20XX年中考数学第一轮复习同步练习第19讲 解直角三角形

2023年中考数学一轮专题练习 ——解直角三角形的实际应用（解答题部分）一、解答题（本大题共16小题）1. （湖北省恩施州2022年）如图，湖中一古亭，湖边一古柳，一沉静，一飘逸、碧波荡漾，相映成趣．某活动小组赏湖之余，为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳A 处测得古亭B 位于北偏东60°，他们向南走50m 到达D 点，测得古亭B 位于北偏东45°，求古亭与古柳之间的距离AB 1.41≈ 1.73≈，结果精确到1m ）．2. （湖南省湘潭市2022年）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中0.618DHAH≈）：伞柄AH 始终平分BAC ∠，20cm AB AC ==，当120BAC ∠=︒时，伞完全打开，此时90BDC ∠=︒．请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数1.732≈）3. （湖南省怀化市2022年）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A 位于C 村西南方向和B 村南偏东60°方向上，C 村在B 村的正东方向且两村相距2.4千米．有关部门计划在B 、C 两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明．，≈1.41）4. （湖南省邵阳市2022年）如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60︒方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45︒方向上，已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：≈）1.414≈， 1.7325. （湖南省郴州市2022年）如图是某水库大坝的横截面，坝高20mCD=，背水坡BC i=．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员的坡度为11:1i=A与原起点B之间的距离．（参准备把背水坡的坡度改为2≈．结果精确到0.1m）≈ 1.731.416. （天津市2022年）如图，某座山AB的项部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰角为42︒，测得塔底B的仰角为35︒．已知通讯塔BC的高度为32m，求这座山AB的高度（结果取整数）．参考数据：，．︒≈︒≈tan350.70tan420.907. （四川省自贡市2022年）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：(1)探究原理：制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心O 处，另一端系小重物G ．测量时，使支杆OM 、量角器90°刻度线ON 与铅垂线OG 相互重合（如图①），绕点O 转动量角器，使观测目标P 与直径两端点,A B 共线（如图②），此目标P 的仰角POC GON ∠=∠．请说明两个角相等的理由．(2)实地测量：如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点K 处测得顶端P 的仰角60POQ ∠=，观测点与树的距离KH 为5米，点O 到地面的距离OK 为1.5米；求树高PH 1.73≈，结果精确到0.1米）(3)拓展探究：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P 距离地面高度PH （如图④），同学们讨论，决定先在水平地面上选取观测点,E F （,,E F H 在同一直线上），分别测得点P 的仰角,αβ，再测得,E F 间的距离m ，点12,O O 到地面的距离12,O E O F 均为1.5米；求PH （用,,m αβ表示）．8. （四川省遂宁市2022年）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A 处测得塔楼顶端点E 的仰角50.2GAE ∠=︒，台阶AB 长26米，台阶坡面AB 的坡度5:12i =，然后在点B 处测得塔楼顶端点E 的仰角63.4EBF ∠=︒，则塔顶到地面的高度EF 约为多少米． （参考数据：tan50.2 1.20︒≈，tan63.4 2.00︒≈，sin50.20.77︒≈，sin63.40.89︒≈）9. （四川省内江市2022年）如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．(1)求河的宽度；(2)求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）10. （四川省眉山市2022年）数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高CD．如图，在楼前平地A处测得楼顶C处的仰角为30，沿AD方向前进60m到达B处，测得楼顶C处的仰角为45︒，求此建筑物的高．（结果保留整数．参考数据： 1.41≈，≈）1.7311. （四川省泸州市2022年）如图，海中有两小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛C位于东北方向，小岛D位于南偏东30°方向，且A，D相距10 nmile．该渔船自西向东航行一段时间后到达点B，此时测得小岛C位于西北方向且与点B相距8 nmile．求B，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．12. （四川省凉山州2022年）去年，我国南方菜地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C 处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B 处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B 处测得BC 与水平线的夹角为45°，塔基A 所在斜坡与水平线的夹角为30°，A 、B 两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．13. （湖北省鄂州市2022年）亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽一一鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C 处看见飞机A 的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF 上的D 处看见飞机A 的仰角为30°，若斜坡CF 的坡比=1：3，铅垂高度DG =30米（点E 、G 、C 、B 在同一水平线上）．求：(1)两位市民甲、乙之间的距离CD ； (2)此时飞机的高度AB ，（结果保留根号）14. （四川省成都市2022年）2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角150AOB ∠=︒时，顶部边缘A 处离桌面的高度AC 的长为10cm ，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角108A OB '∠=︒时（点A '是A 的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A '处离桌面的高度A D '的长．（结果精确到1cm ；参考数据：sin720.95︒≈，cos720.31︒≈，tan72 3.08︒≈）15. （黑龙江省绥化市2022年）如图所示，为了测量百货大楼CD 顶部广告牌ED 的高度，在距离百货大楼30m 的A 处用仪器测得30DAC ∠=︒；向百货大楼的方向走10m ，到达B 处时，测得48EBC ∠=︒，仪器高度忽略不计，求广告牌ED 的高度．（结果保留小数点后一位）1.732≈，sin 480.743︒≈，cos480.669︒≈，tan 48 1.111︒≈）16. （四川省广元市2022年）如图，计划在山顶A 的正下方沿直线CD 方向开通穿山隧道EF ．在点E 处测得山顶A 的仰角为45°，在距E 点80m 的C 处测得山顶A 的仰角为30°，从与F 点相距10m 的D 处测得山顶A 的仰角为45°，点C 、E 、F 、D 在同一直线上，求隧道EF 的长度．参考答案1. 【答案】古亭与古柳之间的距离AB 的长约为137m 【分析】过点B 作AD 的垂直，交DA 延长线于点C ，设m AC x =，则(50)m CD x =+，分别在Rt BCD 和Rt ABC △中，解直角三角形求出,BC AB 的长，再建立方程，解方程可得x 的值，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，过点B 作AD 的垂直，交DA 延长线于点C ， 由题意得：50m,60,45AD BAC D =∠=︒∠=︒， 设m AC x =，则(50)m CD AC AD x =+=+， 在Rt BCD 中，tan (50)m BC CD D x =⋅=+，在Rt ABC △中，tan m BC AC BAC =⋅∠=，2m cos ACAB x BAC==∠，则50x +=，解得25x =，则250137(m)AB x ==≈，答：古亭与古柳之间的距离AB 的长约为137m ．2. 【答案】72cm 【分析】过点B 作BE AH ⊥于点E ，解Rt ,Rt ABE BED ，分别求得,AE ED ，进而求得AD ，根据黄金比求得DH ，求得AH 的长，即可求解． 【详解】如图，过点B 作BE AH ⊥于点EAB AC =，120BAC ∠=︒，AH 始终平分BAC ∠， 60BAE CAD ∴∠=∠=︒ 1cos60102AE AB AB ∴=︒⨯==，BE =,,AB AC BAD CAD AD AD =∠=∠=ADC ADB ∴≌ 90BDC ∠=︒ 45ADB ADC ∴∠=∠=︒BE ED ∴=1027.32AD AE ED ∴=+=+≈0.618DHAH≈ 0.618DHDH AD∴≈+解得44.2DH ≈27.3244.271.5272AH AD DH ∴=+=+=≈ 答：最少需要准备72cm 长的伞柄 3. 【答案】不穿过，理由见解析 【分析】先作AD ⊥BC ，再根据题意可知∠ACD=45°，∠ABD =30°，设CD =x ，可表示AD 和BD ，然后根据特殊角三角函数值列出方程，求出AD ，与800米比较得出答案即可． 【详解】不穿过，理由如下：过点A 作AD ⊥BC ，交BC 于点D ，根据题意可知∠ACD=45°，∠ABD =30°. 设CD =x ，则BD=2.4-x ， 在Rt △ACD 中，∠ACD=45°， ∴∠CAD=45°， ∴AD=CD =x ．在Rt △ABD 中，tan 30ADBD︒=，即2.4x x =-， 解得x =0.88，可知AD=0.88千米=880米，因为880米＞800米，所以公路不穿过纪念园．4. 【答案】这艘轮船继续向正东方向航行是安全的，理由见解析 【分析】如图，过C 作CD ⊥AB 于点D ，根据方向角的定义及余角的性质求出∠BAC =30°，∠CBD =45°，解Rt △ACD 和Rt △BCD ，求出CD 即可． 【详解】解：过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．如图所示：根据题意可知∠BAC =90°−60°=30°，∠DBC =90°-45°=45°，AB =30×1=30（km ）， 在Rt △BCD 中，∠CDB =90°，∠DBC =45°， tan ∠DBC =CD BD ，即CDBD=1 ∴CD =BD 设BD =CD =x km ，在Rt △ACD 中，∠CDA =90°，∠DAC =30°，∴tan ∠DAC =CD AD ，即30x x =+解得x， ∵40.98km>40km∴这艘船继续向东航行安全．5. 【答案】背水坡新起点A 与原起点B 之间的距离约为14.6m 【分析】通过解直角三角形Rt BCD 和Rt ACD ∆，分别求出AD 和BD 的长，由AB AD BD =-求出AB 的长． 【详解】解：在Rt BCD 中，∵背水坡BC 的坡度11:1i =，∴1CDBD=， ∴()20m BD CD ==．在Rt ACD ∆中，∵背水坡AC 的坡度2i = ∴CD AD =∴)m AD ==，∴()2014.6m AB AD BD =-=≈．答：背水坡新起点A 与原起点B 之间的距离约为14.6m ． 6. 【答案】这座山AB 的高度约为112m 【分析】在Rt PAB 中，·tan AB PA APB =∠，在Rt PAC △中，·tan AC PA APC =∠，利用AC AB BC =+，即可列出等式求解． 【详解】解：如图，根据题意，324235BC APC APB ︒∠︒=∠==，，．在Rt PAC △中，tan ACAPC PA∠=， ∴tan ACPA APC=∠．在Rt PAB 中，tan AB APB PA∠=， ∴tan ABPA APB=∠．∵AC AB BC =+， ∴tan tan AB BC ABAPC APB+=∠∠．∴()tan 32tan 35320.70112m tan tan tan 42tan 350.900.70BC APB AB APC APB ⋅∠⨯︒⨯==≈=∠-∠︒-︒-．答：这座山AB 的高度约为112m ． 7. 【答案】(1)证明见解析 (2)10.2米(3)tan tan 1.5tan tan m αβαβ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭米 【分析】（1）根据图形和同角或等角的余角相等可以证明出结果；（2）根据锐角三角函数和题意，可以计算出PH 的长，注意最后的结果；（3）根据锐角三角函数和题目中的数据，可以用含αβ、、m 的式子表示出PH ．(1)证明：∵9090,COG AON ∠=︒∠=︒∴POC CON GON CON ∠+∠=∠+∠∴POC GON ∠=∠(2)由题意得：KH =OQ =5米，OK =QH =1.5米，9060,OQP POQ ∠=︒∠=︒，在Rt △POQ 中tan ∠POQ =5PQ PQ OQ ==∴PQ =∴15102PH PQ QH =+=+≈..（米）故答案为：10.2米．(3)由题意得：1212, 1.5O O EF m O E O F DH m =====， 由图得：21==tan tan PD PD O D O D βα， 21tan tan PD PD O D O D βα==，， ∴1221O O O D O D =- ∴tan tan PD PD m βα=- ∴tan tan tan tan m PD αβαβ=- ∴tan tan 1.5tan tan m PH PD DH αβαβ⎛⎫=+=+ ⎪-⎝⎭米 故答案为：tan tan 1.5tan tan m αβαβ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭米 8. 【答案】塔顶到地面的高度EF 约为47米【分析】延长EF 交AG 于点H ，则EH AG ⊥，过点B 作BP AG ⊥于点P ，则四边形BFHP 为矩形，设5BP x =，则12AP x =，根据解直角三角形建立方程求解即可．【详解】如图，延长EF 交AG 于点H ，则EH AG ⊥，过点B 作BP AG ⊥于点P ，则四边形BFHP 为矩形，∴FB HP =，FH BP =．由5:12i =，可设5BP x =，则12AP x =，由222BP AP AB +=可得()()22251226x x +=，解得2x =或2x =-（舍去），∴10BP FH ==，24AP =，设EF a =米，BF b =米，在Rt BEF △中tan EF EBF BF ∠=， 即tan 63.42a b︒=≈，则2a b =① 在Rt EAH 中，tan EH EF FH EF BP EAH AH AP PH AP BF++∠===++， 即10tan 50.2 1.2024a b +︒=≈+② 由①②得47a =，23.5b =．答：塔顶到地面的高度EF 约为47米．9. 【答案】(1)（）米；【分析】（1）过点A 作AE ⊥l 于点E ，设CE =x ，在Rt △ADE 中可表示出DE ，在Rt △ACE 中可表示出AE ，通过解直角三角形ADE 求出x 即可；（2）过点B 作BF ⊥l ，垂足为F ，继而得出CE 的长，在Rt △BCF 中，求出CF ，继而可求出AB ．(1)解：过点A 作AE ⊥l ，垂足为E ，设CE ＝x 米，∵CD ＝60米，∴DE ＝CE +CD ＝（x +60）米，∵∠ACB ＝15°，∠BCD ＝120°，∴∠ACE ＝180°﹣∠ACB ﹣∠BCD ＝45°，在Rt △AEC 中，AE ＝CE •tan 45°＝x （米），在Rt △ADE 中，∠ADE ＝30°，∴tan 30°＝AE ED ＝60x x + ∴x ＝，经检验：x ＝30是原方程的根，∴AE ＝（30）米，∴河的宽度为（）米；(2)过点B 作BF ⊥l ，垂足为F ，则CE ＝AE ＝BF ＝（）米，AB ＝EF ，∵∠BCD ＝120°，∴∠BCF ＝180°﹣∠BCD ＝60°，在Rt △BCF 中，CF ＝tan 60BF ︒＝ ∴AB ＝EF ＝CE ﹣CF ＝30﹣（∴古树A 、B 之间的距离为10. 【答案】82米【分析】设CD 的长为x ，可以得出BD 的长也为x ，从而表示出AD 的长度，然后利用解直角三角形中的正切列出方程求解即可．【详解】解：设CD 为x ，∵45CBD ∠=︒，∠CDB =90°，∴BD CD x ==，∴()60AD AB BD x =+=+，在Rt ACD 中，∠ADC =90°，∠DAC =30°，tan CD DAC AD∠=，即60x x =+ ∴30330x∴81.9m x =82m ≈．答：此建筑物的高度约为82m ．11. 【答案】B ，D 间的距离为14nmile ．【分析】如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，根据题意可得，∠BAC =∠ABC =45°，∠BAD =60°，AD =10 nmile ，BC ．再根据锐角三角函数即可求出B ，D 间的距离．【详解】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，根据题意可得，∠BAC =∠ABC =45°，∠BAD =60°，AD =10 nmile ，BC ．在Rt △ABC 中，AC =BC∴AB =16(nmile)，在Rt △ADE 中，AD =10 nmile ，∠EAD =60°，∴DE =AD ， AE =12AD =5 (nmile)， ∴BE =AB -AE =11(nmile)，∴BD =14(nmile)，答：B ，D 间的距离为14nmile ．12. 【答案】(8+米【分析】过点B 作BD AC ⊥于点D ，在Rt △ABD 和Rt BCD 中，分别解直角三角形求出,,,AD BD CD BC 的长，由此即可得． 【详解】解：如图，过点B 作BD AC ⊥于点D ，由题意得：16AB =米，45,30,CBD E AC EF ∠=︒∠=︒⊥，BD EF ∴，30ABD E ∴∠=∠=︒，在Rt △ABD 中，182AD AB ==米，cos BD AB ABD =⋅∠=在Rt BCD 中，tan CD BD CBD =⋅∠=cos BD BC CBD ==∠则8AD CD BC ++=+答：压折前该输电铁塔的高度为(8+米．13. 【答案】(1)(2)()90米【分析】（1）先根据斜坡CF 的坡比=1：3，求出CG 的长，然后利用勾股定理求出CD 的长即可；（2）如图所示，过点D 作DH ⊥AB 于H ，则四边形BHDG 是矩形，BH =DG =30米，DH =BG ，证明AB =BC ，设AB =BC =x 米，则()30AH AB BH x =-=-米，()90DH BG CG BC x ==+=+米，解直角三角形得到3090x x -=+ (1)解：∵斜坡CF 的坡比=1：3，铅垂高度DG =30米， ∴13DG CG =， ∴90CG =米，∴CD ==米；(2)解：如图所示，过点D 作DH ⊥AB 于H ，则四边形BHDG 是矩形，∴BH =DG =30米，DH =BG ，∵∠ABC =90°，∠ACB =45°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴AB =BC ，设AB =BC =x 米，则()30AH AB BH x =-=-米，()90DH BG CG BC x ==+=+米， 在Rt △ADH中，tan AH ADH DH ∠==，∴3090x x -=+解得90x =，∴()90AB =米．14. 【答案】约为19cm【分析】在Rt △ACO 中，根据正弦函数可求OA =20cm ，在Rt △A DO '中，根据正弦函数求得A D '的值．【详解】解：在Rt △ACO 中，∠AOC =180°-∠AOB =30°，AC =10cm ，∴OA =10201sin 302OC，在Rt △A DO '中，18072A OC A OB ，20OA OA '==cm ， ∴sin72200.9519A D OA cm ．15. 【答案】4.9m【分析】 先求出BC 的长度，再分别在Rt △ADC 和Rt △BEC 中用锐角三角函数求出EC 、DC ，即可求解．【详解】根据题意有AC =30m ，AB =10m ，∠C =90°，则BC =AC -AB =30-10=20，在Rt △ADC 中，tan 30tan 3010DC AC A =⨯∠=⨯=，在Rt △BEC 中，tan 20tan 48EC BC EBC =⨯∠=⨯，∴20tan 4810DE EC DC =-=⨯-即20tan 481020 1.11110 1.732 4.9DE =⨯-⨯-⨯=故广告牌DE 的高度为4.9m ．16. 【答案】隧道EF 的长度()30米．【分析】过点A 作AG ⊥CD 于点G ，然后根据题意易得AG =EG =DG ，则设AG =EG =DG =x ，进而根据三角函数可得出CG 的长，根据线段的和差关系则有80x +=，最后问题可求解．【详解】解：过点A 作AG ⊥CD 于点G ，如图所示：由题意得：80m,10m,45,30CE DF AEF ADE ACE ==∠=∠=︒∠=︒，∴△EAD 是等腰直角三角形，∴AG =EG =DG ，设AG =EG =DG =x ，∴tan 30AG CG ==︒，∴80x +=，解得：40x =，∴()40m AG EG DG ===，∴()401030m EF ED DF =-=-=；答：隧道EF 的长度()30米．。

