下载文档原格式
线性代数教学教案第三章 向量组及其线性组合授课序号01,n a 组成的有序数组称为2n a ⎪⎪⎪⎭维向量写成),,n a个分量，其中T,…来表示,n a 是复数时，维复向量，当12,,,n a a a 是实数时，本书所讨论的向量都是实向量0⎪⎪⎪⎭或()0,0,,00=.2n a ⎪⎪⎪⎭称为向量2n a ⎪⎪⎪⎭的负向量，记为α. 向量的运算：由于向量可看成行矩阵或列矩阵，因此我们可用矩阵的运算来定义向量的运算，也就是：122,n n a a b ⎛⎫⎛⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭β，k ∈，则有1122n n a b a b a b +⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭β； （2）2n k ka ⎪⎪⎪⎭α；我们称这两种运算为向量的线性运算)1221122,,n n n n b ba a ab a b a b b ⎛⎫⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭；()111212212221212,,,n n n n n n n n a b a b a b a b a ba b b b b a a b a b a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪⎪⎭⎝⎭. 二、向量组及其线性组合：：由若干个维数相同的向量构成的集合，称为向量组． ：给定n 维向量组,,,n ααα，对于任意一组数,,,n k k k ，表达式+n n k k α,n α和一个,n k ，使得++n n k =βα，,,n α线性表示，或者说向量β是向量组,n α的一个线性组合量组12,,,n ααα（唯一）线性表分必要条件是+n n x =α有（唯一）解.三、向量组的等价：由向量组B 线性表示：,,m αα是m ,,s β是s 维向量组成的向量组. 中每一个向量,)s β均可由向量组,m α线性表,s β可由向量组:A 12,,,m ααα线性表示.A 与向量组可以相互线性表示，则称向量组A 与向量组2,,,m αα与向量组:B 2,,,s βββ. 令矩阵),m A α，),s β，则向量组B 可由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵方程=B向量组A 与向量组等价的充分必要条件是矩阵方程=BY A四、主要例题：1211222221122n n n n m m mn n ma x a x a x a x a xb +++++=中第()121,2,,i i i mi a ai n a ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭α，维列向量2m b ⎪⎪⎪⎭， n n x β+=α12122212n n m m mn a a a a a ⎫⎪⎪⎪⎪⎭，将矩阵A 与列向量组和行向量组对应2100010,,,001n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e e ，将任一向量2n a ⎪⎪⎪⎭由12,,n e e e 线性表示536⎫⎪⎪⎪-⎭及向量组123101,2,11⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭βββ，试问α能否由12,ββ123-⎫⎛⎫⎛⎫授课序号02,m α，如果存在一组不全为零的数,m k ，使得m m k +α，则称向量组,m α线性相关．线性无关：若当且仅当0m k ==时，才有112m m k k k ++=0ααα,m α线性无关.m 个n 维向量构成的向量组12,,,m ααα线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组1122m m k k k +++=0ααα有非零解；线性无关的充分必要条件是上述齐次线性方程组只有零解0m k k k ===(,m m α线性相关的充分必要条件是存在某一个向量(1j ≤α2线性相关的充分必要条件是它们的分量对应成比例是向量组A 的部分组线性无关，则其部分组,m α是m 个,m α线性无关，而向量组,,m αβ线性相关，则向量,m α线性表示，且表示式是唯一的如果向量组1,,s ααα可由向量组,t β线性表示，并且s >,s α线性如果向量组12,,,s ααα可由向量组2,,t β线性表示，并且向量组,s α线性无关，则2,,s α与向量组,t β均线性无关，并且这两个向量组等价，则s t =.2322,2⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪α，存在一组不全为零的数20,,,001n ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭e e ，对任意一组数12120001001n n n n k k k k k k k ⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭e ，0n k ==时，才有1122n n k k k +++=0e e e ，所以向量组1,,n e e e 线性无关证明：任一含有零向量的向量组必定线性相关.221,11⎫⎛⎫⎛⎫⎪ =⎪ ⎪ -⎭⎝α，判断向量组12,,αα授课序号03,r α满足条件：）向量组1,,r ααα线性无关；）对于A 中任意的向量β，向量组,,r αβ线性相关，则称向量组12,,r ααα为向量组的一个极大线性无关组，简称极大无关组向量组A 的任意一个极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩，记为等价的向量组有相同的秩二、矩阵秩的概念及求法：rB ，则RA B ,n α为列构作矩阵),,n α，对矩阵的阶梯数给出矩阵的秩，从而给出向量组1,,n ααα的秩),n β，,n α与向量组,n β有相同的线性相关性，从而可以根据向量组,n β的极大无关组给出向量组12,,,n ααα的极大无关组，并给出不属于极大无关组的向量由极大无关组线性表示的表示20,,,001n ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭e e 线性无关，所以该向量组的极大无关组就是它3145,1227⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭α，向量1α与2α的分量不对应成比例，。
1.设α1=(1 2−1 0)，α2=(1312)，α3=(24−2)，α4=(1135)，α5=(223)，求向量组α1，α2，α3，α4，α5的一个极大（最大）无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出。
2.设A为mxn阶矩阵，B为nxp阶矩阵，C为pxs阶矩阵，R(C)=p，且ABC=0，证明B=0.3.设A为mxn阶矩阵，X与b为m维列向量，Y为n维列向量，证明AY=b有解的充要条件是满足A T X=0的所有X均满足b T=0.4. 设α1=(1003)，α2=(11−12)，α3=(12−2a )，β=(01b −1)问a,b 为何值时， （1） β不能由α1，α2，α3线性表出（2） β可以由α1，α2，α3线性表出，并且写出表达式5. 设A=(λ+312λλ−113λ+3λλ+3)，讨论AX=0的解的情况。
6. 设A=(111a b c a 2b 2c 2)，讨论AX=0的解的情况。
7. 设A=(1 10 1 1 12 20−132a −3−21a )，β=(01b −1)，讨论方程组AX=β的解的情况。
8. 设A=(λ111λ111λ)，b=(1λλ2)，讨论方程组AX=b 的解的情况。
9. 已知三阶矩阵A 的第一行为a,b,c ，且a,b,c 不全为0，矩阵B=(12324636k)(k 为常数)满足AB =0，求AX =0的通解。
