北京四中高考数学总复习 平面向量的数量积及应用(提高)知识梳理教案

（同步复习精讲辅导）北京市2014-2015学年高中数学 平面向量的数量积及向量应用讲义 新人教A 版必修4知识引入2a →是什么意思？2()a b →→+怎么计算？a b c →→→⋅⋅能计算吗？等式“HA HB HB HC ⋅=⋅－－－－－－－－→→→→”的两边能约分吗？为什么？重难点易错点解析题一题面：在ABC ∆中，D 是边BC 的中点，||3,||2AC AB ==－－→→，求AD BC ⋅－－→→的值. BC D A金题精讲题一题面： ABC ∆，5,3,4===BC AC AB ，D 是BC 中点.计算：(1)AB AC ⋅=－－→→ ；(2)BA BC ⋅=－－→→；(3)AC CB ⋅=－－→→BC D A题二题面： ,a b →→是单位向量，夹角为ο60.一般记2c c c =⋅→→→. (1)2(2)a b →→+= ；(2)|32|a b →→-+= ； (3))2(→→+b a (32)a b →→⋅-+= ；(4)2a b →→+与32a b →→-+的夹角是 .题三 题面：若点H 满足条件：HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅－－－－－－－－－－－－→→→→→→，则点H 是△ABC 的_____心.题四 题面：已知向量a →与b →的夹角为o 120，||3,||13a a b =+=→→→则||b →等于 .题五题面：直角三角形ABC 中，∠A 是直角，A 为EF 中点，且EF 与BC 夹角为o 60，4BC =，2EF =，则BE CF⋅→→－－－－的值为_______.思维拓展题一 题面： 求证：平行四边形的对角线平方和等于四条边的平方和.讲义参考答案重难点易错点解析题一答案：5 2金题精讲题一答案：(1) 0 (2)16 (3)－9 题二答案：772(4)120o题三答案：垂题四答案：4.题五答案：1或－3.思维拓展题一答案：略。

第35讲 │ 知识梳理
(2)向量数量积的性质 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量， θ是a与e的夹角，则 ①e·a＝a·e＝ |a________ |cosθ ； ②a⊥b⇔ ________ a· b＝0 ； ③当a与b同向时，a·b＝ ________；当a与b反向时， |a||b| a·b＝________ －|a||b|， |a|2 特别地，a·a＝________ 或|a|＝________ ； a·a a·b cos θ ＝ ④cosθ＝________ ； |a||b| ≤ ⑤|a·b|________| a||b|.
第35讲 │ 平面向量的数量积及应用
第35讲
平面向量的数量积及应用
第35讲 │ 知识梳理 知识梳理
1．向量的数量积 (1)向量数量积的概念 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 ________________ |a||b|cosθ 叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即 a·b＝________________. 规定，零向量与任一向量的数量积为 |a||b|cosθ ________ ，即____________ ． 0 0·a＝0
第35讲 │ 知识梳理
3．向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量 O→ A ＝a＝(x1，y1)，O→ B ＝b＝(x2，
y2)，O→ A 、O→ B 间的夹角为 θ .
2 2 x1x2＋y1y2；②|a|＝________ x1 ＋y1 ； ①a·b＝________
x －x ＋ y －y → ③|A B |＝__________(平面内两点间的距离公式)；
第35讲 │ 要点探究
第35讲 │ 要点探究
► 探究点2 平面向量的夹角问题

1
C.-
4
B.
3

4
D.-
3

4
)
答案 A
解析 由 2 = + 可知圆心 O 为 BC 边的中点,即 BC 为直径.又
||=| |=||,所以 ΔABO 为等边三角形,∠ABO=60°.因此在 上的投
1
影向量为
2
=
1
.
4
6. 已知|a|=4,|b|=3,且(2a-3b)·(2a+b)=61,则a与b的夹角θ=
12 +12 22 +22
A(x1,y1),B(x2,y2)两点的距离 |AB|=|| |AB|= (1 -2 )2 + (1 -2 )2
a⊥b 的充要条件
a·b=0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b| |x1x2+y1y2|≤ 12 + 12 · 22 + 22
.
答案 120°
解析 由已知得4|a|2-4a·b-3|b|2=61,因此4×42-4×4×3cos θ-3×32=61,解得
cos θ=-
1
,所以a与b的夹角θ=120°.
