高一数学寒假作业及答案

高一数学（必修一）寒假作业1一、选择题，每小题只有一项是正确的。

1.已知全集{}1,2,3,4U =,集合{}{}1,2,2A B == ,则∁U (A ∪B ) =( )A ．{}134，，B ．{}34，C ． {}3D ． {}4 2.已知集合A ＝{x|a －1≤x≤a＋2}，B ＝{x|3＜x ＜5}，则使A ⊇B 成立的实数a 的取 值范围是 ( )A.{a|3＜a≤4}B.{a|3≤a≤4}C. {a|3＜a ＜4}D.φ3.函数 的定义域为M ， 的定义域为N ，则M ∩N ＝( )A ．[－2，＋∞)B ．[－2,2)C ．(－2,2)D ．(－∞，2) 4.下列式子中成立的是 ( ) A.1122log 4log 6< B. 0.30.311()()23> C. 3.4 3.511())22<( D.32log 2log 3> 5.下列函数是偶函数的是 ( )A. 2lg y x =B. 1()2xy = C. 21y x =- ，(11]x ∈- D. 1y x -=6.已知函数()2030x x x fx x log ,,⎧>=⎨≤⎩, 则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是（ ）A ．9B ．19 C ．9- D ．19- 7.下列各个对应中,构成映射的是( )8.设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x R ∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[2,0]x ∈-时，1()()12x f x =-，则在区间(2,6]-内关于x 的方程2()log (2)0f x x -+=的零点的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49.若函数()(1)(0x x f x k a a a -=-->且1)a ≠在R 上既是奇函数，又是减函数，则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）二、填空题10.函数32,1()log 1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，则(f f =__________11.若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x xB ∈==，用列举法表示B 。

高一数学寒假作业专题01集合及其运算1．给出下列表述：①联合国常任理事国；②充分接近√2的实数的全体；③方程x2+x−1=0的实数根④全国著名的高等院校.以上能构成集合的是（）A．①③B．①②C．①②③D．①②③④【答案】A【解析】①联合国的常任理事国有：中国、法国、美国、俄罗斯、英国.所以可以构成集合.②中的元素是不确定的，不满足集合确定性的条件，不能构成集合.③方程x2+x−1=0的实数根是确定，所以能构成集合.④全国著名的高等院校.不满足集合确定性的条件，不构成集合.故选：A2．设集合U={1,2,3,4,5}，M={1,2}，N={2,3}，则∁U(M⋃N)=（）A．{4,5}B．{1,2}C．{2,3}D．{1,3,4,5}【答案】A【解析】根据题意，易得M⋃N={1,2,3}，故∁U(M∪N)={4,5}．故选：A.3．若集合A={x|−1<x<1},B={x|0≤x≤2}，则A⋂B=（）A．{x|−1<x<1}B．{x|−1<x<2}C．{x|0≤x<1}D．{x|−1<x<0}【答案】C【解析】因为A={x|−1<x<1},B={x|0≤x≤2}，所以A⋂B={x|0≤x<1}.故选：C.4．已知集合A满足{1}⊆A⫋{1,2,3,4}，这样的集合A有（）个A．5B．6C．7D．8【答案】C【解析】由题得集合A={1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4}.故选：C5．已知集合A={x|y=log2(x+1)}，B={x∈Z||x−1|≤1}，则A⋂B=（）A．{x|−1<x<2}B．{x∈Z|0≤x≤2}C．{x|0≤x<2}D．{0,1}【答案】B【解析】因为A={x|x>−1},B={x∈Z|0≤x≤2}，所以A∩B={x∈Z|0≤x≤2}故选：B.6．60名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有40名，参加乙项的学生有35名，则仅参加了一项活动的学生人数为（）A．50B．35C．40D．45【答案】D【解析】用集合A表示参加甲项体育活动的学生，用集合B表示参加乙项体育活动的学生，用card(A)来表示有限集合A中的元素个数，于是有：card(A∪B)=card(A)+card(B)−card(A∩B)，即：60=40+35−card(A⋂B)⇒card(A⋂B)=15，因此仅参加了一项活动的学生人数为：60−15=45，故选：D7．已知全集U=R，集合A={x|0≤x≤2}，B={x|x2−x>0}，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≤1或x>2}B．