广州大学2017-2018常微分方程试卷A答案

《常微分方程》考试参考答案（A卷）《常微分方程》考试参考答案（A 卷）一、填空题（每空2分，共30分）1、()dy y g dx x = ln y x c x=+ 2、()()dy f x y dx= 2x y e = 3、2222M N y x= 4、1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-5、存在不全为0的常数12,k c c c ，使得恒等式11()()0k k c x tc x t +=对于所有[,]t a b ∈ 都成立()0w t ≡6、412341011i i λλλλλ-===-==- 1234cos sin t t x c e c e c tc t -=+++7、322x xy y c -+=二、判断题（每题2分，共10分）1、√2、×3、×4、√5、√三、计算题（每题15分，共60分）1、解：231()dy y dx x x y +=+ 变量分离231y dx dy y x x =++ 两边积分2221(1)1211y x dx dx y x xλ+=-++ 2211ln 1ln ln 122y x x +=-+ 22ln(1)(1)2ln ||y x x ++=从而解得通解为：222(1)(1)x y cx ++=2、解：先求30dx x dt+=的通解：33dt t x ce ce --?== 利用常数变易法，令原方程解为3()t x c t e -= 解得：3223551()5dt t t t t t c t e e dt c e e dt c e dt c e c --?=+=+=+=+ ∴原方程的通解为：533211()55t t t t x e c e ce e --=+=+3、解：先求对应齐线性方程：(4)20x x x ''-+=的通解特征函数42()210F λλλ=-+= 123411λλ==-从而通解为：1234()()t t x c c t e c c t e -=+++ 现求原方程一个特解，这里：2()30f t t λ=-= 0λ=不是特征根，即原方程有形如：2x At Bt c =++的特解把它代入原方程有：2243A At Bt C t -+++=- 解得101A B C ===21x t =+ ∴原方程通解为：21234()()1t t x e c c t e c c t t -=+++++4、解：令cos sin y p t x t '==?=2cos dy pdx tdt == 原方程的通解为：11sin 242y t t c =++ 5、解：由111x y +≤≤得112011a b x y ==-≤≤-≤≤ 从而()(,)4222x y Rf M max f x y y y L y -∈?===-=≤=?∴11min(,)min(1,)44b h a M === 从而解存在区间为114x +≤ 231123221327()011()3311()[()]3311111139186342o o x x x y x x dx x x x x dx x x x x --====+=-+=---+?? 2(21)1(21)!24o ML y y h +-≤=+。

福师《常微分方程》期末试卷解析一、选择题（共10题，每题2分，共20分）1. 答案：A解析：对常微分方程dy/dx = f(x)g(y)的分离变量法，可得：dy/g(y) = f(x)dx，再进行积分即可得到结果。

2. 答案：C解析：对常微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程，可以使用常数变易法求解。

将y = v(x)exp(-∫p(x)dx)代入方程，再进行积分，最后解出y。

3. 答案：B解析：常微分方程dy/dx = ky是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。

将dy/y = kdx，再进行积分，最后解出y。

4. 答案：D解析：常微分方程dy/dx = -y/x是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。

将dy/y = -dx/x，再进行积分，最后解出y。

5. 答案：A解析：常微分方程dy/dx = f(x)g(y)的分离变量法，可得：dy/g(y) = f(x)dx，再进行积分即可得到结果。

6. 答案：C解析：对常微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程，可以使用常数变易法求解。

将y = v(x)exp(-∫p(x)dx)代入方程，再进行积分，最后解出y。

7. 答案：B解析：常微分方程dy/dx = ky是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。

将dy/y = kdx，再进行积分，最后解出y。

8. 答案：D解析：常微分方程dy/dx = -y/x是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。

将dy/y = -dx/x，再进行积分，最后解出y。

9. 答案：A解析：常微分方程dy/dx = f(x)g(y)的分离变量法，可得：dy/g(y) = f(x)dx，再进行积分即可得到结果。

10. 答案：C解析：对常微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程，可以使用常数变易法求解。

将y = v(x)exp(-∫p(x)dx)代入方程，再进行积分，最后解出y。

计 算 题（每题10分）1、求解微分方程2'22x y xy xe -+=。

2、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dx dt ydydtx y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过点(1,0)的第二次近似解。

7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x ydydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解12、求方程组dxdtx y dydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解13、求解微分方程x y y e x (')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dxdy+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解16、求解方程x e y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydtdx x y dt dy dt dx243452的通解 18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ.20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。

