自动控制理论课程设计
倒立摆系统的控制器设计
学生姓名：张萌
指导教师：谢昭莉
班级：自动化3班
重庆大学自动化学院
二O一六年十二月
课程设计指导教师评定成绩表
指导教师评定成绩：
指导教师签名：年月日
重庆大学本科学生课程设计任务书
摘要.......................................................................... 错误!未定义书签。倒立摆系统的概述 (2)
2 数学模型的建立 (4)
2.1小车倒立摆物理模型的建立 (4)
2.2小车倒立摆实际数学模型的建立 (7)
3 开环响应分析 (8)
4 根轨迹法设计 (10)
4.1 未校正系统根轨迹分析 (10)
4.2根轨迹矫正及仿真 (11)
4.2.1根轨迹矫正 (11)
4.2.2Matlab计算和仿真 (12)
5 频域法设计 (14)
5.1未校正的bode图与奈奎斯特分析 (14)
5.2 频域法矫正 (15)
5.2.1 控制目标要求 (16)
5.2.2 矫正步骤 (16)
5.3 用Matlab进行阶跃响应仿真 (18)
6 PID控制器设计 (19)
6.1 控制器设计过程 (20)
7 课程设计总结 (23)
8参考资料 (24)
摘要
通过对一级倒立摆系统进行数学建模，得到摆杆角度和小车加速度之间的传递函数：
()()()22
s ml
V s I ml s mgl
Φ=+- 首先从时域角度着手，分析直线一级倒立摆的开环单位阶跃响应和单位脉冲响应，得出该系统的开环响应是发散的这一结论。
利用根轨迹分析法，并借助Matlab 一级其中的Simulink 仿真系统辅助分析。通过加入超前校正校正环节，得到系统的校正函数，并且校正后的系统满足课设的要求，即最大超调量：
%10%
p σ≤，调整时间：
0.5(2%s t s =误差带）
。同样，利用
频域分析法也得到校正环节的传递函数。对系统进行校正系统的静态位置误差函数常数为10，相位裕量为50o
，增益裕量等于或大于10dB 。最后利用PID 控制器
设计出校正函数，并且也满足最大超调量：%15≤p ϕ，调节时间：误差带）%2(2s t s =。 通过以上的设计，得到一级倒立摆的控制器，对倒立摆进行有目的的控制，从而达到预期的效果。
关键字：倒立摆 根轨迹分析法 频域分析法 PID
倒立摆系统的概述
倒立摆的种类：悬挂式、直线、环形、平面倒立摆等。一级、二级、三级、四级乃至多级倒立摆。
系统的组成：倒立摆系统由倒立摆本体，电控箱以及控制平台（包括运动控制卡和PC机）三大部分组成。
工程背景：
(1) 机器人的站立与行走类似双倒立摆系统。
(2) 在火箭等飞行器的飞行过程中为了保持其正确的姿态要不断进行实时控制。
(3) 通信卫星要保持其稳定的姿态使卫星天线一直指向地球，使它的太阳能电池板一直指向太阳。
(4)为了提高侦察卫星中摄像机的摄像质量必须能自动地保持伺服云台的稳定消除震动。
(5) 多级火箭飞行姿态的控制也可以用多级倒立摆系统进行研究。
倒立摆系统是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合。
2 数学模型的建立
系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理等学科的知识和数学手段建立起系统内部变量、输入变量以及输出变量之间的数学关系。
2.1小车倒立摆物理模型的建立
M 小车质量1.096 Kg
m 摆杆质量0.109 Kg
b 小车摩擦系数0.1N/m/sec
l 摆杆转动轴心到质心长度0.25m
I 摆杆惯量0.0034 kg·m2
F 加在小车上的力
图直线一级倒立摆模型 x 小车位置
Φ摆杆与垂直向上方向的夹角
Θ摆杆与垂直向下方向的夹角
图小车及摆杆受力分析
N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
图 小车及摆杆受力分析
小车水平方向的合力：Mx F bx N =--&&& （1）
摆杆水平方向的受力进行分析：()
22
sin d x l N m dt θ+=
即可化为：2cos sin N mx
ml ml θθθθ=+-&&&&& （2） 由方程（1）和（2）可以得到系统的第一个运动方程：
()2cos sin M m x bx ml ml F θθθθ+++-=&&&&&& （3）
摆杆力矩平衡方程：sin cos Pl Nl I θθθ--=&&
（4）
摆杆垂直方向的合力：()
22cos d l P mg m
dt θ-=
可化为：222sin ()cos d d P mg ml ml dt dt θθ
θθ
-=-- （5）
由方程（4）和（5）可以得到系统的第二个运动方程：
()2
sin cos I ml mgl mlx θθθ++=-&&&& （6）
系统的第一个运动方程：
()2cos sin M m x bx ml ml F θθθθ+++-=&&&&&&
系统的第二个运动方程：
()2
sin cos I ml mgl mlx θθθ++=-&&&&
用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后，两个运动方程如下（其中φπθ
+=）
()()2I ml mgl mlx
M m x bx ml u φφφ⎧+-=⎪⎨++-=⎪⎩&&&&&&&&&
对上式进行拉普拉斯变换（令a x =&&），得到摆杆角度和小车位移的传递函数：
()()()2
22s mls X s I ml s mgl
Φ=
+- （7）
摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：
()()()22s ml
V s I ml s mgl
Φ=
+- （8）
摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：
2
24
32()()()()mls s q
b I ml M m mgl bmgl U s s s s s
q q q Φ=
+++-- （9）
其中
222
[()()]q M m I ml m l =++-。