{x|x<0或1<x<2}C．{x|1≤x<2}D．{x|1<x≤2}【答案】A【解析】解不等式可得B={x|x<0或x>1}，由题意可知阴影部分表示的集合为∁U(A⋂B)⋂(A⋃B)，且A⋂B={x|1<x≤2}，A⋃B=R，∴∁U(A⋂B)={x|x≤1或x>2}，所以∁U(A⋂B)⋂(A⋃B)={x|x≤1或x>2}，故选：A.8．若函数f(x)=√x2−5x+6的定义域是F，g(x)=√x−2+√x−3的定义域是G，则F 和G的关系是（）A ．G ⊂FB ．F ⊂GC ．F =GD ．F ∩G =∅【答案】A【解析】由题设，x 2−5x +6=(x −2)(x −3)≥0，可得F ={x|x ≤2或x ≥3}，又{x −2≥0x −3≥0，可得G ={x|x ≥3}，∴G ⊂F .故选：A.9．设P ={x|x ≤3}，a =2√2，则下列关系中正确的是（ ）A ．a ⊆PB ．a ∈PC ．{a }⊆PD ．{a }∈P【答案】BC【解析】因为2√2≤3，所以2√2∈{x|x ≤3}，即a ∈P ，{a }⊆P故选：BC10．如图所示的阴影部分表示的集合是（ ）A ．M ∩(N ∩P)B ．(C U M )∩(N ∩P)C ．P ∩[C U (M ∪N)]D ．P ∩(C U M )∩(C U N )【答案】CD【解析】A 选项表示的是图1的部分，不合题意，B选项表示的是图2的部分，不合题意CD选项表示的是题干中的阴影部分故选：CD11．已知集合M={2,4}，集合M⊆N {1,2,3,4,5}，则集合N可以是（）A．{2,4}B．{2,3,4}C．{1,2,3,4}D．{1,2,3,4,5}【答案】ABC【解析】因为集合M={2,4}，对于A：N={2,4}满足M⊆N {1,2,3,4,5}，所以选项A符合题意；对于B：N={2,3,4}满足M⊆N {1,2,3,4,5}，所以选项B符合题意；对于C：N={1,2,3,4}满足M⊆N {1,2,3,4,5}，所以选项C符合题意；对于D：N={1,2,3,4,5}不是{1,2,3,4,5}的真子集，故选项D不符合题意，故选：ABC.12．集合A ，B 是实数集R 的子集，定义A −B ={x|x ∈A,x ∉B }，A ∗B =(A −B )∪(B −A )叫做集合的对称差．若集合A ={y|y =(x −1)2+1,0≤x ≤3}，B ={y|y =x 2+1,1≤x ≤3}，则以下说法正确的是（ ）A ．A ={y|−1≤y ≤5}B ．A −B ={y|1≤y <2}C ．B −A ={y|5<y ≤10}D ．A ∗B ={y|1<y ≤2}∪{y|5<y ≤10}【答案】BC【解析】A ={y|y =(x −1)2+1,0≤x ≤3}={y |1≤y ≤5}，A 错误；B ={y|y =x 2+1,1≤x ≤3}={y |2≤y ≤10}，A −B ={x |1≤x <2}，B 正确； B −A ={y|5<y ≤10}，C 正确；A ∗B =(A −B )∪(B −A )={y|1≤y <2}∪{y|5<y ≤10}，D 错误.故选：BC.三、填空题13．已知集合M ={y |y =x,x ≥0}，N ={x |y =lg (2x −x 2)}，则M⋂N =______．【答案】(0,2)【解析】M ={y |y =x,x ≥0}={y|y ≥0}，N ={x |y =lg (2x −x 2)}={x |2x −x 2⟩0}={x|x 2−2x <0}={x|0<x <2}， 所以M ∩N ={x|0<x <2}=(0,2)，故答案为：(0,2).14．若集合A ={x ∈R |ax 2−2x +1=0}中只有一个元素，则a =_________.【答案】0或1或0【解析】因集合A ={x ∈R |ax 2−2x +1=0}中只有一个元素，则当a =0时，方程为−2x +1=0，解得x =12，即集合A ={12}，则a =0，当a ≠0时，由Δ=22−4a =0，解得a =1，集合A ={1}，则a =1，所以a =0或a =1.故答案为：0或115．我们将b −a 称为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”．若集合M ={x |m ≤x ≤m +2022}，N ={x |n −2023≤x ≤n }，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤2024}的子集，则集合M ∩N 的“长度”的最小值为______．【答案】2021【解析】由题意得，M的“长度”为2022，N的“长度”为2023，要使M∩N的“长度”最小，则M，N分别在{x|0≤x≤2024}的两端．当m=0，n=2024时，得M={x|0≤x≤2022}，N={x|1≤x≤2024}，则M∩N={x|1≤x≤2022}，此时集合M∩N的“长度”为2022−1=2021；当m=2，n=2023时，M={x|2≤x≤2024}，N={x|0≤x≤2023}，则M∩N={x|2≤x≤2023}，此时集合M∩N的“长度”为2023−2=2021．故M∩N的“长度”的最小值为2021．