10. 设4元齐次线性方程组（I ）{2x 1+3x 2−x 3=0x 1+2x 2+x 3−x 4=0，且已知另一个四元齐次线性方程组（II ）的一个基础解系为α1=(2−1a +21)，α2=(−124a +8)，(1)求（I ）的一个基础解系。
(2)a 为何值时（I ）与（II ）有非零公共解，并求所有非零公共解。
11. 在上例中将α1，α2改为α1=(a −51−1−1)，α2=(−6a +3−12)求（I ）与（II ）的所有非零公共解。
第三章 向量与线性方程组补充习题答案1．设有三维列向量123211101,1,1,111λααλαβλλλ⎡⎤+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦问λ取何值时，（1）β可由123,,ααα线性表示，且表达式惟一； （2）β可由123,,ααα线性表示，且表达式不惟一； （3）β不能由123,,ααα线性表示．【解】 设112233x x x αααβ++=，得线性方程组12231110111111x x x λλλλλ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 其系数行列式2111111(3)111A λλλλλ+=+=++． （1） 若03λλ≠≠-且，则方程组有惟一解，β可由123,,ααα惟一地线性表示． （2） 若=0λ，则方程组有无穷多个解，β可由123,,ααα线性表示，但表达式不惟一．（3） 若=-3λ，则方程组的增广矩阵211003-318A 121303312112911290006033121129-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪-⎝⎭可见方程组得系数矩阵A 与增广矩阵A 不等秩，故方程组无解，从而β不能由123,,ααα线性表示．2．设向量组T a )10,2,(1=α，T )5,1,2(2-=α，.),,1(,)4,1,1(3T T c b =-=βα试问：当a,b,c 满足什么条件时，（1）β可由321,,ααα线性表出，且表示唯一？ （2）β不能由321,,ααα线性表出？（3）β可由321,,ααα线性表出，但表示唯一？并求出一般表达式。
【解】 设有一组数321,,x x x ，使得 βααα=++332211x x x ，即 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=--cx x x b x x x x x ax 3213213214510212该方程组的系数行列式=A .4451011212--=--a a（1）当4-≠a 时，行列式≠A 0，方程组有唯一解，β可由321,,ααα线性表出，且表示唯一；（2）当a=－4时，对增广矩阵作行初等变换，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=1300012100101245101121124c b b b c b A若3b-c ≠1，则秩r(A)≠秩r(A ), 方程组无解，β不能由321,,ααα线性表出； （3）当a=-4且3b-c=1时，秩r(A)=秩r(A )=2<3，方程组有无穷多组解，β可由321,,ααα线性表出，但表示唯一。
第三章 向量组的线性相关性与线性方程组一. 单项选择题 1.向量组n ααα,,,21 线性无关的充分必要条件为( )A. n ααα,,,21 均不为零向量;B. n ααα,,,21 中任意两个向量的分量不成比例;C.n ααα,,,21 中任意一个向量均不能由其余n-1个向量线性表示; D. n ααα,,,21 中有一部分向量线性无关.解: C. 2.m ααα,,,21 均为n 维向量,则下列结论正确的是( )A. 若,02211=+++m m k k k ααα 则m ααα,,,21 线性无关;B. 若对任意一组不全为零的数m k k k ,,,21 ,都有,02211≠+++m m k k k ααα则m ααα,,,21 线性无关;C. 若m ααα,,,21 线性相关,则对任意一组不全为零的数m k k k ,,,21 ,都有;02211=+++m m k k k αααD. 若000021=⋅++⋅+⋅m ααα ,则m ααα,,,21 线性无关. 解: B. 3.321,,ααα线性无关,则以下线性无关的是( )A. ;,,133221αααααα-++B. ;2,,3213221ααααααα++++C.;3,32,2133221αααααα+++D. ;323,232,321321321ααααααααα+-+-++解: C.对A 中向量有0)()()(133221=-++-+αααααα, 对B 中向量有0)2()()(3213221=++-+++ααααααα,对D 中向量有0)323()232()(321321321=+--+-+++ααααααααα对C 中向量有,033022101;330022101),,()3,32,2(321133221≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++ααααααααα所以选择C. 4.m m βββααα,,,,,2121 ，和是两向量组,若存在两组不全为零的实数和m λλλ,,,21 m k k k ,21 ，，使得0)()()()(111111=-++-+++++m m m m m m k k k k βλβλαλαλ ,则( )A. m m βββααα,,,,2121 ，，和都线性相关; B.m m βββααα,,,,2121 ，，和都线性无关;C.m m m m βαβαβαβα--++,,,,,1111 线性相关; D. m m m m βαβαβαβα--++,,,,,1111线性无关.解: D.将已知等式变形得0)()()()(111111=-++-+++++m m m m m m k k βαβαβαλβαλ .5.设γβα,,线性无关, δβα,,线性相关,则( )A.线性表示；，，必可由δγβαB. 线性表示；，，可由必不δγαβC. 线性表示；，，必可由γβαδD. .线性表示，，必不可由γβαδ 解: C.由已知得.线性表示，必可由βαδ从而.线性表示，，必可由γβαδ 6.设β可由向量组m αα,,1 线性表示,但不能由(Ⅰ) 11,,-m αα 线性表示,记(Ⅱ) βαα,,,11-m ,则( )A.m α不能由(Ⅰ)及(Ⅱ)线性表示; B.m α不能由(Ⅰ)线性表示,但可由(Ⅱ)线性表示; C.m α可由(Ⅰ)及(Ⅱ)线性表示; D.m α可由 (Ⅰ)线性表示,但不能由(Ⅱ)线性表示.解: B. 设m m m m k k k αααβ+++=--1111 (*)则必有0≠m k ,否则与β不能由11,,-m αα 线性表示矛盾.对(*)式变形即得m α可由(Ⅱ)线性表示.7.向量组321,,ααα线性无关, 133322211αλαβααβααβt -=-=-=，，也线性无关,则( )A.t =λ,B. t ≠λ,C. 1==t λ,D. t 2≠λ 解: D.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=λαααβββ1001101),,(,),,(321321t ,321,,βββ线性无关 01001101≠---λt ,故选(D)8.设B A ,均为n 阶非零矩阵,且0=AB ,则A 和B 的秩 ( )A.必有一个等于零;B. 都小于n;C.一个小于n,一个等于n;D.都等于n. 解: B.由0=AB 和0≠B 得: 方程组0=AX 有非零解,所以,;)(n A r <同理可得:;)()(n B r B r T <= 故选B.9. 设矩阵n m A ⨯的秩为m En m A r ,)(<=为m 阶单位阵,下述结论正确的是( ) A.矩阵A 的任意m 个列向量必线性无关;B.矩阵A 的任意一个m 阶子式不等于零;C.若矩阵B 满足0=BA ,则0=B ;D.