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第6章动态规划

第6章动态规划

第6章 动态规划动态规划（Dynamic Programming ）是解决多阶段决策过程最优化的一种有用的数学方法。

它是由美国学者Richard .Bellman 在1951年提出的，1957年他的专著《动态规划》一书问世，标志着运筹学的一个重要分支－动态规划的诞生.动态规划也是一种将多变量问题转化为单变量问题的一种方法。

在动态规划中，把困难的多阶段决策问题变换成一系列相互联系的比较容易的单阶段问题一个个地求解。

动态规划是考察解决问题的一种途径 ,而不是一种特殊的算法，不像线性规划那样有统一的数学模型和算法（如单纯形法）.事实上，在运用其解决问题的过程中还需要运用其它的优化算法。

因此，动态规划不像其它方法局限于解决某一类问题,它可以解决各类多阶段决策问题。

动态规划在工程技术、经济管理等社会各个领域都有着广泛的应用，并且获得了显著的效果。

在经济管理方面,动态规划可以用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调度问题、库存管理问题、排序问题、设备更新问题以及生产过程最优控制问题等，是经济管理中一种重要的决策技术。

许多规划问题用动态规划的方法来处理,常比线性规划或非线性规划更有效。

特别是对于离散的问题，由于解析数学无法发挥作用，动态规划便成为了一种非常有用的工具。

动态规划可以按照决策过程的演变是否确定分为确定性动态规划和随机性动态规划；也可以按照决策变量的取值是否连续分为连续性动态规划和离散性动态规划。

本教材主要介绍动态规划的基本概念、理论和方法,并通过典型的案例说明这些理论和方法的应用。

6.1动态规划的基本理论6.1.1多阶段决策过程的数学描述有这样一类活动过程,其整个过程可分为若干相互联系的阶段，每一阶段都要作出相应的决策,以使整个过程达到最佳的活动效果。

任何一个阶段(stage ，即决策点)都是由输入(input ）、决策（decision ）、状态转移律（transformation function )和输出(output )构成的，如图6-1（a ）所示.其中输入和输出也称为状态(state ）,输入称为输入状态，输出称为输出状态。

动态规划PPt

动态规划PPt
动态规划的基本概念及思想
•
动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求 解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初 美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原(principle of optimality)，1957年出版了他的名著Dynamic Programming，这 是该领域的第一本著作。
以上步骤称为分解。将所给问题按时间或空间特征分解成相互关联的阶段，并确定 出计算局部最优解的递推关系，这是利用动态规划法解决问题的关键和难点所在
用动态规划求解TSP问题
求解对于每个阶段通过自底向上的方法求得局部最优解 d(6, 9)=min{c67+d(7, 9), c68+d(8, 9)}=min{6+7, 5+3}=8(6→8) d(5, 9)=min{c57+d(7, 9), c58+d(8, 9)}=min{8+7, 6+3}=9(5→8) d(4, 9)=min{c47+d(7, 9), c48+d(8, 9)}=min{5+7, 6+3}=9(4→8) d(3, 9)=min{c35+d(5, 9), c36+d(6, 9)}=min{4+9, 7+8}=13(3→5) d(2, 9)=min{c24+d(4, 9), c25+d(5, 9), c26+d(6, 9)}=min{6+9, 7+9, 8+8}=15(2→4) d(1, 9)=min{c14+d(4, 9), c15+d(5, 9)}=min{9+9, 8+9}=17(1→5) d(0, 9)=min{c01+d(1, 9), c02+d(2, 9), c03+d(3, 9)}=min{4+17, 2+15, 3+13}=16(0→3) 得到最短路径为0→3→5→8→9，长度为16

