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动态规划算法教学PPT

动态规划算法教学PPT

03
动态规划算法的实现步骤
明确问题，建立数学模型
1
确定问题的目标和约束条件，将其转化为数学模 型。
2
理解问题的阶段划分，将问题分解为若干个子问 题。
3
确定状态变量和决策变量，以便描述子问题的状 态和决策。
划分阶段，确定状态变量和决策变量
01
根据问题的阶段划分，将问题分解为若干个子问题。
02
确定状态变量和决策变量，以便描述子问题的状态 和决策。
02
将子问题的最优解组合起来，得到原问题的最优解。
对最优解进行验证和性能评估，确保其满足问题的要求。
03
04
动态规划算法的优化技巧
分支定界法
分支定界法是一种求解优化问题的算 法，它通过不断生成问题的分支并确 定每个分支的界限，来寻找最优解。 在动态规划中，分支定界法可以用来 优化状态转移方程，减少计算量。
详细描述
多目标规划问题在实际生活中应用广泛，如资源分配、项目计划、城市规划等领 域都有涉及。常用的求解多目标规划的方法包括权重和法、帕累托最优解等。
多阶段决策问题
总结词
多阶段决策问题是动态规划中的一类，解决的问题需要在多个阶段做出决策，每个阶段的决策都会影响到后续阶 段的决策。
详细描述
多阶段决策问题在实际生活中应用广泛，如生产计划、库存管理、路径规划等领域都有涉及。常用的求解多阶段 决策问题的方法包括递归法、动态规划等。
特点
动态规划算法具有最优子结构、重叠 子问题和最优解性质等特征。
动态规划算法的应用领域
计算机科学
在计算机科学中，动态规划算法广泛应用于字符 串处理、排序、数据压缩和机器学习等领域。
电子工程
在电子工程中，动态规划算法用于信号处理、通 信和控制系统等领域。

第三章动态规划算法1PPT

第三章动态规划算法1PPT
算法设计与分析 2
不同计算顺序的数量
设n个矩阵的连乘积有P(n)个不同的计算顺序。 由此可得出关于 先在第k个和第k+1 P(n) 个矩阵之间将原矩阵序列 的递归式： 分成两个矩阵子序列， k=1，…， n；再分别 1 n= 1 n–1 P(n) = 对两个子序列完全加括号，最后对结果加括 ∑P(k) P(n–k) n＞1 k=1 号，便得到原序列的一种完全加括号方式。 解此递归方程可得P(n) = C(n–1)，其中 1 2n n/n3/2) C(n) = n+1 = Ω(4 n 所以P(n)随n的增长呈指数增长。因而穷举搜 索法不是有效的算法。
算法设计与分析 4源自立递归关系令m[i][j] , 1≤i, j≤n，为计算A[i, j] 的最少数乘 次数，则原问题为m[1][n]。 当i = j时，A[i, j]为单一矩阵， m[i][j] = 0； 当i＜j时，利用最优子结构性质有： m[i][j] = min{m[i][k] + m[k+1][j] + pi–1pkpj}
3 3
s[i][j]
3 5 4
5
算法设计与分析
11
MatrixChain的时间复杂性
算法MatrixChain的主要计算取决于程序 中对r、i和k的三重循环。循环体内的计 算量为O(1)，1≤ r、i、k≤n，三重循环的 总次数为O(n3)。因此该算法时间复杂性 的上界为O(n3)，比直接递归算法要有效 得多。算法使用空间显然为O(n2)。 这种算法称为动态规划。

算法设计与分析 8
自底向上的计算

例如对于A1A2A3A4，依据递归式以自底向上的 方式计算出各个子问题，其过程如下：
其中 m[1][3] = 例如： m[1][1]+m[2][3]+p0p1p3 m[i][j] = mini≤k＜j min m[1][3] m[2][4] m[1][2]+m[3][3]+p p2p3 {m[i][k]+m[k+1][j]+pi0–1p kp j }

