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第10章时间序列预测从时间序列图可以看出，国家财政用于农业的支出额大体上呈指数上升趋势。
（2）年平均增长率为：。
（3）。
下表是1981年—2000年我国油彩油菜籽单位面积产量数据（单位：kg / hm2）年份单位面积产量年份单位面积产量1981 1451 1991 12151982 1372 1992 12811983 1168 1993 13091984 1232 1994 12961985 1245 1995 14161986 1200 1996 13671987 1260 1997 14791988 1020 1998 12721989 1095 1999 14691990 1260 2000 1519（1）绘制时间序列图描述其形态。
（2）用5期移动平均法预测2001年的单位面积产量。
（3）采用指数平滑法，分别用平滑系数a=和a=预测2001年的单位面积产量，分析预测误差，说明用哪一个平滑系数预测更合适？详细答案：（1）时间序列图如下：（2）2001年的预测值为：|（3）由Excel输出的指数平滑预测值如下表：年份单位面积产量指数平滑预测a= 误差平方指数平滑预测a=误差平方a=时的预测值为：比较误差平方可知，a=更合适。
下面是一家旅馆过去18个月的营业额数据月份营业额（万元）月份营业额（万元）1 295 10 4732 283 11 4703 322 12 4814 355 13 4495 286 14 5446 379 15 6017 381 16 5878 431 17 6449 424 18 660（1）用3期移动平均法预测第19个月的营业额。
（2）采用指数平滑法，分别用平滑系数a=、a=和a=预测各月的营业额，分析预测误差，说明用哪一个平滑系数预测更合适？（3）建立一个趋势方程预测各月的营业额，计算出估计标准误差。
详细答案：（1）第19个月的3期移动平均预测值为：（2）月份营业额预测a=误差平方预测a=误差平方预测a=误差平方1 2952 2833 3224 3555 2866 3797 3818 4319 42410 47311 47012 48113 44914 54415 60116 58717 64418 660合计————50236由Excel输出的指数平滑预测值如下表：a=时的预测值：，误差均方＝。
第一章 差分方程差分方程是连续时间情形下微分方程的特例。
差分方程及其求解是时间序列方法的基础，也是分析时间序列动态属性的基本方法。
经济时间序列或者金融时间序列方法主要处理具有随机项的差分方程的求解问题，因此，确定性差分方程理论是我们首先需要了解的重要内容。
§1.1 一阶差分方程假设利用变量t y 表示随着时间变量t 变化的某种事件的属性或者结构，则t y 便是在时间t 可以观测到的数据。
假设t y 受到前期取值1-t y 和其他外生变量t w 的影响，并满足下述方程：t t t w y y ++=-110φφ (1.1)在上述方程当中，由于t y 仅线性地依赖前一个时间间隔自身的取值1-t y ，因此称具有这种结构的方程为一阶线性差分方程。
如果变量t w 是确定性变量，则此方程是确定性差分方程；如果变量t w 是随机变量，则此方程是随机差分方程。
在下面的分析中，我们假设t w 是确定性变量。
例1.1 货币需求函数 假设实际货币余额、实际收入、银行储蓄利率和商业票据利率的对数变量分别表示为t m 、t I 、bt r 和ct r ，则可以估计出美国货币需求函数为：ct bt t t t r r I m m 019.0045.019.072.027.01--++=-上述方程便是关于t m 的一阶线性差分方程。
可以通过此方程的求解和结构分析，判断其他外生变量变化对货币需求的动态影响。
1.1.1 差分方程求解：递归替代法差分方程求解就是将方程变量表示为外生变量及其初值的函数形式，可以通过以前的数据计算出方程变量的当前值。
