第7讲线性方程组的解习题课【精选】

线性方程组1. 用消元法解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=--+-=-+-+=--+-525222202122325432153215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . 解: 方程组的增广矩阵 :⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------420200110100112430211321312630202530112430211321512522110112121111211321⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------→600000110100112430211321,可知,系数矩阵的秩为3,增广矩阵的秩为4,系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,从而方程组无解.2. 讨论λ为何值时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x 有唯一解、无解和有无穷多解。

解：将方程组的增广矩阵进行初等行变换，变为行阶梯矩阵。

()()()()BA =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+------→→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22222112101101111111111111111λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλΛ于是，当2,1-≠λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于3，等于未知量的个数，此时方程组有唯一解;2)1(,21,213321++-=+=++-=λλλλλx x x 当2-=λ时，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，此时方程组无解；当1=λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于1，小于未知量的个数，此时方程组有无穷多解，即3211x x x --=，其中32,x x 为自由未知量。

3. 当b a ,取何值时线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++bx x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 5432154325432154321334536223231有解？并求其解。

线性方程组练习题及解析线性方程组是数学中的重要概念，在各个领域都有广泛的应用。

解线性方程组需要掌握一定的求解方法和技巧。

本文将提供一些线性方程组的练习题，并给出详细解析，帮助读者更好地理解和应用线性方程组的知识。

练习题一：解下列线性方程组：1) 2x + y = 83x - y = 42) -3x + 4y = 72x - y = -33) x + 2y = 53x - y = 10解析一：1) 首先，将方程组进行消元，将y消去。

将第一个方程乘以3，得到6x + 3y = 24。

与第二个方程相加，得到9x = 28。

解得x = 28/9。

将x的值代入第一个方程，解得y = 16/9。

因此，该方程组的解为x = 28/9，y = 16/9。

2) 将第一个方程乘以2，得到-6x + 8y = 14。

与第二个方程相加，得到7y = 11。

解得y = 11/7。

将y的值代入第一个方程，解得x = 1/7。

因此，该方程组的解为x = 1/7，y = 11/7。

3) 将第一个方程乘以3，得到3x + 6y = 15。

与第二个方程相加，得到6x + 5y = 25。

解得x = 25/6。

将x的值代入第一个方程，解得y =5/6。

因此，该方程组的解为x = 25/6，y = 5/6。

练习题二：解下列线性方程组：1) x + 2y - z = 52x - y + 3z = 23x + y - 2z = 12) 2x - y + z = 4x + 3y - z = -33x - y + 2z = 73) x - 2y + z = 12x - y + 3z = -33x + y + 2z = 2解析二：1) 首先，将方程组进行消元，将y和z消去。

将第一个方程乘以2，得到2x + 4y - 2z = 10。

与第三个方程相加，得到5x + 3y = 11。

将第一个方程乘以3，得到3x + 6y - 3z = 15。

与第二个方程相加，得到5x +3z = 17。

线性方程组的解法例题线性方程组的解法第二章线性方程组的解法n阶线性方程组的一般形式为:a11x1,a12x2, ,a1nxn b1 ax,ax, ,ax b 2112222nn2(2.0.1)an1x1,an2x2, ,annxn bnAx b用矩阵表示为: 其中A称为系数矩阵，x称为解向量，b称为常数向量(简称方程组自由项)，它们分别为:x1 b1 a11a12a1nx b aa2122a2n x 2 b 21，， Axn bn an1an2ann如果矩阵A非奇异，即A的行列式值det(A) 0，则根据克莱姆(Cramer)规则，方程组有唯一解:Di,i 1,2, ,n xi D其中D det(A)，Di表示D中等i列换b后所得的行列式值。

但克莱姆规则不适用于求解线性代数方程组，因为计算工作量大得难以容忍。

实际用于求解线性代数方程组的计算方法主要有两种:一是消去法，它属于直接解法;二是迭代解法。

消去法的优点是可以预先估计计算工作量，并且根据消去法的基本原理，可以得到矩阵运算(如矩阵求逆等)的求解方法。

但是，由于实际计算过程总存在有误差，由消去法得到的结果并不是绝对精确的，存在数值计算的稳定性问题。

迭代解法的优点是简单，便于编制计算机程序。

在迭代解法中，必须考虑迭收敛速度快慢的问题。

?2.1 线性方程组的直接计算求解线性代数方程组的直接解法主要是消去法(或称消元2法)。

消去法的基本思想是通过初等行变换:将一个方程乘以某个常数，以及将两个方程相加或相减，减少方程中的未知数数目，最终使每个方程中含一个未知数，从而得到所需要的解。

2.1.1 三角形方程组的计算对下三角形方程组:a11x1 b1ax,ax b 2112222(2.1.1)an1x1,an2x2, ,annxn bn可以通过前代的方法求解:先从第1个方程求出x1，代入第2个方程求出x2，依次类推，可以逐次前代求出所有xi(i 1,2, ,n)，计算公式如下:b1x1 a11i～1bi～ aij xj(2.1.2)j 13xi , i 2, 3, , n aii对上三角形方程组:a11x1,a12x2, ,a1nxn b1ax, ,ax b 2222nn2annxn bn(2.1.3)可以通过回代的方法求解:先从第n个方程求出xn，代入第n～1个方程求出xn～1，依次类推，可以逐次回代求出所有xi(i n,n～1, ,1)，计算公式如下:bnxn annnbi～ aij xj(2.1.4)j i,1xi , i n～1, n～2, , 1 aii2n 前代法和回代法的计算量都是次四则运算。