动态规划算法教学PPT

动态规划算法教学PPT

03
动态规划算法的实现步骤
明确问题，建立数学模型
1
确定问题的目标和约束条件，将其转化为数学模 型。
2
理解问题的阶段划分，将问题分解为若干个子问 题。
3
确定状态变量和决策变量，以便描述子问题的状 态和决策。
划分阶段，确定状态变量和决策变量
01
根据问题的阶段划分，将问题分解为若干个子问题。
02
确定状态变量和决策变量，以便描述子问题的状态 和决策。
02
将子问题的最优解组合起来，得到原问题的最优解。
对最优解进行验证和性能评估，确保其满足问题的要求。
03
04
动态规划算法的优化技巧
分支定界法
分支定界法是一种求解优化问题的算 法，它通过不断生成问题的分支并确 定每个分支的界限，来寻找最优解。 在动态规划中，分支定界法可以用来 优化状态转移方程，减少计算量。
详细描述
多目标规划问题在实际生活中应用广泛，如资源分配、项目计划、城市规划等领 域都有涉及。常用的求解多目标规划的方法包括权重和法、帕累托最优解等。
多阶段决策问题
总结词
多阶段决策问题是动态规划中的一类，解决的问题需要在多个阶段做出决策，每个阶段的决策都会影响到后续阶 段的决策。
详细描述
多阶段决策问题在实际生活中应用广泛，如生产计划、库存管理、路径规划等领域都有涉及。常用的求解多阶段 决策问题的方法包括递归法、动态规划等。
特点
动态规划算法具有最优子结构、重叠 子问题和最优解性质等特征。
动态规划算法的应用领域
计算机科学
在计算机科学中，动态规划算法广泛应用于字符 串处理、排序、数据压缩和机器学习等领域。
电子工程
在电子工程中，动态规划算法用于信号处理、通 信和控制系统等领域。

《动态规划》课件

《动态规划》课件
《动态规划》ppt课 件
xx年xx月xx日
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的求解方法 • 动态规划的应用实例 • 动态规划的优化技巧 • 动态规划的总结与展望
目录
01
动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题，并存储子问题的 解以避免重复计算的方法。
特点
动态规划适用于具有重叠子问题和最 优子结构的问题，通过将问题分解为 子问题，可以找到最优解。
动态规划的适用范围
最优化问题
01
动态规划适用于解决最优化问题，如最大/最小化问题、决策问
题等。
子问题重叠
02
动态规划适用于子问题重叠的情况，即子问题之间存在共享状
态或参数。
递归关系
03
动态规划适用于具有递归关系的问题，可以通过递归方式求解
机器调度问题
总结词
动态规划可以应用于机器调度问题，以确定最优的调度方案，满足生产需求并降低成本 。
详细描述
机器调度问题是一个经典的优化问题，涉及到如何分配任务到机器上，以最小化成本或 最大化效率。通过动态规划，可以将机器调度问题分解为一系列子问题，如确定每个任 务的调度顺序、分配机器等，并逐个求解子问题的最优解，最终得到整个调度方案的最
VS
详细描述
记忆化搜索法是一种优化技术，通过存储 已解决的子问题的解，避免重复计算，提 高求解效率。这种方法适用于子问题数量 较少且相互独立的情况。
04
动态规划的应用实例
最短路径问题
总结词
通过动态规划解决最短路径问题，可以找到 从起点到终点的最短路径。
详细描述
在图论中，最短路径问题是一个经典的优化 问题，旨在找到从起点到终点之间的一条路 径，使得路径上的所有边的权重之和最小。 动态规划是一种有效的解决方法，通过将问 题分解为子问题并存储子问题的解，避免了 重复计算，提高了求解效率。

《动态规划课件》课件

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应用场景：求解最短路径、背 包问题等
注意事项：避免重复计算子问 题和记忆化搜索
定义：将问题划分为 若干个较小的子问题， 并逐个解决子问题， 最终得到原问题的解
特点：将原问题分解为 更小的子问题，通过求 解子问题的最优解得到 原问题的最优解
应用场景：适用于 具有重叠子问题和 最优子结构特性的 问题
示例：背包问题、 最大子段和问题等
分段算法的代码 实现
分段算法的时间 复杂度分析
避免重复计算：使用备忘录或动态规划表来记录已计算过的子问题 减少子问题的数量：通过合并或减少不必要的子问题来降低计算复杂度 选择合适的递归方式：根据问题的特点选择最优的递归方式 优化递归栈：通过减少递归深度或使用循环代替递归来提高性能
优化算法：动态规划可以优化算法，提高计算效率 避免重复计算：通过记忆化搜索，避免重复计算，提高计算速度
添加标题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
添加标题
添加标题
添加标题
动态规划与分治法比较：分治法将 问题分解为子问题，而动态规划将 子问题联系起来
动态规划与回溯法比较：回溯法会 穷举所有可能解，而动态规划可以 避免不必要的搜索
机器学习与深度 学习中的动态规 划
自然语言处理中 的动态规划
计算机视觉中的 动态规划
推荐系统中的动 态规划
最大子段和问题的定义 最大子段和问题的应用场景 最大子段和问题的解决方法 最大子段和问题的实际应用案例
定义：矩阵链乘法问题是一种优化问题，通过动态规划算法来求解
应用场景：在科学计算、机器学习、图像处理等领域都有广泛的应用
算法原理：通过动态规划算法，将矩阵链乘法问题转化为子问题，从而避免重复计算，提高 计算效率
应用场景：背包问题在计算机科学、运筹学、经济学等领域都有广泛的应用，如资源分配、路径规划、时间表安 排等。