矩阵A 通过初等行变换,必可化为)0(m E 的形式.解: C.若0=BA ,则,0)(==TT T B A BA 即: T B 的列向量均为方程组0=X A T的解. 而,)()(m A r A r T ==即: m n T A ⨯为列满秩矩阵, 所以, 方程组0=X A T 仅有零解.亦即: .0==TB B 10.设有向量组),10,5,1,2(),0,2,2,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321=-===-=ααααα则该向量组的极大线性无关组是 ( ) A. 321,,ααα; B. 421,,ααα; C. 521,,ααα; D. .,,,5421αααα解: B.以该向量组为列构造矩阵A ,对A 施行初等行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==000000100010110203011001424527121203121301)(54321TT T T T A ααααα,初等行变换不改变列向量组间的线性关系. 所以, 421,,ααα为向量组的一个极大无关组.11.设非齐次线性方程组B AX =中,,)(r A r n m =⨯则下列结论成立的为( )A.r=m 时,方程组有解;B.r=n 时,方程组有唯一解;C.m=n 时,方程组有唯一解;D.r<n 时,方程组有无穷解. 解: A.r=m 时,系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩.12.设A 为m ×n 矩阵,B 为n 维列向量,则下列结论成立的是( )A. 若0=AX 仅有零解,则B AX =有唯一解;B. 若0=AX 有非零解,则B AX =有无穷解;C. 若B AX =有无穷解,则0=AX 仅有零解;D. 若B AX =有无穷解,则0=AX 有非零解. 解: D.若B AX =有无穷解,则n A r <)(,故0=AX 有非零解. 13.设A 为n 阶实矩阵,TA 是A 的转置矩阵,则对于线性方程组 (I): 0=AX 和(II) 0=AX A T,必有 ( ) A.(II)的解是(I)的解,(I)的解也是(II)的解; B.(II)的解是(I)的解,但(I)的解不是(II)的解; C.(I)的解不是(II)的解,(II)的解也不是(II)的解; D.(I)的解是(II)的解,但(II)的解不是(I)的解. 解: A.设 ),0(0≠=ξξA 则),0(00≠=⋅=ξξTT A A A 所以,(I)的解是(II)的解; 反之,设 ),0(0≠=ηηA A T 则),0(0)()()(≠==ηηηηηA A A A TT T η为一个列向量,所以必有: 0=ηA .亦即: (II)的解是(I)的解. 因此,选A.14.21,ββ是非齐次线性方程组B AX =的两个不同解,21,αα是对应导出组的基础解系.21,k k 为任意常数,则B AX =的通解为( )A.;2)(2121211ββααα-+++k kB. ;2)(2121211ββααα++-+k k C. ;2)(2121211ββββα-+++k k D. .2)(2121211ββββα++-+k k解: B.211,ααα-线性无关,并且是导出组的解,所以211,ααα-为导出组的一个基础解系;221ββ+为B AX =的特解,故选(B).15.设321,,ααα为四元线性方程组B AX =的三个解向量,且3)(=A r , T)4,3,2,1(1=α,T )3,2,1,0(32=+αα,c 为任意常数,则B AX =的通解为( )A.,11114321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c B. ,32104321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c C. ,54324321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c D. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛65434321c 解: C.T )4,3,2,1(1=α为B AX =的一个特解.其导出组的基础解系仅含一个向量,且)(2321ααα+-为导出组的一个非零解, 故B AX =的通解为)](2[3211αααα+-+c .16.齐次线性方程组AX =,0111113212=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x λλλλ若存在三阶非零方阵B 满足0=AB ,则( )A.λ=-2,且|B |=0;B. λ=-2,且|B |≠0;C. λ=1,且|B |=0;D. λ=1,且|B |≠0. 解: C.B 的三个列向量均为0=AX 的解向量,即方程组0=AX 有非零解,故|A |=-(2)1-λ=0,从而λ=1;当λ=1时,r(A )=1,故0=AX 基础解系包含两个向量,矩阵B 的三个列向量必线性相关, 所以|B |=0.17.若TT )1,1,0(,)2,0,1(21-==ξξ均为方程组0=AX 的解,则A 为( )A.()112-, B. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--110102, C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110201 , D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110224解: A.解一:TT)1,1,0(,)2,0,1(21-==ξξ线性无关,故基础解系的秩≥2, 从而r(A )=1,答案为(A);解二:令),(21ξξ=X ,一一验证可得(A)中矩阵满足0=AX ,故选(A).18.已知,96342321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t Q P 为三阶非零阵,且,0=PQ 则( ) A.P t ,6=的秩必为1; B. P t ,6=的秩必为2;C. P t ,6≠的秩必为1;D. P t ,6≠的秩必为2. 解: C.若0=PQ ,则必有)(Q r 小于或等于方程组0=PX 的基础解系所包含向量个数. 从而 .3)()(≤+Q r P r 又因为P 为三阶非零阵, 所以.0)(≠P r 若,6≠t 则,2)(=Q r 此时必有,113)(0=-≤<P r 即必有.1)(=P r若,6=t 则,1)(=Q r 此时必有,213)(0=-≤<P r 即必有1)(=P r 或.2)(=P r 所以应选C.19.设.),,(,),,(,),,(321332123211TT T c c c b b b a a a ===ααα 则三直线0=++i i i c y b x a 其中)3,2,1(022=≠+i b a i i 交于一点的充分必要条件为( )A.321,,ααα线性相关; B. 321,,ααα线性无关;C.);,(),,(21321αααααr r = D. 321,,ααα线性相关; 21,αα线性无关.解: D.解一:三直线有一交点,说明21,αα线性无关, 3α可由21,αα线性表示.故选(D);解二:方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332211c c c y x b a b a b a 存在唯一解的充要条件为系数矩阵与增广矩阵的秩相等,等于2,故选(D); 解三:设交点为),(00y x ,则,20103αααy x --=即3α可由21,αα唯一线性表示.故选(D).20.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333222111c b a c b a c b a 是满秩的,则( )直线321321321213213213c c c z b b b y a a a x c c c z b b b y a a a x --=--=----=--=--与 A.