故答案为：202116．当两个集合中有一个集合为另一集合的子集时称这两个集合之间构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时称两集合之间构成“偏食”.对于集合A={−12，12,1}，B={x|ax2+1=0,a≤0}，若A与B构成“全食”，或构成“偏食”，则a的取值集合为__________ _.【答案】{0,−1,−4}【解析】当A与B构成“全食”即B⊆A时，当a=0时，B=∅；当a≠0时，B={√−1a ,−√−1a}，又∵B⊆A，∴a=−4；当A与B构成构成“偏食”时，A⋂B≠∅且B⊈A，∴a=−1．故a的取值为：0，−1，−4，故答案为：{0,−1,−4}17．已知集合A={x|1≤x≤4},B={x|2<x<5},C={x|a−1≤x≤a+1}，且B∪C= B.（1）求实数a的取值范围；（2）若全集U=A⋃(B⋃C)，求∁U B.【答案】（1）(3,4)；（2）∁U B={x|1≤x≤2}.【解析】（1）由B∪C=B，可知C⊆B，又∵B={x|2<x<5},C={x|a−1≤x≤a+1}，∴2<a−1<a+1<5，解得：3<a<4，∴实数a的取值范围是(3,4).（2）依题意得，U=A⋃(B⋃C)=A⋃B，又A={x|1≤x≤4},B={x|2<x<5}，∴U={x|1≤x<5}，∴∁U B={x|1≤x≤2}.18．设全集U=R，集合A={x|x−6x+5≤0}，B={x|x2+5x−6≥0}，求：（1）A∩∁U B；（2）(∁U A)∪(∁U B).【答案】（1）A⋂∁U B={x|−5<x<1}；（2）(∁U A)∪(∁U B)={x|x<1或x>6}.【解析】（1）由x−6x+5≤0可得{(x−6)(x+5)≤0x+5≠0，解得：−5<x≤6，所以A={x|−5<x≤6}，由x2+5x−6≥0，可得(x−1)(x+6)≥0，解得：x≤−6或x≥1，所以B={x|x≤−6或x≥1}，所以∁U B={x|−6<x<1}，所以A⋂∁U B={x|−5<x<1}.（2）由（1）知A={x|−5<x≤6}，所以∁U A={x|x≤−5或x>6}，所以(∁U A)∪(∁U B)={x|x<1或x>6}.19．已知集合A={x|log2(x+1)<4}，B={x|4x>8}，C={x|a−1≤x≤2a+1}.（1）计算A⋂B；（2）若C⊆(A∩B)，求实数a的取值范围.【答案】（1）{x∣32<x<15}（2）(−∞,−2)∪(52,7)【解析】（1）由log2(x+1)<4得log2(x+1)<log224，又函数y=log2x在(0,+∞)上单调递增，则0<x+1<24即A={x∣−1<x<15}，由4x>8，得x>32，即B={x∣x>32}，则A ∩B ={x ∣32<x <15}.（2）因为C ⊆(A ∩B )，当C =∅时，2a +1<a −1，即a <−2；当C ≠∅时，由C ⊆(A ∩B )，可得{2a +1⩾a −1,a −1>32,2a +1<15,即52<a <7，综上，a 的取值范围是(−∞,−2)∪(52,7).20．已知集合A ={x|a ≤x ≤a +3}，B ={x|x <−6或x >1}．（1）若A⋂B =∅，求a 的取值范围；（2）若A ∪B =B ，求a 的取值范围．【答案】（1）{a|−6≤a ≤−2}；（2）{a|a <−9或a >1}.【解析】（1）因为A⋂B =∅，所以{a ≥−6a +3≤1，解得：−6≤a ≤−2， 所以a 的取值范围是{a|−6≤a ≤−2}.（2）因为A ∪B =B ，所以A ⊆B ，所以a +3<−6或a >1，解得：a <−9或a >1， 所以a 的取值范围是{a|a <−9或a >1}．21．已知集合P ={x|x 2+4x =0}，Q ={x|x 2−4mx −m 2+1=0}.（1）若1∈Q ，求实数m 的值；（2）若P⋃Q =P ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）m =−2±√6.（2）−√55<m <√55或m =−1. 【解析】（1）由1∈Q 得1−4m −m 2+1=0，即m 2+4m −2=0，解得m =−2±√6；（2）因为P⋃Q =P ，所以Q ⊆P ，由P ={0,−4}知Q 可能为∅,{0},{−4},{0,−4}；①当Q =∅，即x 2−4mx −m 2+1=0无解，所以Δ=16m 2+4m 2−4=20m 2−4<0， 解得−√55<m <√55；②当Q={0}，即x2−4mx−m2+1=0有两个等根为0，所以依据韦达定理知{Δ=0,0=4m,0=1−m2所以m无解；③当Q={−4}，即x2−4mx−m2+1=0有两个等根为−4，所以依据韦达定理知{Δ=0,−8=4m,16=1−m2所以m无解；③当Q={0,−4}，即x2−4mx−m2+1=0有两个根为0，−4，所以依据韦达定理知{Δ>0,−4=4m,0=1−m2解得m=−1；综上，−√55<m<√55或m=−1.22．已知集合A={x|3−a≤x≤3+a}，B={x|x2−4x≥0}.（1）当a=2时，求A⋂B；（2）若a>0，且“x∈A”是“x∈∁R B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）[4,5]（2）0<a<1【解析】（1）x2−4x=x(x−4)≥0，解得x≤0或x≥4，所以B=(−∞,0]∪[4,+∞)a=2时，A=[1,5]，所以A∩B=[4,5].（2）∁R B=(0,4)，因为“x∈A”是“x∈∁R B”的充分不必要条件，所以A是∁R B的真子集，且A≠∅；∴{3−a>03+a<4所以实数a的取值范围为：0<a<1.。