由于方程结构对于每一个时间点都是成立的，因此可以将(1.1)表示为多个方程：0=t ：01100w y y ++=-φφ 1=t ：10101w y y ++=φφt t =：t t t w y y ++=-110φφ依次进行叠代可以得到：1011211010110101)()1()(w w y w w y y ++++=++++=--φφφφφφφφ0111122113121102)1(w w w y y φφφφφφφ++++++=-i ti i t t i it w y y ∑∑=-=++=011110φφφφ (1.2)上述表达式(1.2)便是差分方程(1.1)的解，可以通过代入方程进行验证。
时间序列数据分析与预测一、概述时间序列数据是指在时间上有顺序排列的一组统计数据，因其具有时间上的连续性，才能反映出数据在时间上的变化规律，通常用于分析和预测。
时间序列数据分析与预测是一项研究如何对时间序列数据进行建模和预测的学问，其中包括对时间序列数据的特征进行分析、模型的选择以及模型的评估等内容。
时间序列数据分析和预测在经济、金融、气象、交通等领域具有广泛的应用，其中涵盖的内容也十分广泛，可分为时间序列的基本特征分析、时间序列建模、模型的评估和预测等，以下将一一阐述。
二、时间序列的基本特征分析对于时间序列数据分析和预测，首先需要对数据的基本特征进行分析。
时间序列数据通常有趋势、季节性、周期性和随机性四个基本特征。
分析这些基本特征有利于选择合适的模型和参数，提高模型的准确度。
1. 趋势：趋势是目标时间序列数据随时间推移而呈现的持续变化方向，通常会表现为上升或下降的趋势。
一般认为，趋势的存在是时间序列数据被影响的本质原因，因此在建立预测模型时，必须对时间序列数据中的趋势进行建模。
2. 季节性：季节性是指时间序列数据在不同时间段之间出现的规律性变化，这种规律性变化可能与某些季节、天气等因素有关。
如果时间序列数据存在季节性，则预测模型应该对不同的季节性趋势进行建模。
3. 周期性：周期性是指时间序列数据随时间呈现出规律的周期性波动，这种波动可以是短期的也可以是长期的。
如果时间序列数据具有周期性，则应该设法对这种周期性进行建模。
4. 随机性：随机性是指时间序列数据中除趋势、季节性和周期性之外的随机因素，表现为时间序列数据的波动范围和波动方向不确定，属于无规律变化。
通常，可以将时间序列中的随机性分解为来自白噪声等影响。
三、时间序列建模在了解时间序列数据的基本特征后，需要选择适宜的模型进行建模。
常见的时间序列数据建模方法包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归模型（AR）、移动平均模型（MA）、自回归移动平均模型（ARIMA）和季节性自回归移动平均模型（SARIMA）等。
时间序列预测的方法与分析时间序列预测是一种用于分析和预测时间相关数据的方法。
它通过分析过去的时间序列数据，来预测未来的数据趋势。
时间序列预测方法可以分为传统统计方法和机器学习方法。
下面将分别介绍这两种方法以及它们的分析步骤。
1. 传统统计方法传统统计方法主要基于时间序列数据的统计特征和模型假设进行分析和预测。
常用的传统统计方法包括移动平均法、指数平滑法和ARIMA模型。
(1) 移动平均法：移动平均法通过计算不同时间段内的平均值来预测未来的趋势。
该方法适用于数据变动缓慢、无明显趋势和周期性的情况。
(2) 指数平滑法：指数平滑法通过对历史数据进行加权平均，使得近期数据具有更大的权重，从而降低对过时数据的影响。
该方法适用于数据变动较快、有明显趋势和周期性的情况。
(3) ARIMA模型：ARIMA模型是一种常用的时间序列预测模型，它结合了自回归(AR)、差分(I)和滑动平均(MA)的概念。
ARIMA模型可以用于处理非平稳时间序列数据，将其转化为平稳序列数据，并通过建立ARIMA模型来预测未来趋势。
2. 机器学习方法机器学习方法通过训练模型来学习时间序列数据的特征和规律，并根据学习结果进行预测。
常用的机器学习方法包括回归分析、支持向量机(SVM)和神经网络。
(1) 回归分析：回归分析通过拟合历史数据，找到数据之间的相关性，并建立回归模型进行预测。
常用的回归算法包括线性回归、多项式回归和岭回归等。
(2) 支持向量机(SVM)：SVM是一种常用的非线性回归方法，它通过将数据映射到高维空间，找到最佳分割平面来进行预测。
SVM可以处理非线性时间序列数据，并具有较好的泛化能力。
