运筹学基础及应用 习题解答
习题一 P46 1.1 (a)
该问题有无穷多最优解，即满足2
1
0664221≤≤=+x x x 且的所有()21,x x ，此时目标函数值3=z 。 (b)
用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解。 1.2
(a) 约束方程组的系数矩阵
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=1000030204180036312A
4
最优解()T x 0,0,7,0,10,0=。 (b) 约束方程组的系数矩阵
⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=21224321A
最优解T
x ⎪⎭⎫
⎝⎛=0,511,0,5
2。
1.3
(a)
(1) 图解法
最优解即为⎩⎨
⎧=+=+82594321
21x x x x 的解⎪⎭⎫
⎝⎛=23,1x ，最大值235=z
(2)单纯形法
首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式 ⎩⎨⎧=++=+++++=8
25943 ..00510 max 421321
4321x x x x x x t s x x x x z
则43,P P 组成一个基。令021==x x
得基可行解()8,9,0,0=x ，由此列出初始单纯形表 21σσ>。5
839,58min =⎪⎭
⎫ ⎝⎛=θ
02>σ，23
28,1421min =⎪⎭⎫ ⎝
⎛=θ
0,21<σσ，表明已找到问题最优解0 , 0 , 2
3
1,4321====x x x x 。最大值 235*=z (b)
(1) 图解法
最优解即为⎩⎨
⎧=+=+5
24262121x x x x 的解⎪⎭⎫
⎝⎛=23,27
x ，最大值217=z
(2) 单纯形法
首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式
1234523124125
max 2000515.. 6224
5z x x x x x x x s t x x x x x x =+++++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩21=+x x 2621+x x
则3P ，4P ，5P 组成一个基。令021==x x
得基可行解()0,0,15,24,5x =，由此列出初始单纯形表
21σσ>。245min ,,461θ⎛⎫=-= ⎪⎝
⎭
02>σ，15
33min ,24,5
22θ⎛⎫== ⎪⎝⎭
新的单纯形表为
0,21<σσ，表明已找到问题最优解11x =，2 2x =，315
2
x =
，40x =，50x =。最大值 *
17
2
z = 1.6
(a) 在约束条件中添加松弛变量或剩余变量，且令(
)0,0 ''2'2''2'2
2≥≥-=x x x x x ，
z z x x -=-=' ,3'
3
该问题转化为
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧≥=-+-=---+=++-+++-+--=0,,,,,63382412
4332x ..0023' max 54'3''2'21'
3''2'215'
3''2'214'3''2'2154'3''2'21x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x z
其约束系数矩阵为
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛------=003113102114014332A
在A 中人为地添加两列单位向量87,P P ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛------100031130110211400014332 令7654'
3''2'2
10023' max Mx Mx x x x x x x z --++-+--= 得初始单纯形表
(b) 在约束条件中添加松弛变量或剩余变量，且令)'
''
'''
33333 0,0x x x x x =-≥≥， 'z z =-
该问题转化为
'''
123345'''
12334'''
12335'''
1233'''123345max '3500x 2623316.. 5510,,,,,0z x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =--+-++⎧++--=⎪+--+=⎪⎨++-=⎪
⎪≥⎩
其约束系数矩阵为
121110************A --⎛⎫
⎪=-- ⎪
⎪-⎝⎭
在A 中人为地添加两列单位向量87,P P
121110102133010011550001--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
令'
''
12334567max '3500z x x x x x x Mx Mx =--+-++--
1.7
(a)解1：大M 法
在上述线性规划问题中分别减去剩余变量468,,,x x x 再加上人工变量579,,,x x x 得
123456789max 22000z x x x x Mx x Mx x Mx =-++-+-+-
1234513672389123456789622,,20,,,,,,,,0
x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪-+-+=⎪
⎨
--+=⎪⎪≥⎩
其中M 是一个任意大的正数。据此可列出单纯形表
由单纯形表计算结果可以看出，40σ>且40(1,2,3)i a i <=，所以该线性规划问题有无界解 解2：两阶段法。
