xT若将方程练2.定义在R上的函数是它的一个正周期既
是奇函数，又是周期函数，.??nn T,?T）可能为（上的根的个数记为在闭区间，则D.5 C.3
A.0
B.1
TTTT)(?f)f(??T)??f()?f(?0?T)?f(?)f(T，，分析：2222TT n0f(?)?)?f(？∴
????xfy?xxf?1?x?2x?40?x.都对称，且当时，．已知函数例2和的
可能为，则5 22
图象关于直线??5.f19.
的值求??????xy?f x?ff?2?x22x?分析：由推论1对称，即的图象关于直线，可知，????????xy?f xfx?ff?4?x4.
为周期的函数43同样，知是以，现由上述的定理满足??????????????
xf50?f.?5.0?f?4?43.5.?f3.55?f?4f??19是偶函数，所以，同时还知????50.5.?0.5??f0f.