2
研考点 精准突破
考点一
平面向量数量积的运算
例题(1)(2023·福建厦门高三期中)著名数学定理“勾股定理”的一个特例是
“勾3股4弦5”,我国的西周时期数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”
|||| 2
3
1
,∴a·b=- ,
2
2
A.
(2)因为 a 与 b 的夹角为钝角,所以 a·b<0,即-2x +3x<0,解得 x<0 或

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第五章5.3 平面向量的数量积及其应用考纲要求1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．知识梳理1．两个向量的夹角 (1)定义已知两个__________向量a 和b ，作OA u u u r ＝a ，OB uuu r＝b ，则__________称作向量a 与向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉．(2)范围向量夹角〈a ，b 〉的范围是__________，且__________＝〈b ，a 〉． (3)向量垂直如果〈a ，b 〉＝__________，则a 与b 垂直，记作__________． 2．平面向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义__________叫作向量a 和b 的数量积(或内积)，记作a ·b ＝__________.可见，a ·b 是实数，可以等于正数、负数、零．其中|a |cos θ(|b |cos θ)叫作向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影．(2)向量数量积的运算律①a ·b ＝__________(交换律)②(a ＋b )·c ＝__________(分配律)③(λa )·b ＝__________＝a ·(λb )(数乘结合律)．性质 几何表示 坐标表示 定义 a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉 a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2模a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a2212||=a a a若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB u u u r＝(x 2－x 1，y 2－y 1)AB u u u r＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2a ⊥b的充要条件 a ·b ＝0 a 1b 1＋a 2b 2＝0夹角 cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |(|a ||b |≠0)cos 〈a ，b 〉＝112222221212·a b a b a a b b+|a ·b |与 |a ||b |的|a ·b |≤|a ||b |222211221212||a b a b a a b b +≤关系 基础自测1．已知下列各式：①|a |2＝a 2； ②a ·b |a |2＝b a； ③(a ·b )2＝a 2b 2；④(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2，其中正确的有( )． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，则下列结论中正确的是( )． A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a ∥bD ．a －b 与b 垂直 3．已知a ＝(1，－3)，b ＝(4,6)，c ＝(2,3)，则(b ·c )a 等于( )． A ．(26，－78) B ．(－28，－42) C ．－52 D ．－784．若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2且a 与b 的夹角为π3，则|a ＋b |＝__________.5．已知|a |＝2，|b |＝4且a ⊥(a －b )，则a 与b 的夹角是__________． 思维拓展1．b 在a 上的投影是向量吗？提示：不是，b 在a 上的投影是一个数量|b |cos θ，它可以为正，可以为负，也可以为0.2．根据数量积的运算律，判断下列结论是否成立． (1)a ·b ＝a ·c ，则b ＝c 吗？ (2)(a ·b )c ＝a (b ·c )吗？提示：(1)不一定，a ＝0时不成立，另外a ≠0时，a ·b ＝a ·c .由数量积概念可知b 与c 不能确定； (2)(a ·b )c ＝a (b ·c )不一定相等．(a ·b )c 是c 方向上的向量，而a (b ·c )是a 方向上的向量，当a 与c 不共线时它们必不相等．3．向量数量积与实数相关概念有哪些区别？ 提示：(1)表示方法的区别数量积的记号是a ·b ，不能写成a ×b ，也不能写成ab . (2)相关概念及运算的区别①若a ，b 为实数，且ab ＝0，则有a ＝0或b ＝0，但a ·b ＝0却不能得出a ＝0或b ＝0. ②若a ，b ，c ∈R ，且a ≠0，则由ab ＝ac 可得b ＝c, 但由a ·b ＝a ·c 及a ≠0却不能推出b ＝c .③若a ，b ，c ∈R ，则a (bc )＝(ab )c (结合律)成立，但对于向量a ，b ，c ，而(a ·b )c 与a (b ·c )一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的．④若a ，b ∈R ，则|a ·b |＝|a |·|b |，但对于向量a ，b ，却有|a ·b |≤|a ||b |，等号当且仅当a ∥b 时成立．一、平面向量数量积的运算【例1】(1)在等边三角形ABC 中，D 为AB 的中点，AB ＝5，求AB u u u r ·BC uuur ，CD u u u r ；(2)若a ＝(3，－4)，b ＝(2,1)，求(a －2b )·(2a ＋3b )和|a ＋2b |.方法提炼平面向量的考查经常有两种：一是考查加减法，平行四边形法则和三角形法则，平面向量共线定理；二是考查数量积，此时注意应用平面向量基本定理，选择恰当的基底，以简化运算过程．坐标形式时，运算要准确．提醒：选择基底时要尽可能是已知或易求夹角和模的两个向量．