高一年级数学寒假作业一答案解析一、单项选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合 U = R ，集合{}2|320A x x x =-+>，则U C A =（ ） A. (1,2) B. [1,2 ] C. (-2，-1 ) D. [ -2，-1] 【答案】B ；【解析】因为A ()(),12,=-∞+∞，U = R ,所以U C A =[ 1,2] ．2. 设13331log ,4,log 24a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）．A. c >a> bB. b> a> cC. c> b> aD. b> c> a 【答案】D ；【解析】0,1,01a b c <><<,所以 b> c> a ．3. 如图，已知点 C 为△OAB 边AB 上一点，且AC=2CB ，若存在实数m ，n ，使得OC mOA nOB =+，则m- n 的值为（ ）．A.13-B. 0C.13D.23【答案】A ；【解析】由等和线定理，易得1233OC OA OB =+，所以m- n =13-.4.已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则ϕ的值为（ ）． A.6πB.6π- C.4π- D.4π【答案】D ；【解析】由图可知，322T π=，所以223T πω==，所以()22sin 3f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为328f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以232382k ππϕπ⨯+=+，解得()24k k Z πϕπ=+∈，因为2πϕ<，所以4πϕ=.5. 函数()2211log 113xx f x x -⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭的定义域是 ( ) A. [1,+∞ ) B. (0,1) C. (-1,0 ] D. (−∞ −1] 【答案】C ；【解析】由对数的真数大于 0 ，与二次根式非负，得101x x ->+且21103x⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭， 解得11x -<<且x ≤0，所以定义域为 (-1,0 ]．6. 设a ，b 是实数，已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (a ，1 )，B(-2，b )，且1sin 3θ=，则ab的值为（ ）． A. -4 B.-2 C. 4 D. ±4 【答案】A ；【解析】由三角函数的定义，221314a b==++，且a< 0，解得2,222b a ==-4a b=-. 7. 函数()2sin2xy x x R =∈的图象大致为（ ）．【答案】D ；【解析】由该函数为奇函数，排除选项 A ，B ，由2x π=时，函数值为 0，可排除选项C ，故选D ．8. 若函数()()lg 12f x x =-+，则对于任意的()12,1,x x ∈+∞，()()122f x f x +与122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系是（ ）．A.()()122f x f x +≥122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()()122f x f x +≤122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭C.()()122f x f x +=122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭D.不确定【答案】B ；【解析】观察图象，可得函数“凹凸性”如图，故选 B ．二、多项选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9. 下列计算结果为有理数的有（ ）．A.23log 3log 2⋅B. lg2 +lg5C.1ln22e - D.5sin6π 【答案】ABCD ；【解析】23log 3log 21⋅=；lg2+ lg5=1；1ln220e -=；51sin62π=， 故选 ABCD ．10. 对于定义在 R 上的函数()f x ，下列判断错误的有（ ）． A.若()()22f f ->，则函数()f x 是 R 的单调增函数 B.若()()22f f -≠，则函数()f x 不是偶函数 C.