第6章_动态规划ppt课件

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gg(u1)
这时，机器的年完好率为a，即如果年初完好 机器的数量为u，到年终时完好的机器就为au， 0<a<1。在低负荷下进行生产时，产品的年 产量和投入生产的机器数量u2的关系为
hh(u2)
PPT学习交流
7
这时，机器的年完好率为b，0<b<1 。
假定开始生产时完好的机器数量为s，要求制定 一个五年计划，在每年开始时，决定如何重新分配 完好的机器在两种不同的负荷下生产的数量，使在 五年内产品的总产量达到最高？
PPT学习交流
15
2．在多阶段决策过程中，动态规划方法是既把前一 段和未来各段分开，又把当前效益和未来效益结 合起来考虑的一种最优化方法。因此，每段决策 的选取是从全局来考虑的，与该段的最优选择答 案一般是不同的。
3．在求整个问题的最优策略时，由于初始状态是已 知的，而每段的决策都是该段状态的函数，故最 优策略所经过的各段状态便可逐次变换得到，从 而确定了最优路线。
因f3是x3线性单调下降函数，故得最优解 x3*=0，相应的有f3(s3)=18s3
PPT学习交流
36
K=2时
f2(s2)0 m x 2 s2 [4 a x 2 x6 s2f3(s3) ]0 m x 2 s2(4 a x 2x 6 s2 1s3 8 ) 0 m x 2 s2 4 a x 2x 6 s2 1(5 4 8 s21 3x 0 2) 0 m x 2 s2(2 a5 2 0 x s27 5x 2)
sk1T k(sk,xk(sk))
PPT学习交流
12
PPT学习交流
13
PPT学习交流
14
§3 动态规划的基本方法
一、动态规划方法的基本原理
动态规划方法的基本思想：

ppt第六章动态规划

ppt第六章动态规划

。最短时间为
最优决策
从B2到E有两种路线：
和
。
最短时间为
最优决策为
。
4（倒数第四段）
从 到 的路线有两种： 和
。
最短时间为：
最优决策为
。
至此求出了A到E的最短时间为9，最优路线
为
。在图6-1中用粗线表示。这里
，为决定最优路线进行了10次加法，比穷举法的
18次少了8次。当段数n更多时，节省计算将会更
n1=1 （倒数第一段）
考虑从 和 到 最短时间分别为
的路线，由定义可知，
2（倒数第二段）
考虑从 、 或 到 有两种路线： ， 时间由下式确定：
的路线。由 到 。两种路线中的最短
最优决策为
。
由 到 只有一种路线
，
其时间为
由 到E也只有一种路线 C3D2E ， 其时间为
3（倒数第三段）
考虑从B1或B2到E的路线。 B1到E有两种路线： 和
多。
从上面解题过程可见，动态规划解题的两个特
点：它是从最后一级往后倒着计算的；它把一个
级决策问题（这里是决定一整条路线）化为 个单
级决策问题，即把一个复杂问题化为多个简单问题
来求解。我们可看出 阶段与 阶段有下面的
关系（
）
（6-1） （表示最后一级）
(6-1)式称为函数方程，从(6-1)式可见,在选择了决
这说明只看下一步的“眼前利益”来作 决策是没有意义的。
（二）动态规划法
为将问题表达得清楚，引进下面的术语。
令 表示由某点 到终点的段数（如 到 为2 段）。
令 表示当前所处点的位置（如 为状态变量。
），称
令 为决策（控制）变量，它表示当处在 位置而还有 段要走时，所要选取的下一点。 例如，从 出发，下一点为 时，则表示为