交于一点; B.重合; C.平行不重合; D.异面解: A.解一:矩阵A 分块为,321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααA 321,,ααα为A 的行向量, 321,,ααα线性无关.而又3221αααα--与线性无关,二直线不平行.又由，）（）（）（0133221=-+-+-αααααα这说明三个向量133221αααααα---，，共面.所以二直线相交.解二:记133322211ααβααβααβ-=-=-=，，,则21213βββββ，，--=线性无关.因此二直线共面又不平行.故选(A).解三:引入参数方程,令,213213213t c c c z b b b y a a a x =--=--=--令一个参数为τ,则得方程组如下⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+-=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(0)()()(133221133221133221c c c c t c c b b b b t b b a a a a t a a τττ方程组有唯一解的充要条件为2321αααα--与线性无关,因此二向量与13αα-线性无关,故二直线交于一点.解四:用纯粹空间几何方法:将321,,ααα视为向径,即),,(i i i c b a 为三个点,有r(A )=3知此三点不共线.因此决定一平面π.而二直线一是过),,(1111c b a =α与32αα-平行;一是过),,(3333c b a =α与12αα-平行,此二直线均在π上且不平行,故相交.解五:取特殊情况⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001A ,代入可得二直线相交.二.填空题1.若线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+414343232121a x x a x x a x x a x x 有解,则常数4321,,,a a a a 应满足关系式为 .解: 4231aa a a +=+ 线性方程组有解 系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等, 对增广矩阵施行初等行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=14321432110101100011000111001110001100011a a a a a a a a a A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→3214321214321000110001100111100110001100011a a a a a a a a a a a a a所以应有 4231a a a a +=+.2.设t ηη,,1 及t t k k ηη++ 11均为非齐次线性方程组B AX =的解向量,则=++t k k 1解: 11=++t k k将t t k k ηη++ 11代入方程组B AX =得,)(11B k k A t t =++ηη 即 ,11B A k A k t t =++ηη 从而,)(1B B k k t =++ 即11=++t k k .3.若向量组321,,ααα线性无关,(1) 321332123211222αααβαααβαααβ-+=+-=++-=，，线性 ； (２) 3213321232113432232αααηαααηαααη++=++=++=，，线性 ． 解: (1) 相关;(2)无关对(1)中向量有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=211121112),,(,),,(321321αααβββ, 321,,βββ线性无关 0211121112≠---,故(1)相关;类似可得(2)无关. 4.向量组)2,5,4,0(),0,,0,2(),1,1,2,1(321--==-=αααt 的秩为2,则t =解: t =3.解一:用行列式为0.0321=ααα 得t =3 解二:用矩阵的初等变换得 t =3.5.n 阶矩阵A 各行元素和为0,且r(A )=n-1,则方程组0=AX 的通解为 解: k(1,1,…,1),k 为任意常数.(1,1,…,1)满足方程,方程基础解系仅含一个向量, 故通解为k(1,1,…,1),k 为任意常数. 6.设);,,2,1,(,j i n j i a a j i ≠=≠ ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----11312112232221321 (1111)n n n n n n n a a a a a a a a a a a a A ,,111,21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= B x x x X n 则方程组B X A T=的解为 .解: (1,0,0,…,0)T.|A |为范得蒙行列式,故|TA |≠0,方程组有唯一解.矩阵方程对应的线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++---1 (11)132211232222111321211n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x由观察可知 (1,0,0,…,0)T为方程组的解.7.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11334221t A ,B 为三阶非零矩阵,且0=AB ,则=t . 解: 3-=t若0=AB ,则B 的列向量为齐次线性方程组0=AX 的解. B 为三阶非零矩阵,所以齐次线性方程组0=AX 有非零解. 从而有,0||=A 解得3-=t .三.计算题 1.设向量组)2(,,,21≥n n ααα 线性无关,,,,,,111322211ααβααβααβααβ+=+=+=+=--s s s s s讨论s βββ,,,21 的线性关系. 解:设02211=+++s s k k k βββ ,整理得:0)()()(122111=++++++-s s s s k k k k k k ααα , 由)2(,,,21≥n n ααα 线性无关得 01211=+==+=+-s s s k k k k k k ,线性方程组对应的系数行列式为1)1(111... (00)11001110001--+==s D所以,(1)当s 为奇数时,D=2≠0,方程组仅有零解, s βββ,,,21 线性无关;(2) 当s 为偶数时,D=0,方程组有非零解, s βββ,,,21 线性相关.2.设A 为n m ⨯矩阵,B 为m n ⨯矩阵,E 为n 阶单位阵()n m >.已知E BA =,试判断A 的列向量组是否线性相关?为什么? 解: 因为 ,)()()(n E r AB r A r ==≥ 另一方面, n A r ≤)(显然成立, 所以必有 .)(n A r = 从而A 的列向量组线性无关. 3. 设向量组321,,ααα线性相关,向量组432,,ααα线性无关,问:(1)1α能否用32,αα线性表示?(2) 4α能否用321,,ααα线性表示?解: (1) 由向量组432,,ααα线性无关可知32,αα线性无关,而321,,ααα线性相关,故必有1α可用32,αα线性表示. (2) 若4α能由321,,ααα线性表示,由(1)结果知4α应能由32,αα线性表示,这与432,,ααα线性无关矛盾.所以4α不能由321,,ααα线性表示.4.设);,,2,1(),,,(21n r r i a a a Tin i i i <== α是n 维实向量,且r ααα,,,21 线性无关. 