若()00f =，则函数()f x 是奇函数D.函数()f x 在区间 (−∞，0]上是单调增函数，在区间 (0,+∞)上也是单调增函数，则()f x 是 R 上的单调增函数【答案】ACD ；【解析】A 选项，由()()22f f ->，则()f x 在 R 上必定不是增函数； B 选项，正确；C 选项，()2f x x =，满足()00f =，但不是奇函数；D 选项，该函数为分段函数，在 x =0 处，有可能会出现右侧比左侧低的情况，故错误．11. 设 a 为实数，则直线y =a 和函数41y x =+的图象的公共点个数可以是（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】ABC ；【解析】41y x =+是偶函数，且在 [0,+∞ ) 上递增，画出草图，可知y=a 与该函数的交点个数可能为 0，1，2．12. 设函数()f x 的定义域为D ，若对于任意x ∈D ，存在y ∈D 使()()2f x f y C-=（C 为常数）成立，则称函数()f x 在D 上的“半差值”为C ．下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为1的函数是（ ）． A.()31y x x R =+∈ B. ()2x y x R =∈C. ()()ln 0,y x x =∈+∞ D. y=sin2x+1( x ∈R) 【答案】AC ；【解析】即对任意定义域中的 x ，存在 y ，使得f(y)=f(x)-2；由于AC 值域为R ，故满足；对于B ，当x=0时，函数值为1，此时不存在自变量y ，使得函数值为-1，故B 不满足；对于D ，当2x π=-时，函数值为−1，此时不存在自变量y ，使得函数值为−3,故D 不满足，所以选AC ．三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分．13. 设m 为实数，若函数()22f x x mx =+-在区间 (−∞,2)上是单调减函数，则m 的取值围是． 【答案】m ≤−4；【解析】()f x 为开口向上的二次函数，对称轴为直线2mx =-,要使得函数在(−∞,2)上递减，则22m-≥，解得4m ≤-. 14. 把函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到图象为1C ；再把1C 上每一点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到图象为2C ，则2C 对应的解析式为． 【答案】2sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【解析】1C :sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,2C :2sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.15. 若()()cos ,1,2cos ,2sin AB AC θθθ=-=，其中θ∈[0,π]，则BC 的最大值为． 【答案】3；【解析】()cos ,2sin 1,BC AC AB θθ=-=+所以()2222cos 2sin 13sin 4sin 2,BC θθθθ=++=++因为[]0,θπ∈，令[]sin 0,1t θ=∈，所以22342,BC t t =++所以当t=1时，取最大值 9，所以BC 的最大值为 3．16. 已知函数()22,1,1x x f x x x -≥⎧=⎨<⎩，那么()()3f f =；若存在实数 a ，使得()()()f a f f a =，则a 的个数是．【答案】 1 ；4； 【解析】()()()311;ff f =-=令()f a t =，即满足()f t t =，①t=1，即a=±1时，经检验，均满足题意；②t <1，即 −1 <a <1或 a >1时，()2f t t =，由2t t =，解得t =0或1（舍去）；再由()0t f a ==解得a = 0或 2 ；③t > 1，即a < − 1时，()2f t t =-，由t=2−t ，解得 t = 1 （舍去）； 综上所述：共有 4 个 a ．四、解答题：本小题共6小题，共70分．解答应写出应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （10 分）设 t 为实数，已知向量()()1,2,1,.a b t ==- ⑴若 t = 3，求a b +和a b -的值；⑵若向量a b +与3a b -所成角为 135° ，求 t 的值．【答案】⑴a b += 5，5a b -=；⑵ t = 2；【解析】⑴当 t = 3时，()1,3b =-,()0,5a b +=,()2,1a b -=- 所以a b += 5，5a b -=； ⑵()0,2a b t +=+,()34,23a b t -=-,()()(3223cos135232a b a b t t a b a bt +⋅-+-===-+⋅-+, 平方化简得：23440t t --=，解得1222,.3t t ==- 经检验，当23t =-时，夹角为 45° 舍去，故 t = 2． 