《动态规划》课件

《动态规划》课件
《动态规划》ppt课 件
xx年xx月xx日
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的求解方法 • 动态规划的应用实例 • 动态规划的优化技巧 • 动态规划的总结与展望
目录
01
动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题，并存储子问题的 解以避免重复计算的方法。
特点
动态规划适用于具有重叠子问题和最 优子结构的问题，通过将问题分解为 子问题，可以找到最优解。
动态规划的适用范围
最优化问题
01
动态规划适用于解决最优化问题，如最大/最小化问题、决策问
题等。
子问题重叠
02
动态规划适用于子问题重叠的情况，即子问题之间存在共享状
态或参数。
递归关系
03
动态规划适用于具有递归关系的问题，可以通过递归方式求解
机器调度问题
总结词
动态规划可以应用于机器调度问题，以确定最优的调度方案，满足生产需求并降低成本 。
详细描述
机器调度问题是一个经典的优化问题，涉及到如何分配任务到机器上，以最小化成本或 最大化效率。通过动态规划，可以将机器调度问题分解为一系列子问题，如确定每个任 务的调度顺序、分配机器等，并逐个求解子问题的最优解，最终得到整个调度方案的最
VS
详细描述
记忆化搜索法是一种优化技术，通过存储 已解决的子问题的解，避免重复计算，提 高求解效率。这种方法适用于子问题数量 较少且相互独立的情况。
04
动态规划的应用实例
最短路径问题
总结词
通过动态规划解决最短路径问题，可以找到 从起点到终点的最短路径。
详细描述
在图论中，最短路径问题是一个经典的优化 问题，旨在找到从起点到终点之间的一条路 径，使得路径上的所有边的权重之和最小。 动态规划是一种有效的解决方法，通过将问 题分解为子问题并存储子问题的解，避免了 重复计算，提高了求解效率。

《动态规划课件》课件

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应用场景：求解最短路径、背 包问题等
注意事项：避免重复计算子问 题和记忆化搜索
定义：将问题划分为 若干个较小的子问题， 并逐个解决子问题， 最终得到原问题的解
特点：将原问题分解为 更小的子问题，通过求 解子问题的最优解得到 原问题的最优解
应用场景：适用于 具有重叠子问题和 最优子结构特性的 问题
示例：背包问题、 最大子段和问题等
分段算法的代码 实现
分段算法的时间 复杂度分析
避免重复计算：使用备忘录或动态规划表来记录已计算过的子问题 减少子问题的数量：通过合并或减少不必要的子问题来降低计算复杂度 选择合适的递归方式：根据问题的特点选择最优的递归方式 优化递归栈：通过减少递归深度或使用循环代替递归来提高性能
优化算法：动态规划可以优化算法，提高计算效率 避免重复计算：通过记忆化搜索，避免重复计算，提高计算速度
添加标题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
添加标题
添加标题
添加标题
动态规划与分治法比较：分治法将 问题分解为子问题，而动态规划将 子问题联系起来
动态规划与回溯法比较：回溯法会 穷举所有可能解，而动态规划可以 避免不必要的搜索
机器学习与深度 学习中的动态规 划
自然语言处理中 的动态规划
计算机视觉中的 动态规划
推荐系统中的动 态规划
最大子段和问题的定义 最大子段和问题的应用场景 最大子段和问题的解决方法 最大子段和问题的实际应用案例
定义：矩阵链乘法问题是一种优化问题，通过动态规划算法来求解
应用场景：在科学计算、机器学习、图像处理等领域都有广泛的应用
算法原理：通过动态规划算法，将矩阵链乘法问题转化为子问题，从而避免重复计算，提高 计算效率
应用场景：背包问题在计算机科学、运筹学、经济学等领域都有广泛的应用，如资源分配、路径规划、时间表安 排等。