常微分方程计算题2.指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由；（1） t 222dtu d +t dt du +( t 2-1)u=0 （2）dx dy =x 2+y 2; （3）dx dy +2xy =03.求曲线族y=C 1e x+C 2x e x 所满足的微分方程 4．验证函数y= C 1ex 2+ C 2ex2-是微分方程y ``-4y=0的解，进一步验证它是通解。

5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程dxdy =2x 6.什么叫积分一个微分方程？7．什么是求解常微分方程的初等积分法？ 8．分离变量一阶方程的特征是什么？ 9．求下列方程的通解（1）y `＝sinx（2）x 2y 2y `+1=y （3）tgx dxdy=1+y （4）dxdy=exp(2x-y) （5） dxdy =21y 2-（6） x 2ydx=(1- y 2+x-2x2y 2)dx（7）( x 2+1)( y 2-1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义11．试给出一阶方程y `＝f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。

说明二个方程的关系。

12．求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何？13．求解下列方程dx dy＝222yx xy - 14．求解下列方程 （1）（x+2y ）dx —xdy=0(2)dx dy =x y +y x 2 15.dx dy =22y x xy + 16(x 2+y 2)dx —2xydy=0 17.dx dy =5242+---y x x y 18―――――1920―――――――2728――――3738――――44 45――――4950――――56 57――――62 63――――6869―――71 72――――8182――――87 88――――92 93――――9495――――97 98――――100101――――105 106――――113 114――――1222（1）未知函数u 的导数最高阶为2，u ``,u `,u 均为一次，所以它是二阶线性方程。

武汉大学2017-2018学年第二学期期末考试高等数学A2试题（A）1、（9分）设(,)z z x y 是由方程222(2)x z f y z 所确定的隐函数，其中f 可微，求证z z y x xy x y.2、（9分）设{(,)||||1}D x y x y ，计算二重积分2(1)Dx y dxdy .3、（9分）设C 为圆周曲线221x y ，计算曲线积分4224(21)Cx x y y ds .4、（9分）已知)1,2,0(),0,0,1(B A ，试在z 轴上求一点C ，使ABC 的面积最小。

5、（8分）3、设22222222, 0(,)0, 0x y xy x y x y f x y x y，求(0,0)xyf 和(0,0)yx f . 6、（9分）求过直线2210420x y z x y z 并在y 轴和z 轴上有相同的非零截距的平面方程。

7、（8分）设f 是任意二阶可导函数，并设)(x ay f z 满足方程0622222 y zy x z xz ，试确定a 的值.8、（8分）在椭球面22221x y z 上求一点，使函数222(,,)tan f x y z x y z 在该点沿曲线23,12,3x t y t z t t 在点(1,1,2) 处的切线方向的方向导数最大。

9、（9分）计算曲线积分)d d Lx y y x, 其中有向曲线弧L：y点 5,0B 到点 1,0A .10、（8分）已知10=sin (1,2,3,)n b x n xdx n ，，证明级数11(1)1n nn b n收敛，并求其和。

11、（8分）求22I xz dydz x dxdy，其中 是曲面2221x y z 夹在两平面1z 与2z 之间的部分，其法向量与z 轴正向的夹角为锐角。

12、（6分）设a ，b 为任意常数，()f x 在0x 的邻域内具有二阶连续导数，且0()lim0,x f x x''()0f x m试讨论级数:af bf af bf af bf 的敛散性。

安 庆 师 范 学 院《常微分方程》A 卷一、判断题（8分，每题2分） 1、n 阶常微分方程的通解包含了它的所有解。

（ ） 2、函数221c x e c y +=是微分方程02=-'-''y y y 的通解。

（ ） 3、n 阶线性齐次微分方程的n 个解12(),(),,()n x t x t x t 在],[b a 上线性无关的充要条件是()0,[,]W t t a b ≠∈。

（ ）4、设)(t Φ为X t A X )(='的基解矩阵，则)(t ψ为其基解矩阵⇔存在n 阶常数矩阵C ，使C t t )()(Φ=ψ。

（ ）二、选择题（10分，每题2分） 1、 微分方程24()cos y y y y ''''''+-=是 （ ）。

A 三阶非线性方程B 三阶线性方程C 四阶非线性方程D 四阶线性方程2、 下列方程中为齐次方程的是 （ ）。

A ()y xy y ϕ''=+B tan y xy y x x'=+ C ()y xy f y '''=+ D cos cos ydx xdy =3、n 阶齐次线性微分方程的所有解构成一个（ ）维线性空间。

An B 1n + C 1n - D 2n +4、Lipschitz 条件是一阶微分方程初值问题存在唯一解的（ ）条件。

A 充分条件B 必要条件C 充分必要条件D 既不是充分也不是必要条件5. 方程dx y dt dy x dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩的奇点(0,0)的类型是 （ ）。