动态规划教学PPT

动态规划教学PPT

=0≤mxa4x≤{s14 2.2s4+1.4x4}=13.6s4
(x4*=s4)
当k=3时 f3(s3)0＝≤xm3a≤xs{3 5s3+3x3+13.60s4≤}x=3m≤sa3x{5s3+3x3+13.6(0.9s3-0.2x3)}
=0≤mxa3x≤{s13 7.24s3+0.28x3}=17.5s3 (x3*=s3)
13
B1C1 1+13=14
C1D2 8+6=14
B1 B1C2 3+10=13*
C2 C2D1 3+7=10*
10
B1C3 6+9=15
C2D2 5+6=11
B2 B2C2 8+9=17
C3 C3D2 3+6=9*
9
B2C3 7+9=16*
C3D3 3+8=11
B2C4 6+12=18
C4 C4D2 8+6=14
A 3
8 7
B2 6
C3
3 3
8
D2
1 2
3 D3 3
5 E2 2
6 E3 6
G F2 3
C4 4
此问题的基本方程为
当k=6时
fk(sk)＝Min{dk(uk)+fk+1(sk+1)} s6 u6 D(u6)+f7(s7)
uk∈Dk(sk) k＝6,5,4,3,2,1 F1 F1G
4+0=4*
F6(s6) 4
k＝ 1,2,…,n； (2) 正确地选择状态变量Sk，并确定初始状态S1的值； (3) 确定决策变量uk以及各阶段的允许决策集Dk(Sk)； (4) 给出状态转移方程； (5) 给出满足要求的过程指标函数Vk,n及相应的最优

《动态规划教学》课件

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动态规划的理论研究
要点一
动态规划算法的收敛性研究
深入探讨动态规划算法的收敛速度和收敛条件，为算法优 化提供理论支持。
要点二
动态规划的近似算法研究
研究近似动态规划算法，在保证一定精度下降低计算复杂 度，提高求解效率。
THANK YOU
缺点
01
空间复杂度高
动态规划通常需要存储所有子问题的解决方案，因此其空 间复杂度通常较高。对于大规模问题，可能需要大量的存 储空间，这可能导致算法在实际应用中受到限制。
02 03
可能陷入局部最优解
虽然动态规划有助于找到全局最优解，但在某些情况下， 它可能陷入局部最优解。这是因为动态规划通常从问题的 初始状态开始，逐步解决子问题，如果初始状态不是最优 的，则可能在整个过程中都围绕着一个非最优的解决方案 。
期权定价
动态规划可以用于期权定价模型，以更准确地预测期 权价格。
计算机科学
算法优化
动态规划可以用于优化算法，以提高计算效率和 准确性。
数据压缩
动态规划可以用于数据压缩算法，以更有效地压 缩和解压缩数据。
游戏开发
动态规划可以用于游戏开发和AI算法，以提高游 戏的可玩性和智能性。
生物信息学
基因序列比对
动态规划可以用于基因序列比对 ，以ห้องสมุดไป่ตู้定不同基因序列之间的相 似性和差异性。
蛋白质结构预测
动态规划可以用于预测蛋白质的 三维结构，以更好地理解蛋白质 的功能和作用机制。
进化树构建
动态规划可以用于构建进化树， 以更好地理解物种的进化关系和 演化历程。
05
动态规划的优缺点
优点
高效性
动态规划能够有效地解决最优化问题，特别是那些具有重叠子问题和最优子结构的问题。通过将问题分解为子问题并 存储它们的解决方案，动态规划避免了重复计算，从而大大提高了算法的效率。