2023年中考数学一轮复习：解直角三角形及其应用一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与x轴夹角为30°，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线kyx=（k≠0）上，则k的值为（）A．4B．﹣2C D．2．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分△BAD，分别交BC，BD于点E，P，连接OE，△ADC=60°，122AB BC==，则下列结论：①△CAD=30°；②14OE AD=；③S平行四边形ABCD=AB·AC；④27BD=⑤S△BEP=S△APO；其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5 3．如图，为了保证道路交通安全，某段高速公路在A处设立观测点，与高速公路的距离AC为20米.现测得一辆小轿车从B处行驶到C处所用的时间为4秒。

若△BAC=α，则此车的速度为()A．5tanα米/秒B．80tanα米/秒C．5tanα米/秒D．80tanα米/秒二、填空题4．如图，在 ABC 中，AD 是BC 上的高， cos tanB DAC =∠ ，若 1213sinC =， 12BC = ，则AD 的长 ．5．某人沿着坡角为α的斜坡前进80m ，则他上升的最大高度是 m ． 6．如图，建筑物BC 上有一旗杆AB ，点D 到BC 的距离为20m ，在点D 处观察旗杆顶部A 的仰角为52°，观察底部B 的仰角为45°，则旗杆的高度为 m ．（精确到0.1m ，参考数据：520.79sin ︒≈，52 1.28tan ︒≈ 1.41≈ 1.73≈．）三、综合题7．在Rt△ACB 中，△C=90°，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AB 、AC 分别交于点D 、E ，且△CBE=△A.（1）求证：BE 是△O 的切线； （2）连接DE ，求证：△AEB△△EDB ；（3）若点F 为 AE 的中点，连接OF 交AD 于点G ，若AO=5，3sin 5CBE ∠= ，求OG 的长.8．如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板 ABC 与(30)DEF B E ∠=∠=︒ ，若将三角板 ABC 向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C 与点E 重合时移动终止），移动过程中始终保持点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，如图（2）， AB 与 DF 、 DE 分别交于点P 、M ， AC 与 DE 交于点Q ，其中 AC DF ==，设三角板 ABC 移动时间为x 秒.（1）在移动过程中，试用含x 的代数式表示AMQ 的面积；（2）计算x 等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？9．已知AB 是△O 的切线，切点为B 点，AO 交△O 于点C ，点D 在AB 上且DB=DC ．（1）求证：DC 为△O 的切线；（2）当AD=2BD ，CD=2时，求AO 的长．10．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高 AB 所在的直线.为了测量房屋的高度，在地面上C 点测得屋顶 A 的仰角为 35︒ ，此时地面上C 点、屋檐上 E 点、屋顶上A 点三点恰好共线，继续向房屋方向走 8m 到达点D 时，又测得屋檐 E 点的仰角为 60︒ ，房屋的顶层横梁 12EF m = ，//EF CB ， AB 交 EF 于点G （点C ，D ， B 在同一水平线上）.（参考数据：sin350.6︒≈ ， cos350.8︒≈ ， tan350.7︒≈ ，1.7≈ ）（1）求屋顶到横梁的距离 AG ；（2）求房屋的高 AB （结果精确到 1m ）.11．如图，直线 (0)y mx n m =+≠ 与双曲线 (0)ky k x=≠ 交于 A B 、 两点，直线AB 与坐标轴分别交于 C D 、 两点，连接 OA ，若 OA = ，1tan 3AOC ∠= ，点 (3,)B b - .（1）分别求出直线 AB 与双曲线的解析式； （2）连接 OB ，求 AOBS.12．如图，某港口O 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.（1）若它们离开港口一个半小时后分别位于A 、B 处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？说明理由.（2）若“远航”号沿北偏东60︒方向航行，经过两个小时后位于F 处，此时船上有一名乘客需要紧急回到PE 海岸线上，若他从F 处出发，乘坐的快艇的速度是每小时80海里.他能在半小时内回到海岸线吗？说明理由.13．如图，某人在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点 C 的仰角为 60︒ ，沿山坡向上走到p 处再测得点C 的仰角为 45︒ ，已知 100OA = 米，山坡坡度 1:2i = ，且O A B 、、 在同一条直线上，其中测倾器高度忽略不计.（1）求电视塔OC 的高度；(计算结果保留根号形式)（2）求此人所在位置点 P 的铅直高度.(结果精确到0.1米，参考数据：1.41= ， 1.73= )14．我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，达到了发射技术的新高度．如图，运载火箭海面发射站点M 与岸边雷达站N 处在同一水平高度。

2020年中考数学一轮复习《解直角三角形》测试题一、选择题（本大题有6小题，第6小题选做一题,每小题3分，共18分）1、tan45°的值为（）A． B． 1 C．D．2、在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（）A、3sin40°B、3sin50°C、3tan40°D、3tan50°3、关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°4、若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A、30°＜α＜45°B、45°＜α＜60°C、60°＜α＜90°D、30°＜α＜60°5、如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B． C． D．0.56～A、如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）．A． B．51 C． D．1016～B、如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A、4kmB、2kmC、2kmD、（+1）km二、填空题（本大题有6小题，第12小题选做一题，每小题3分，共18分）7、已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为米．8、如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB=2000米，则他实际上升了米．9、在ABC ∆中，若90C ∠=︒，1sin 2A =，2AB =，则ABC ∆的周长为10、如图，菱形ABCD 的边长为15，sin∠BAC=，则对角线 AC 的长为 .11、已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣|+ β =0， 则α+β= ．12～A 、如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗 杆ED ，从办公楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗 杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是 12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB 的高度约为（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）12～B 、如图，在正方形ABC D 外作等腰直角△CDE，DE=CE ， 连接BE ，则tan∠EBC= ．三、本大题有5小题，每小题6分，共30分13、计算：（ ﹣1）0﹣ ×sin60°+（﹣2）2．14、如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm, ∠CBD=40°,求点B 到CD 的距离.(参考数据：sin20°≈ 0.342,com20°≈0.940, sin40°≈ 0.643, com40°≈ 0.766.精确到0.1cm,可用科学计算器).15、如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=43°，求飞机A与指挥台B的距离（结果取整数）（参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）．16、如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D（点D 与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．17、某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（1）求新坡面的坡角a；（2）原天桥底部正前方8米处（PB的长）的文化墙PM是否需要拆桥？请说明理由．四、本大题有3小题，每小题8分，共24分18、南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20（1+）海里的C处，为了防止某国还巡警干扰，就请求我A处的鱼监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．19、2019年首届中国国际航空体育节在莱芜雪野举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A处时，仪器显示正前方一高楼顶部B 的仰角是37°，底部C的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， 1.73，结果精确到0.1米）20、如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为65°，热气球与高楼的水平距离AD为120m.求这栋高楼的高度. （结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）五、本大题2小题，第小题9分，共18分21、如图是吊车在吊一物品时的示意图，已知吊车底盘CD的高度为2米，支架BC的长为4米，且与地面成30°角，吊绳AB与支架BC的夹角为80°，吊臂AC与地面成70°角，求吊车的吊臂顶端A点距地面的高度是多少米？（精确到0.1米）？（参考数据：sin10°＝cos80°＝0.17；cos10°＝sin80°＝0.98；sin20°＝cos70°＝0.34；tan70°＝2.75,sin70°＝0.94）22、如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA=OB=10cm．（1）当∠AOB=18°时，求所作圆的半径；（结果精确到0.01cm）（2）保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到0.01cm）（参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器）六、本大题从两小题中选做一题，共12分23～A、如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为，顶部A处的高AC为4m，B、C 在同一水平地面上。

解直角三角形复习指导1．什么条件下可以解直角三角形?三角形中共有六个元素.在直角三角形中，由于有一个角(即直角)是已知的，所以通常是在已知两个元素求另外三个元素，这里的元素是指边和角(直角除外).已知的两个元素中，不能都是锐角，因为一个三角形只知道角不能确定三角形的大小，所以根本不可能求出三边的长.故已知的两个元素中，至少要知道一条边.解直角三角形有两种类型：(1)已知一边和一锐角，求另外两边和另一锐角；(2)已知两边求第三边和两个锐角.例1．已知：在△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝7，∠A ＝60°，求∠B ，b ,c .解：∠B ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°,b ＝a ·tan B ＝7·tan30°＝.3314sin ,337==B b c 说明：(1)求三角形的边长，应算出最简结果(包括分母有理化).因本题没有给出精确度，所以最后结果可以保留根式的形式.(2)本题还可以用勾股定理或直角三角形中30°的内角所对的边等于斜边的一半，来求边c .2．解直角三角形两种类型的解法如下表注意：(1)尽量使用给定的原始数据；(2)角的某种三角函数值确定后，可以查表求出角的度数.3．解直角三角形时应注意以下几点：(1)解直角三角形的公式不可死记，要灵活地运用；(2)解直角三角形求出的元素(不包括直角)共有3个；(3)要准确地应用公式，认真计算，防止出错；(4)解直角三角形时，近似计算的数字，如无特别说明，边长保留四个有效数字，角精确到1′；(5)尽可能避免开方运算；(6)有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，从而把它们转化为直角三角形的问题来解决.例2．如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝45°，AC ＝2，求AB 和BC .分析：因为△ABC 不是直角三角形，故不能应用直角三角形中的三角函数的定义.通过作BC 边上的高，可把原三角形变成两个直角三角形，再利用三角函数的定义，即可求解.解：过点A 作AD ⊥BC 于D .在Rt △ADC 中，∵AC ＝2，∠C ＝45°，sin C ＝ACAD ， ∴AD ＝AC ·sin45°＝2×222=，∴DC ＝AD ＝2. 在Rt △AB D 中，∵∠B ＝30°，AD ＝2，∴AB ＝2AD ＝22.∵cos B ＝ABBD ，∴BD ＝AB ·cos B ＝22×623=. ∴BC ＝BD ＋DC ＝26+.∴AB 为22，BC 为26+.说明：斜三角形中的边角计算问题，往往通过作高转化为解直角三角形的问题.这也是本章解题的基本方法之一，必须熟练掌握.例3．一个等腰三角形的两边长为4和6，求底角的余切值.分析：在一些与直角三角形密切联系的图形(如等腰三角形、等腰梯形或一般梯形等图形)中，我们往往根据给出的条件，构造直角三角形，本题则通过作底边上的高，构造出底角所在的直角三角形，从而求出底角的余切值.解：如图，过顶点A 作底边BC 的垂线，垂足为D .(1)当AB ＝4，BC ＝6时，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝DC ＝BC 21＝3，∴AD ＝7342222=-=-BD AB ∴cot B ＝.77373==AD BD (2)当AB ＝AC ＝6，BC ＝4时，∵AD ⊥BC ，∴BD ＝DC ＝2.42cot .24262222==∴=-=-=∴AD BD B BD AB AD 综上可知，底角的余切值为.42773或 说明：本题的条件中，已知等腰三角形的两边长为4和6，这里要对4为腰、6为腰两种情况进行讨论.。

AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是( )A
1 A.
B.2
C. 6
D.
6
2
3
4
命题点2 解直角三角形的应用
5.(2021·十堰)如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测操场旗杆EC的高度
，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15 m，AB为1.5 m(即小明的眼睛与地
面的距离)，那么旗杆EC的高度是( D)
2 3
2 3.
CD 2 3 (2 3)(2 3)
类比这种方法，计算tan22.5°的值为( B )
A. 2+1 C. 2
B. 2-1
1 D. 2
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月12日星期六下午2时3分37秒14:03:3722.3.12 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给
那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月下午2时3分22.3.1214:03March 12, 2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022年3月12日星期六2时3分37秒14:03:3712 March 2022
谢谢观赏
You made my day!
在Rt△BCE中，BE＝CE·tan∠BCE＝6×tan60°＝ 6 3(m) .
在Rt△AFD中，∠AFD＝45°，∴AD＝DF＝(3 3 ＋6)m， ∴AB＝AD＋DE－BE＝3 3＋6＋2 3－6 3＝6－ 3 ≈4.3(m).
答：宣传牌的高度AB约为4.3m.
命题点1 直角三角形的边角关系
△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为( D )

在Rt△ABC中,∵∠ACB=45°,∴AB=BC,
在Rt△ABD中,∵∠ADB=60°,
∴BD=
3
AB=10
3
3 m,
∴CD=BC－BD=(30－10 3)m.
导航
6.(2021·南通)如图,一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向,距
离灯塔50海里的A处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位
于灯塔P的北偏东45°方向上的B处,此时B处与灯塔P的距离
为 25 6 海里(结果保留根号).
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解析:过P作PC⊥AB于C,如图所示:
由题意得:∠APC=30°,∠BPC=45°,PA=50海里,
PC
在 Rt△APC 中,cos∠APC=PA,
3
∴PC=PA·cos∠APC=50× =25
2
PC
在 Rt△PCB 中,cos∠BPC= ,
PB
PC
25 3
( D )
(参考数据:sin 50°≈0.77;
cos 50°≈0.64;tan 50°≈1.19)
A.69.2米
B.73.1米
C.80.0米
D.85.7米
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解析:∵斜坡CD的坡度(或坡比)为i=1:2.4,
∴DE∶CE=5∶12,
∵DE=50米,∴CE=120米,
∵BC=150米,
∴BE=150－120=30(米),
尝试利用所学知识测量河对岸大
树AB的高度,他在点C处测得大树
顶端A的仰角为45°,再从C点出发
沿斜坡走2 米到达斜坡上D点,在点D处测得树顶端A的仰
角为30°,若斜坡CF的坡比为i=1∶3(点E、C、B在同一水平
线上).
(1)求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度;

备考2023年中考数学一轮复习-解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题专训单选题：1、(2016苏州.中考真卷) 如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（）A . 2 mB . 2 mC . （2 ﹣2）mD . （2 ﹣2）m2、(2019徐汇.中考模拟) 若斜坡的坡比为1：，则斜坡的坡角等于( ) A . 30° B . 45° C . 50° D . 60°3、(2017东莞.中考模拟) 河堤横断面如图所示，坝高BC=6米，迎水坡AB的坡长比为1：，则AB的长为（）A . 5 米B . 4 米C . 12米D . 6 米4、(2014深圳.中考真卷) 小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高（）A . 600﹣250 米B . 600 ﹣250米C . 350+350 米D . 500 米5、(2017江北.中考模拟) 如图是某水库大坝的横截面示意图，已知AD∥BC，且AD、BC之间的距离为15米，背水坡CD的坡度i=1：0.6，为提高大坝的防洪能力，需对大坝进行加固，加固后大坝顶端AE比原来的顶端AD加宽了2米，背水坡EF的坡度i=3：4，则大坝底端增加的长度CF是（）米．A . 7B . 11C . 13D . 206、(2020南宁.中考模拟) 如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A 的俯角为40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，则此时AB的长约为（）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．A . 5.1米B . 6.3米C . 7.1米D . 9.2米7、(2017绵阳.中考模拟) 某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（）A . 8.1米B . 17.2米C . 19.7米D . 25.5米8、(2020黄浦.中考模拟) 如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为( )A . 5 米B . 5 米C . 2 米D .4 米9、(2020宁德.中考模拟) 如图，有一斜坡AB的长AB=10米，坡角∠B=36°，则斜坡AB的铅垂高度AC为（）A .B .C .D .10、(2021巴南.中考模拟) 如图，某同学在山坡坡脚A处时，测得一座楼房的楼顶B 处的仰角为，沿山坡往上走到C处时，测得这座楼房的楼顶B处的仰角为.已知，且，点O、A、C、B在同一平面内，若此山坡的坡度为，则这座楼房的高的值是（）A .B .C .D .填空题：11、(2018海陵.中考模拟) 某人沿着坡度为1:3的山坡向上走了200m，则他升高了________米．12、(2011义乌.中考真卷) 如图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC=135°，BC的长约是m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是________ m．13、(2018淮南.中考模拟) 坡角为α=60°，则坡度i=________．14、(2017天门.中考真卷) 为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD．已知迎水坡面AB=12米，背水坡面CD=12米，∠B=60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE= ，则CE的长为________米．15、(2020长宁.中考模拟) 如图，传送带把物体从地面送到离地面5米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，那么物体所经过的路程AB为________米．16、(2020罗平.中考模拟) 小明沿着坡度i为1∶的直路向上走了50 m，则小明沿垂直方向升高了________m.17、(2020涡阳.中考模拟) 如图，当小明沿坡度i=1：的坡面由A到B行走了6米时，他实际上升的高度BC=________米．18、2022北京冬奥会延庆赛区正在筹建的高山滑雪速滑雪道的平均坡角约为，在此雪道向下滑行100米，高度大约下降了米.解答题：19、(2018安顺.中考模拟) 某校兴趣小组想测量一座大楼AB的高度．如图6，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i=1：．在离C点40米的D处，用测角仪测得大楼顶端A的仰角为37°，测角仪DE的高为1.5米，求大楼AB的高度约为多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73．）20、(2018平.中考模拟) 如图，某校八年级（1）班学生利用寒假期间到郊区进行社会实践活动，活动之余，同学们准备攀登附近的一个小山坡，从B点出发，沿坡脚15°的坡面以5千米/时的速度行至D点，用了10分钟，然后沿坡比为1：的坡面以3千米/时的速度达到山顶A点，用了5分钟，求小山坡的高（即AC的长度）（精确到0.01千米）（sin15°≈0.2588，cos15°≈0.9659，≈1.732）21、(2018内江.中考真卷) 如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱的高为11米，灯杆与灯柱的夹角，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域长为18米，从、两处测得路灯的仰角分别为和，且，.求灯杆的长度.22、(2016广元.中考真卷) 某班数学课外活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度i=1：2，且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号）23、(2020梁子湖.中考模拟) 如图是某地下停车库入口的设计示意图，已知AB⊥BD，坡道AD的坡度i=1：2.4（指坡面的铅直高度BD与水平宽度AB的比），AB=7.2 m，点C在BD上，BC=0.4 m，CE⊥AD.按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，请根据以上数据，求出该地下停车库限高CE的长.24、(2018奉贤.中考模拟) 如图，为了将货物装入大型的集装箱卡车，需要利用传送带AB将货物从地面传送到高1.8米（即BD=1.8米）的操作平台BC上．已知传送带AB与地面所成斜坡的坡角∠BAD=37°．（1）求传送带AB的长度；（2）因实际需要，现在操作平台和传送带进行改造，如图中虚线所示，操作平台加高0.2米（即BF=0.2米），传送带与地面所成斜坡的坡度i=1：2．求改造（参考数值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，后传送带EF的长度．（精确到0.1米）tan37°≈0.75，≈1.41，≈2.24）25、(2018中.中考模拟) 如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，然后沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i=1：（斜坡的铅直高度与水平宽度的比），经过测量AB=10米，AE=15米.（1）求点B到地面的距离；（2）求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果保留根号）解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题答案1.答案：B2.答案：D3.答案：C4.答案：B5.答案：C6.答案：A7.答案：A8.答案：C9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：16.答案：17.答案：18.答案：19.答案：20.答案：21.答案：22.答案：23.答案：24.答案：25.答案：。