已知T n b b b ),,,(21 =β是线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0 (00)221122221211212111n rn r r n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a的非零解向量,试判断向量组βααα,,,,21r 的线性关系.解: 设有一组数k k k k r ,,,,21 使得 02211=++++βαααk k k k r r 成立.因为T n b b b ),,,(21 =β是线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0.............................00221122221211212111n rn r r n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的解,且0≠β,所以有: ),,,2,1(0r i Ti==βα即: ),,,2,1(0r i i T ==αβ因此,在02211=++++βαααk k k k r r 两侧同乘Tβ得 02211=++++ββαβαβαβT r T r T T k k k k ,即:0=ββTk .但0≠ββT ,故必有0=k .从而由02211=++++βαααk k k k r r 得 02211=+++r r k k k ααα . r ααα,,,21 线性无关,所以有: 021====r k k k .因此, 向量组βααα,,,,21r 的线性无关. 5.设有向量组T T T T p p ),10,6,2(,)2,1,2,3(,)1,5,3,1(,)3,1,1,1(4321--=+-=--==αααα,(1) p 为何值时,向量组线性无关,并将T)10,6,1,4(=α用该向量组线性表示; (2) p 为何值时,向量组线性相关,求向量组的秩和一个极大无关组.解(1)用矩阵的初等行变换.将ααααα,,,,4321按列构造矩阵如下⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----p p p p p p 12000101003412042311267402124603412042311102136101511623142311故p ≠2时,,4),,,(4321=ααααr 向量组4321,,,αααα线性无关.若设44332211αααααx x x x +++=, 对以上阶梯形矩阵对应线性方程组求解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--==--==23124324321p p x x p p x x(2) p =2时,,3),,,(4321=ααααr 向量组4321,,,αααα线性相关.因为,3),,(321=αααr 即321,,ααα线性无关,所以321,,ααα为一极大无关组.6.设),5,3,1,1(),9,4,2,1(),1,2,1,1(),5,3,1,1(),3,2,0,1(4321+=+=+-===b a a βαααα(1) b a ,为何值时,β不能由4321,,,αααα线性表示;(2) b a ,为何值时,β能由4321,,,αααα唯一线性表示,写出线性表示式.解:对矩阵)(4321βαααα施行初等变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-010000100121101111158153342321211011111a b a a b a(1) a =-1,b ≠0时,r(A )=2≠r(B A |)=3, β不能由4321,,,αααα线性表示;(2) a ≠-1时, r(A )=r(B A |)=4, β能由4321,,,αααα唯一线性表示,进一步计算得线性表示式为32111112αααβ+++++++-=a ba b a a b 7.设向量),,,,1(,)4,1,1(,),3,1,2(,)10,2,(321c b a TT T =-=-==βααα 试问c b a ,,满足什么条件时, (1)β可由321,,ααα线性表示,且表示唯一?(2) β不能由321,,ααα线性表示?(3) β可由321,,ααα线性表示,但表示不唯一?并求出一般表示式.解: 设有一组数321,,k k k ,使得βααα=++332211k k k ,其对应的线性方程组为 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=--ck k k b k k k k k ak 3213213214310212该方程组的系数行列式为 4451011212--=--=a a A(1)当4-≠a 时,,0||≠A 方程组有唯一解, β可由321,,ααα线性表示,且表示唯一.(2)当4-=a 时,对增广矩阵进行初等变换:.1301210101245101121124⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=c b b b c b A若,13≠-c b 则),()(A r A r ≠方程组无解, β不能由321,,ααα线性表示.(3)当4-=a 且13=-c b 时, ,32)()(<==A r A r 方程组有无穷多解.β可由321,,ααα线性表示,但表示不唯一.进一步求解得:t b k b t k t k (12,12,321+=---==为任意常数).所以,有 .)12()12(321αααβ++++-=b b t t从而133221,,αααααα+++也是该方程组的一个基础解系.8.对于线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321x x x x x x x x x λλλλ讨论λ取何值时,方程组无解,有唯一解和有无穷多解.在方程组有无穷多解时,试用其导出组的基础解系表示全部解.解: 对方程组的增广矩阵施行初等行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+----→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=)1(3)1)(2(010110211)1(311101102112112113112λλλλλλλλλλλλλλλλA所以:(1) 当12≠-≠λλ且时, ,3)()(==A r A r 方程组有唯一解; (2) 当2-=λ时,,3)(2)(=<=A r A r 方程组无解; (3) 当1=λ时, ,31)()(<==A r A r 方程组有无穷解;这时,增广矩阵化为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→00000002111A ,对应的线性方程组为:3212x x x ---=,令032==x x 得方程组的一个特解为:.)0,0,2(0T-=η导出组对应的线性方程组为:321x x x --=,分别令⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==10,013232x x x x 得导出组的一个基础解系为:.)1,0,1(,)0,1,1(21TT -=-=ξξ 所以,方程组的全部解为:2122110,(k k k k ξξηη++=为任意常数).9.已知线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----=+++-=+-+=+-+tx x x x x px x x x x x x x x x x 4321432143214321617231462032,讨论t p ,取何值时,方程组有解,无解;有解时,试用其导出组的基础解系表示通解.