18. （12 分）设实数 x 满足 sinx+ cos x= c ，其中 c 为常数． ⑴ 当时，求44sin cos x x +的数值；⑵ 求值：()33443cos cos 2sin cos x x x xππ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭-（用含 c 的式子表示）． 【答案】⑴12;⑵212c c +;【解析】⑴，平方得： 1+ 2sinx cosx = 2，所以sinx cosx=12; ()24422221sin cos sin cos 2sin cos 2x x x x x x +=+-=; （2）()()()33334422223cos cos sin cos 1sin cos 2sin cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x x xx x x x ππ⎛⎫+++ ⎪-+⎝⎭==-+-+ 由sinx+ cos x= c ，所以平方得：1+ 2sinx cosx = 2c ，sinx cosx =212c -所以原式=221122c c c c++=. 19. （12 分）设 a 为正实数．如图，一个水轮的半径为a m ，水轮圆心 O 距离水面2am ，已知水轮每分钟逆时针转动 5 圈．当水轮上的点 P 从水中浮现时（即图中点0P ）开始计算时间．⑴ 将点 P 距离水面的高度 h(m )表示为时间 t(s)的函数； ⑵ 点 P 第一次达到最高点需要多少时间．【答案】⑴sin ,0;662a h a t t ππ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭⑵ 4s ；【解析】⑴ 如图，以水轮圆心 O 为原点，与水面平行的直线为 x 轴建立直 角坐标系．当t= 0时，点 P 的坐标为3,2a ⎫-⎪⎪⎝⎭，角度为6π-;根据水轮每分钟逆时针转动 5 圈，可知水轮转动的角速度为6πrad / s,所以 t 时刻，角度为66t ππ-;根据三角函数定义，可得sin ,0;662a h a t t ππ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭⑵ 当32a h =时，sin 166t ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2662t k ππππ-=+，解得t=4+12k ()k N ∈，所以当k= 0时， t = 4，即第一次达到最高点时需要 4s ． 20. （12 分）设向量()11,a x y =,()22,b x y =，其中0a ≠． ⑴ 若//a b ，求证：12210x y x y -=； ⑵ 若12210x y x y -=，求证：//a b ．【解析】()11,a x y =,()22,b x y =，其中0a ≠，所以11,x y 不全为 0，不妨设10x ≠; ⑴ 如果//a b ，则存在实数λ，使得b a λ= ，即()()()221111,,,x y x y x y λλλ==,所以2121x x y y λλ=⎧⎨=⎩,则()()122111110x y x y x y x y λλ-=-=⑵ 反之，如果12210x y x y -=，因为10x ≠，所以()()22221222111111,,,,x xx y y x y x y x y x x x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ， 令21x x λ=，则b a λ=，所以//a b ． 21. （12 分）⑴ 运用函数单调性定义，证明：函数()31f x x x=-在区间 (0,+∞)上是单调减函数；⑵ 设 a 为实数， 0 <a < 1 ，若 0 <x < y ，试比较33y x a a -和4334x y x y a a ++-的大小，并说明理由．【答案】⑴ 答案见解析；⑵33y x a a -<4334x y x y a a ++- 【解析】⑴ 对任意的()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，()()()()()222121211212213333121211x x x x x x f x f x x x x x x x x x -++⎛⎫⎛⎫-=---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为210,x x ->22332121120,0x x x x x x ++>>，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x > ，所以函数()f x 在区间 (0,+∞) 上是单调减函数；⑵ 因为 0<a<1，所以()x g x a =在R 上是单调减函数， 因为 0< x< y ，所以 0<3x<3y ， 0< 4x+ 3y<3x+4y ， 所以()()33330y x g y g x a a <⇒-< ，且()()4334g x y g x y +>+⇒43340x y x y a a ++->， 所以33y x a a -<4334x y x y a a ++-. 