中考数学专题练习19《直角三角形》【知识归纳】1.直角三角形的定义有一个角是的三角形叫做直角三角形2.直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角；(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的；(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的3.直角三角形的判定(1)两个内角的三角形是直角三角形；(2)一边上的中线等于这条边的的三角形是直角三角形4.勾股定理及逆定理勾股定理：如果直角三角形两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么逆定理：如果三角形三边长a，b，c满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是三角形【基础检测】1.（·广西百色·3分）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（）A．6 B．6 C．6 D．122.（·贵州安顺·3分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B． C． D．3．（广西南宁3分）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）A．5sin36°米 B．5cos36°米 C．5tan36°米 D．10tan36°米4．（海南3分）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C 落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为（）A．6 B．6C．2D．35.（·四川南充）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC 的中点，则DE的长为（）A．1 B．2 C．D．1+6. （·浙江省湖州市·4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，则CD的长是．7. （·湖北随州·3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN= ．8．（·湖北荆州·10分）如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠FAB=15°，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H．（1）求证：CD是半圆O的切线；（2）若DH=6﹣3，求EF和半径OA的长．【达标检测】一．选择题1.（•毕节市）（第5题）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，， B． 1，， C． 6，7，8 D． 2，3，42．（•青岛，第4题3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）A. B. 2 C.3 D. +23. 如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE=BC，连接DE,则图中等腰三角形共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是A．5 B．10 C．12 D．135.（·湖北荆门·3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6 C．8 D．106. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )A．120° B．90° C．60° D．30°7. 已知等腰三角形ABC中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为( )（第11题图）A. 21B. 20C. 19D. 188．（·四川宜宾）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）A． B．2 C．3 D．29．（·湖北荆州·3分）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是（）A．2 B． C． D．二．填空题10．（湖北省鄂州市，15，3分）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB=20cm，则画出的圆的半径为10 cm．11．（·四川宜宾）在平面直角坐标系内，以点P（1，1）为圆心、为半径作圆，则该圆与y轴的交点坐标是．12.（·四川内江）如图4，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝______．13. （·湖北武汉）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA ＝55，则BD的长为_______．14. 如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1米，=1.73）．15. （·江西·3分）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是．DO CEBA图4三．解答题16．（江西，23，10分）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：●操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是（填序号即可）①AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB．●数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧．．作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；●类比探索：在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：．17.（·湖北咸宁）定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．理解：（1）如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB、BC为边的两个对等四边形ABCD；（2）如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，AC=BD．求证：四边形ABCD是对等四边形；（3）如图3，在Rt△PBC中，∠PCB=90°，BC=11，tan∠PBC=，点A在BP边上，且AB=13．用圆规在PC上找到符合条件的点D，使四边形ABCD为对等四边形，并求出CD的长．【知识归纳答案】1.直角三角形的定义有一个角是 90°的三角形叫做直角三角形2.直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角互余；(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半3.直角三角形的判定(1)两个内角和为90°的三角形是直角三角形；(2)一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形4.勾股定理及逆定理勾股定理：如果直角三角形两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2=c2逆定理：如果三角形三边长a，b，c满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形【基础检测答案】1.（·广西百色·3分）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（）A．6 B．6C．6D．12【考点】含30度角的直角三角形．【分析】根据30°所对的直角边等于斜边的一半求解．【解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=12，∴BC=12sin30°=12×=6，故答选A．2.（·贵州安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2B． C． D．【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．【解答】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．3．（广西南宁3分）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）A．5sin36°米 B．5cos36°米 C．5tan36°米 D．10tan36°米【考点】解直角三角形的应用．【分析】根据等腰三角形的性质得到DC=BD=5米，在Rt△ABD中，利用∠B的正切进行计算即可得到AD的长度．【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10米，∴DC=BD=5米，在Rt△ADC中，∠B=36°，∴tan36°=，即AD=BD•tan36°=5tan36°（米）．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．4．（海南3分）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C 落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为（）A．6 B．6C．2D．3【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据折叠的性质判定△EDB是等腰直角三角形，然后再求BE．【解答】解：根据折叠的性质知，CD=ED，∠CDA=∠ADE=45°，∴∠CDE=∠BDE=90°，∵BD=CD，BC=6，∴BD=ED=3，即△EDB是等腰直角三角形，∴BE=BD=×3=3，故选D．【点评】本题考查了翻折变换，还考查的知识点有两个：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、等腰直角三角形的性质求解．5.（四川南充）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（）A．1 B．2 C．D．1+【分析】由“30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得AB=2BC=2．然后根据三角形中位线定理求得DE=AB．【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴AB=2BC=2．又∵点D、E分别是AC、BC的中点，∴DE是△ACB的中位线，∴DE=0.5 AB=1．故选：A．【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．6. （浙江省湖州市·4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，则CD的长是 5 ．【考点】作图—基本作图；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．【分析】首先说明AD=DB，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可解决问题．【解答】解：由题意EF是线段AB的垂直平分线，∴AD=DB，Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，∴AB===10，∵AD=DB，∠ACB=90°，∴CD=AB=5．故答案为5．7. （湖北随州·3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN= 3 ．【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定与性质．【分析】连接CM，根据三角形中位线定理得到NM=CB，MN∥BC，证明四边形DCMN是平行四边形，得到DN=CM，根据直角三角形的性质得到CM=AB=3，等量代换即可．【解答】解：连接CM，∵M、N分别是AB、AC的中点，∴NM=CB，MN∥BC，又CD=BD，∴MN=CD，又MN∥BC，∴四边形DCMN是平行四边形，∴DN=CM，∵∠ACB=90°，M是AB的中点，∴CM=AB=3，∴DN=3，故答案为：3．8．（湖北荆州·10分）如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠FAB=15°，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H．（1）求证：CD是半圆O的切线；（2）若DH=6﹣3，求EF和半径OA的长．【分析】（1）连接OB，根据已知条件得到△AOB是等边三角形，得到∠AO B=60°，根据圆周角定理得到∠AOF=∠BOF=30°，根据平行线的性质得到OC⊥CD，由切线的判定定理即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠DBC=∠EAO=60°，解直角三角形得到BD=BC=AB，推出AE= AD，根据相似三角形的性质得到，求得EF=2﹣，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）连接OB，∵OA=OB=OC，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB=OC，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∵∠FAD=15°，∴∠BOF=30°，∴∠AOF=∠BOF=30°，∴OF⊥AB，∵CD∥OF，∴CD⊥AD，∵AD∥OC，∴OC⊥CD，∴CD是半圆O的切线；（2）∵BC∥OA，∴∠DBC=∠EAO=60°，∴BD=BC=AB，∴AE=AD，∵EF∥DH，∴△AEF∽△ADH，∴，∵DH=6﹣3，∴EF=2﹣，∵OF=OA，∴OE=OA﹣（2﹣），∵∠AOE=30°，∴==，解得：OA=2．【点评】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，连接OB构造等边三角形是解题的关键．【达标检测答案】一．选择题1.（•毕节市）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（） A．，， B． 1，， C． 6，7，8 D． 2，3，4【解析】勾股定理的逆定理．.知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故错误；B、12+（）2=（）2，能构成直角三角形，故正确；C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误．故选：B．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．2．（•青岛）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）A. B. 2 C.3 D. +2【解析】含30度角的直角三角形．根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE 中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得．故选C ．【点评】本题考查了角的平分线的性质以及直角三角形的性质，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，理解性质定理是关键．3. 如图，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，BD 是△ABC 的角平分线，若在边AB 上截取BE=BC ，连接DE,则图中等腰三角形共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 【答案】D【解析】在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，求得∠ABC=∠C=72°，且△ABC 是等腰三角形． 因为BD 是△ABC 的角平分线 所以∠ABD=∠DBC=36° 所以△ABD 是等腰三角形． 在△BDC 中有三角形的内角和求出∠BDC=72° 所以△BDC 是等腰三角形．所以BD=BC=BE 所以△BDE 是等腰三角形．所以∠BDE=72°, 所以∠ADE=36°, 所以△ADE 是等腰三角形．共5个． 故选D ．4.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 于E ，连接AE ，若CE=5，AC=12，则BE 的长是 A ．5B ．10C ．12D ．13【解答】解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，∠C=90°， ∴CD=DE=1，又∵直角△BDE 中，∠B=30°， ∴BD=2DE=2， ∴BC=CD+BD=1+2=3．【答案】D.【解析】在Rt△CAE中，CE=5，AC=12，由勾股定理得：2213AE AC CE=+=又DE是AB的垂直平分线，∴BE=AE=13.故选D.5.（湖北荆门·3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6 C．8 D．10【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∵AB=5，AD=3，∴BD==4，∴BC=2BD=8，故选C．6. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )A．120° B．90° C．60° D．30°【答案】D．【解析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解：（第11题图）∵直角三角形中，一个锐角等于60°，∴另一个锐角的度数=90°﹣60°=30°．故选D．7. 已知等腰三角形ABC中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为( )A. 21B. 20C. 19D. 18【答案】A．【解析】由于等腰三角形的两腰相等，题目给出了腰和底，根据周长的定义即可求解：∵8+8+5=21．∴这个三角形的周长为21．故选A．8．（四川宜宾）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）A． B．2C．3 D．2【考点】旋转的性质．【分析】通过勾股定理计算出AB长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用勾股定理求出B、D两点间的距离．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE=4，DE=3，∴BE=1，在Rt△BED中，BD==．故选：A．9．（湖北荆州·3分）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是（）A．2 B． C． D．【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】解：∵由图可知，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=32+42=25，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，∴cos∠ABC==．故选D．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．二．填空题10．（湖北省鄂州市，15，3分）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB=20cm，则画出的圆的半径为10 cm．【解析】直角三角形斜边上的中线．【解答】连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP的长，画出的圆的半径就是OP长．【点评】解：连接OP，∵△AOB是直角三角形，P为斜边AB的中点，∴OP=AB，∵AB=20cm，∴OP=10cm，故答案为：10．11．（四川宜宾）在平面直角坐标系内，以点P（1，1）为圆心、为半径作圆，则该圆与y轴的交点坐标是（0，3），（0，﹣1）．【考点】坐标与图形性质．【分析】在平面直角坐标系中，根据勾股定理先求出直角三角形的另外一个直角边，再根据点P的坐标即可得出答案．【解答】解：以（1，1）为圆心，为半径画圆，与y轴相交，构成直角三角形，用勾股定理计算得另一直角边的长为2，则与y轴交点坐标为（0，3）或（0，﹣1）．故答案为：（0，3），（0，﹣1）．12.（四川内江）如图4，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE ⊥BC，垂足为点E，则OE＝______．[答案]12 5[考点]菱形的性质，勾股定理，三角形面积公式。

九年级数学(sh ùxu é)复习三十——解直角三角形一、中考要求：1. 理解锐角三角函数的概念，熟记特殊的三角函数值； 2．能利用三角函数关系进展计算，理解三角函数的增减性；3．掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形；4．会用解直角三角形的有关知识解某些简单的实际运用问题。

二、知识要点： 1．锐角三角函数(1) 锐角A 的 叫做锐角A 的三角函数．(2) 锐角A 的三角函数值的取值范围：sinA: cosA: tanA:(3) 假设∠A+∠B=90°，那么=〔4〕假设∠A+∠B=90°,,；2．特殊角及其三角函数值(30°、45°、60°的角)3．直角三角形的边、角以及边与角的关系在Rt △ABC 中，∠C=90°∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，那么(1) 三边之间的关系： ；(2) 两锐角之间的关系： ；(3) 边、角之间的关系： 。

4．仰角、俯角都是指视线与程度线所成的角，视线在程度线 的角叫仰角，视线在程度线 的角叫俯角．5．理解坡度、坡角的意义．坡度i 与坡角α的关系是 ．6．会用解直角三角形的知识与方法，解决有关测量、航行等实际问题． 三、知识唤醒：1．Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且c=3b ，那么cosA=2．△ABC 中，∠C=90°，假设BC=4，sinA=,那么AC 的长是3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanB=,那么cosA 的值是4．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与程度地面的垂直间隔 为米，那么这个坡面的坡度为5．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=kx+b 〔k ≠0〕的图像过点P 〔1，1〕，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且,那么点A 的坐标是6．如图，是一张宽的矩形台球桌，一球从点M 〔点M 在长边上〕出发沿虚线射向边，··然后反弹到边上的点. 假如，.那么P点与B点的间隔为7．假如(jiǎrú)方程的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tan A的值是四、典例剖析：例1．某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图〔1〕，已测出树AB 的影长为12米，并测出此时太阳光线与地面成夹角．〔1〕求出树高AB；〔2〕因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变．〔用图〔2〕解答〕①求树与地面成角时的影长；②求树的最大影长．例2．如图，一艘轮船以20海里／小时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里／小时的速度由南向北挪动，距台风中心20海里的图形区域(包括边界)都属台风区，当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100海里．(1)假设这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风?假设会，试求轮船最初遇到台风的时间是；假设不会，说明理由．(2)现轮船自A处立即进步船速，向位于东偏北30°方向，相距60海里的D港驶去，为使台风到来之前到达D港，问船速至少应进步多少?(结果取整数，=3.6)例3．如图5，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高I0米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进展加固。