第八章动态规划1PPT课件

第八章动态规划1PPT课件

第八章 动态规划
３.决策（Decision) uk(sk) 决策指从一个阶段的某个状态演变到下一个阶段的
某个状态的选择。
uk(sk)表示第k阶段当状态处于sk时的决策变量。 Ｄk(sk)表示决策集合。 Ｄ1(s1)= u1(A) = B1,B2 ; D2(S2)= u2(B1),u2(B2) =
C1,C2,C3;C2,C3,C4 ……
第八章 动态规划
二、动态规划的基本概念和基本原理
以书中例1最短路线问题为例，说明动态 规划的基本概念。
第八章 动态规划
1.阶段（stage)k 阶段指作出决策的若干轮次。将所给问题的过程，按
时间或空间特征分解成若干个相互联系的阶段，以 便按次序去求每阶段的解，常用k表示阶段变量。 如上例中我们把从A到G看成一个六阶段问题，k（阶 段变量）分别等于1，2，3，4，5，6
1、离散确定型； 2、离散随机型； 3、连续确定型； 4、连续随机型；
第八章 动态规划
• 应用
– 最短路问题 – 资源分配问题 – 生产调度问题 – 库存问题 – 排序问题 – 设备更新问题 – 生产过程最优控制问题
第八章 动态规划
多阶段决策过程最优化问题举例
1、最短路问题：运输网络如下图，求从A到E的最短路。
D5(S5)= u5(E1),u5(E2),u5(E3) = F1,F2; F1,F2; F1,F2 = F1,F2
D6(S6)= u6(F1),u6(F2) = G,G = G
第八章 动态规划
4.策略(policy)和子策略（sub-policy)
策略是指全过程中按顺序排列的各阶段决策 组成的集合。记为：p1,n(s1)
增加产量
成本降低 库存费增加

动态规划专题完整ppt

动态规划专题完整ppt
then begin m:=s[c[k-1,j]]+v[c[k,i],c[k-1,j]]; d:=c[k-1,j]; end;
s[c[k,i]]:=m; { S[c[k,j] ] 记录第K个阶段的第J个结点到 终点的最短距离}
h[c[k,i]]:=d;｛h[j]记录第j阶段最优路径经过的编号｝ end; end; writeln(s[n]);
三、动态规划中的几个概念
1、阶段
把解题的次序称为规划方向，把地位相同的结点称为一个 阶段。
2、状态
每一阶段的一个结点称为这个阶段的一个状态。如例1 中的第3阶段，有3个结点C1、C2、C3，称第3阶段有4种 状态，分别是C1、C2、C3。
3、状态转移方程 除边界外的任一阶段都得由其前面的阶段递推得到，这递
如：输入数据： N=7 4 3 2 1 4 4 t[i] 3 4 2 2 4 r[i] 输出 14 1 2+3 4+5 6+7
分析：
设F[i] 表示第i个人到第N个人买票所要的最小 时间。
F[i]=min{t[i]+f[i+1],r[i]+f[i+2] } (i=1,2,…,n-1)
F[n]=t[n] 目标是求f[1], 即所有歌迷总的买票时间的最小 值。
推的过程就表现出了阶段的动态演变。这种根据已有状态求得
未知状态的过程，我们称之为状态转移，状态转移的规则用数 学语言来描述，就称为状态转移方程。状态转移方程的形式多 样，如例1中的形式为G[i]=min{G[j]+ei,j}，ei,j∈E。
例题2：排队买票问题
一场演唱会即将举行。现有N（0〈N<=200〉个歌迷 排队买票，一个人买一张，而售票处规定，一个人每次最 多只能买两张票。假设第i位歌迷买一张票需要时间Ti（1 〈=I〈=n〉，队伍中相邻的两位歌迷（第j个人和第j+1个 人）也可以由其中一个人买两张票，而另一位就可以不用 排队了，则这两位歌迷买两张票的时间变为Rj，假如 Rj<T(j)+T(j+1)，则这样做就可以缩短后面歌迷等待的时间， 加快整个售票的进程。现给出N，Tj和Rj，求使每个人都买 到票的最短时间和方法。