动态规划专题完整ppt

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then begin m:=s[c[k-1,j]]+v[c[k,i],c[k-1,j]]; d:=c[k-1,j]; end;
s[c[k,i]]:=m; { S[c[k,j] ] 记录第K个阶段的第J个结点到 终点的最短距离}
h[c[k,i]]:=d;｛h[j]记录第j阶段最优路径经过的编号｝ end; end; writeln(s[n]);
三、动态规划中的几个概念
1、阶段
把解题的次序称为规划方向，把地位相同的结点称为一个 阶段。
2、状态
每一阶段的一个结点称为这个阶段的一个状态。如例1 中的第3阶段，有3个结点C1、C2、C3，称第3阶段有4种 状态，分别是C1、C2、C3。
3、状态转移方程 除边界外的任一阶段都得由其前面的阶段递推得到，这递
如：输入数据： N=7 4 3 2 1 4 4 t[i] 3 4 2 2 4 r[i] 输出 14 1 2+3 4+5 6+7
分析：
设F[i] 表示第i个人到第N个人买票所要的最小 时间。
F[i]=min{t[i]+f[i+1],r[i]+f[i+2] } (i=1,2,…,n-1)
F[n]=t[n] 目标是求f[1], 即所有歌迷总的买票时间的最小 值。
推的过程就表现出了阶段的动态演变。这种根据已有状态求得
未知状态的过程，我们称之为状态转移，状态转移的规则用数 学语言来描述，就称为状态转移方程。状态转移方程的形式多 样，如例1中的形式为G[i]=min{G[j]+ei,j}，ei,j∈E。
例题2：排队买票问题
一场演唱会即将举行。现有N（0〈N<=200〉个歌迷 排队买票，一个人买一张，而售票处规定，一个人每次最 多只能买两张票。假设第i位歌迷买一张票需要时间Ti（1 〈=I〈=n〉，队伍中相邻的两位歌迷（第j个人和第j+1个 人）也可以由其中一个人买两张票，而另一位就可以不用 排队了，则这两位歌迷买两张票的时间变为Rj，假如 Rj<T(j)+T(j+1)，则这样做就可以缩短后面歌迷等待的时间， 加快整个售票的进程。现给出N，Tj和Rj，求使每个人都买 到票的最短时间和方法。

动态规划

动态规划

2018/10/18
23
V1
V2 2
9 7 4 3
V3
V4
V5
6
2 4
6 5
9
4 2
3
7
1
3 2
7
4
11 11 1 5
3
10
12
5 6
8
8
11
5
5段图
2018/10/18 24
例6.6 0/1背包问题（向后处理策略）
设fi(x)是KNAP(1,i,X)的最优解。 则，fn(M) = KNAP(1,n,M)
2018/10/18 2
可行解：从问题开始阶段到最后阶段的一个合 理的决策序列都是问题的一个可行解。 目标函数：用来衡量可行解优劣的标准，通常 以函数形式给出。
最优解：能够使目标函数取极值的可行解。 多阶段决策过程的最优化问题就是：求能够获 得问题最优解的决策序列——最优决策序列。
2018/10/18
2018/10/18 1
讨论这一性质的问题： 任一阶段i以后的行为仅依赖于i阶段的过程状态，而 与i阶段之前的过程如何达到这种状态的方式无关（与此相 反的问题如回溯等）。
最优化问题： 每一决策都附有一定的“成本”，决策序列的成本是 序列中所有决策的成本之和。 设从阶段i到阶段i-1有pi种不同的选择，则从阶段0至阶 段n共有p1p2……pn种不同的路径（每条路路径对应一个 决策序列）。 问：这些路径里面，哪一条的成本的最小？ ——如何求取最优决策序列？
3 s 0 1 v2
1 2 2 v3
3 0 2 t
此时，问题存在最优的决策序列： s-3->v2-2->v3-3->t 但最优性原理不一定成立：最优决策序列上的 任一子决策序列不相对于当前子问题最优。