2023年中考数学一轮专题练习 ——解直角三角形的实际应用（解答题部分）一、解答题（本大题共18小题）1. （湖北省宜昌市2022年）知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足5372α︒≤≤︒．如图，现有一架长4m 的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上．(1)当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A 与地面距离的最大值；(2)当梯子底端B 距离墙面1.64m 时，计算ABO ∠等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？（参考数据：sin530.80︒≈，cos530.60︒≈，tan53 1.33︒≈，sin720.95︒≈，cos720.31︒≈，tan72 3.08︒≈，sin 660.91︒≈，cos660.41︒≈，tan66 2.25︒≈）2. （湖南省常德市2022年）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图是其示意图，已知：助滑坡道50AF =米，弧形跳台的跨度7FG =米，顶端E 到BD 的距离为40米，HG BC ∥，40AFH ∠=︒，25EFG ∠=︒，36ECB ∠=︒．求此大跳台最高点A 距地面BD 的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据：sin 400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan 400.84︒≈，sin 250.42︒≈，cos250.91︒≈，tan 250.47︒≈，sin360.59︒≈，cos360.81︒≈，tan360.73︒≈）3. （湖北省江汉油田、潜江、天门、仙桃2022年）小红同学在数学活动课中测量旗杆的高度，如图，已知测角仪的高度为1.58米，她在A 点观测杆顶E 的仰角为30°，接着朝旗杆方向前进20米到达C 处，在D 点观测旗杆顶端E 的仰角为60°，求旗杆EF 的高度．（结果保留小数点后一位）（参考数据： 1.732）4. （江苏省连云港市2022年）我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔．小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点A 处测得阿育王塔最高点C 的仰角45CAE ∠=︒，再沿正对阿育王塔方向前进至B 处测得最高点C 的仰角53CBE ∠=︒，10m AB =；小亮在点G 处竖立标杆FG ，小亮的所在位置点D 、标杆顶F 、最高点C 在一条直线上， 1.5m FG =，2m GD =．（注：结果精确到0.01m ，参考数据：sin530.799︒≈，cos530.602︒≈，tan53 1.327︒≈）(1)求阿育王塔的高度CE ；(2)求小亮与阿育王塔之间的距离ED ．5. （江苏省宿迁市2022年）如图，某学习小组在教学楼AB 的顶部观测信号塔CD 底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°．已知教学楼AB 的高度为20m ，求信号塔的高度（计算结果保冒根号）．6. （江苏省泰州市2022年）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN ，MN 与墙面AB 所成的角∠MNB =118°，厂房高AB = 8 m ，房顶AM 与水平地面平行，小强在点M 的正下方C 处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D 到他的距离CD 是多少?（结果精确到0.1 m ，参考数据：sin34°≈0.56， tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）7. （辽宁省铁岭市、葫芦岛市2022年）数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD 的高度，如图，DC AM ⊥于点E ，在A 处测得大树底端C 的仰角为15︒，沿水平地面前进30米到达B 处，测得大树顶端D 的仰角为53︒，测得山坡坡角30CBM ∠=︒（图中各点均在同一平面内）．(1)求斜坡BC 的长；(2)求这棵大树CD 的高度（结果取整数）．（参考数据：sin 53︒≈45，cos 53︒≈35，tan 53︒≈43）8. （辽宁省营口市2022年）在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是58︒，沿着山坡向上走75米i=（坡度是到达B处．在B处测得大楼顶部M的仰角是22︒，已知斜坡AB的坡度3:4指坡面的铅直高度与水平宽度的比）求大楼MN的高度．（图中的点A，B，M，N，C︒≈︒≈）均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：tan220.4,tan58 1.69. （山东省聊城市2022年）我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点B，H，D三点在同一直线上）．已知塔高为39米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）．（参考数据：︒≈，cos760.24︒≈，sin760.97︒≈，sin26.60.45︒≈，tan26.60.50︒≈，cos26.60.89︒≈）tan76 4.0110. （山东省烟台市2022年）如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1）（参考数据表）11. （山西省2022年）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：,,）．︒≈︒≈︒≈sin700.94cos700.34tan70 1.7312. （重庆市2022年（B卷））湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且B在C的正南方向900米处．(1)求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1 1.732）；(2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）13. （重庆市2022年）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的AC=米．点E在点A的正北方人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，200BD=米．点B在点A的北偏东30，点D在点E 向．点B，D在点C的正北方向，100的北偏东45︒．(1)求步道DE的长度（精确到个位）；(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：≈，1.4141.732）14. （浙江省台州市2022年）如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2，梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）15. （浙江省宁波市2022年）每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB 可伸缩（最长可伸至20m ），且可绕点B 转动，其底部B 离地面的距离BC 为2m ，当云梯顶端A 在建筑物EF 所在直线上时，底部B 到EF 的距离BD 为9m ．(1)若∠ABD =53°，求此时云梯AB 的长．(2)如图2，若在建筑物底部E 的正上方19m 处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）16. （浙江省金华市2022年）图1是光伏发电场景，其示意图如图2，EF 为吸热塔，在地平线EG 上的点B ，B '处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点(),A A '旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F 处．已知1m,8m,AB A B EB EB ='==''=，在点A 观测点F 的仰角为45︒．（1）点F 的高度EF 为 m ．（2）设,DAB D A B αβ''∠'=∠=，则α与β的数量关系是 ．17. （浙江省嘉兴市2022年）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2．已知10cm AD BE ==，5cm CD CE ==，AD CD ⊥，BE CE ⊥，40DCE ∠=︒．（结果精确到0.1cm ，参考数据：sin 200.34︒≈，cos200.94︒≈，tan 200.36︒≈，sin 400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan 400.84︒≈）(1)连结DE ，求线段DE 的长．(2)求点A ，B 之间的距离．18. （四川省广安市2022年）八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A 处向正北方向走了450米，到达菜园B 处锄草，再从B 处沿正西方向到达果园C 处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D 处进行手工制作，最后从D 处回到门口A 处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数）参考数据：sin65°≈ 0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈ 0.60，cos37°≈ 0.80，tan37°≈0.75参考答案1. 【答案】(1)梯子顶端A 与地面的距离的最大值3.8米(2)66ABO ∠=︒，人能安全使用这架梯子【分析】（1）AB 的长度固定，当∠ABO 越大，OA 的高度越大，当72α=︒时，AO 取最大值，此时，根据∠ABO 的正弦三角函数计算出OA 长度即可；（2）根据AB =4，OB =1.64，利用∠ABO 的余弦函数值，即可求出∠ABO 的大小，从而得到答案．(1)∵5372α︒≤≤︒当72α=︒时，AO 取最大值，在Rt AOB 中，sin AO ABO AB∠=， ∴sin 4sin7240.95 3.8AO AB ABO =∠=︒≈⨯=，所以梯子顶端A 与地面的距离的最大值3.8米．(2)在Rt AOB 中，cos BO ABO AB∠=， cos 1.6440.41ABO ∠=÷=，cos660.41︒≈， ∴66ABO ∠=︒，∵5372α︒≤≤︒，∴人能安全使用这架梯子．2. 【答案】70【分析】过点E 作EN BC ⊥，交GF 于点M ，则四边形HBNM 是矩形，可得HB MN =，在Rt AHF △中，求得AH ，根据,tan tan tan EM EM EM FM MG EFG EGF ECB ===∠∠∠，7FG =，求得FM ，进而求得MN ，根据AB AH HB AH MN =+=+即可求解．【详解】如图，过点E 作EN BC ⊥，交GF 于点M ，则四边形HBNM 是矩形，HB MN ∴=，50AF =，40AFH ∠=︒，在Rt AHF △中，sin 500.6432AH AF AFH =⋅∠≈⨯=米，HG BC ∥，EGF ECB ∴∠=∠25EFG ∠=︒，36ECB ∠=︒，7FG =,tan tan tan EM EM EM FM MG EFG EGF ECB ===∠∠∠ 70.470.73EM EM ∴+=， 解得2EM ≈，顶端E 到BD 的距离为40米，即40EN =米40238MN EN EM ∴=-=-=米．323870AB AH HB AH MN ∴=+=+=+=米．3. 【答案】旗杆EF 的高度约为18.9米．【分析】过点D 作DG ⊥EF 于点G ，设EG =x ，则EF =1.58+x ．分别在Rt △AEG 和Rt △DEG 中，利用三角函数解直角三角形可得AG 、DG ，利用AD =20列出方程，进而得到EF 的长度．【详解】 解：过点D 作DG ⊥EF 于点G ，设EG =x ，由题意可知：∠EAG =30°，∠EDG =60°，AD =20米，GF =1.58米．在Rt △AEG 中，tan ∠EAG =EG AG ，∴AG ，在Rt △DEG 中，tan ∠EDG =EG DG，∴DG =，∴=20， 解得：x ≈17.3，∵EF =1.58+x =18.9(米)．答：旗杆EF 的高度约为18.9米．4. 【答案】(1)40.58m(2)54.11m【分析】（1）在Rt CEB 中，由tan 5310CE CE BE CE ︒==-，解方程即可求解． （2）证明Rt FGD Rt CED △∽△，根据相似三角形的性质即可求解．(1)在Rt CAE 中，∵45CAE ∠=︒，∴CE AE =．∵10AB =，∴1010BE AE CE =-=-．在Rt CEB 中，由tan 5310CE CE BE CE ︒==-， 得()tan5310CE CE ︒-=，解得40.58CE ≈．经检验40.58CE ≈是方程的解答：阿育王塔的高度约为40.58m ．(2)由题意知Rt FGD Rt CED △∽△， ∴FG GD CE ED =， 即 1.5240.58ED=， ∴54.11ED ≈．经检验54.11ED ≈是方程的解答：小亮与阿育王塔之间的距离约为54.11m ．5. 【答案】（20）m ．【分析】过点A作AE⊥CD于点E，则四边形ABDE是矩形，DE＝AB＝20m，在Rt△ADE中，求出AE的长，在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，求出CE的长，即可得到CD的长，得到信号塔的高度．【详解】解：过点A作AE⊥CD于点E，由题意可知，∠B＝∠BDE＝∠AED＝90°，∴四边形ABDE是矩形，∴DE＝AB＝20m，在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∠DAE＝30°，DE＝20m，∵tan∠DAE＝DE AE，∴20tan tan30DEAEDAE===∠︒，在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠CAE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE AE=m，∴CD＝CE＋DE＝（20）m，∴信号塔的高度为（20）m．6. 【答案】11.8m【分析】过M点作ME⊥MN交CD于E点，证明四边形ABCM为矩形得到CM=AB=8，∠NMC=180°-∠BNM=62°，利用物理学入射光线与反射光线之间的关系得到∠EMD=∠EMC，且∠CME=90°-∠CMN=28°，进而求出∠CMD=56°，最后在Rt△CMD中由tan∠CMD即可求解．【详解】解：过M点作ME⊥MN交CD于E点，如下图所示：∵C 点在M 点正下方，∴CM ⊥CD ，即∠MCD=90°，∵房顶AM 与水平地面平行，AB 为墙面，∴四边形AMCB 为矩形，∴MC=AB =8，AB ∥CM ，∴∠NMC =180°-∠BNM=180°-118°=62°，∵地面上的点D 经过平面镜MN 反射后落在点C ，结合物理学知识可知：∴∠NME =90°，∴∠EMD =∠EMC =90°-∠NMC =90°-62°=28°，∴∠CMD =56°，在Rt △CMD 中，tan CD CMD CM ，代入数据：1.488CD ， ∴11.8411.8CD m ，即水平地面上最远处D 到小强的距离CD 是11.8m ．7. 【答案】(1)斜坡BC 的长为30米(2)这棵大树CD 的高度约为20米【分析】（1）根据题意可得：15CAE ∠=︒，AB =30米，根据三角形的外角性质可求出15ACB ∠=︒，从而得出AB =BC =30米，即可得出答案． （2）在Rt CBE 中，利用锐角三角函数的定义求出CE ，BE 的长，然后在Rt DEB 中，利用锐角三角函数的定义求出DE 的长，最后进行计算即可解答．(1)解：由题意得15CAE ∠=︒，AB ＝30米，∵CBE ∠是ABC 的一个外角，∴15ACB CBE CAE ∠=∠-∠=︒，∴15ACB CAE ∠=∠=︒，∴AB ＝BC ＝30米，∴斜坡BC 的长为30米；(2) 解：在Rt CBE 中，30CBE ∠=︒，BC ＝30米，∴1152CE BC ==（米）， ∴BE =在Rt DEB 中，53DBE ∠=︒，∴DE =BE tan 53︒43≈=米)，∴DC ＝DE ﹣CE ＝1520≈（米），∴这棵大树CD 的高度约为20米．8. 【答案】大楼MN 的高度为92米【分析】过点B 分别作BE ⊥AC ，BF ⊥MN ，垂足分别为E 、F ，通过解直角三角形表示出BF 、AN 、AE 的长度，利用BF =NE 进行求解即可．【详解】过点B 分别作BE ⊥AC ，BF ⊥MN ，垂足分别为E 、F ，90BEA BFN BFM MNA ∴∠=∠=∠=∠=︒∴四边形BENF 为矩形，,BE AN BF NE ∴==设MN x =，在Rt ABE △中，斜坡AB 的坡度3:4i =，即34BE AE =， 3sin 5BE BAE AB ∴∠== 75AB =45,60BE AE ∴==45FN ∴=45MF x ∴=-在Rt AMN △中，tan ,58MN MAN MAN AN∠=∠=︒ tan 58 1.6x AN ∴︒=≈58AN x ∴≈ 5608NE AN AE x ∴=+=+ 在Rt BMF △中，tan ,22MF MBF MBF BF ∠=∠=︒ 45tan 220.4x BF-∴︒=≈ 5(45)2BF x ∴≈- 5560(45)82x x ∴+=- 解得92x =，所以，大楼MN 的高度为92米．9. 【答案】古槐的高度约为13米【分析】过点A 作AM ⊥EH 于M ，过点C 作CN ⊥EH 于N ，在Rt △AME 中，根据锐角三角函数求出AM =12米，进而求出CN =8米，再在Rt △ENC 中，根据锐角三角函数求出EN =32.08米，即可求出答案．【详解】解：过点A 作AM ⊥EH 于M ，过点C 作CN ⊥EH 于N ，由题意知，AM =BH ，CN =DH ，AB =MH ，在Rt AME 中，∠EAM =26.6°， ∴tan EAM EM AM ∠=， ∴453912tan tan 26.60.5EM EH MH AM EAM --==≈=∠︒米， ∴BH =AM =12米，∵BD =20，∴DH =BD -BH =8米，∴CN =8米，在Rt ENC 中，∠ECN =76°， ∴EN tan ECN CN∠=， ∴tan 8 4.0132.08EN CN ECN =⋅∠≈⨯=米，∴12.9213CD NH EH EN ==-=≈（米），即古槐的高度约为13米．10. 【答案】不得小于11度【分析】根据题意可得DF ＝15AB ＝0.15米，然后根据斜坡AC 的坡比为1：2，可求出BC ，CD 的长，从而求出EB 的长，最后在Rt △AEB 中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【详解】解：如图：由题意得：DF ＝15AB ＝0.15（米）， ∵斜坡AC 的坡比为1：2， ∴AB BC ＝12，DF CD ＝12， ∴BC ＝2AB ＝1.5（米），CD ＝2DF ＝0.3（米），∵ED ＝2.55米，∴EB ＝ED +BC ﹣CD ＝2.55+1.5﹣0.3＝3.75（米），在Rt △AEB 中，tan ∠AEB ＝AB EB ＝0.753.75＝15， 查表可得，∠AEB ≈11.310°≈11°，∴为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于11度．11. 【答案】58m【分析】延长AB 和CD 分别与直线OF 交于点G 和点H ，则90AGO EHO ∠=∠=︒，再根据图形应用三角函数即可求解．【详解】解：延长AB 和CD 分别与直线OF 交于点G 和点H ，则90AGO EHO ∠=∠=︒．又∵90GAC ∠=︒，∴四边形ACHG 是矩形．∴GH AC =．由题意，得60,24,70,30,60AG OF AOG EOF EFH ==∠=︒∠=︒∠=︒．在Rt AGO △中，90,tan AG AGO AOG OG ∠=︒∠=， ∴606021.822tan tan 70 2.75AG OG AOG ==≈≈≈∠︒﹒ ∵EFH ∠是EOF △的外角，∴603030FEO EFH EOF ∠=∠-∠=︒-︒=︒．∴EOF FEO ∠=∠．∴24EF OF ==．在Rt EHF 中，90,cos FH EHF EFH EF∠=︒∠= ∴cos 24cos6012FH EF EFH =⋅∠=⨯︒=．∴()22241258m AC GH GO OF FH ==++=++≈．答：楼AB 与CD 之间的距离AC 的长约为58m ．12. 【答案】(1)湖岸A 与码头C 的距离为1559米(2)在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船【分析】（1）过点A 作CB 垂线，交CB 延长线于点D ，设BD x =，则2AB x =，AD =，900CD x =+，在Rt ACD △中，tan CD CAD AD∠=，即可求出450x =，根据Rt ACD △中，sin CD CAD AC∠=即可求出湖岸A 与码头C 的距离；（2）设快艇将游客送上救援船时间为t 分钟，根据等量关系式：救援船行驶的路程+快艇行驶的路程= BC AC +，列出方程，求出时间t ，再和5分钟进行比较即可求解．(1)解：过点A 作CB 垂线，交CB 延长线于点D ，如图所示，由题意可得：60NAB ∠=︒，30NAC ∠=︒，900CB =米，则60CAD ∠=︒，30BAD ∠=︒ 设BD x =，则2AB x =，AD =，900CD x =+，在Rt ACD △中，tan CD CAD AD ∠=，∴=，解得450x =， 在Rt ACD △中，sin CD CAD AC ∠=，∴900 1.7321558.81559AC ===⨯=≈（米）， ∴湖岸A 与码头C 的距离为1559米；(2)解：设快艇将游客送上救援船时间为t 分钟，由题意可得：1504009001559t t +=+，4.475t ≈＜，∴在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船．13. 【答案】(1)283米(2)经过点B 到达点D 较近【分析】（1）过E 作BC 的垂线，垂足为H ，可得四边形ACHE 是矩形，从而得到200EH AC ==米，再证得△DEH 为等腰直角三角形，即可求解；（2）分别求出两种路径的总路程，即可求解．(1)解：过E作BC的垂线，垂足为H，∴∠CAE=∠C=∠CHE=90°，∴四边形ACHE是矩形，∴200==米，EH AC根据题意得：∠D=45°，∴△DEH为等腰直角三角形，∴DH=EH=200米，∴283DE=（米）；(2)解：根据题意得：∠ABC=∠BAE=30°，在Rt ABC中，∴2400==米，AB AC∴经过点B到达点D，总路程为AB+BD=500米，∴BC=∴100200100==+-=-=（米），AE CH BC BD DH∴经过点E到达点D，总路程为100529500≈>，∴经过点B到达点D较近．14. 【答案】梯子顶部离地竖直高度BC约为2.9m．【分析】根据竖直的墙与梯子形成直角三角形，利用锐角三角函数即可求出AC的长．【详解】解：在Rt△ABC中，AB=3，∠ACB=90°，∠BAC=75°，∴BC=AB⋅sin75°≈3×0.97=2.91≈2.9(m)．答：梯子顶部离地竖直高度BC约为2.9m．15. 【答案】(1)15m(2)在该消防车不移动位置的前提下，云梯能够伸到险情处；理由见解析【分析】（1）在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答；（2）根据题意可得DE =BC =2m ，从而求出AD =17m ，然后在Rt △ABD 中，利用锐角三角函数的定义求出AB 的长，进行比较即可解答．(1)解：在Rt △ABD 中，∠ABD =53°，BD =9m ，∴AB =9cos530.6BD ≈︒=15（m ）， ∴此时云梯AB 的长为15m ；(2)解：在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，理由：由题意得：DE =BC =2m ，∵AE =19m ，∴AD =AE -DE =19-2=17（m ），在Rt △ABD 中，BD =9m ，∴AB ===m ），∵＜20m ，∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．16. 【答案】 9 ； 7.5αβ-=︒【分析】（1）过点A 作AG ⊥EF ，垂足为G ，证明四边形ABEG 是矩形，解直角三角形AFG ，确定FG ，EG 的长度即可．（2）根据光的反射原理画出光路图，清楚光线是平行线，运用解直角三角形思想，平行线的性质求解即可．【详解】（1）过点A 作AG ⊥EF ，垂足为G ．∵∠ABE =∠BEG =∠EGA =90°，∴四边形ABEG 是矩形，∴EG =AB =1m ，AG =EB =8m ，∵∠AFG =45°，∴FG =AG =EB =8m ，∴EF =FG +EG =9(m )．故答案为：9；（2）7.5αβ-=︒．理由如下：∵∠A 'B 'E =∠B 'EG =∠EG A '=90°，∴四边形A 'B 'EG 是矩形，∴EG =A 'B '=1m ，A 'G =E B '=，∴tan ∠A 'FG =A G FG '= ∴∠A 'FG =60°，∠F A 'G =30°，根据光的反射原理，不妨设∠FAN =2m ，∠F A 'M =2n ，∵ 光线是平行的，∴AN ∥A 'M ，∴∠GAN =∠G A 'M ，∴45°+2m =30°+2n ，解得n -m =7.5°，根据光路图，得90,90DAB m D A B n αβ'∠==-∠==-''，∴9090m n n m αβ-=--+=-，故7.5αβ-=︒，故答案为：7.5αβ-=︒ ．17. 【答案】(1)3.4cm(2)22.2cm【分析】（1）过点C 作CF DE ⊥于点F ，根据等腰三角形的性质可得DF EF =，20DCF ECF ∠=∠=︒，再利用锐角三角函数，即可求解；（2）连结AB ．设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l ，可得对称轴l 经过点C ．从而得到四边形DGCE 是矩形，进而得到DE =CG ，然后过点D 作DG AB ⊥于点G ，过点E 作EH ⊥AB 于点H ，可得1202GDC CEH DCE ∠=∠=∠=︒，从而得到2020DAB GDC EBH CEH ∠=∠=︒∠=∠=︒，，再利用锐角三角函数，即可求解．(1)解：如图2，过点C 作CF DE ⊥于点F ，∵CD CE =，∴DF EF =，CF 平分DCE ∠．∴20DCF ECF ∠=∠=︒，∴sin 2050.34 1.7DF CD ︒=⋅≈⨯=，∴2 3.4cm DE DF ==．(2)解：如图3，连结AB ．设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l ，∵纸飞机机尾的横截面示意图是一个轴对称图形， ∴对称轴l 经过点C ．∴AB l ⊥，DE l ⊥，∴AB ∥DE ．过点D 作DG AB ⊥于点G ，过点E 作EH ⊥AB 于点H ， ∵DG ⊥AB ，HE ⊥AB ，∴∠EDG =∠DGH =∠EHG =90°，∴四边形DGCE 是矩形，∴DE =HG ，∴DG ∥l ， EH ∥l ， ∴1202GDC CEH DCE ∠=∠=∠=︒， ∵AD CD ⊥，BE ⊥CE ，∴2020DAB GDC EBH CEH ∠=∠=︒∠=∠=︒，， ∴cos 20100.949.4,cos 20100.949.4AG AD BH BE =⋅︒≈⨯==⋅︒≈⨯=， ∴22.2cm AB BH AG DE =++=．18. 【答案】菜园与果园之间的距离为630米【分析】过点D 作EF AB ⊥，交AB 于点E ，则CF BC ⊥，四边形BCFE 是矩形，在Rt CDF △中，求得180DF =，CF =240，进而求得AE =210，在Rt ADE △中，利用正切进行求解即可．【详解】解：如图，过点D 作EF AB ⊥，交AB 于点E ，则CF BC ⊥，∵∠B =90°，∴四边形BCFE 是矩形， CF BE ∴=，BC =EF ，在Rt CDF △中，sin 3000.6180,cos 3000.8240DF CD FCD CF CD FCD =⋅∠≈⨯==⋅∠≈⨯=， ∴BE =240，∴AE =AB -BE =210，在Rt ADE △中，65DAE ∠=︒，tan =DE A AE ， tan 210tan 65450DE AE A ∴=⋅=⨯︒≈米． ∴BC =EF =DF +DE =180+450=630 答：菜园与果园之间的距离630米．。