请做[针对训练]1二、两平面向量的夹角与垂直【例2】已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)若AB u u u r＝a ，BC uuu r ＝b ，求△ABC 的面积．方法提炼1．求两非零向量的夹角时要注意： (1)向量的数量积不满足结合律：(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角就是钝角．2．当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角，需求得a ·b 及|a |，|b |或得出它们的关系．请做[针对训练]2三、求平面向量的模【例3－1】设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|3a ＋b |等于( )． A ． 5 B ． 6 C ．17 D ．26【例3－2】已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4.(1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．方法提炼利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)|a |2＝a 2＝a ·a ；(2)|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2；(3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.请做[针对训练]3四、平面向量的应用【例4－1】已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且OA u u u r ＝OB u u u r ＝OC u u u r ，NA u u ur ＋NB uuu r ＋NC u u u r ＝0，PA u u u r ·PB u u u r ＝PB u u u r ·PC uuu r ＝PC uuu r ·PA u u u r，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )．A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心【例4－2】已知向量OA u u u r ＝a ＝(cos α，sin α)，OB uuu r ＝b ＝(2cos β，2sin β)，OCu u u r＝c ＝(0，d )(d ＞0)，其中O 为坐标原点，且0＜α＜π2＜β＜π.(1)若a ⊥(b －a )，求β－α的值；(2)若OB OC OC ⋅u u u r u u u r u u u r ＝1，OA OC OC⋅u u u r u u u r u u u r ＝32，求△OAB 的面积S .方法提炼向量与其他知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的“交汇处”的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、垂直、成角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题．请做[针对训练]4考情分析从近两年的高考试题来看，向量的数量积运算、向量的垂直等问题是高考中考查平面向量的热点，既有选择题、填空题，又有解答题，属中、低档题目，常与平面几何、三角、解析几何知识交汇命题，主要考查运算能力及数形结合思想．预测2013年高考仍将以向量的数量积运算、向量的垂直为主要考点，以与三角、解析几何知识交汇命题为考向．针对训练1．若e 1，e 2是夹角为π3的单位向量，且a ＝2e 1＋e 2，b ＝－3e 1＋2e 2，则a ·b ＝__________.2．(2011江苏高考，10)已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则实数k 的值为________．3．设a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos n π6，sin n π6，n ∈N ＋，b ＝(1，3)，则y ＝|a 1＋b |2＋|a 2＋b |2＋…＋|a 10＋b |2的值为__________．4．在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为__________．5．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ.参考答案基础梳理自测 知识梳理1．(1)非零 ∠AOB (2)[0，π] 〈a ，b 〉 (3)π2a ⊥b2．(1)|a ||b |cos 〈a ，b 〉 |a ||b |cos 〈a ，b 〉 (2)①b ·a ②a ·c ＋b ·c ③λ(a ·b ) 基础自测1．B 解析：②错，向量不能约分；③中(a ·b )2＝|a |2·|b |2·cos 2θ不一定与a 2·b 2相等，∴③错． 2．D3．A 解析：a (b ·c )＝(1，－3)×(4×2＋6×3)＝(26，－78)．4．7 解析：|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝12＋2×1×2×cos π3＋22＝7.∴|a ＋b |＝(a ＋b )2＝7. 5.π3解析：∵a ⊥(a －b )， ∴a ·(a －b )＝0，即a 2－a ·b ＝0，∴a ·b ＝4，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝42×4＝12(θ是a 与b 的夹角)，∴θ＝π3.考点探究突破【例1】解：(1)如图，向量AB u u u r ，BC uuur 的夹角为120°，∴AB u u u r ·BC uuu r ＝|AB u u u r |·|BC uuu r |·cos 120°＝5×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－252.∵CD uuu r ＝12(CA u u u r ＋CB u u u r)，∴|CD uuu r |2＝14(CA u u u r ＋CB u u u r )2＝14(|CA u uu r |2＋2CA u u u r ·CB u u u r ＋|CB u u u r |2)＝14×(25＋2×5×5×cos 60°＋25)＝754，∴|CD uuu r |＝532. (2)a －2b ＝(3，－4)－2(2,1)＝(－1，－6)， 2a ＋3b ＝2(3，－4)＋3(2,1)＝(12，－5)，∴(a －2b )·(2a ＋3b )＝(－1)×12＋(－6)×(－5)＝－12＋30＝18. ∵a ＋2b ＝(3，－4)＋2(2,1)＝(7，－2)，∴|a ＋2b |＝72＋(－2)2＝53.