A 结点B 焦点C 中心D 鞍点三、填空题（12分，每空2分）1、向量函数12(),(),,()n X t X t X t 是线性方程组()X A t X '=的基本解组的充要条件是：（1） ；（2） 。

2、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy+=存在只与y 有关而与x 无关的积分因子的充分必要条件是 。

《常微分方程》期终考试试卷（A ）（适用班级： 班 ）下属学院_________________班级_________姓名____________成绩_______一、填空（每小题3分，共30分）1、形如方程当的通解为_______________。

2_____________ _________________________3、________________________________________，可化为伯努利方程。

4、存在常使____________________则称5。

6__________________。

7、__________________。

8、则该方程的通解为____________________________________________。

9一个特解，则非齐线性方程的通解为_____________________________。

10_________________。

二、求下列方程的解（每题8分，共24分）123三、计算题（每题8分，共24分）123四、求下列方程组的基解矩阵（8分）（8分）2、/米）向前滑动，牛顿。

试问该物体何时才能停下来，此时滑过了多少路程？（6分）《常微分方程》期终考试试卷（A）参考答案一、12345678910、稳定结点。

二、1……4分由一阶线性方程的求解公式得：……7分……8分2……3分……6分……8分（注：用公式或用其它方法均可）3……2分……4分……5分……6分……8分三、1……4分……8分……2分……5分……7分故原方程的一个特解为： (8)分3 (2)分0不是方程的特征根，故可设方程的一个特解为……5分……7分故方程的通解为……8分……1分……2分4分……6分……7分所以原方程的基解矩阵为……8分五、1……3分……5分7分所以所求的函数为：……8分2……2分……3分……4分……5分……6分。

《常微分方程》测试题 1 答案一、填空题（每空5分）12、 z=34、5、二、计算题（每题10分）1、这是n=2时的伯努利不等式，令z=,算得代入原方程得到，这是线性方程，求得它的通解为z=带回原来的变量y，得到=或者，这就是原方程的解。

此外方程还有解y=0.2、解：积分：故通解为：3、解：齐线性方程的特征方程为，，故通解为不是特征根，所以方程有形如把代回原方程于是原方程通解为4、解三、证明题（每题15分）1、证明：令的第一列为(t)= ,这时(t)==(t)故(t)是一个解。

同样如果以(t)表示第二列，我们有(t)== (t)这样(t)也是一个解。

因此是解矩阵。

又因为det=-t故是基解矩阵。

2、证明：（1）,(t- t)是基解矩阵。

（2）由于为方程x=Ax的解矩阵，所以(t)也是x=Ax的解矩阵，而当t= t时，(t)(t)=E, (t- t)=（0）=E. 故由解的存在唯一性定理，得(t)=(t- t)《常微分方程》测试题2 答案一、填空题：（每小题3分，10×3=30分）1. 2. 3 3.4. 充分条件5. 平面6. 无7. 1 8. 9.10. 解组线性无关二. 求下列微分方程的通解：（每小题8分，8×5=40分）1、解：将方程变形为………（2分）令，于是得……（2分）时，，积分得从而…（2分）另外，即也是原方程的解………（2分）2、解：由于……………………（3分）方程为恰当方程，分项组合可得…………（2分）故原方程的通解为……（3分）3、解：齐线性方程的特征方程为特征根…（2分）对于方程，因为不是特征根，故有特解…（3分）代入非齐次方程，可得.所以原方程的解为…（3分）4、解：线性方程的特征方程,故特征根…………………（2分）对于，因为是一重特征根，故有特解,代入，可得……（2分）对于，因为不是特征根，故有特解，代入原方程，可得…（2分）所以原方程的解为…（2分）5、解:当时，方程两边乘以，则方程变为…（2分），即于是有，即……（3分）故原方程的通解为另外也是原方程的解. …（3分）三、解：, ，解的存在区间为…（3分）即令……（4分）又误差估计为：（3分）四、解：方程组的特征方程为特征根为，（2分）对应的特征向量应满足可解得类似对应的特征向量分量为…（3分）原方程组的的基解矩阵为…………………（2分）………（3分）五、证明题：(10分)证明：设，是方程的两个解，则它们在上有定义，其朗斯基行列式为…………………（3分）由已知条件，得…………………（2分）故这两个解是线性相关的．由线性相关定义，存在不全为零的常数，使得，由于，可知．否则，若，则有，而，则，这与，线性相关矛盾．（3分）故（2分）《常微分方程》测试题3答案1．辨别题（1）一阶，非线性（2）一阶，非线性（3）四阶，线性（4）三阶，非线性（5）二阶，非线性（6）一阶，非线性2．填空题（1）．（2）．（3）．（4）．3．单选题（1）．B （2）．C （3）．A （4）．B （5）. A （6）. B 7. A 4. 计算题（1）．解当时，分离变量得等式两端积分得即通解为（2）．解齐次方程的通解为令非齐次方程的特解为代入原方程，确定出原方程的通解为+（3）．解由于，所以原方程是全微分方程．取，原方程的通积分为即（4）. 令，则，代入原方程，得，当时，分离变量，再积分，得，即：5. 计算题令，则原方程的参数形式为由基本关系式，有积分得得原方程参数形式通解为5．计算题解方程的特征根为，齐次方程的通解为因为不是特征根。