第20课时锐角三角函数与解直角三角形题号,30三角形一般与圆综合考查毕节中考真题试做30°,45°,60°角的三角函数值1.(2018·毕节中考)计算：⎝⎛⎭⎪⎫－13－1－12＋3 tan 30°－(π－3)0＋||1－3.解：原式＝(－3)－23＋3×33－1＋(3－1)＝－3－23＋3－1＋3－1＝－5.解直角三角形2.(2017·毕节中考)如图,在▱ABCD中,过点A作AE⊥DC,垂足为点E,连接BE,F为BE上一点,且∠AFE＝∠D.(1)求证：△ABF∽△BEC；(2)若AD＝5,AB＝8,sin D＝45,求AF的长.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB ∥CD,AD ∥BC,AD ＝BC. ∴∠D ＋∠C ＝180°,∠ABF ＝∠BEC. ∵∠AFB ＋∠AFE ＝180°,∠AFE ＝∠D, ∴∠C ＝∠AFB. ∴△ABF ∽△BEC ； (2)解：∵AE ⊥DC,AB ∥DC, ∴∠AED ＝∠BAE ＝90°.在Rt △ADE 中,AE ＝AD·sin D ＝5×45＝4.在Rt △ABE 中,根据勾股定理,得 BE ＝AE2＋AB2＝42＋82＝4 5. ∵△ABF ∽△BEC, ∴AF BC ＝AB BE , 即AF 5＝845,∴AF ＝2 5.毕节中考考点梳理锐角三角函数的概念特殊角的三角函数值\ 锐角α α解直角三角形1.(2018·柳州中考)如图,在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,BC ＝4,AC ＝3,则sin B ＝ACAB ＝( A )A .35B .45C .37D .34(第1题图)(第3题图)2.若∠A＋∠B ＝90°,则下列各式成立的是( D )A .sin A ＝cos AB .tan A ＋tan B ＝1C .sin A ＝sin BD .sin A ＝cos B3.(2018·广州中考)如图,旗杆高AB ＝8 m ,某一时刻,旗杆影子长BC ＝16 m ,则tan C ＝__12__.4.(2018·滨州中考)在△ABC 中,∠C ＝90°,若tan A ＝12,则sin B ＝55.(2018·贵阳中考)如图①,在Rt △ABC 中,以下是小亮探究a sin A 与bsin B之间关系的方法：∵sin A ＝a c ,sin B ＝bc,∴c ＝a sin A ,c ＝bsin B ,∴a sin A ＝b sin B. 根据你掌握的三角函数知识.在图②的锐角△ABC 中,探究a sin A ,b sin B ,c sin C之间的关系,并写出探究过程.解：a sin A ＝b sin B ＝c sin C .证明如下：过A 作AD ⊥BC 于点D,过B 作BE ⊥AC 于点E.在Rt △ABD 中,sin B ＝ADc ,即AD ＝c si n B.在Rt △ADC 中,sin C ＝ADb ,即AD ＝b sin C.∴c sin B ＝b sin C,即b sin B ＝csin C .同理可得a sin A ＝csin C ,则a sin A ＝b sin B ＝csin C.6.(2018·遵义中考)如图,吊车在水平地面上吊起货物时,吊绳BC 与地面保持垂直,吊臂AB 与水平线的夹角为64°,吊臂底部A 距地面1.5 m .(计算结果精确到0.1 m ,参考数据sin 64°≈0.90,cos 64°≈0.44,tan 64°≈2.05)(1)当吊臂底部A 与货物的水平距离AC 为5 m 时,吊臂AB 的长为______m ； (2)如果该吊车吊臂的最大长度AD 为20 m ,那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？(吊钩的长度与货物的高度忽略不计)解：(1)在Rt △ABC 中,∠BAC ＝64°,AC ＝5, ∴AB ＝ACcos 64°≈5÷0.44≈11.4.∴吊臂AB 的长为11.4 m .故应填：11.4； (2)过点D 作DH ⊥地面于点H,交水平线于点E.在Rt △ADE 中,AD ＝20,∠DAE ＝64°,EH ＝1.5,∴DE ＝sin 64°×AD ≈20×0.90＝18.0,即DH ＝DE ＋EH ≈18.0＋1.5＝19.5.答：从地面上吊起货物的最大高度是19.5 m .中考典题精讲精练30°,45°,60°角的三角函数值例1 (2018·广安中考)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＋|3－2|－12＋6 cos 30°＋(π－3.14)0.【解析】对照30°,45°,60°角的三角函数值表,然后按照实数的运算方法计算出结果.【答案】解：原式＝9＋2－3－23＋6×32＋1＝12.解直角三角形例2 (2018·潍坊中考)如图,点M 是正方形ABCD 边CD 上一点,连接AM,作DE ⊥AM 于点E,BF ⊥AM 于点F,连接BE.(1)求证：AE ＝BF ；(2)已知AF ＝2,四边形ABED 的面积为24,求∠EBF 的正弦值.【解析】(1)由正方形的性质,可得BA ＝AD,∠BAD ＝90°.由DE ⊥AM,BF ⊥AM,可得∠ABF ＝∠DAE.对于△ABF 和△DAE,可由AAS 得到△ABF ≌△DAE,结论可证；(2)设AE ＝x,由(1)中结论可得BF ＝x,DE ＝AF ＝2.利用S 四边形ABED＝S △ABE ＋S △ADE 可列方程求出x 得到EF 的长.在Rt △BFE 中利用勾股定理可求出BE 的长.最后利用正弦的定义可求结果.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形, ∴BA ＝AD,∠BAD ＝90°. ∵DE ⊥AM 于点E,BF ⊥AM 于点F, ∴∠AFB ＝∠DEA ＝90°,∴∠ABF ＋∠BAF ＝90°,∠DAE ＋∠BAF ＝90°, ∴∠ABF ＝∠DAE. 在△ABF 和△DAE 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠AFB＝∠DEA，∠ABF＝∠DAE，AB ＝DA ，∴△ABF ≌△DAE(AAS ),∴BF ＝AE ； (2)解：设AE ＝x,则BF ＝x,DE ＝AF ＝2. ∵四边形ABED 的面积为24, ∴12·x·x ＋12·x·2＝24, 解得x 1＝6,x 2＝－8(舍去),∴EF ＝x －2＝4. 在Rt △BEF 中,BE ＝42＋62＝213, ∴sin ∠EBF ＝EF BE ＝4213＝21313.解直角三角形的应用例3 (2018·烟台中考)汽车超速行驶是交通安全的重大隐患,为了有效降低交通事故的发生,许多道路在事故易发路段设置了区间测速.如图,学校附近有一条笔直的公路l,其间设有区间测速,所有车辆限速40 km /h .数学实践活动小组设计了如下活动：在l 上确定A,B 两点,并在AB 路段进行区间测速.在l 外取一点P,作PC ⊥l,垂足为点C.测得PC ＝30 m ,∠APC ＝71°,∠BPC ＝35°.上午9时测得一汽车从点A 到点B 用时6 s ,请你用所学的数学知识说明该车是否超速.(参考数据：sin 35°≈0.57,cos 35°≈0.82,tan 35°≈0.70,sin 71°≈0.95,cos 71°≈0.33,tan 71°≈2.90)【解析】先根据角的正切分别得出AC ＝PC tan ∠APC,BC ＝PC tan ∠BPC,再根据线段的和与差得出AB 的长,继而根据速度＝路程时间,求得该车通过AB 路段的车速.若该车通过AB 路段的车速超过40 km /h ,则该车超速；否则,该车没有超速.【答案】解：在Rt △APC 中,AC ＝PC tan ∠APC ＝30 tan 71°≈30×2.90＝87. 在Rt △BPC 中,BC ＝PC tan ∠BPC ＝30 tan 35°≈30×0.70＝21, 则AB ＝AC －BC ＝87－21＝66, ∴该汽车的实际速度为666＝11(m /s ).又∵40 km /h ≈11.1 m /s ,11<11.1, ∴该车没有超速.1.计算：|－2|－(2 019＋2)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋2 cos 30°－27.解：原式＝2－1＋2＋2×32－33＝3＋3－3 3 ＝3－2 3.2.如图,在△ABC 中,∠BAC ＝90°,AB ＝AC,点D 为边AC 的中点,DE ⊥BC 于点E,连接BD,则tan ∠DBC 的值为( A )A .13B .2－1C .2－ 3D .143.(2018·扬州中考)如图,在平行四边形ABCD 中,DB ＝DA,点F 是AB 的中点,连接DF 并延长,交CB 的延长线于点E,连接AE.(1)求证：四边形AEBD 是菱形；(2)若DC ＝10,tan ∠DCB ＝3,求菱形AEBD 的面积. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥CE,∴∠DAF ＝∠EBF. ∵∠AFD ＝∠BFE,AF ＝FB, ∴△AFD ≌△BFE,∴AD ＝BE.∵AD ∥EB,∴四边形AEBD 是平行四边形. 又∵DB ＝DA,∴四边形AEBD 是菱形； (2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴CD ＝AB ＝10,AB ∥CD, ∴∠ABE ＝∠DCB,∴tan ∠ABE ＝tan ∠DCB ＝3. ∵四边形AEBD 是菱形, ∴AB ⊥DE,AF ＝FB,EF ＝DF, ∴tan ∠ABE ＝EFBF ＝3.∵BF ＝102,∴EF ＝3102,∴DE ＝310. ∴S 菱形AEBD ＝12AB·D E ＝1210×310＝15.4.如图,一块三角形空地上种植草皮绿化,已知AB ＝20 m ,AC ＝30 m ,∠A ＝150°,草皮的售价为a 元/m 2,则购买草皮至少需要( C )A .450a 元B .225a 元C .150a 元D .300a 元(第4题图)(第5题图)5.一个公共房门前的台阶高出地面 1.2 m ,台阶拆除后,换成供轮椅行走的斜坡,数据如图所示,则下列关系或说法正确的是( B )A .斜坡AB 的坡度是10° B .斜坡AB 的坡度是tan 10°C .AC ＝1.2 tan 10° mD.AB＝1.2cos 10°m6.(2018·重庆中考A卷)如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED＝58°,升旗台底部到教学楼底部的距离DE＝7 m,升旗台坡面CD的坡度i＝1∶0.75,坡长CD＝2 m,若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC＝1 m,则旗杆AB的高度约为(参考数据：sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.6)( B )A.12.6 mB.13.1 mC.14.7 mD.16.3 m。