解: 对方程组的增广矩阵施行初等行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=20000008001221011401161117231461203211t p t p A所以,(1) 当2-≠t 时,)()(A r A r ≠,方程组无解; (2) 当2-=t 时,)()(A r A r =,方程组有解; 若8,2-=-=p t 得方程组的通解为2121,(,)1,0,2,1()0,1,2,4()0,0,1,1(k k k k T T T --+-+-=η为任意常数).若8,2-≠-=p t 得方程组的通解为k k T T (,)0,1,2,1()0,0,1,1(--+-=η为任意常数).10.设有方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000322212321321x c x b x a cx bx ax x x x (1) c b a ,,满足何关系时,方程组仅有零解;(2) c b a ,,满足何关系时,方程组有无穷解,并用基础解系表示全部解.解:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛))((000111111222a c b c a c a b c b a c b a (1) c b a ,,互不相等时,r(A )=n=3,方程组有唯一零解;(2) b c a ≠=时,通解为 k(1,0,-1); c b a ≠=时,通解为 k(1,-1,0); a c b ≠=时,通解为 k(0,1,-1).11.设B 为三阶非零矩阵,其行向量满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0302022321321321x x x x x x x x x λ,(1) 求λ;(2)证明|B |=0.解:由题意得方程组有非零解,故系数行列式为零,即,011312221=---λ解得 1=λ.另一方面,当1=λ时,r(A )=2,线性方程组基础解系包含一个向量, 所以,r(B )=1,从而|B |=0.12.设有方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++34324241333232313232222131321211a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x(1) 若)4,3,2,1(=i a i 两两不等,则方程组无解;(2) 若)1,1,1(),1,1,1(),0(,214231-=-=≠-====ββk k a a k a a 为方程组的解,求其通解.解(1)增广矩阵行列式为范得蒙行列式,故,0)(41≠-=∏≤<≤j i j ia aD增广矩阵的秩为4,而系数矩阵的秩≤3,所以,方程组无解.(2)若),0(,4231≠-====k k a a k a a 原方程等价于方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++3322133221k x k kx x k x k kx x系数矩阵的秩为2,故导出组基础解系仅含一个向量为,21ββ-取方程组的特解为,1β 方程组的通解为: k k k )(2,0,2()1,1,1()(211-+-=-+βββ为任意常数).13.设有两方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=---=--+⎪⎩⎪⎨⎧=---=----=-+111253314624343143213214321421t x x x x nx x x m x x x x x x x x x x x x (II)(I)(1) 求方程(I)的通解;(2) t n m ,,为何值时,(II)与(I)同解.解: (1)对(I)的增广矩阵初等行变换:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→521041010210011A得通解为 .)1,2,1,1()0,5,4,2(TTk X +---=(2)将(I)的通解Tk k k k X ),25,4,2(+-+-+-=代入(II)中各方程: 代入第一个方程得: 0)4)(2(=+--k m ,k 为任意实数,故m =2.类似可得: n =4,t =6.将m =2, n =4, t =6代入方程(II),得方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=--=---=--+5112452434314321x x x x x x x x x对增广矩阵初等行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→5210041010210012A与(I)的增广矩阵变化结果一样,所以,(I)与(II)同解.14.设有四元线性方程组(I)⎩⎨⎧=-=+004221x x x x ,另有方程组(II)的通解为 )1,2,2,1()0,1,1,0(21-+k k ,(1) 求(I)的基础解系;(2) 判断(I)和(II)有无公共非零解,若有,求其公共非零解. 解:(1) 方程组(I)的系数的秩为2,自由未知量有两个为43,x x ,令⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==01,104343x x x x 代入方程得基础解系为: (-1,1,0,1)和(0,0,1,0).(2)将两方程组基础解系以列排成矩阵,进行初等行变换:()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=10101001110000001010210121101010,,,4321αααα,从而,3214αααα++=.即: 4321αααα+-=+,其中21αα+为(I)的解,43αα+-为(II)的解,所以,两方程组有公共非零解,全部公共解为k(43αα+-)=k(-1,1,1,1).(k 为任意常数).15.设线性方程组(I)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0.........................02211221111n n n n n n x a x a x a x a 的一个基础解系为),,1(),,,(21n j b b n j j =,写出(II)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0.........................02211221111n n n n n n y b y b y b y b 的通解.解: ),,1(),,,(21n j b b n j j =为方程(I)的一个基础解系,故满足方程组,代入(I)得:⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0.........................2211221111n j n n j n n j n j b a b a b a b a ),,1(n j =, 这表明),,1(),,,(21n i a a n i i =为方程组(II)的解.方程(I)的一个基础解系包含n 个向量,所以(I)的系数矩阵的秩为n,从而),,1(),,,(21n i a a n i i =线性无关. 另一方面, 方程(II)的的系数矩阵B 的秩为n, 故(II)的基础解系应包含n 个向量,所以 ),,1(),,,(21n i a a n i i =为(II)的一个基础解系.方程组(II)的通解为∑=ni n i i ika ak 121),,,( 为任意常数. 四.证明题1. 设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,其中m n <,若E AB =,证明B 的列向量组线性无关. 