动态规划专题讲义课件


VS
状态转移方程是动态规划中的重要概念，它描述了状态之间的转移关系。在求解问题时，通过状态转移方程可以将一个状态转移到另一个状态，从而逐步求解出问题的最优解。
状态转移方程的建立需要通过对问题进行深入分析，找出状态之间的依赖关系，并建立数学模型。在应用状态转移方程时，需要注意状态的初始状态和终止状态，以及状态转移过程中的约束条件。
02
动态规划的基本概念
最优化原理是动态规划的核心思想，它认为一个问题的最优解可以通过子问题的最优解来构建。在解决复杂问题时，将问题分解为若干个子问题，分别求解子问题的最优解，再利用子问题的最优解来求解原问题的最优解。
最优化原理的应用范围很广，包括计算机科学、运筹学、经济学等领域。通过将问题分解为子问题，可以降低问题的复杂度，提高求解效率。
自顶向下策略
自底向上策略
分支定界法：通过将问题分解为多个分支来解决问题，同时使用界限来排除不可能的解。与动态规划结合，可以更有效地处理具有大量状态和决策的问题。
THANK YOU
感谢各位观看
排班问题
如求解最优的排班方案，使得员工的工作计划合理且满足各种约束条件。
03
递推关系
建立子问题的解之间的递推关系，通过这种关系逐步求解更大规模的问题，直到达到原问题的解。
01
将原问题分解为子问题
将原问题分解为若干个子问题，这些子问题是原问题的较小规模或部分问题的解。
02
存储子问题的解
将已解决的子问题的解存储起来，以便在求解更大规模的问题时重复使用，避免重复计算。
03
动态规划的算法实现
状态空间法是动态规划的基本方法，通过构建状态转移方程来求解最优化问题。
状态转移方程描述了从状态转移至其他状态的过程，通过迭代更新状态变量的值，最终得到最优解。

动态规划-1

A1 ( 3, 1) = min{A 0( 3 ,1) , A 0( 3 ,1) +A 0( 1 ,1) }= 3
A1 ( 3, 2) = min{A 0( 3 ,2) , A 0( 3, 1) +A 0( 1 ,3) }= 3+4=7
Pr()是推导出最小成本路径的子函数:
pr() { int link; link=1; printf("1 ");
都是优化的，但最后结果不一定是最优的，则不能使用动 态规划方法。
优化问题给出约束条件和目标函数。所谓优化就是使
目标函数在给定的约束条件下达到最大或最小值。用动态 规划求解问题的步骤是:
1.将问题分解成若平个子问题，即将整个问题的最优 解与子问题的局部最优解用递推的等式联系起来。 2.找到边界条件。 3.将边界条件代入递推等式，逐步求得最优解。
main() { int b,z,e,f,k,m;
for (i=1;i<=12;i++) c[i]=0; v[1]=1;v[2]=4;v[3]=3;v[4]=3;v[5]=1;z=12;b=4; do { for (k=v[b];k>=1;k--) { e=z-k; m=99;
for (j=1;j<=v[b+1];j++) { f=z-1+j; if (g[e][f]==0) continue; if (g[e][f]+c[f]<m) {m=g[e][f]+c[f]; d[e]=f; } } c[e]=m; printf("e=%d c[e]=%d\n",e,c[e]);
printf("-%2d ",link); } printf("\n"); }

《动态规划》课件

《动态规划》PPT课件
动态规划（Dynamic Programming）是一种用来解决复杂问题的算法思想。
什么是动态规划
动态规划是一种将问题拆分成子问题并进行最优解比较的算法，常用于求解最优化问题。
问题模型
状态
将问题抽象成能够描述当前情况的状态。
目标
定义问题的目标，通常是最小化或最大化某 个指标。
经典面试题：爬楼梯问题
爬楼梯问题是指给定楼梯的阶数，求解爬到楼顶的不同方式的数量。
经典面试题：硬币找零问题
硬币找零问题是指给定一定面值的硬币和一个金额，找到凑出该金额的最少 硬币数。
经典面试题：最长回文子串问题
最长回文子串问题是指找到给定字符串中最长的回文子串。
实用案例：机器人找出路
机器人找出路是指给定一个迷宫，找到从起点到终点的路径。
决策
根据状态作出选择或决策。
转移方程
根据子问题的最优解推导出整体问题的最优 解。
最优子结构和重叠子问题
1 最优子结构
问题的最优解包含了子问题的最优解。
2 重叠子问题
子问题之间存在重复的计算，可以利用记 忆化存储中间结果来优化。
动态规划三部曲
1
定义状态
明确问题的状导转移方程
国王游戏问题
国王游戏问题是指在一个棋盘上放置国王，使得它们无法互相攻击。
编辑距离问题
编辑距离问题是指计算两个字符串之间转换的最小操作次数，包括插入、删 除和替换操作。
矩阵连乘问题
矩阵连乘问题是指给定一系列矩阵，找到最佳的乘法顺序，使得计算乘法的总次数最小。
最长递增子序列问题
最长递增子序列问题是指找到给定序列中最长的递增子序列的长度。
斐波那契数列问题