北京市2023年九年级中考数学一轮复习——解直角三角形 练习题一、单选题1．（2022·北京石景山·一模）如图，△ABC 中，AC =D ，E 分别为CB ，AB 上的点，1CD =，2AD BD ==，若AE EB =，则DE 的长为（ ）AB ．2CD ．12．（2022·北京市十一学校模拟预测）如图1，在平行四边形ABCD 中，=60B ∠︒，2BC AB =，动点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB 运动到点B 停止，同时动点Q 从点B 出发，以每秒4个单位的速度沿折线B C D --运动到点D 停止．图2是点P 、Q 运动时，BPQ 的面积S 与运动时间t 函数关系的图象，则a 的值是（ ）A ．B ．C ．6D ．123．（2022·北京房山·一模）将宽为2 cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕AB 的长是( )A B ．C ．4cm D 4．（2022·北京·清华附中一模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，如果AC=3，AB=5，那么sinB 等于（ ）A．35B．45C．34D．435．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）如图，AB是圆锥的母线，BC为底面半径，已知BC=6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为（）A．34B．35C．45D．536．（2020·北京昌平·二模）如图所示，边长为2的等边△ABC是三棱镜的一个横截面．一束光线ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，C不重合），反射光线沿DF的方向射出去，DK 与BC垂直，且入射光线和反射光线使∠MDK=∠FDK．设BE的长为x，△DFC的面积为y，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（）A．B． C．D．7．（2020·北京海淀·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，AB，CD，EF，GH是正方形OPQR边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线OM与x轴正半轴的夹角为α，且sinα＞cosα，则点M所在的线段可以是（）A．AB和CD B．AB和EF C．CD和GH D．EF和GH8．（2020·北京市第三十五中学模拟预测）把Rt ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的13C．扩大为原来的9倍D．不变9．（2020·北京市第一零一中学温泉校区一模）某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况，如图，通过直升机的镜头C观测到水平雪道一端A处的俯角为30°，另一端B处的俯角为45°．若直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则雪道AB的长度为（）A．200 米B．（C．600 米D．（10．（2020·北京·北外附中模拟预测）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=34，则线段AB的长为（）A B．C．5 D．10二、填空题11．（2022·北京门头沟·一模）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，是市民周末休闲的好去处．如图，如果该摩天轮的直径为88米，最高点A距地面100米，匀速运行一圈所需的时间是18分钟．但受周边建筑物影响，如果乘客与地面距离不低于34米时为最佳观景期，那么在摩天轮运行的一圈中最佳观景的时长为________分钟．12．（2022·北京市第七中学一模）如图，点P 在线段BC 上，AB BC ⊥，DP AP ⊥， CD DP ⊥，如果10BC =，2AB =， 1tan 2C =，那么 DP 的长是 _____ ．13．（2022·北京朝阳·模拟预测）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB 的长为______m ．（结果保留根号）14．（2022·北京一七一中一模）在如图所示的正方形网格中，∠1__∠2．（填“＞”，“＝”，“＜”）15．（2022·北京·清华附中一模）2017年9月热播的专题片《辉煌中国﹣﹣圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥大桥主跨BD 的中点为E ，最长的斜拉索CE 长577m ，记CE 与大桥主梁所夹的锐角∠CED 为α，那么用CE 的长和α的三角函数表示主跨BD 长的表达式应为BD ＝_____（m ）．16．（2021·北京·101中学三模）如图，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则sin ∠ACB 的值为 __________________．17．（2021·北京朝阳·二模）利用热气球探测建筑物高度（如图所示），热气球与建筑物的水平距离AD =100m ，则这栋建筑物的高度BC 约为_____m 1.7≈≈，结果保留整数）．18．（2021·北京石景山·一模）如图，小石同学在A B ，两点分别测得某建筑物上条幅两端C D ，两点的仰角均为60︒，若点,,O A B 在同一直线上，A B ，两点间距离为3米，则条幅的高CD 为_________米（结果可以保留根号）三、解答题19．（2021·北京·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，90ACB CAD ∠=∠=︒，点E 在BC 上，//,AE DC EF AB ⊥，垂足为F ．（1）求证：四边形AECD 是平行四边形；（2）若AE 平分4,5,cos 5BAC BE B ∠==，求BF 和AD 的长．20．（2021·北京·中考真题）计算：02sin60(5π--．21．（2020·北京·中考真题）计算：11()|2|6sin 453---︒ 22．（2022·北京市三帆中学模拟预测）如图，菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，过点B 作BE BD ⊥，且BE OC =，连接CE ．(1)求证：四边形OCEB 是矩形；(2)连接DE ，当5AB =，3sin 5CAB ∠=，求tan BDE ∠的值． 23．（2022·北京市第十九中学三模）如图，在四边形ABCD 中，90ACB CAD ∠=∠=︒，AD BC =，点E 在BC 延长线上，AE 与CD 交于点F ．(1)求证：四边形ABCD 是平行四边形；(2)若AE 平分BAD ∠，13AB =，5cos 13B =，求AD 和CF 的长． 24．（2022·北京房山·二模）已知：如图，在四边形ABCD 中，,AB DC AC BD ⊥∥，垂足为M ，过点A 作(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)若48,sin5AC ABD=∠=，求BD的长．25．（2022·北京朝阳·112sin4522-⎛⎫- ⎪⎝⎭．26．（2022·北京平谷·二模）如图，在□ABCD中，连接AC，点E是AB中点，点F是AC的中点，连接EF，过E作EG∥AF，交DA的延长线于点G．(1)求证：四边形AGEF是平行四边形；(2)若3sin5G∠=，10AC=，12BC=，连接GF，求GF的长．27．（2022·北京丰台·二模）计算：(032sin458π--+++28．（2022·北京密云·二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC平分BAD∠，点E为AD边中点，过点E 作AC的垂线交AB于点M，交CB延长线于点F．(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；(2)若2FB=，3sin5F=，求AC的长．29．（2022·北京东城·二模）如图，在平行四边形ABCD中，DB DA=，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．(1)求证：四边形AEBD是菱形；(2)若DC=tan3DCB∠=，求菱形AEBD的边长．参考答案：1．D【分析】先根据ACD ∆三边长判断各角的度数，然后利用等腰三角形“三线合一”求出90AED ∠=︒，再ACD AED ∆∆≌，最后根据全等三角形的性质求出DE 的长．【详解】解：△ABC 中，AC =1CD =，2AD =， ()222312+= ，222AC CD AD ∴+= ，90C ∴∠=︒ ，1sin 2CD CAD AD ∴∠==， 30CAD ∴∠=︒，60ADC ∠=︒，2AD BD ==， AE EB =，,DE AB DAB B ∴⊥∠=∠，90AED C ∴∠=∠=︒260ADC DAB B DAB ∠=∠+∠=∠=︒，30DAB CAD ∴∠=∠=︒，又AD AD =，()ACD AED AAS ∴∆∆≌，1DE CD ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，根据特殊三角函数值求解度，三角形外角的性质，根据三角形三边确定三角形各角的度数是解本题的关键．2．B 【分析】根据题意计算得6AB =；再结合题意，得当动点Q 在BC 上时，BPQ 的面积S 随运动时间t 变化呈现二次函数关系；当动点Q 在CD 上时，BPQ 的面积S 随运动时间t 变化呈现一次函数关系，从而得a 对应动点Q 和点C 重合；通过计算BPC S △，即可得到答案．【详解】解：∵动点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB 运动到点B 停止，一共用6秒钟， ∴AB =1×6=6，∵22612BC AB ==⨯=，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB =CD =6，当动点Q 在BC 上时，BPQ 的面积S 随运动时间t 变化呈现二次函数关系，当动点Q 在CD 上时，BPQ 的面积S 随运动时间t 变化呈现一次函数关系，∴a 对应动点Q 和点C 重合，如图：∵动点Q 以每秒4个单位的速度从点B 出发，∴412t =，∴3t =，∴3AP t ==，∴6-3=3BP AB AP =-=，如图，过点C 作CE AB ⊥，交AB 于点E ，∴sin 12CE BC B =⨯∠==∴11322BPC S BP CE =⨯⨯=⨯⨯=a = 故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形、函数图像，二次函数、一次函数、三角函数,与三角形高有关的计算等知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、三角函数的性质，从而完成求解．3．A【分析】由图中条件可知纸片重叠部分的三角形ABO 是等边三角形，此三角形的高是AM=2，求边长，利用锐角三角函数可求．【详解】解：如图，作AM ⊥OB ，BN ⊥OA ，垂足为M 、N ，∵长方形纸条的宽为2cm ，∴AM=BN=2cm ，∴OB=OA ，∵∠AOB=60°，∴△AOB 是等边三角形，在Rt △ABN 中，AB=sin 60BN =． 故选A ．【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定及解直角三角形的运用．关键是由已知推出等边三角形ABO ，有一定难度．4．A【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sinB 的值．【详解】∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5， ∴sinB=3.5AC AB = 故选A ．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键．5．C 【详解】分析：先根据扇形的面积公式S=12L•R 求出母线长，再根据锐角三角函数的定义解答即可． 详解：设圆锥的母线长为R ，由题意得15π=π×3×R ，解得R=5，∴圆锥的高为4，∴sin ∠ABC=45． 故选C ．点睛：本题考查了圆锥侧面积公式的运用，注意一个角的正弦值等于这个角的对边与斜边之比．6．A【分析】根据题意可证出DFC △是直角三角形，利用直角三角形的边角关系用x 表示出CF 、DF ，最后利用三角形的面积公式可知y 与x 的函数关系图像是开口向上的二次函数，观察选项图像即可得出答案．【详解】解：由题可知，等边三角形ABC 的边长为2．∵ME ⊥AB ，=60B ∠︒， ∴BED 是直角三角形，90BED ∠=︒，=60B ∠︒，30BDE ∠=︒，∵BE x =，∴2BD x =，22CD x =-．又∵ DK ⊥BC ，∠MDK =∠FDK ，∴30BDE CDF ∠=∠=︒．∵60C ∠=︒，∴90DFC ∠=︒，∴DFC △是直角三角形， ∴122122x CF CD x -===-，∴cos cos30DF CDF DC ==︒=∠∴2)DF DC x ==-=，∴11)(1)22y DF CF x =⨯⨯=-，即2y x =则y 与x 的函数关系图像是开口向上的二次函数，且过点． 故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，从图形的面积公式入手，用自变量表示边的长度，直接代入公式求出因变量与自变量的函数关系是解题的关键．7．D【分析】如图，当点M 在线段AB 上时，连接OM ．根据正弦函数，余弦函数的定义判断sinα，cosα的大小．当点M 在EF 上时，作MJ ⊥OP 于J ．判断sinα，cosα的大小即可解决问题．【详解】如图，当点M 在线段AB 上时，连接OM ．∵sinα=PM OM ，cosα=OP OM，OP ＞PM ， ∴sin α＜cosα，同法可证，点M 在CD 上时，sinα＜cosα，如图，当点M 在EF 上时，作MJ ⊥OP 于J ．∵sinα=MJOM，cosα=OJOH，OJ＜MJ，∴sinα＞cosα，同法可证，点M在GH上时，sinα＞cosα，故选：D．【点睛】考查了正方形的性质和解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．8．D【分析】根据相似三角形的性质解答．【详解】三边的长度都扩大为原来的3倍，则所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A的大小不变，∴锐角A的余弦值不变，故选：D．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．9．B【分析】在Rt△ACD中，由tan∠A＝CDAD，可知200tan tan30CDADA====∠︒，在Rt△BCD中，由∠B＝45°知BD＝CD＝200米，根据AB＝AD+BD可得答案．【详解】解：由题意知，∠A＝30°，∠B＝45°，CD＝200米，在Rt△ACD中，∵tan∠A＝CD AD，∴200tan tan30CDADA====∠︒，在Rt△BCD中，∵∠B＝45°，∴BD＝CD＝200米，∴AB＝AD+BD＝（米），故选：B．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握解直角三角形的应用-仰角俯角问题是解题的关键.10．C【详解】分析：根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．详解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，∴∠AOB=90°，∵BD=8，∴OB=4，∵tan∠ABD=34AOOB =，∴AO=3，在Rt△AOB中，由勾股定理得：，故选C．点睛：本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键．11．12【分析】先计算出圆的底端距离地面的距离为12，从而得到圆的底部到弦的距离为22，从而计算出弦所对的圆心角，用弧长公式计算劣弧的长，周长减去劣弧的长得到最佳观赏路径长，除以运动速度即可．【详解】解：如下图所示，根据题意，得OC =44，CD =AD -AC =100-88=12，ED =34，∴CE =ED -CD =34-12=22，∴OE =OC -CE =44-22=22，在直角三角形OEF 中，sin ∠OFE =OE OF =221442， ∴∠OFE =30°，∴∠FOE =60°，∴∠FOB =120°，∴24041803R R FAB ππ==， ∵圆转动的速度为2189RR ππ， ∴最佳观赏时长为43R π÷9R π=12（分钟）， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了垂径定理，弧长公式，特殊角的三角函数，解题的关键是熟练掌握弧长公式，灵活运用特殊角的三角函数．12 【分析】由已知条件，根据同角的余角相等得APB C ∠=∠，根据1tan 2C =得1tan 2AB APB BP ==∠，求出4BP =，得出6PC =，利用1tan 2C =和勾股定理即可得DP 的长． 【详解】解：∵AB BC ⊥，DP AP ⊥，CD DP ⊥，∴90B APD PDC ∠=∠=∠=︒，90C DPC ∠+∠=︒，90APB DPC ∠+∠︒=，∴APB C ∠=∠， ∵1tan 2C =， ∴1tan tan 2AB APB C BP ===∠， ∵2AB =，10BC =，∴4BP =，6PC =，设DP 的长是x ， ∵1tan 2DP C CD ==， ∴22CD DP x ==，∴222PC DP CD =+，即()22262x x =+，解得x =，【点睛】本题考查三角函数-正切，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．13． 1.6) 【分析】如图（见解析），先在Rt BCF 中，解直角三角形可求出CF 的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得DE 的长，从而可得CE 的长，然后根据线段的和差即可得．【详解】如图，过A 作//AE BF ，交DF 于点E ，则四边形ABFE 是矩形,5,AB EF AE BF m AE EF ∴===⊥由图中数据可知， 3.4CD m =，30CBF ∠=︒，45DAE =︒∠，90F ∠=︒在Rt BCF 中，tan CF CBF BF ∠=，即tan 305CF =︒解得)CF m = ,45AE EF DAE ⊥∠=︒Rt ADE ∴是等腰三角形5DE AE m ∴==5 3.4 1.6()CE DE CD m ∴=-=-=1.6()EF CF CE m ∴=-=则AB 的长为 1.6)m故答案为： 1.6)．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握解直角三角形的方法是解题关键．14．>【分析】由正切的定义可得出tan∠1=34，tan∠2=23，由34＞23且∠1，∠2均为锐角可得出∠1＞∠2，此题得解．【详解】在Rt△ABE中，tan∠134 BEAE==；在Rt△BCD中，tan∠223 BDBC==．∵3243>，且∠1，∠2均为锐角，∴tan∠1＞tan∠2，∴∠1＞∠2．故答案为：＞．【点睛】本题考查了解直角三角形，由正切的定义找出tan∠1＞tan∠2是解题的关键．15．1154cosα．【分析】根据题意和特殊角的三角函数可以解答本题．【详解】解：由题意可得，BD＝2CE•cosα＝2×577×cosα＝1154cosα，故答案为1154cosα．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数解答．16【分析】作辅助线BD使∠ACB直角三角形BCD中，然后用正弦函数的定义即可．【详解】解：作如图所示的辅助线，则BD⊥AC，∵BCBD =∴sin ∠ACB =，【点睛】本题主要考查正弦的概念，根据题意得出相应边长是解题的关键．17．270【分析】分别在Rt ABD 与Rt ACD 中求得BD 与CD 长度，BC=BD+CD ，即可求出BC 长度．【详解】∵在Rt ABD 中，45BAD ∠=∴BD AD ==100（米）在Rt ACD 中，60DAC ∠=， ∴tan 60CD AD=∴CD AD ==∴100270BC BD CD =+=+（米）故答案为：270【点睛】本题主要考查锐角三角函数在实际应用中求解，能找见不同直角三角形中的等量关系是解题关键． 18．【分析】过点C 作CE ∥AB ，交BD 于点E ，可得四边形ABEC 是平行四边形，在直角DEC 中，利用锐角三角函数的定义，即可求解．【详解】过点C 作CE ∥AB ，交BD 于点E ，∵小石同学在A B ，两点分别测得某建筑物上条幅两端C D ，两点的仰角均为60︒，∴∠CAO =∠DBO =60°，∴AC ∥BD ，∴四边形ABEC 是平行四边形，∴CE =AB =3，∠DEC =60°，∵BO ⊥DO ，∴EC ⊥DO ，∴在直角DEC 中，CD =EC ×tan60°故答案是：【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键． 19．（1）见详解；（2）4BF =，3AD =【分析】（1）由题意易得AD ∥CE ，然后问题可求证；（2）由（1）及题意易得EF =CE =AD ，然后由45,cos 5BE B ==可进行求解问题． 【详解】（1）证明：∵90ACB CAD ∠=∠=︒，∴AD ∥CE ，∵//AE DC ，∴四边形AECD 是平行四边形；（2）解：由（1）可得四边形AECD 是平行四边形，∴CE AD =，∵EF AB ⊥，AE 平分BAC ∠，90ACB ∠=︒，∴EF CE =，∴EF =CE =AD ， ∵45,cos 5BE B ==， ∴4cos 545BF BE B =⋅=⨯=，∴3EF ==，∴3AD EF ==．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数，熟练掌握平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数是解题的关键．20．4【分析】根据特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算可直接进行求解．【详解】解：原式=2514-=． 【点睛】本题主要考查特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算是解题的关键．21．5【分析】分别计算负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，再合并即可得到答案．【详解】解：原式=3262+-⨯32=+-5.= 【点睛】本题考查的是负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，以及合并同类二次根式，掌握以上的知识是解题的关键．22．(1)见解析 (2)23【分析】（1）证AC BE ，再证四边形OCEB 是平行四边形，然后由90OBE ∠=︒即可得出结论；（2）由锐角三角函数定义得3OB =，则26BD OB ==，再由勾股定理得4OC OA ==，然后由锐角三角函数定义即可得出结论．（1） 证明：四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，90DOC ∴∠=︒， BE BD ⊥，90OBE DOC ∴∠=∠=︒，AC BE ∴∥，BE OC =，∴四边形OCEB 是平行四边形，又90OBE ∠=︒，∴平行四边形OCEB 是矩形；（2）解：如图，四边形ABCD 是菱形，OA OC ∴=，OB OD =，AC BD ⊥，在Rt AOB △中，5AB =，3sin 5OB CAB AB∠==， 3OB ∴=，26BD OB ∴==，4OC OA ∴==，由（1）可知，四边形OCEB 是矩形，90OBE ∴∠=︒，4BE OC ==，42tan 63BE BDE BD ∴∠===． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、锐角三角函数定义、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的性质是解题的关键．23．(1)见解析(2)5，8【分析】（1）先证AD BC ∥，再由AD BC =，即可得出结论；（2）由锐角三角函数定义得5BC =，再由平行四边形的性质得5AD BC ==，然后证13BE AB ==，则8CE BE BC =-=，进而证CFE BEA ∠=∠，得8CF CE ==．（1）证明：∵90ACB CAD ∠=∠=︒，∴AD BC ∥，∵AD BC =，∴四边形ABCD 是平行四边形；（2）∵90ACB ∠=︒，13AB =，5cos 13B =，∴5cos 13BC B AB ==， ∴5BC =，由（1）可知，四边形ABCD 是平行四边形，∴5AD BC ==，AB CD ∥，AD BC ∥，∴DAE BEA ∠=∠，∵AE 平分BAD ∠，∴DAE BAE ∠=∠，∴BEA BAE ∠=∠，∴13BE AB ==，∴1358CE BE BC =-=-=，∵AB CD ∥，∴∠=∠CFE BAE ，∴CFE BEA ∠=∠，∴8CF CE ==，即5AD =，8=CF ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、锐角三角函数定义、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．24．(1)证明见解析(2)6【分析】（1）先证明AE ∥BD ，再利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可；（2）先根据平行四边形的性质和锐角三角函数求得CE 的长，再利用勾股定理求出AE 的长即可求得BD 的长．（1）解：∵AC ⊥BD ，AC ⊥AE ，∴AE ∥BD ，又AB ∥DC ，∴四边形ABDE 是平行四边形．（2）解：∵四边形ABDE 是平行四边形，∴BD=AE，∠E=∠ABD，∵48,sin5 AC ABD=∠=，∴4sin sin5ACE ABDCE∠=∠==，则CE=10，在Rt△EAC中，6AE===，∴BD=6．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键．25．【分析】分别根据二次根式的性质，45°角的三角函数值，负整数指数幂及绝对值的性质进行化简，最后再由二次根式的运算法则合并即可．【详解】解：原式222=-+=故答案为：【点睛】此题考查了实数的混合运算，正确掌握二次根式的性质，45°角的三角函数值，负整数指数幂定义及绝对值的性质是解题的关键．26．(1)见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，再由三角形中位线定理可得EF∥BC，从而得到EG∥AF，即可求证；（2）过点E作EM⊥DG于点M，过点F作FN⊥DG于点N，可得EM=FN，再由三角形中位线定理可得EF=6，然后根据四边形AGEF是平行四边形，可得AG=EF=6，GE=AF，GE=AF=5，根据3sin5G∠=，可得FN=EM=3，从而得到AN=4，再由勾股定理，即可求解．(1)解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∵点E是AB中点，点F是AC的中点，∴EF∥BC，∴EF∥AD，即EF∥AG，∵EG∥AF，∴四边形AGEF是平行四边形；(2)如图，过点E作EM⊥DG于点M，过点F作FN⊥DG于点N，∵EF∥AD，∴EM=FN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=12，∵点E是AB中点，点F是AC的中点，∴1112622EF BC==⨯=，∵四边形AGEF是平行四边形，∴AG=EF=6，GE=AF，∵F是AC的中点，10AC=，∴AF=5，∴GE=AF=5，∵EM⊥DG，∴∠EMG=90°，∴sin355EM EMGEG===，∴EM=3，∴FN=EM=3，∵FN⊥DG，∴4AN=，∴GN=AG+AN=10，∴GF=【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．27．4【分析】原式第一项利用绝对值的意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项化为最简二次根式，第四项利用零指数幂法则计算即可得到结果．【详解】解：原式 =2322212=32221=4【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．28．(1)见解析；(2)24 5【分析】（1）根据平行线性质得∠DAC=∠ACB，根据角平分线定义得∠DAC=∠BAC，进而得出∠BCA=∠BAC，推出BA=BC，最后证得结果；（2）连接BD，根据平行四边形的判定证明四边形EFBD是平行四边形，再求得BC及sin OBC∠的值，最后求得AC的长．(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∵AC平分BAD∠，∴∠DAC=∠BAC，∴∠BCA=∠BAC，∴BA=BC，∴平行四边形ABCD是菱形；(2)连接BD，∵平行四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，DE ∥BF ，∵AC ⊥EF ，∴EF ∥BD ，∴四边形EFBD 是平行四边形，∠OBC =∠F ，∴DE =BF =2，∵点E 为AD 边中点，∴AD =4，∴BC =AD =4， ∵3sin 5F =，∠OBC =∠F ， ∴3sin 5OBC OC BC ∠==， ∴345OC =， ∴125OC =， ∴2425AC OC ==【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质、菱形的性质及判定、等腰三角形的判定及性质、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定及性质．29．(1)见解析；(2)边长为5【分析】由△AFD ≌△BFE ，推出AD =BE ，可知四边形AEBD 是平行四边形，再根据BD =AD 可得结论； （2）根据菱形的性质得出,ADE BDE BDC BCD ∠=∠∠=∠，由各角之间的数量关系得出90BDE BDC ∠+∠=︒，根据题意得出DE =EC 的长，然后根据直角三角形斜边上的中线即可得出结果．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴//AD BC ，∴ADE DEB ∠=∠∵F 是AB 的中点，∴AF BF =∴在AFD ∆与BFE ∆中，ADF BEF AFD BFE AF BF ∠∠∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ΔAFD ≅BFE ∆∴AD =BE ，∵//AD BC ，∴四边形AEBD 是平行四边形，∵DB DA =，∴四边形AEBD 是菱形；（2）解：∵四边形AEBD 是菱形，DB DA =∴AD BD BE BC ===，∴,ADE BDE BDC BCD ∠=∠∠=∠∵//AD BC∴180ADE BDE BDC BCD ∠+∠+∠+∠=︒∴90BDE BDC ∠+∠=︒∵DC =tan 3DCB ∠=， ∴3DE DC=，DE =∴10EC =，∴EB =BC =BD =152EC =， 菱形的边长为5．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。