《动态规划算法》课件

《动态规划算法》课件
总结词
多阶段决策优化
详细描述
背包问题是一个经典的动态规划问题，通过将问题分解 为多个阶段，并为每个阶段定义状态和状态转移方程， 我们可以找到最优解。在背包问题中，我们使用一个二 维数组来存储每个状态的最优解，并逐步更新状态以找 到最终的最优解。
最长公共子序列求解
总结词
字符串匹配优化
详细描述
最长公共子序列问题是一个经典的动态规划问题，用 于找到两个序列的最长公共子序列。通过动态规划， 我们可以避免在寻找公共子序列时进行冗余比较，从 而提高算法效率。在动态规划中，我们使用一个二维 数组来存储子问题的最优解，并逐步构建最终的最长 公共子序列。
动态规划的基本思想
01
将问题分解为子问 题
将原始问题分解为若干个子问题 ，子问题的解可以构成原问题的 解。
02
保存已解决的子问 题
将已解决的子问题的解保存起来 ，以便在求解其他子问题时重复 使用。
03
递推求解
从子问题的解逐步推导出原问题 的解，通常采用自底向上的方式 求解。
02
动态规划算法的步骤
可并行化
动态规划算法可以并行化执行，以提高计算效率，这对于 大规模问题的求解非常有利。
缺点
• 空间复杂度高：动态规划算法需要存储大量的中间状态，因此其空间复杂度通常较高，有时甚至会超过问题规 模的一个指数倍。
• 问题规模限制：由于动态规划算法的空间复杂度较高，因此对于大规模问题的求解可能会遇到困难。 • 可能产生大量重复计算：在动态规划算法中，对于每个子问题，可能会被多次计算和存储，这会导致大量的重复计算和存储空间浪费。 • 不易发现：动态规划算法的应用范围有限，对于一些非最优子结构问题或没有重叠子问题的优化问题，动态规划算法可能不适用。因此，在解决问题时需要仔细分析问题特性，判断是

动态规划讲解例子课件

动态规划讲解例子课件

解：整个计算过程分四个阶段，从最后一个阶段开始。
第四阶段（D →E）： D 有两条路线到终点E 。
显然有 f4(D1 ) 5;
f4(D2 ) 2
9
2
12
B1
10
14
C1 3
9
D1 5
6
A
5 B2 10
1
4
13
6
C2 5
8
2
E
D2
B3
12 11
C3 10
第三阶段（C →D）： C 到D 有 6 条路线。
系统所处的状态和时刻是进行决策的重要因素； 即在系统发展的不同时刻（或阶段）根据系统所处的状 态，不断地做出决策；
找到不同时刻的最优决策以及整个过程的最优策略。
17
动态规划方法的关键：在于正确地写出基本的递 推关系式和恰当的边界条件（简称基本方程）。
要做到这一点，就必须将问题的过程分成几个相 互联系的阶段，恰当的选取状态变量和决策变量及定义最 优值函数，从而把一个大问题转化成一组同类型的子问题， 然后逐个求解。
6
A
5 B2 10
1
4
13
6
C2 5
8
2
E
D2
B3
12 11
C3 10
考虑经过 C3 的两条路线
f3(C3 )

d mind
(C (C
3 3
, ,
D1 ) D2 )
f4(D1 ) f4(D2 )

8 5 min10 2

12
(最短路线 C3 D2 E
最优策略 0 10 20 30 40 50 60
第二阶段：求 f2(x)。此时需考虑第一、第二个工厂如何进

动态规划ppt

动态规划ppt
min{5 7, 8 5} 12.
这说明由 C1 到F 的最短距离为12，相应的决策为 u3* (C1) D1.
u3* (C1) D1.
2
f4 (D3 ) 5 4
A
5
f4 (D1) 7
B1 3
6
8 7
B2
7
C1
5
8
4
C2 5
3
C3 4
8
C4 4
u
* 4
(
D3
)

E1.
6
D2 2
1
E2
D3
3
u2* (B1) C2.
u5* (E2 ) F.
4
F
3
u4* (D1) E1.
u4* (D2 ) E2.
u
* 2
(
B2
)

C3.
（1）k=1 时，只有一个状态点A, 则
f1( A) min{ d1( A, B1) f2 (B1), d1( A, B2 ) f2 (B2 )}
min{1 4, 3 3} 5.
即 D3 到F 的最短距离为5，其路径为 D2 E2 F.
相应的决策为： u4* (D3 ) E1.
f4 (D1) 7
4
A
5
f4 (D2 ) 5
2
B1 3
6
8 7
B2
7
（3）k=3 时，状态
C1
5
8
4
C2 5
3
C3 4
8
C4 4
u
* 4
4
A
5
2
B1 3
6
8 7