《动态规划算法》课件

总结词
多阶段决策优化
详细描述
背包问题是一个经典的动态规划问题，通过将问题分解 为多个阶段，并为每个阶段定义状态和状态转移方程， 我们可以找到最优解。在背包问题中，我们使用一个二 维数组来存储每个状态的最优解，并逐步更新状态以找 到最终的最优解。
最长公共子序列求解
总结词
字符串匹配优化
详细描述
最长公共子序列问题是一个经典的动态规划问题，用 于找到两个序列的最长公共子序列。通过动态规划， 我们可以避免在寻找公共子序列时进行冗余比较，从 而提高算法效率。在动态规划中，我们使用一个二维 数组来存储子问题的最优解，并逐步构建最终的最长 公共子序列。
动态规划的基本思想
01
将问题分解为子问 题
将原始问题分解为若干个子问题 ，子问题的解可以构成原问题的 解。
02
保存已解决的子问 题
将已解决的子问题的解保存起来 ，以便在求解其他子问题时重复 使用。
03
递推求解
从子问题的解逐步推导出原问题 的解，通常采用自底向上的方式 求解。
02
动态规划算法的步骤
可并行化
动态规划算法可以并行化执行，以提高计算效率，这对于 大规模问题的求解非常有利。
缺点
• 空间复杂度高：动态规划算法需要存储大量的中间状态，因此其空间复杂度通常较高，有时甚至会超过问题规 模的一个指数倍。
• 问题规模限制：由于动态规划算法的空间复杂度较高，因此对于大规模问题的求解可能会遇到困难。 • 可能产生大量重复计算：在动态规划算法中，对于每个子问题，可能会被多次计算和存储，这会导致大量的重复计算和存储空间浪费。 • 不易发现：动态规划算法的应用范围有限，对于一些非最优子结构问题或没有重叠子问题的优化问题，动态规划算法可能不适用。因此，在解决问题时需要仔细分析问题特性，判断是
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算法设计与分析
2
不同计算顺序的差别
设矩阵A1, A2和A3分别为10×100, 100×5和 5×50的矩阵，现要计算A1A2A3 。
若按((A1A2)A3)来计算，则需要的数乘次数为 10×100×5 + 10×5×50 = 7500
若按(A1(A2 A3))来计算，则需要的数乘次数为 100 ×5 ×50+ 10×100×50 = 75000
k=1
n–1
n–1
= n +∑T(k) + ∑T(n–k)
k=1
k=1
n–1
= n + 2∑T(k)
k=1
可用数学归纳法证明T(n)≥2n–1 = Ω(2n)。
直接递归算法的时间复杂性随n的指数增长。
算法设计与分析
7
直接递归中有大量重复计算
直接递归中有大量重复计算，如A[1: 4]计算中：
1: 4
后一种计算顺序的计算量竟是前者的10倍！
所以，求多个矩阵的连乘积时，计算的结合 顺序是十分重要的。
算法设计与分析
3
不同计算顺序的数量
设n个矩阵的连乘积有P(n)个不同的计算顺序。
先 由在 此第 可k得个出和关第于kP+(1n个)的矩递阵归之式间：将原矩阵序列 分成两个矩阵子序1 列，k=1，…，n =n；1 再分别 对 号两 ，个 便子 得P(序 到n) 列原= 完序全列n12–1加的∑k=括一1P(号种k)，完P(最全n–后加k) 对 括n结 号＞果 方1 加 式括 。
+
pi–1pkpj}
其中矩阵Ai ，1≤i≤n，的维数为pi–1×pi。
根据此递归式就可以直接用递归程序来实现。
算法设计与分析
6
直接递归的时间复杂性
根据前面的递归式不难得出的时间复杂性为
n–1
T(n) ≥ 1 + ∑(T(k) + T(n–k) + 1)
Hale Waihona Puke k=1 n–1= 1 + (n – 1) +∑(T(k) + T(n–k))
第四章
动态规划
算法设计与分析
1
矩阵连乘问题
给定n个矩阵：A1, A2, …, An，其中Ai与Ai+1是 可乘的。确定一种连乘的顺序，使得矩阵连 乘的计算量为最小。
设A和B分别是p×q和q×r的两个矩阵，则乘 积C=AB为p×r的矩阵，计算量为pqr次数乘。