第19讲锐角三角函数 2023年中考数学一轮复习专题训练（浙江专用）一、单选题1．（2022·杭州）如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为()A．cosθ(1+cosθ)B．cosθ(1+sinθ)C．sinθ(1+sinθ)D．sinθ(1+cosθ) 2．（2022·金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形.已知BC=6m.∠ABC=α.则房顶A离地面EF的高度为（）A．(4+3sinα)m B．(4+3tanα)m C．(4+3sinα)m D．(4+ 3tanα)m3．（2022·丽水）如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G，若cosB＝14，则FG的长是（）A．3B．83C．2√153D．524．（2022·瑞安模拟）某村计划挖一条引水渠，渠道的横断面ABCD是一个轴对称图形（如图所示）.若渠底宽BC为2m，渠道深BH为3m，渠壁CD的倾角为α，则渠口宽AD为（）A．（2+3·tanα）m B．（2+6·tanα）mC．（2+3tanα）m D．（2+6tanα）m5．（2022·嵊州模拟）如图，在□ABCD中，E为BC边上的点，满足BE= 5CE，若四边形AEDF为正方形，则tanB的值为（）A．1B．32C．2D．52 6．（2022·鹿城模拟）某滑梯示意图及部分数据如图所示. 若AE=1m，则DF的长为（）A．tanαtanβB．tanβtanαC．sinβsinαD．sinαsinβ7．（2022·洞头模拟）如图1是放置在水平地面上的落地式话筒架.图2是其示意图，主杆AB垂直于地面，斜杆CD固定在主杆的点A处，若∠CAB=α，AB=120cm，AD=40cm，则话筒夹点D离地面的高度DE为（）cmA．120+40sinαB．120+40cosαC．120+40sinαD．120+ 40cosα8．（2022·温州模拟）如图，旧楼的一楼窗台高为1米，在旧楼的正南处有一新楼高25米.已知某日中午12时太阳从正南方照射的光线与水平线的夹角为α，光线正好照在旧楼一楼窗台上，则两楼之间的距离为（）A．24sinα米B．24cosα米C．24tanα米D．24tanα米9．（2022·鹿城会考）消防云梯如图所示，AB⊥BC于B，当C点刚好在A点的正上方时，DF的长是.（）A．acosθ+bsinθB．acosθ+btanθC．acosθ+bsinθD．acosθ+bsinθ10．（2022·宁波模拟）如图1，以Rt△ABC的各边为边向外作等边三角形，编号分别为①，②，③．如图2，将①，②叠放在③中，若四边形EGHF与GDCH的面积之比是16164，则sin∠ABC 的值是（ ）A ．817B ．815C ．513D ．35二、填空题11．（2022·温州）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地而上的点M 在旋转中心O 的正下方。

中考数学一轮复习《解直角三角形及其实际应用》练习题（含答案）(建议答题时间：45分钟)1. (2017天津)cos60°的值等于()A. 3B. 1C.22 D.122. (2017聊城)在Rt△ABC中，cosA＝12，那么sinA的值是()A.22 B.32 C.33 D.123. (2017兰州)如图，一个斜坡长130 m，坡顶离水平地面的距离为50 m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于()A. 513 B.1213 C.512 D.1312第3题图第4题图4. (2017河北)如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A，B同时出发，并以等速驶向某海域．甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能．．是()A. 北偏东55°B. 北偏西55°C. 北偏东35°D. 北偏西35°5. (2017宜昌)△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC于D，下列四个选项中，错误．．的是()A. sinα＝cosαB. tan C＝2C. sinβ＝cosβD. tanα＝1第5题图第6题图6. (2017益阳)如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)()A.hsinαB.hcosαC.htanαD. h·cosα7. (2017百色)如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上，10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是()米/秒A. 20(3＋1)B. 20(3－1)C. 200D. 300第7题图第8题图8. (2017深圳)如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20 m，DE的长为10 m，则树AB的高度是()A. 20 3 mB. 30 mC. 30 3 mD. 40 m9. (2017重庆育才三模)小强到某水库大坝游玩，他站在大坝上的A处看到一棵大树CD的影子刚好落在坝底的B处(点A与大树及其影子在同一平面内)，此时太阳光与地面的夹角为60°，在A处测得树顶D的俯角为15°，如图所示，己知斜坡AB的坡度i＝3∶1，若大坝的高为12 3 米，则大树CD的高约为()米(结果精确到1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)A. 13B. 14C. 15D. 16第9题图第10题图10. “星光隧道”是贯穿新牌坊商圈和照母山以北的高端居住区的重要纽带．图中线段AB表示该工程的部分隧道，无人勘测飞机从隧道一侧的点A出发，沿着坡度i＝1∶2的路线AE飞行，飞行至分界点C的正上方点D时，测得隧道另一侧点B的俯角为12°，继续飞行到点E，测得点B的俯角为45°，此时点E 离地面高度EF＝700米，则隧道BC段的长度约为()米(结果精确到1米．参考数据：tan12°≈0.2，cos12°≈0.98)A. 2100B. 1600C. 1500D. 154011. (2017重庆西大附中月考)最近央视纪录片《航拍中国》中各地的美景震撼了全国观众，如图是航拍无人机从A点俯拍在坡比为3∶4的斜坡CD上的景点C，此时的俯角为30°，为取得更震撼的拍摄效果，无人机升高200米到达B点，此时的俯角变为45°，已知无人机与斜坡CD的坡底D的水平距离DE为400米，则斜坡CD的长度为()米(结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.41，3≈1.73)A. 91.1B. 91.3C. 58.2D. 58.4第11题图第12题图12. (2017重庆九龙坡区适应性考试)如图，小明家附近有一斜坡AB＝40米，其坡度i＝1∶3，斜坡AB上有一竖直向上的古树EF，小明在山底A处看古树树顶E的仰角为60°，在山顶B处看古树树顶E的仰角为15°，则古树的高约为()米(结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)A. 16.9B. 13.7C. 14.6D. 15.213. 如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高CB为10米，坡面CA的坡比为1∶ 3.为了方便行人推车过桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面CD的坡角为18°，问离原坡脚(点A)15米的花坛E，与新坡脚(点D)的距离DE大约为()米(结果精确到0.01米．参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，2≈1.41，3≈1.73)A. 2.05B. 1.50C. 1.05D. 2.50第13题图第14题图14. 如图，我校临江园前河坝横断面迎水坡AB长40 m，坡比是1∶3，BC为坝高．某同学在临江园B处测得江中迎面匀速驶来的小船在M处的俯角为14°，他立刻朝万象楼方向走17 m到D处，并向上到达楼顶E处，共用时60 s，在E 处测得小船在N处的俯角为58°，已知万象楼高DE＝25 m，江水深FH＝9 m，若小船的航行方向和该同学的行走方向与河坝横断面在同一平面内，则小船的行驶速度为()m/s(结果精确到0.01.参考数据：3≈1.73，sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60)A. 0.24B. 0.64C. 0.65D. 0.7015. (2017烟台)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝3，则sin A2＝________.16. (2017广州)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝158，则AB＝________.第16题图第17题图17. (2017山西)如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE ＝1.5米，则这棵树的高度为________米．(结果保留一位小数．参考数据：sin54°＝0.8090，cos54°＝0.5878，tan54°＝1.3764) 18. (2017德阳)如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝62米，背水坡CD的坡度i＝1∶3 (i为DF与FC的比值)，则背水坡CD的坡长为________米．第18题图第19题图19. (2017苏州)如图，在一笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A北偏东60°的方向，在码头B北偏西45°的方向，AC＝4 km.游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B，设开往码头A、B的游船速度分别为v1、v2，若回到A、B所用时间相等，则v1v2＝________．(结果保留根号)20. (2017海南)为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米(即CD＝2米)，背水坡DE的坡度i＝1∶1(即DB∶EB＝1∶1)，如图所示．已知AE＝4米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC. (参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2)第20题图21. (2017郴州)如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速铁路(即线段AC)，经测量，森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120 km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100 km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速铁路是否穿越保护区，为什么？(参考数据：3≈1.73)第21题图22. (2017上海)如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC.(1)求sinB的值；(2)现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE＝2AE，且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE的长．第22题图23. (2017鄂州)小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°.已知A点离地面的高度AB＝2米，∠BCA＝30°，且B、C、D三点在同一直线上．(1)求树DE的高度；(2)求食堂MN的高度．第23题图答案1. D2. B3. C4. D【解析】如解图，∵两船等速且不能相撞，∴甲与乙所行路程不能相等，∴△ABC不能是等腰三角形，∴∠CBD≠35°，∴乙的航向不能是北偏西35°.第4题解图5. C 【解析】∵网格中每一个小正方形的边长均为1，则AD ＝2，BD ＝2，CD＝1，AB ＝AD 2＋BD 2＝22，AC ＝AD 2＋CD 2＝5，∴sin α＝BD AB ＝22，cosα＝AD AB ＝22，∴sin α＝cos α，故A 正确；tanC ＝AD CD ＝2，故B 正确；sin β＝CD AC ＝55，cos β＝AD AC ＝255，∴sin β≠cos β，故C 错误；tan α＝BD AD ＝1，故D 正确．6. B 【解析】∵AC ⊥BC ，∴∠ACD ＋∠DCB ＝90°，∵CD ⊥AB ，∴∠ACD ＋∠CAD ＝90°，∴∠BCD ＝∠CAD ＝α，在Rt △BCD 中，∵CD ＝h ，cos ∠BCD ＝CD BC ，即cos α＝h BC ，∴BC ＝h cos α. 7. A 【解析】如解图，作BD ⊥AC 于点D ，则BD ＝200，∠CBD ＝45°，∠ABD ＝60°，∴AC ＝DC ＋AD ＝200＋2003，∴动车的平均速度是(200＋2003)÷10＝20＋203＝20(1＋3)米/秒．第7题解图8. B 【解析】∵在Rt △CDE 中，DE ＝10 m ，CD ＝20 m ，∴∠DCE ＝30°，∵矩形AFDE 中，DF ∥AE ，∴∠CDF ＝∠DCE ＝30°，又∵∠BDF ＝30°，∴∠BDC ＝60°，又∵∠BCA ＝60°，∴∠BCD ＝90°，∴BC ＝3CD ＝20 3 m ，∵在Rt△ABC 中，∠ACB ＝60°，∴AB ＝32BC ＝30 m .9. C 【解析】如解图，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，在Rt △AGB 中，AG ＝123米，∵AB 的坡度i ＝3∶1，∴∠ABG ＝60°，BG ＝12，∵∠CBD ＝60°，∴∠DBA ＝60°，∵AE ∥BC ，∴∠EAB ＝∠ABG ＝60°，∵∠EAD ＝15°，∴∠DAB ＝45°，∵∠CBD ＝∠ABD ＝60°，∴DF ＝DC ，设DC ＝x ，在Rt △ADF 中，∠DAF ＝45°，∴AF ＝DF ＝x ，∵AB ＝AG 2＋BG 2＝24，则BF ＝24－x ，在△BDF 中，∵DF ＝BF ·tan 60°，∴x ＝3(24－x )，解得，x ＝36－123，约为15米．第9题解图10. C【解析】在Rt△BEF中，∵∠EBF＝45°，∴BF＝EF＝700 m，∵i＝EFAF＝CD AC＝12，设CD＝x m，∴AC＝2x m，AF＝2EF＝1400 m，∴AB＝AF＋BF＝2100m，在Rt△BCD中，∵∠CBD＝12°，∴BC＝CDtan12°≈x0.2＝5x m，∴AB＝AC＋BC＝2x＋5x＝7x m，则7x＝2100，∴x＝300 m，BC＝5x＝1500 m.11. B【解析】如图，过点C作CF⊥DE于F，作CM⊥BE于M. 依题意，设CF＝3x, 则DF＝4x，∴ME＝CF＝3x, CM＝EF＝4x＋400.∵∠BCM＝45°，∴BM＝CM＝4x＋400，∴AM＝BM－AB＝4x＋400－200＝4x＋200.∵∠ACM＝30°，∴tan∠ACM＝AMCM＝4x＋2004x＋400＝33，∴x＝25(3－1)≈25×0.73＝18.25，则CD＝（3x）2＋（4x）2＝5x＝18.25×5＝91.25≈91.3.第11题解图12. A【解析】如解图，过点B作BD∥AC交AE于点D，过点E作EG⊥AB于点G，延长EF与AC相交于点H，∵tan∠BAC＝i＝13＝33，∴∠BAC＝30°，∴∠DBA＝∠BAC＝30°，∠BAE＝∠CAE－∠CAB＝30°，∠EFG＝∠AFH＝60°，∵∠EBD＝15°，∴∠EBG＝45°，则EG＝BG，设EG＝BG＝x m，在Rt△AEG中，AG＝EGtan30°＝3x m，∴AB＝AG＋BG＝(3＋1)x m＝40 m，解得，x＝(203－20) m ，在Rt △EFG 中，EF ＝EG sin 60°≈16.9 m . 第12题解图13. C 【解析】在Rt △ABC 中，BC ＝10米，∵坡面AC 的坡比为1∶3，∴∠BAC ＝30°，∵tan 30°＝BC AB，∴AB ＝103≈17.3 m ，∴BE ＝AB ＋AE ≈17.3＋15＝32.3 m ，在Rt △BCD 中，∠BDC ＝18°，BC ＝10 m ，∵tan 18°＝BC BD ，∴BD ＝BC tan 18°≈31.25 m ，∴DE ＝BE －BD ≈32.3－31.25＝1.05 m . 14. B 【解析】如解图，∵i AB ＝1∶3，∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝12AB ＝20 m ，∵CG ＝FH ＝9 m ，∴DK ＝BG ＝20－9＝11 m ，∴EK ＝DE ＋DK ＝25＋11＝36 m ，在Rt △EKN 中，∠ENK ＝58°，∴NK ＝EK tan 58°≈361.6＝22.5m ，在Rt △BGM 中，∠BMG ＝14°，∴GM ＝BG tan 14°≈110.25＝44 m ，∴MK ＝KG ＋GM ≈17＋44＝61 m ，∴MN ＝MK －NK ≈61－22.5＝38.5 m ，∴小船行驶的速度为38.5÷60≈0.64 m /s .第14题解图15. 12 16. 1717. 15.3 【解析】根据题意得CD ＝BE ＝10米，BD ＝CE ＝1.5米， ∠ACD ＝54°，∴AD ＝CD ·tan 54°＝10×tan 54°≈13.8米，∴这棵树的高度AB ＝AD ＋BD ≈13.8＋1.5＝15.3米．18. 12 【解析】在Rt △ABE 中，∠α＝45°，AB ＝62，则AE ＝6，DF ＝AE ＝6，在Rt △DFC 中，DF ＝6，DF ∶FC ＝1∶3，∴∠C ＝30°，∴DC ＝2DF ＝12.19. 2【解析】如解图，过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AC＝4 km，∴CD＝2 km，在Rt△CDB中，∠CBD＝45°，CD＝2，∴BC＝22，∵游船开往A和开往B所用时间相等，设时间为t，则v1＝ACt，v2＝BCt，∴v1v2＝AC BC＝422＝ 2.第19题解图20. 解：设BC＝x米，在Rt△ABC中，∠CAB＝180°－∠EAC＝50°，AB＝BCtan50°≈BC1.2＝5BC6＝56x，在Rt△EBD中，∵i＝DB∶EB＝1∶1，∴BD＝BE，∴CD＋BC＝AE＋AB，即2＋x＝4＋56x，解得x＝12，即BC＝12，答∶水坝原来的高度为12米．21. 解：不会穿越保护区．理由如下：如解图，过点P作PD⊥AC于点D，设BD＝x，∵在Rt△BDP中，∠PBD＝90°－30°＝60°，∴PD＝BD·tan∠PBD＝3BD＝3x，∵在Rt△ADP中，∠P AD＝90°－60°＝30°，∴AD＝PDtan∠PAD＝3PD＝3x，∵AB＝AD－BD＝120，∴3x－x＝120，解得x＝60，∴PD＝603≈103.8＞100，∴计划修建的这条高速铁路不会穿越保护区．第21题解图22. 解：(1)在Rt △ABD 中，∵BD ＝DC ＝9，AD ＝6， ∴AB ＝BD 2＋AD 2＝92＋62＝313，∴sinB ＝AD AB ＝6313＝21313. (2)∵EF ∥AD ，BE ＝2AE ，∴EF AD ＝BF BD ＝BE BA ＝23，∴EF 6＝BF 9＝23，∴EF ＝4，BF ＝6，∴DF ＝3，在Rt △DEF 中，DE ＝EF 2＋DF 2＝42＋32＝5.23. 解：(1)∵∠ACB ＝30°，∠ECD ＝60°，∴∠ACE ＝90°，∵AF ∥BD ，∴∠ACB ＝∠F AC ＝30°，∴∠EAC ＝60°，在Rt △ABC 中，AB ＝2, ∠ACB ＝30°，∴AC ＝4，在Rt △ACE 中，∵AC ＝4，∠EAC ＝60°，∴AE ＝8；∵在Rt △AEF 中，∠EAF ＝30°，AE ＝8，∴EF ＝4，∴DE ＝EF ＋DF ＝4＋2＝6.即树DE的高为6米；(2)如解图，延长NM交DB延长线于点G，在Rt△ABC中，AB＝2，∠ACB＝30°，∴BC＝23，在Rt△ECD中，DE＝6，∠ECD＝60°，∴CD＝DEtan60°＝23，∵∠NDB＝45°，∴NG＝GD＝AM＋BC＋CD＝3＋23＋23＝3＋43，∴MN＝NG－MG＝3＋43－2＝43＋1.第23题解图。