证明: ,)()()(n E r AB r B r ==≥另一方面, B 是n m ⨯矩阵,所以,),min()(n n m B r ≤≤ 综合即有 ,)(n B r =因此B 的n 个列向量线性无关,亦即B 的列向量组线性无关.2. 设ξξξ,TE A -=是n 维向量,证明: (1);12=⇔=ξξTA A(2)当1=ξξT时,A 不可逆.证明: (1) TT T T T T T E E E E A ξξξξξξξξξξξξξξ)2()(2))((2--=+-=--=由A A =2得 T T E ξξξξ)2(--=T E ξξ-所以必有 ,12=-ξξT 即 .1=ξξT(2) 由(1)得当1=ξξT 时, A A =2. 若A 可逆,则,02=-A A 即0)(=-E A A 从而必有 ,0=-E A 亦即.E A =又因为T E A ξξ-=,所以必有0=ξξT,与1=ξξT 矛盾.因此应有A 不可逆. 3. 证明n 维列向量组n ααα,,,21 线性无关的充要条件为:.. (2)12221212111≠=nT n T n T n n T T T n T T T D αααααααααααααααααα证明: 设),(21n A ααα =则n ααα,,,21 线性无关的充要条件为.0||≠A另一方面,A A D T =, 从而2||||||A A A D T ==,0||≠D 的充要条件为.0||≠A所以应有 n ααα,,,21 线性无关的充要条件为0||≠D .4. 设有向量组(I)321,,ααα,(II) ,,,,4321αααα(III) ,,,,5321αααα且r(I)=r(II)=3,r(III)=4,证明: 45321,,,ααααα-线性无关.证明: 设,0)(454332211=-+++αααααk k k k由r(I)=r(II)=3得4α可由321,,ααα唯一线性表示,设为 3322114ααααl l l ++=,代入得,0)()()(54343324221411=+-+-+-ααααk k l k k l k k l k 因为,,,,5321αααα线性无关,所以,04433422411==-=-=-k k l k k l k k l k 从而04321====k k k k ,得证. 5.对n 阶方阵A ,若存在正整数k 使得0=αk A ,且01≠-αk A .证明向量组ααα1,,,-k A A 线性无关.证明: 设01110=+++--αααk k A t A t t 上式两侧同乘以1-k A:0)(11101=+++---αααk k k A t A t t A即0)1(21110=+++---αααk k k k A t A t A t 由0=αk A 得 0)1(21====-+αααk k k AA A 所以应有 01=-αk A t 而01≠-αk A ,从而必有00=t . 因此有 0111=++--ααk k A t A t 同理上式两侧同乘以2-k A 得 01=t .类似可得012===-k t t所以向量组ααα1,,,-k A A 线性无关性得证. 6.设321,,ααα为齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系. 证明: 133221,,αααααα+++也是该方程组的一个基础解系.证明: 因为)3,2,1(0==i A i α,所以, 0)(2121=+=+ααααA A A .即: 21αα+为方程组0=AX 的一个解.同理可得: 1332,αααα++也是方程组0=AX 的解. 以下只需证明133221,,αααααα+++的线性无关性.设0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ,整理得:0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k因为321,,ααα线性无关,所以必有0322131=+=+=+k k k k k k 解得: 0321===k k k即: 321,,ααα线性无关.7.设t ααα,,,21 是齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系,0≠βA . 证明t αβαβαββ+++,,,,21 线性无关.证明: 设0)()()(22110=+++++++t t k k k k αβαβαββ其中t j k j ,2,1(=)为任意实数.则)(22110=++++∑=t t tj j k k k k αααβ (*)上式两侧同乘以A 得 0)(22110=++++∑=t t tj j A k A k A k A k αααβ因为t ααα,,,21 是齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系,所以应有021====t A A A ααα .从而)(0=∑=tj j A k β而0≠βA ,所以必有 0=∑=tj jk代入(*)得02211=+++t t k k k ααα由t ααα,,,21 线性无关得 021====t k k k 又由0=∑=tj jk得00=k所以必有t αβαβαββ+++,,,,21 线性无关.。
第三章 向量空间一、单项选择题1．设A ，B 分别为m ×n 和m ×k 矩阵，向量组（I ）是由A 的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由(A ,B ）的列向量构成的向量组，则必有( )A ．若(I ）线性无关，则（Ⅱ）线性无关B ．若（I)线性无关，则（Ⅱ）线性相关C ．若（Ⅱ)线性无关，则（I ）线性无关D ．若（Ⅱ)线性无关，则（I ）线性相关2．设4321,,,αααα是一个4维向量组,若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合,且表示法惟一,则向量组4321,,,αααα的秩为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．设向量组4321,,,αααα线性相关,则向量组中（ )A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合4.设有向量组A ：α1，α2，α3，α4,其中α1,α2，α3线性无关，则( ）A 。
α1，α3线性无关 B.α1，α2，α3，α4线性无关C.α1，α2，α3，α4线性相关D.α2，α3，α4线性相关5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ）A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6.设α1,α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1,α2，α3,α4）。
如果|A ｜=2，则|—2A |=（）A.-32B.-4C 。
4 D.327。
设α1,α2,α3，α4 是三维实向量，则（ )A. α1，α2，α3，α4一定线性无关B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 D 。
α1，α2，α3一定线性无关8.向量组α1=（1，0，0)，α2=（1，1，0），α3=（1,1，1）的秩为（ ）A.1 B 。