22. （12 分） ⑴ 已知函数()()11,1x f x x x R x -=≠-∈+，试判断函数()f x 的单调性，并说明理由；⑵ 已知函数()()1lg1,1x g x x x R x -=≠±∈+. （i ）判断()g x 的奇偶性，并说明理由；（ii ）求证：对于任意的x ,y ∈R ，且x ≠±1 ，y ≠±1，xy ≠−1都有()()1x y g x g y g xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭①.【答案】⑴()f x 在(−∞，−1)和(-1,+∞)上单调递增；⑵答案见解析； 【解析】⑴ 对任意的()12,,1x x ∈-∞-，且12x x <， 则()()()()()12121212122111111x x x x f x f x x x x x ----=-=++++， 因为()()12120,110x x x x -<++>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在区间(−∞，−1)上是单调递增，同理可得()f x 在区间(-1,+∞)上单调递增；⑵（i ）()g x 的定义域为()()(),11,11,-∞--+∞，对任意的()()(),11,11,x ∈-∞--+∞，有()()(),11,11,x -∈-∞--+∞，且()()1111lglg lg lg101111x x x x g x g x x x x x ⎛⎫------+-=+=⋅== ⎪+-++-+⎝⎭， 所以()g x 为奇函数，又()()22g g ≠-，所以()g x 不是偶函数； （ii ）对于任意的x,y ∈R ，且x ≠±1 ，y ≠±1，xy ≠−1，因为()()111111lg lg lg lg 111111x y x y x y g x g y x y x y x y ⎛⎫------+=+=⋅=⋅ ⎪++++++⎝⎭， 所以111lg lg lg 1111x yx y x y xy xyg x y xy x y xy xy+-⎛⎫++--+=== ⎪+++++⎝⎭++()()1111x y g x g y x y --⋅=+++； 高一年级数学寒假作业二答案解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

高一数学（必修一）寒假作业一、选择题：（每题5分，满分60分） 1、下列四个集合中，是空集的是（ ）A }33|{=+x xB },,|),{(22R y x x y y x ∈-=C },01|{2R x x x x ∈=+-D }0|{2≤x x2．设A={a ，b}，集合B={a+1，5}，若A∩B={2}，则A ∪B= （ ）A 、{1，2}B 、{1，5}C 、{2，5}D 、{1，2，5} 3．函数21)(--=x x x f 的定义域为 （ ）A 、[1，2)∪(2，+∞）B 、(1，+∞）C 、[1，2)D 、[1，+∞) 4．设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下表（从上到下）：则与)]1([g f 相同的是 （ ） A ．)]3([f gB ．)]2([f gC ．)]4([f gD ．)]1([f g5、下图是指数函数○1x a y =、○2 x b y =、○3 x c y =、○4 x d y =的图象，则d c b a ,,,与1的大小关系是（ ）A ．b a d c <<<<1B ．a b c d <<<<1C ．a b d c <<<<1D ．b a d c <<<<16．函数y= | lg （x-1）| 的图象是 （ ）7. 已知3.0log 2=a ，3.02=b ，2.03.0=c ，则c b a ,,三者的大小关系是 （ ） A 、c b a >> B 、c a b >> C 、a c b >> D 、a b c >>8．函数y=ax 2+bx+3在(]1,-∞-上是增函数，在[)+∞-,1上是减函数，则 （ ） A 、b>0且a<0 B 、b=2a<0 C 、b=2a>0 D 、a ，b 的符号不定9．函数]1,0[在xa y =上的最大值与最小值的和为3，则=a （ ）A 、21 B 、2 C 、4 D 、41表1 映射f 的对应法则 原像 1 2 3 4 像 3 4 2 1表2 映射g 的对应法则原像 1 2 3 4 像 4 3 1 210．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧----∈3,2,1,21,31,21,1,2,3α，则使αx y =为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的α值的个数为 （ ）A 、1B 、2C 、3D 、411．已知实数00a b ≥≥，且1a b +=，则2211a b +++（）（）的取值范围为 ( )A ．9[5]2，； B ．9[2∞，+）； C ．9[0]2，； D ．[05]，。