(3) 神经网络：神经网络是一种模仿人脑神经元组织结构和工作原理的计算模型，它通过训练大量的样本数据，学习到数据的非线性特征，并进行预测。
常用的神经网络包括前馈神经网络、循环神经网络和长短期记忆网络等。
对于时间序列预测分析，首先需要收集并整理时间序列数据，包括数据的观测时间点和对应的数值。
时间序列预测的方法与分析一、时间序列预测的基本原理时间序列预测的基本原理是利用历史数据中的模式和趋势，预测未来一段时间内数据的走势。
它基于以下几个假设：1. 数据点之间存在一定的内在关系：时间序列预测假设数据点之间具有一定的内在关系，即过去的数据点能够对未来的数据点产生影响。
2. 数据的模式和趋势是相对稳定的：时间序列预测假设数据的模式和趋势相对稳定，即未来的数据点会延续过去的规律。
基于以上假设，时间序列预测方法主要有两个核心步骤：模型建立和模型评估。
二、时间序列模型建立时间序列模型的建立是通过对历史数据进行分析和建模，找出合适的模型来预测未来的数据。
常用的时间序列模型有以下几种：1. 移动平均模型（Moving Average, MA）：移动平均模型是一种基于均值的模型，它假设未来的数据点与过去的数据点存在相关性。
通过计算一定时期内的均值，可以预测未来数据的变化趋势。
2. 自回归模型（Autoregressive, AR）：自回归模型是一种基于过去数据点的线性回归模型，在时间序列中考虑到自身过去的数据点的影响。
它通过建立当前数据点与过去数据点的线性关系，可以预测未来数据的变化。
3. 自回归移动平均模型（Autoregressive Moving Average, ARMA）：自回归移动平均模型是自回归模型和移动平均模型的结合，同时考虑到了过去数据点与滞后数据点的影响，更加准确地预测未来数据。
4. 季节性模型（Seasonal Model）：季节性模型用于处理具有明显季节性的时间序列数据，如某种商品每年冬季销量较高或某股票每年度假期交易较少。
它通过建立季节性因素和其他因素的关系，来预测未来的季节性变化。
在选择合适的时间序列模型时，需要根据数据的特点和预测目标来进行判断。
可以通过观察数据的图表和统计指标，以及使用一些专门的模型评估指标来选择最优模型。
三、时间序列模型评估时间序列模型评估是对建立的模型进行检验和比较，以确定模型的可靠性和预测效果。
第四章 预 测在本章当中我们讨论预测的一般概念和方法，然后分析利用),(q p ARMA 模型进行预测的问题。
§4.1 预期原理利用各种条件对某个变量下一个时点或者时间阶段内取值的判断是预测的重要情形。
为此，需要了解如何确定预测值和度量预测的精度。
4.1.1 基于条件预期的预测假设我们可以观察到一组随机变量t X 的样本值，然后利用这些数据预测随机变量1+t Y 的值。
特别地，一个最为简单的情形就是利用t Y 的前m 个样本值预测1+t Y ，此时t X 可以描述为：假设*|1t t Y +表示根据t X 对于1+t Y 做出的预测。
那么如何度量预测效果呢？通常情况下，我们利用损失函数来度量预测效果的优劣。
假设预测值与真实值之间的偏离作为损失，则简单的二次损失函数可以表示为(该度量也称为预测的均方误差)：定理4.1 使得预测均方误差达到最小的预测是给定t X 时，对1+t Y 的条件数学期望，即：证明：假设基于t X 对1+t Y 的任意预测值为： 则此预测的均方误差为：对上式均方误差进行分解，可以得到：其中交叉项的数学期望为(利用数学期望的叠代法则)： 因此均方误差为：为了使得均方误差达到最小，则有： 此时最优预测的均方误差为：211*|1)]|([)(t t t t t X Y E Y E Y MSE +++-=End我们以后经常使用条件数学期望作为随机变量的预测值。
4.1.2 基于线性投影的预测由于上述条件数学期望比较难以确定，因此将预测函数的范围限制在线性函数当中，我们考虑下述线性预测：如此预测的选取是所有预测变量的线性组合，预测的优劣则体现在系数向量的选择上。
定义4.1 如果我们可以求出一个系数向量值α，使得预测误差)(1t t X Y α'-+与t X 不相关：则称预测t X α'为1+t Y 基于t X 的线性投影。
定理4.2 在所有线性预测当中，线性投影预测具有最小的均方误差。