但是对于多于2个以上的矩阵连乘，连乘的顺 序却非常重要，因为不同的顺序的总计算量 将会有很大的差别。
m[1][2] m[2][3] m[3][4] m[i][i+1] = pi–1pipi+1
m[1][1] m[2][2] m[3][3] m[4][4] m[i][i] = 0
算法设计与分析
10
消除重复的矩阵连乘算法
Void MatrixChain(int p, int n, int **m, int **s)
{ for (int i = 1; i <= n; i++) m[i][i] = 0;
//将对角线元素赋值为零，即单个矩阵计算量为0
for (int r = 2; r <= n; r++)
for (int i = 1; i <= n – r +1; i++) {
int j = i + r – 1;
int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i–1]*p[k]*p[j];
//对i<k<j, 逐个计算A[i, j] = A[i: k] A[k+1: j]
(5) m[i][j] = m[i+1][j] + p[i–1]*p[i]*p[j];
(7)
//计算A[i, j] = A[i: i] A[i+1: j] s[i][j] = i; //记下断点i
for (int k = i + 1; k < j; k++) {
能第。(5此)步处与分第开(7是)步为 了能给否m合[i在][j一]赋起初? 值。
解此递归方程可得P(n) = C(n–1)，其中
C(n) =
1 n+1
2n n
= Ω(4n/n3/2)
所以P(n)随n的增长呈指数增长。因而穷举搜 索法不是有效的算法。
算法设计与分析
4
分解最优解的结构
将矩阵连乘积AiAi+1…Aj记为A[i: j]。 若A[1: n] 的一个最优解是在矩阵Ak和Ak+1处
算法设计与分析
5
建立递归关系
令m[i][j] , 1≤i, j≤n，为计算A[i, j] 的最少数乘 次数，则原问题为m[1][n]。
当i = j时，A[i, j]为单一矩阵， m[i][j] = 0；
当i＜j时，利用最优子结构性质有：
m[i][j]
=
min{m[i][k]
i≤k＜j
+
m[k+1][j]
图中红框标出的
都是重复计算。
1: 2
3: 4
1: 1 2: 4
1:1 2: 2 3: 3 4: 4
1: 3 4: 4
2: 2 3: 4 2: 3 4: 4
1: 1 2: 3 1: 2 3: 3
3: 3 4: 4
2: 2 3: 3
2: 2 3: 3 1: 1 2: 2
算法设计与分析
8
消除重复的计算
要消除重复计算，可在在计算过程中保存已解 决的子问题的答案。这样，每个子问题只计算 一次，而在后面需要时只要简单查一下，从而 避免重复计算。
断开的，即A[1: n] = (A[1: k] A[k+1: n])，则 A[1: k]和A[k+1: n]也分别是最优解。 事实上，若A[1: k]的一个计算次序所需计算量 更少的话，则用此计算次序替换原来的次序， 则得到A[1: n]一个更少的计算量，这是一个矛 盾。同理A[k+1: n]也是最优解。 最优子结构性质：最优解的子结构也最优的。
计算方式可依据递归式自底向上地进行。
注意到在此问题中，不同的有序对 (i, j)就对应 不同的子问题，因此不同的子问题个数个数最 多只有Cn2+ n = (n2)个。
这样便可以得到多项式时间的算法。
算法设计与分析
9
自底向上的计算
例如对于A1A2A3A4，依据递归式以自底向上的 方式计算出各个子问题，其过程如下： m[2][4] 例如其：中 m[1][3] = m[1][3] m[2][4] mim{nm[imm[]i[][[j[11]k]]=][[+12m]]m++i[nmmki≤+[[k23＜1]]]j[[[33j]]]+++pppi00–pp1p12ppkp33 j}