中考数学一轮复习解直角三角形一、选择题1.在△ABC中,∠C=90°,∠A=50°,BC=4，则AC为( )A.4tan50°B.4tan40°C.4sin50°D.4sin40°2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=，AB的垂直平分线ED交BC的延长线于D点，垂足为E，则sin∠CAD=（）A. B. C. D.3.在下列网格中，小正方形的边长为1，点A、B、O都在格点上，则∠A的正弦值是（）A. B. C. D.4.如图,已知∠α的一边在x轴上,另一边经过点A（2,4）,顶点为（﹣1,0）,则sinα的值是（）A.0.4B.C.0.6D.0.85.在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinA=（）A. B. C. D.6.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1:1.5，则坝底AD的长度为( )A.26米B.28米C.30米D.46米7.△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC于D，下列选项中错误的是( )A.sin α=cos αB.tanC=2C.sin β=cos βD.tan α=18.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A=30°，则sinE 的值为( )A.21B.22C.23D.33 9.如图，为了测得电视塔的高度AB ，在D 处用高为1米的测角仪CD 测得电视塔顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F 处，又测得电视塔顶端A 的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB 为( )A.503米B.51米C.(503＋1)米D.101米10.如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8cm ，BC=6cm ，则tan ∠EAF 的值是（ ）A.0.5B.0.75C.2D.511.关于x 的一元二次方程x 2﹣4sin α•x+2=0有两个等根，则锐角α的度数是（ ）A.30°B.45°C.60°D.90°12.如图，在Rt △AOB 中，两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A ′O ′B.若反比例函数y=xk 的图象恰好经过斜边A ′B 的中点C ，S △ABO =4，tan ∠BAO=2，则k 的值为( )A.3B.4C.6D.8二、填空题13.计算：(2)0-2|1-sin30°|+(12)-1= .14.如图，一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为 米．15.如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB=6，点C 是优弧AB ︵上的一点(不与A 、B 重合)，则cosC 的值为________.16.如图，热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋高楼顶部B 的仰角为30°，看这栋高楼底部C 的俯角为60°，热气球A 与高楼的水平距离为120m ，这栋高楼BC 的高度为__________米．17.在综合实践课上,小聪所在小组要测量一条河的宽度,如图,河岸EF ∥MN,小聪在河岸MN 上点A 处用测角仪测得河对岸小树C 位于东北方向，然后沿河岸走了30米,到达B 处，测得河对岸电线杆D 位于北偏东30°方向,此时,其他同学测得CD=10米.请根据这些数据求出河的宽度为 米．（结果保留根号）18.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 处，EF 为折痕，若AE=3，则sin ∠BFD 的值为 ．三、解答题19.计算： ()－1＋|1－|－2sin60°＋(π－2022)0－.20.计算：2sin60°＋|3－3|＋(π－2)0－(21)－1.21.如图，从热气球C 上测得两建筑物A 、B 底部的俯角分别为30°和60度.如果这时气球的高度CD 为90米.且点A 、D 、B 在同一直线上，求建筑物A 、B 间的距离.22.已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足(1－tanA)2＋|sinB-23|=0. (1)试判断△ABC 的形状；(2)求(1＋sinA)2－2B cos －(3＋tanC)0的值.23.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=40海里，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行半小时后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向.求该船航行的速度.24.如图，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y2=（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴、y1轴分别交于C、D两点.已知：OA=，tanAOC=，点B的坐标为（，m）（1）求该反比例函数的解析式和点D的坐标；（2）点M在射线CA上，且MA=2AC，求△MOB的面积.25.为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下车库的设计示意图（如图），按规定，地下车库坡道口上方要张贴限高标志，以便高职停车人车辆能否安全驶入.（1）图中线段CD 填“是”或“不是”）表示限高的线段，如果不是，请在图中画出表示限高的线段；（2）一辆长×宽×高位3916×1650×1465（单位：mm）的轿车欲进入车库停车，请通过计算，判断该汽车能否进入该车库停车？（本小问中3取1.7，精确到0.1）参考答案1.D.2.C.3.A.4.C.5.A6.B7.C.8.A.9.C.10.C.11.B.12.C.13.答案为：2.14.答案为：36（米）．15.答案为：0.8.16.答案为：160．17.答案为：（30+10）．18.答案为：1/3；19.解：原式=3－2.20.解：原式=2.21.解：22.解：(1)∵(1－tanA)2＋|sinB-23|=0，∴tanA=1，sinB=23， ∴∠A=45°，∠B=60°，∴∠C=180°－45°－60°=75°，∴△ABC 是锐角三角形.(2)∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，∴原式=(1+22)2－221－1=0.5. 23.解：24.解：25.解：。

2020中考数学一轮专项复习——解直角三角形1．（2019资阳中考第22题11分）如图，南海某海域有两艘外国渔船A、B在小岛C的正南方向同一处捕鱼．一段时间后，渔船B沿北偏东30°的方向航行至小岛C的正东方向20海里处．（1）求渔船B航行的距离；（2）此时，在D处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船，其中B渔船在点D的南偏西60°方向，A渔船在点D的西南方向，我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域．请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离．（注：结果保留根号）2．（2019宜宾第21题8分）如图，为了测得某建筑物的高度AB，在C处用高为1米的测角仪CF，测得该建筑物顶端A的仰角为45°，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A的仰角为60°．求该建筑物的高度AB．（结果保留根号）3．（2019眉山第22题8分）如图，在岷江的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度i=1∶2的山坡CF，点C与点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内.某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A 的仰角为450，然后沿坡面CF上行了205米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为300，求楼AB4．（2019遂宁中考第21题9分）汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i＝1：1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i＝1：，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）5．在某校组织的“交通安全宣传教育月”活动中，八年级数学兴趣小组的同学进行了如下的课外实践活动．具体内容如下：在一段笔直的公路上选取两点A、B，在公路另一侧的开阔地带选取一观测点C，在C处测得点A位于C点的南偏西45°方向，且距离为1002米，又测得点B位于C点的南偏东60°方向．已知该路段为乡村公路，限速为60千米/时，兴趣小组在观察中测得一辆小轿车经过该路段用时13秒，请你帮助他们算一算，这辆小车是否超速？(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，计算结果保留两位小数)6．小宇想测量位于池塘两端的A、B两点间的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF＝45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF＝60°.若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B 两点的距离．7．为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260 mm ～300 mm 含(300 mm)，高度的范围是120 mm ～150 mm(含150 mm)．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB ，CD 分别垂直平分踏步EF ，GH ，各踏步互相平行，AB ＝CD ，AC ＝900 mm ，∠ACD ＝65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．(结果精确到1 mm ，参考数据：sin 65°≈0.906，cos 65°≈0.423)，8.某挖掘机的底座高0.8AB =米，动臂 1.2BC =米， 1.5CD =米，BC 与CD 的固定夹角∠BCD =140°．初始位置如图 1,斗杆顶点D 与铲斗顶点E 所在直线DE 垂直地面AM 于点E ，测得∠CDE =70°(示意图 2)．工作时如图 3，动臂BC 会绕点B 转动，当点 A ，B ，C 在同一直线时，斗杆顶点D 升至最高点(示意图 4)． (1)求挖掘机在初始位置时动臂BC 与AB 的夹角∠ABC 的度数． (2)问斗杆顶点D 的最高点比初始位置高了多少米(精确到 0.1米)?（考数据：sin 500.77≈，cos500.64≈，sin 700.94≈，cos700.34≈）参考答案1．（2019资阳中考第22题11分）如图，南海某海域有两艘外国渔船A、B在小岛C的正南方向同一处捕鱼．一段时间后，渔船B沿北偏东30°的方向航行至小岛C的正东方向20海里处．（1）求渔船B航行的距离；（2）此时，在D处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船，其中B渔船在点D的南偏西60°方向，A渔船在点D的西南方向，我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域．请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离．（注：结果保留根号）【解析】（1）由题意得，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，BC＝20，∴AB＝2BC＝40海里，答：渔船B航行的距离是40海里；（2）过B作BE⊥AE于E，过D作DH⊥AE于H，延长CB交DH于G，则四边形AEBC和四边形BEHG是矩形，∴BE＝GH＝AC＝20，AE＝BC＝20，设BG＝EH＝x，∴AH＝x+20，由题意得，∠BDG＝60°，∠ADH＝45°，∴x，DH＝AH，∴20+x＝x+20，解得：x＝20，∴BG＝20，AH＝20+20，∴BD＝＝40，AD＝AH＝20+20，答：中国渔政船此时到外国渔船B的距离是40海里，到外国渔船A的距离是（20+20）海里．2．（2019宜宾第21题8分）如图，为了测得某建筑物的高度AB，在C处用高为1米的测角仪CF，测得该建筑物顶端A的仰角为45°，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A的仰角为60°．求该建筑物的高度AB．（结果保留根号）【解析】设AM＝x米，在Rt△AFM中，∠AFM＝45°，∴FM＝AM＝x，在Rt△AEM中，tan∠AEM ＝，则EM ＝＝x，由题意得，FM﹣EM＝EF，即x ﹣x＝40，解得，x＝60+20，∴AB＝AM+MB＝61+20，答：该建筑物的高度AB为（61+20）米．3．（2019眉山第22题8分）如图，在岷江的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度i=1∶2的山坡CF，点C与点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内.某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A 的仰角为450，然后沿坡面CF上行了205米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为300，求楼AB的高度.【解析】在Rt △DEC 中，∵i ＝DE ∶EC ＝1∶2, 且DE 2+EC 2＝DC 2，∴ DE 2+（2 DE ）2＝（205）2， 解得：DE ＝20m ，EC ＝40m , ………………2分 过点D 作DG ⊥AB 于点G ，过点C 作CH ⊥DG 于点H, ………………………………………3分 则四边形DEBG 、DECH 、BCHG 都是矩形∵∠ACB ＝450, AB ⊥BC, ∴AB ＝BC, ……………………………………………………4分 设AB ＝BC ＝x m ，则AG ＝(x －20)m ，DG ＝(x+40)m ， 在Rt △ADG 中， ∵DGAG＝tan ∠ADG, ∴4020+-x x ＝33, 解得：x ＝50+303.……………………………………………………7分 答：楼AB 的高度为（50+303）米 ……………………………………………………8分4．（2019遂宁中考 第21题 9分）汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A 至B 共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm ，斜坡AB 的坡度i ＝1：1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF 的坡度i ＝1：，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）【解答】解：过A 作AH ⊥BC 于H ，过E 作EH ⊥BC 于G ， 则四边形EGHA 是矩形，∴EG ＝AH ，GH ＝AE ＝2，∵AB ＝30×30＝900cm ＝9米，∵斜坡AB 的坡度i ＝1：1，∴AH ＝BH ＝，∴BG ＝BH ﹣HG ＝，∵斜坡EF 的坡度i ＝1：，∴FG ＝，∴BF ＝FG ﹣BG ＝﹣，∴S 梯形ABFE ＝（2+﹣）×＝， ∴共需土石为×200＝50（81﹣81+36）立方米．5．在某校组织的“交通安全宣传教育月”活动中，八年级数学兴趣小组的同学进行了如下的课外实践活动．具体内容如下：在一段笔直的公路上选取两点A 、B ，在公路另一侧的开阔地带选取一观测点C ，在C 处测得点A 位于C 点的南偏西45°方向，且距离为1002米，又测得点B 位于C 点的南偏东60°方向．已知该路段为乡村公路，限速为60千米/时，兴趣小组在观察中测得一辆小轿车经过该路段用时13秒，请你帮助他们算一算，这辆小车是否超速？(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，计算结果保留两位小数)【解析】 如图，作CD ⊥AB 于点D ．∵在Rt △ADC 中，∠ACD ＝45°，AC ＝1002，∴CD ＝AC ·cos ∠ACD ＝22AC ＝100，∴AD ＝CD ＝100.∵在Rt △CDB 中，∠BCD ＝60°， ∴∠CBD ＝30°， ∴BD ＝3CD ＝1003.∴AB ＝AD ＋BD ＝100＋1003＝100(3＋1)≈273.又∵小轿车经过AB 路段用时13秒， ∴小轿车的速度为27313＝21米/秒．而该路段限速为60千米/时≈16.67米/秒， ∵21＞16.67，∴这辆小轿车超速了．6．小宇想测量位于池塘两端的A 、B 两点间的距离．他沿着与直线AB 平行的道路EF 行走，当行走到点C 处，测得∠ACF ＝45°，再向前行走100米到点D 处，测得∠BDF ＝60°.若直线AB 与EF 之间的距离为60米，求A 、B 两点的距离．【解析】 作AM ⊥EF 于点M ，作BN ⊥EF 于点N ，如图所示，由题意可得，AM ＝BN ＝60米，CD ＝100米，∠ACF ＝45°，∠BDF ＝60°， ∴CM ＝AMtan 45°＝601＝60米，DN ＝BN tan 60°＝603＝203米，∴AB ＝CD ＋DN －CM ＝100＋203－60＝(40＋203)米，即A 、B 两点间的距离是(40＋203)米．7．为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260 mm ～300 mm 含(300 mm)，高度的范围是120 mm ～150 mm(含150 mm)．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB ，CD 分别垂直平分踏步EF ，GH ，各踏步互相平行，AB ＝CD ，AC ＝900 mm ，∠ACD ＝65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．(结果精确到1 mm ，参考数据：sin 65°≈0.906，cos 65°≈0.423)，【解析】 连接BD ，作DM ⊥AB 于点M ，∵AB ＝CD ，AB ，CD 分别垂直平分踏步EF ，GH ， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠C ＝∠ABD ，AC ＝BD ， ∵∠C ＝65°，AC ＝900， ∴∠ABD ＝65°，BD ＝900，∴BM ＝BD ·cos 65°≈900×0.423≈381，DM ＝BD ·sin 65°≈900×0.906≈815，∵381÷3＝127,120<127<150， ∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，∵815÷3≈272,260<272<300， ∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．8.某挖掘机的底座高0.8AB =米，动臂 1.2BC =米， 1.5CD =米，BC 与CD 的固定夹角∠BCD =140°．初始位置如图 1,斗杆顶点D 与铲斗顶点E 所在直线DE 垂直地面AM 于点E ，测得∠CDE =70°(示意图 2)．工作时如图 3，动臂BC 会绕点B 转动，当点 A ，B ，C 在同一直线时，斗杆顶点D 升至最高点(示意图 4)． (1)求挖掘机在初始位置时动臂BC 与AB 的夹角∠ABC 的度数． (2)问斗杆顶点D 的最高点比初始位置高了多少米(精确到 0.1米)?（考数据：sin 500.77≈，cos500.64≈，sin 700.94≈，cos700.34≈）8.。