证明：假设t X g '是任意一个线性预测，则对应的均方误差可以分解为：由于t X α'是线性投影，则有： 因此均方误差为：为了使得均方误差达到最小，线性预测满足：这是一个线性投影。
End我们将线性投影预测表示为： 或者简化为：显然线性投影的预测误差仍然不小于条件期望预测，因此有： 当条件中包含常数的时候，此时线性投影当中就含有常数，为此使用Eˆ表示含有常数项的线性投影预测，即： 4.1.3 线性投影的性质根据线性投影的定义，我们可以求出投影的系数向量： 如果)(t t X X E '是可逆的，则有： 命题4.1 线性预测满足下述性质： (1) 最优线性预测的均方误差为： (2) 线性投影满足线性平移性质：证明：(1) 根据投影向量的表达式，可以得到： 化简就可以得到命题表达式。
(2) 需要证明b X Y P a t t ++)|(ˆ1是b aY t ++1的线性投影。
显然，它是线性函数，其次，可以证明它满足正交性质。
End4.1.4 线性投影和普通最小二乘回归线性投影与最小二乘估计紧密相关，这两种概念之间存在联系。
例如，将1+t y 基于t x 建立线性回归方程，得到：对于给定1+t y 和t x 的T 个样本，样本残差平方和定义为： 使得残差平方和达到最小的系数最小二乘估计为：如果过程是协方差平稳过程且关于二阶矩是遍历的，则有： 因此上述OLS 估计按概率收敛到线性投影系数：4.1.5 向量预测上述结果可以推广到利用1⨯m 维向量t X 预测1⨯n 维向量1+t Y ，记为： 其中α'为投影系数的一个m n ⨯阶矩阵，满足正交条件：上式说明预测误差)ˆ(|11tt t Y Y ++-的每一个分量与条件变量t X 的每一个分量都无关。
命题4.2 假设tt Y |1ˆ+是1+t Y 的最小均方误差线性预测，则对任意1+t Y 的线性组合11++'=t t Y h z ，它的最小均方误差线性预测为：证明：只需证明是线性投影即可，这时需要验证相应的正交性。
End类似地，投影矩阵为：与此对应的均方误差矩阵为：§4.2 基于无限个观测值的预测无论是条件期望预测还是正交线性预测，都是基于有限个条件变量的，下面我们分析基于无限个观测值情形下的预测。
4.2.1 基于滞后误差的预测考察一个无限阶移动平均过程)(∞MA ：t t L Y εψμ)(+=， +++=2210)(L L L ψψψψ，∑+∞=∞<0||j j ψ假设已经知道过去所有时间阶段的残差观测值},,,{21 --t t t εεε，也知道模型中各种参数的值。
现在我们要预测s 个阶段以后的s t Y +，根据模型它应该是：对此最优线性预测形式为： 这个预测值的对应误差为： 这个预测值的均方误差为：例4.1 试求)(q MA 过程的最优线性预测。
解：)(q MA 过程为：()t t Y L μθε=+，2012()q q L L L L θθθθθ=++++ 则它的最优线性预测为： 对应的均方误差为：上述预测具有清楚的含义，在时间间隔q 以后，使用过程的均值进行预测，而方差是过程的无条件方差。
4.2.2 基于滞后Y 的预测一般情况下，我们仅仅可以观察到Y 的值，为此假设移动平均过程具有可逆表示： 其中：+++=2210)(L L L ηηηη，10=η，∑+∞=∞<0||j j η假设上述AR 过程与MA 过程之间滞后算子多项式的关系： 1. 协方差平稳的)(p AR 过程为： 表示成为算子多项式形式： 满足：)()(L L φη=，1)]([)(-=L L φψ2. 一个)(q MA 过程可以表示成为： 也可以表示成为算子多项式形式： 在可逆性假设条件下，则有： )()(L L θψ=，1)]([)(-=L L θη如果给出了观测值},,{1 -t t Y Y ，可以在模型当中构造出残差序列},,{1 -t t εε，例如在)1(AR 过程当中：对于给定系数和},,{1 -t t Y Y ，由上式可以计算出： 在可逆的)1(MA 过程当中，可以得到：最后，可以得到给定},,{1 -t t Y Y 条件下的预测公式为： 或者：)()(1)(],,|[ˆ1μψψμ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+-+t s t t s t Y L L L Y Y Y E 上述公式也被称为Wiener-Kolmogorov 预测公式。