运筹学：第6章：动态规划

运筹学：第6章：动态规划
动态规划问世之初，受计算技术水平的限制，对人们所关心 的许多复杂问题难以进行处理。以后,随着计算技术的进步,动态 规划的思想方法,在工程技术、企业管理、工农业生产以及军事 等部门都有广泛的应用。例如在企业管理方面，动态规划可以 用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调度问题、库存 问题、装载问题、排序问题、设备更新问题、生产过程最优控 制问题等等。
例6-4中，从s到t可以分成四个阶段：s～A(A有三种选择， A1或A2或A3)，A～B(B1或B2或B3)，B～C(C1或C2)，C～t，
因此k＝1，2，3，4。
2、状态 表示每个阶段开始所处的自然状况或客观条件。
描述各阶段状态的变量称为状态变量，常用sk表示第k阶段的 状态变量。
状态变量的取值有一定的允许集合或范围，此集合称为状态 允许集合，第k阶段的可能状态集用Sk表示。
8
s6
4
A1
3 6
7
4
A2
3 5
B1 2
5
7
B2 4
C1
2 10
min7 6
12
6 2
A3 6
4 4
B3
C2
二、动态规划的数学模型
动态规划的数学模型可以描述如下：
opt V1,n (s1,u1, s2,u2,, sn ,un )
sk 1 Tk sk ,uk
uskk
Sk
sk
Dk
sk
k 1,2,,n
建立实际问题的动态规划模型一般可遵循以下步骤：
第一，按时间或空间顺序将多阶段决策问题划分为适当的 阶段；
二、多阶段决策问题举例
【例6-1】生产与存贮问题。某工厂每月需供应市场一定数量 的产品，并将所余产品存入仓库。一般某月适当增加产量可降 低生产成本，但超产部分存入仓库会增加库存费用。要求确定 一个逐月的生产计划，在满足需求的条件下，使一年的生产与 存贮费用之和最小。
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表6-2
本阶段始点 （状态）
C1 C2 C3
阶段3 本阶段各终点（决策）
D1 8+10=18 7+10=17 1+10=11
D2 6+6=12 5+6=11 6+6=12
到E的最短距离
12 11 11
本阶段最优终点 （最优决策)
D2 D2 D1
分析得知：如果经过C1，则最短路为C1-D2-E； 如果经过C2，则最短路为C2-D2-E； 如果经过C3，则最短路为C3-D1-E。
到E的最 本阶段最优终 短距离 点(最优决策)
12
C2
最后，可以得到：从A到E的最短路径为A B4 C3 D1 E
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§1 问题的提出
以上计算过程及结果，可用图2表示，可以看到，以上方法
不仅
得到了从A到E的最短路径，同时，也得到了从图中任一点到E的最
短路径。
4 14
A
3
3
2
12 B1 2
3.决策与决策变量
决策：在某阶段对可供选择状态的决定（或选择）。
s 决策变量：描述决策的变量。常用xk(sk)表示第k阶段处于状态
的决策变量，它是状态变量的函数。
k时
4.策略与子策略
策略是一个决策序列的集合。由所有各阶段的决策组成的决 策函数序列称为全过程策略，简称策略，记为： P1,n(s1)。
子策略：从第k个阶段开始到最后阶段的决策组成的决策函数 序列称为k子过程策略，简称子策略，记为： Pk,n(sk)
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§1 问题的提出
第一阶段：只有1个始点A，终点有B1,B2,B3,B4 。对始点和终 点进行分析和讨论分别求A到B1,B2,B3,B4的最短路径问题：
表6-4
本阶段始 点(状态)
A
阶段1 本阶段各终点（决策）
B1
B2
B3
B4
4+12=16 3+13=16 3+14=17 2+12=14
状态就是阶段的起始位置。它既是该阶段某支路的起点，又是 前一阶段某支路的终点。状态可以是数量，也可以是字符，数量状态 可以是连续的，也可以是离散的。
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§2 基本概念、基本方程与最优化原理
状态变量：描述过程状态的变量称为状态变量。它可用一个数、
s 一 常组一数个或阶一段向有量若（干多个维状情态形。）第k来阶描段述的，状常态用就是k第该k阶阶段段所的有状始态点变的量集。合通。
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§1 问题的提出