常微分方程试题一、填空题(每小题3分，共39分)1.常微分方程中的自变量个数是________.2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________.3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变量分离方程.4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________.5.方程=(x+1)3的通解为________.6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解.7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________.8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________.9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________.10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式.11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之等价的一阶方程组________.12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基解矩阵exp A t=________.13.方程组的奇点类型是________.二、计算题(共45分)1.(6分)解方程= .2.(6分)解方程x″(t)+ =0.3.(6分)解方程(y-1-xy)dx+xdy=0.4.(6分)解方程5.(7分)求方程：S″(t)-S(t)=t+1满足S(0)=1, (0)=2的解.6.(7分)求方程组的基解矩阵Φ(t).7.(7分)验证方程：有奇点x1=1, x2=0,并讨论相应驻定方程的解的稳定性.三、证明题(每小题8分，共16分)1.设f(x,y)及连续，试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子.2.函数f(x)定义于-∞<x<+∞，且满足条件|f(x1)-f(x2)|≤N|x1-x2|,其中0<N<1,证明方程x=f(x)存在唯一的一个解.常微分方程试题参考答案一、填空题(每小题3分，共39分)1.12. 2+c1t+c23.u=4. c为任意常数5.y= (x+1)4+c(x+1)26.y=y0+7. (x)=8.对任意t9.x(t)=c1e t+c2te t+c3e-t+c4te-t10.x(t)=c1x1(t)+c2x2(t) +c n x n(t)11. x1(1)=1,x2(1)=2, x3(1)=312.expAt=e-2t[E+t(A+2E)+ ]13.焦点二、计算题（共45分）1.解：将方程分离变量为改写为等式两边积分得y-ln|1+y|=ln|x|-即y=ln 或e y=2.解：令则得=0当0时-arc cosy=t+c1y=cos(t+c1) 即则x=sin(t+c1)+c2当=0时y= 即x3.解：这里M=y-1-xy, N=x令u=xye-xu关于x求偏导数得与Me-x=ye-x-e-x-xye-x 相比有则因此u=xye-x+e-x方程的解为xye-x+e-x=c4.解：方程改写为这是伯努利方程，令z=y1-2=y-1 代入方程得解方程z==于是有或5.特征方程为特征根为对应齐线性方程的通解为s(t)=c1e t+c2e-tf(t)=t+1, 不是特征方程的根从而方程有特解=（At+B）,代入方程得-(At+B)=t+1两边比较同次幂系数得A=B=-1故通解为S(t)=c1e t+c2e-t-(t+1)据初始条件得c1=因此所求解为：S(t)=6.解：系数矩阵A=则，而det特征方程det( )=0, 有特征根对对对因此基解矩阵7.解：因故x1=1，x2=0是方程组奇点令X1=x1-1, X2=x2, 即x1=X1+1,x2=X2代入原方程，得化简得*这里R(X)= , 显然（当时）方程组*中，线性部分矩阵det(A- )=由det(A- )=0 得可见相应驻定解渐近稳定三、证明题（每小题8分，共16分）1.证明：若dy-f(x,y)dx=0为线性方程则f(x,y)=因此仅有依赖于x的积分因子反之，若仅有依赖于x的积分因子。

一，常微分方程的基本概念常微分方程：含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。

一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0).1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。

如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。

2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。

3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。

如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。

4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。

5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。

（方程线性与否与自变量无关）。

如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。

注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。

余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。

另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。

b.教材28页第八题不妨做做。

二.可分离变量的方程A.变量分离方程1.定义：形如dxdy=f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。

这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。

2.解法：分离变量法⎰⎰+=c dx x f y dy)()(ϕ. （*） 说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。

需视情况补上φ（y ）=0的特解。

（有时候特解也可以和通解统一于一式中）b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。

例1.0)4(2=-+dy x x ydx解：由题意分离变量得：042=+-ydy x dx即：0)141(41=+--ydydx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 41故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特 解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。