【例2】解：(1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61. 又|a |＝4，|b |＝3， ∴64－4a ·b －27＝61， ∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)∵AB u u u r 与BC uuu r 的夹角θ＝2π3.∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB u u u r|＝|a |＝4，|BC uuu r |＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB u u ur ||BC uuu r |sin ∠ABC＝12×4×3×32＝3 3. 【例3－1】A 解析：由a ∥b ，得1×y －2×(－2)＝0，∴y ＝－4. 3a ＋b ＝3(1,2)＋(－2，－4)＝(1,2)，∴|3a ＋b |＝12＋22＝ 5.【例3－2】解：(1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝cos 2x .|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2－sin x 22＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴cos x ＞0， ∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x －122－32， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴12≤cos x ≤1. ∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32，当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1. 【例4－1】C解析：如图，∵NA u u u r ＋NB uuu r ＋NC u u u r＝0， ∴NB uuu r ＋NC u u u r ＝－NA u u u r .依向量加法的平行四边形法则，知|NA u u u r |＝2|NE uuu r|，故N 为重心．∵PA u u u r ·PB ＝PB u u u r ·PC uuur ，∴(PA u u u r －PC uuu r )·PB u u u r ＝CA u u u r ·PB u u u r＝0.同理AB u u u r ·PC uuur ＝0，BC uuu r ·PA ＝0，∴点P 为△ABC 的垂心．由|OA u u u r |＝|OB uuu r |＝|OC u u u r|，知O 为△ABC 的外心．【例4－2】解：(1)由a ⊥(b －a )⇒a ·(b －a )＝0⇒a ·b －a 2＝0， 又|a |＝1，|b |＝2，〈a ，b 〉＝|α－β|，∴2cos|α－β|＝1⇒cos|α－β|＝12.由0＜α＜π2＜β＜π，得β－α＝π3.(2)∵|OA u u u r |＝1，|OB uuu r|＝2，记〈OB uuu r ，OC u u u r 〉＝θ1，〈OA u u u r ，OC u u u r 〉＝θ2， ∵OC u u u r＝(0，d )，d ＞0，∴θ1＝β－π2，θ2＝π2－α，且θ1，θ2∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.由OB OCOC⋅u u u r u u u ru u u ur ＝|OB uuu r |·cos θ1＝1⇒cos θ1＝12得β－π2＝π3. 由OA OCOC⋅u u u r u u u ru u u ur ＝|OA u u u r |·cos θ2＝32⇒cos θ2＝32得π2－α＝π6， ∴∠AOB ＝β－α＝π2，∴S ＝12×2×1＝1.演练巩固提升 针对训练1．－72解析：a ·b ＝(2e 1＋e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－6e 21＋4e 1·e 2－3e 2·e 1＋2e 22＝－6＋4cos π3－3cos π3＋2＝－6＋2－32＋2＝－72.2．54 解析：由a ·b ＝0得(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0.整理，得k －2＋(1－2k )cos 2π3＝0，解得k ＝54.3．48 解析：y ＝|a 1＋b |2＋|a 2＋b |2＋…＋|a 10＋b |2＝(a 12＋a 22＋…＋a 102)＋10b 2＋2b ·(a 1＋a 2＋…＋a 10)＝10＋40＋2b ·(a 1＋a 2＋…＋a 10)＝50＋(2，23)·⎝⎛⎭⎪⎫－1－32，12＝50－2＝48.4．北偏西30° 解析：如图，渡船速度为OB uuu r ，水流速度为OA u u u r，船实际垂直过江的速度为OD u u u r ，依题意知，|OA u u u r |＝12.5，|OB uuu r|＝25，由于四边形OADB 为平行四边形，则|BD u u u r|＝|OA u u u r |，又OD ⊥BD ，∴在Rt △OBD 中，∠BOD ＝30°，∴航向为北偏西30°.5．解：(1)设c ＝(x ，y )，由c ∥a 和|c |＝25可得⎩⎪⎨⎪⎧1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4.∴c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )， ∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0.∴2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0，∴2×5＋3a ·b －2×54＝0.∴a ·b ＝－52，∴cos θ＝a·b|a||b|＝－525·52＝－1，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.。