第二阶段：有4个始点B1,B2,B3,B4，终点有C1,C2,C3。对始点和终点进行分 析和讨论分别求B1,B2,B3,B4到C1,C2,C3 的最短路径问题：
表6-3
本阶段始点 （状态）
B1 B2 B3 B4
阶段2 本阶段各终点（决策）
C1 2+12=14 4+12=16 4+12=16 7+12=19
C3
D2
6
75 1
4
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E 2
§1 问题的提出
用穷举法的计算量，非常大。
讨论：
1、以上求从A到E的最短路径问题，可以转化为四个性质完全相同， 但规模较小的子问题，即分别从Di 、Ci、Bi、A到E的最短路径问题。
第四阶段：两个始点D1和D2，终点只有一个；
表6-1
本阶段始点 （状态）
阶段4 本阶段各终点（决策） 到E的最短距离
E
D1
10*
10
D2
6
6
分析得知：从D1和D2到E的最短路径唯一。
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本阶段最优终点 （最优决策)
E E
3
§1 问题的提出
第三阶段：有三个始点C1，C2，C3，终点有D1，D2，对始点 和终点进行分析和讨论分别求C1，C2，C3到D1，D2 的最短路 径问题：
第六章 动态规划
§1 问题的提出 §2 基本概念、基本方程与最优化原理 §3 动态规划的应用
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1
§1 问题的提出
一、引例—— 最短路径问题
下图表示从起点A到终点E之间各点的距离。求A到E的最短路径 。
4
3 A
3 2
2 B1
1 6
4
B2
7
2
C1
8
6
7 C2 5
D1
10
48 B3 3
1 6
多阶段决策问题：把一个问题看作是一个前后关联具有链状结 构的多阶段过程，也称为序贯决策过程。
2.适用范围
如果一个问题可将其过程划分为若干个相互联系的阶段问题， 且它的每一阶段都需要进行决策，则这类问题均可用动态规划方法进 行求解。
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§2 基本概念、基本方程与最优化原理
一、基本概念
C2 1+11=12 7+11=18 8+11=19 5+11=16
C3 6+11=17 2+11=13 3+11=14 1+11=12
到E的最 短距离
12 13 14 12
本阶段最优终 点（最优决策)
C2 C3 C3 C3
分析得知：如果经过B1，则走B1-C2-D2-E； 如果经过B2，则走B2-C3-D1-E； 如果经过B3，则走B3-C3-D1-E； 如果经过B4，则走B4-C精3品-D课1-件E。
（2）对问题的求解是从全局考虑解决局部（阶段）的问题。
（3）各阶段选取的决策依赖于当前的状态，又随即引起状态的转移，整 个决策序列就是在变化的状态中产生出来，故有“动态”含义。
（4）决策过程是与阶段发展过程逆向而行。
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§1 问题的提出
二、动态规划的含义及适用范围 1.动态规划
动态规划是解决一类多阶段决策问题的优化方法，它是考察 问题的一种途径，而不是一种算法。
61
13 4 B2 7
2
48 B3 3
12 C1 8
6
11 7 C2
5
1
C3 6
10
D 1 10
0
E
D2 6 6
14
11
75 1
B4 12
以上过程，仅用了22次加法，计精算品效课件率远高于穷举法。
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§1 问题的提出 从引例的求解过程中可以得到以下启示：
（1）对一个问题是否用上述方法求解，其关键在与能否将问题转化为相 互联系的多个阶段的决策问题。
1.阶段和阶段变量
用动态规划方法求解问题时，首先将问题的全过程适当地分 成若干个互相联系的阶段，以便能按一定的次序去求解。
阶段的划分，一般根据时序和空间的自然特征来划分。如引例 可按照空间划分为4个阶段。
阶段变量：描述阶段的变量称为阶段变量。用k表示，引例中， k=1,2,3,4.
2.状态和状态变量sk
最优策略：能够达到总体最优的策略。
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§2 基本概念、基本方程与最优化原理
5. 状态转移方程
它是确定过程由某一阶段的一个状态到下一阶段另一状 态的演变过程，用sk+1=Tk(sk, xk)表示。该方程描述了第k阶段到第 k+1阶段的状态转移规律。因此又称为状态转移函数。