线性方程组的解法详细教案(公开课)
前言
本文将详细介绍线性方程组的解法，希望通过此公开课，学生们能更好地掌握这一知识点。

一、什么是线性方程组
线性方程组是由若干个线性方程组成的集合，其中每个线性方程的未知数个数相同。

例如：
2x + 3y = 7
4x - 5y = 1
这就是一个由两个线性方程组成的线性方程组，其未知数个数为2。

二、解线性方程组的方法
1.高斯消元法
高斯消元法是一种基本的线性代数算法，方程组的增广矩阵可
以通过行初等变换来进行化简，从而得到其阶梯形矩阵或行最简阶
梯形矩阵，进而求解线性方程组。

2.克拉默法则
克拉默法则是一种基于行列式的方法，它可以求解规模较小的
线性方程组。

但由于其需要计算多个行列式，某些时候计算量较大，而且稳定性较差。

三、解线性方程组的步骤
1.对系数矩阵进行消元，通过行初等变换将其变为阶梯形矩阵
或行最简阶梯形矩阵。

2.根据阶梯形矩阵或行最简阶梯形矩阵，列出新的线性方程组。

例如：
2x + 3y = 7
0x - 1y = -5
3.反推得到未知数的值，从下往上推导出每个未知数的解。

例如：
y = 5
2x + 3(5) = 7
2x = -8
x = -4
四、总结
通过以上的讲解，我们可以简单地总结如何解一个线性方程组：
1.通过高斯消元法或者克拉默法则将系数矩阵转化为阶梯形矩
阵或行最简阶梯形矩阵
2.由阶梯形矩阵或行最简阶梯形矩阵列出新的线性方程组
3.通过反推的方式得出未知数的解
希望这份详细的教案可以帮助大家更好地掌握线性方程组的解法。

数学课程线性方程组练习题及答案1. 练习题1.1 求解下列线性方程组：（1）3x + 2y = 72x - y = 4（2）2x + y - z = 6x - 3y + 2z = 43x - 2y - z = 1（3）x - 2y + z = 32x + y - 2z = -53x - y + 3z = 72. 答案（1）解：首先，我们可以通过消元法来求解该线性方程组。

将第二个方程的两边乘以2，得到2(2x - y) = 2(4)，化简得4x - 2y = 8。

将这个结果与第一个方程相加，得到(3x + 2y) + (4x - 2y) = 7 + 8，化简得7x = 15，所以 x = 15/7。

接下来，将求得的 x 值代入任意一个方程（如第一个方程）中，可以得到：3(15/7) + 2y = 7，化简得2y = 7 - 45/7，化简得2y = -14/7，所以 y = -7/7。

因此，该线性方程组的解为 x = 15/7，y = -1。

（2）解：同样使用消元法求解该线性方程组。

将第二个方程的两边乘以2，得到2(x - 3y + 2z) = 2(4)，化简得2x - 6y + 4z = 8。

将第三个方程的两边乘以3，得到3(3x - 2y - z) = 3(1)，化简得9x - 6y - 3z = 3。

现在我们有以下三个方程：2x + y - z = 62x - 6y + 4z = 89x - 6y - 3z = 3将第一个方程中的 z 用第二个方程中的 z 的代数式表示，得到 z = 2x + y - 6。

将这个结果代入第三个方程中，可以得到：9x - 6y - 3(2x + y - 6) = 3，化简得3x - 3y = 15，所以 x - y = 5。

我们可以再次将 x - y = 5 代入第一个方程，得到：2x + y - (2x + 5) = 6，化简得 y = 11。

将求得的 y 值代入 x - y = 5，可以解得 x = 16。

线性方程组练习题解析线性方程组是代数学中的基本概念，其中包含多个线性方程，每个方程包括若干个未知数。

解线性方程组就是要求找到满足所有方程条件的未知数的值。

在代数学和应用数学中，线性方程组是非常重要的一个概念，它在各个领域中都有广泛的应用。

本篇文章将通过解析线性方程组的练习题，帮助读者更好地理解和掌握线性方程组的求解方法。

练习题一：解方程组：2x + 3y = 84x - y = 9解析：我们可以通过消元法来解这个方程组。

首先我们将第二个方程中的y系数变为与第一个方程相等的2倍，然后将两个方程相加，消去y变量：2x + 3y = 88x - 2y = 18得到：10x = 26解方程得到：将x的值带入第一个方程，求出y的值：2(13/5) + 3y = 826/5 + 3y = 83y = 8 - 26/53y = 40/5 - 26/53y = 14/5y = 14/15综上所述，方程组的解为：x = 13/5，y = 14/15练习题二：解方程组：3x - 2y = 7x + 4y = 5解析：我们同样可以使用消元法来解这个方程组。

首先我们将第一个方程中的x系数变为与第二个方程相等的3倍，然后两个方程相减，消去x 变量：3x - 2y = 7得到：-14y = -8解方程得到：y = -8 / -14 = 4 / 7将y的值带入第一个方程，求出x的值：3x - 2(4/7) = 73x - 8/7 = 721x - 8 = 4921x = 57x = 57 / 21 = 19 / 7综上所述，方程组的解为：x = 19/7，y = 4/7练习题三：解方程组：2x + 3y - 4z = 1x + 2y + z = 5x - y - z = 0解析：这个方程组包含三个方程和三个未知数。

我们可以使用消元法来解决这个方程组。

首先我们将第三个方程中的x系数变为与第一个方程相等的2倍，然后两个方程相减，消去x变量：2x + 3y - 4z = 12x - 2y - 2z = 0得到：5y - 2z = 1接下来，我们将第三个方程中的x系数变为与第二个方程相等的1倍，然后两个方程相减，消去x变量：x + 2y + z = 5x - y - z = 0得到：3y + 2z = 5此时，我们已经可以得到两个含有两个未知数的方程：5y - 2z = 13y + 2z = 5我们可以通过消元法或代入法求出y和z的值，然后将其代入原方程组中求解x。