上述公式当中的算子是截断形式的算子表达式，算子表达式中将滞后算子的负指数项省略。
4.2.3 预测一个)1(AR 过程对于一个平稳的)1(AR 过程，可以将算子多项式表示成为： 利用上述公式，可以得到s 阶段后的最优线性预测为：上述预测公式说明，随着预测阶段的增加，预测值将趋于长期均值。
对应的预测误差为：随着预测阶段的增加，预测误差也趋于无条件方差)1/(22φσ-。
4.2.4 预测一个)(p AR 过程对于一个平稳的)(p AR 过程，可以利用Wiener-Kolmogorov 预测公式进行预测。
该公式的主要特点在于：它可以利用过去的过程观测值和未来的残差值表示预测值，然后未来的残差值利用期望去掉。
其中)(t j i f 表示矩阵t F 中第i 行、第j 列元素，矩阵F 为：这时s 阶段的最优预测为：显然上述预测是均值基础上加上观测值的一个线性组合，是观测值的线性函数。
相应的预测误差为：下面我们给出具体的预测推导过程： (1) 进行1个时期的预测，它满足： (2) 将时间开始阶段换为1+t ，得到：根据多重投影定理断言，如果2+t Y 的1+t 期预测是t 期信息的投影，则该预测也是t 期进行的最优线性预测，则有： 将1期预测代入得到：(3) )(p AR 过程的前s 期预测根据叠代可以得到： )ˆ()ˆ()ˆ(ˆ||22|11|μφμφμφμ-++-+-=--+-+-++t p j t p t j t t j t t j t Y Y Y Y ，s j ,,2,1 = 其中：ττY Y t =|ˆ，t ≤τ 4.2.5 预测一个)1(MA 过程继续考察一个)1(MA 过程，可以利用滞后算子表示为： t t L Y εθμ)1(+=-，1||<θ利用Wiener-Kolmogorov 预测公式进行预测，得到： 向前预测1期时有： 则预测值为：当预测步长超过1时： 则预测值为：4.2.6 预测一个)(q MA 过程继续考察一个可逆的)(q MA 过程：利用Wiener-Kolmogorov 预测公式进行预测，得到： 其中：对于比较近期的预测(q s ,,2,1 =)有： 其中t εˆ可以利用下述递推表示：对于比较远期的预测(q s >)比较简单：4.2.7 预测一个)1,1(ARMA 过程)1,1(ARMA 过程可以表示为：假设该过程是平稳的(1||<φ)和可逆的(1||<θ)，则：其中：代入到预测公式中：注意到对于任意1>s ，预测值满足递推公式：这意味着预测值按照几何方式以速度φ收敛到无条件均值。
前1期预测由下式给出：上式可以等价地表示为： 其中： 或者：4.2.8 预测一个),(q p ARMA 过程综合上述各种预测情形，我们可以得到预测平稳),(q p ARMA 过程的方法。
),(q p ARMA 过程可以表示为：最优线性预测方程可以表示为： 其中t εˆ可以利用下述递推表示：前s 期预测为： 其中：ττY Y t =-1|ˆ，t ≤τ§4.2 基于无限个观测值的预测下面我们假设已知模型的参数，但是只获得了有限样本},,,{11+--m t t t Y Y Y 情形下的预测问题。
4.3.1 最优预测的近似基于有限个观察值的预测方法是假设样本之前的残差ε都为零，这是因为有下面的近似公式存在：4.3.2 有限样本情形下的精确预测利用线性投影可以得到有限样本情形下的精确预测： §4.7 ARMA (1)过程之和下面我们考虑两个ARMA 过程相加所得到的时间序列性质。
4.7.1 MA (1)过程与白噪声之和假设一个序列是零均值的)1(ARMA 过程： 其中t u 是白噪声序列，满足： 此时t X 过程自协方差函数为：假设随机过程t v 是另外一个白噪声过程，满足：假设两个白噪声序列之间在任何时点都是不相关的，也即有： 0)(=s t v u E ，t s ,∀ 这是也有：0)(=s t v X E ，t s ,∀目前的问题是，如何观测到一个序列t Y 是上述移动平均过程和白噪声过程的和，那么这个和过程的性质如何？显然，上述过程仍然具有零均值，它的自协方差函数可以表示为： 由此可见，随机过程t Y 也是平稳过程，它的自协方差函数与)1(MA 过程是类似的。