第三章 课后习题及解答将1，2题中的向量α表示成4321,,,αααα的线性组合：1．()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T4T3T21T--=--=--===αααααT2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα解：设存在4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得14321=+++k k k k24321=--+k k k k14321=-+-k k k k14321=+--k k k k解得.41,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααα--+=. 设存在 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得02321=++k k k ，04321=+++k k k k ，0342=-k k ，1421=-+k k k .解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=.判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T3T2T1===ααα4. ()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T3T2T 1==-=βββ，解：3.设存在 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+065032032132131k k k k k k k k ，由0651321101=，解得321,,k k k 不全为零， 故321,,ααα线性相关.4.设存在 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+-=+0142407203033213212131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零，故321,,βββ线性相关. 5.论述单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关和线性无关的条件.解：设存在k 使得0=αk ，若0≠α，要使0=αk ，当且仅当0=k ，故，单个向量线性无关的充要条件是0≠α；相反，单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关的充要条件是0=α.6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关，利用反证法，假设存在该向量组的某一部分组)(,,,21n i r i i i r ≤ααα 线性相关，则向量组n n αααα,,,,121- 线性相关，与向量组n n αααα,,,,121- 线性无关矛盾， 所以该命题成立.7.证明：若21,αα线性无关，则2121,αααα-+也线性无关.证：方法一，设存在21,k k 使得0)()(212211=-++ααααk k ，整理得，0)()(221121=-++ααk k k k ，因为21,αα线性无关，所以⎩⎨⎧=-=+02121k k k k ，可解得021==k k ，故2121,αααα-+线性无关.方法二，因为=-+）（2121,αααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111,21）（αα， 又因为021111≠-=-，且21,αα线性无关，所以向量组2121,αααα-+的秩为2，故2121,αααα-+线性无关.8.设有两个向量组s ααα,,,21 和,,,,21s βββ 其中,13121111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k a a a a α,3222122⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks a a a a α ,,321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks s s s s a a a a αs βββ,,,21 是分别在s ααα,,,21 的k 个分量后任意添加m 个分量mj j j b b b ,,,21),,2,1(s j =所组成的m k +维向量，证明：(1) 若s ααα,,,21 线性无关，则s βββ,,,21 线性无关； (2) 若s βββ,,,21 线性相关，则s ααα,,,21 线性相关.证：证法1，(1)设()s A ααα,,,21 =，()s B βββ,,,21 =，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，即,)(s A r = 且s B r =)(，s βββ,,,21 线性无关.证法2，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，再增加方程的个数，得0=BX ，该方程也只有零解，所以s βββ,,,21 线性无关.(2) 利用反证法可证得，即假设s ααα,,,21 线性无关，再由（1）得s βββ,,,21 线性无关，与s βββ,,,21 线性相关矛盾.9. 证明：133221,,αααααα+++线性无关的充分必要条件是321,,ααα线性无关.证：方法1，（133221,,αααααα+++）=（321,,ααα）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110011101因为321,,ααα线性无关，且02110011101≠=，可得133221,,αααααα+++的秩为3所以133221,,αααααα+++线性无关.线性无关；反之也成立.方法2，充分性，设321,,ααα线性无关，证明133221,,αααααα+++线性无关.设存在321,,k k k 使得0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ，整理得，0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k因为321,,ααα线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k ，可解得0321===k k k ，所以133221,,αααααα+++线性无关. 必要性，（方法1）设133221,,αααααα+++线性无关，证明321,,ααα线性无关，假设321,,ααα线性相关，则321,,ααα中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨设321,ααα可由线性表示，则向量组133221,,αααααα+++可由32,αα线性表示，且23>，所以133221,,αααααα+++线性相关，与133221,,αααααα+++线性无关矛盾，故321,,ααα线性无关.方法2，令133322211,,ααβααβααβ+=+=+=，设存在321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，由133322211,,ααβααβααβ+=+=+=得）（）（）（32133212321121,21,21βββαβββαβββα---=-+=+-=，代入 0332211=++αααk k k 得，0212121321332123211=++-+-+++-）（）（）（βββββββββk k k ，即 0)()()(332123211321=+-+++-+-+βββk k k k k k k k k因为321,,βββ线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=-+000321321321k k k k k k k k k可解得0321===k k k ，所以321,,ααα线性无关.10.下列说法是否正确？如正确，证明之；如不正确，举反例：（1）m ααα,,,21 ）（2>m 线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关； 解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2维向量空间不在一条直线的3个向量，虽然两两线性无关，但这3个向量线性相关。
