复习:圆的基本性质
灵宝实验中学许怀权
导入: 同学们,我们中国人对圆情有独衷,因为它寓意着团圆、完美、和谐，而数学中，圆以简洁的曲线之中，却蕴含神奇多彩的数学知识。今天我们再次走进圆的世界，共同复习圆的基本性质。
一．复习目标:
1.复习圆的有关概念,掌握圆的基本性质。
2.理解圆的对称性，掌握圆的四个定理。
3.会运用圆的基性质定理进行推理和计算。
千里之行，始于足下。明确了目标，就让我们从知识梳理开始今天的复习之旅！二．知识梳理
1.以小组为单位共同复习圆的一组概念。（组里互查,教师出示四个图形检查）
2.两个特性：同学观察两个图形回答一下问题：
(1)圆是______ 图形,经过_____________是它的对称轴.圆有_______对称轴.
(2)圆是_________ 图形,并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合,即____________
(3)跟踪练习,概念解读：
1.下列说法正确的是______________ :
（1）直径是弦，弦也是直径；
（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆；
（3）两条等弧的长度相等，但长度相等的弧不一定是等弧；
（4）顶点在圆心上的角为圆心角，顶点在圆周上的角为圆周角；
（5）圆的对称轴是它的直径。
3.四个定理：
(1) 垂径定理及其推论:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
推论：平分弦（弦不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分弦所对的两条弧。
提问：○1.联想垂径定理基本图形是什么
○2.根据图说说几何语言怎么叙述？
∵CD 是直径 ①经过圆心
CD ⊥AB ②垂直于弦
∴AP=BP ③平分弦（不是直径）
④平分优弧
⑤平分劣弧
○
3你能从这几个条件中任选两个推出其它的结论吗？ 找几个同学说说，由此总结： （知二，得三）
○
4.垂径定理的几个基本图形：
○
5.定理辨析：下列说法正确吗？为什么？ （1）过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂线平分它所对的两条弧；
（3）过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；
（4）垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧
○
6.典例精析 例1.某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块20cm 厚的砖塞在两侧他量的两砖之间的距离刚好是 80cm ，聪明的你算出大石头的半径是（ ）
A.40cm
B.30cm
C.20 cm
D.50cm
先独立完成然后找学生讲解，最后老师进行解题方法总结。
解题策略：求圆中的弦、弦心距、和半径时，通过连半径，作垂直，
构造垂径定理基本图形，用方程思想解题。
学以致用 备战中招（一）
1.（2015.盐城）如图,AB 是⊙O 的直径,CD 为弦, DC ⊥AB 于E,则下列结论不一定正确( ) A.∠COE=∠DOE B.CE=DE
⌒ ⌒
C.OE=BE
D.BD=BC
2.如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8厘米，圆心O 到AB 的距离为3厘米，⊙O 的半径____厘米。
O B A C D O B C
A O
B
C A
D
E D C
O A B E
O D B C A
(2). 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。○1.由圆心角相等你可以得到什么结论？
学生归纳：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
○2．你能有中选取一个结论推出其它的结论吗？
同学讨论，归纳：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧、弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．（简称知“一”得“三”）。
○3.圆心角定理哪里用？应用中要注意什么?
(1)定理用来证弧相等，角相等、线段相等
(2) 定理和推论成立的前提是在同圆或等圆中。
3.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的_圆周角相等，都等于圆心角的一半。看图完成:○1. 如果∠AOB=106°，则∠C1= ____，∠C2 =____
.○2在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角和圆周角之间有什么关系?
○3.圆周角定理变形：
学以致用备战中招（二）⌒
1.如图所示，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在AmB上,则∠C=------ 。
2. 2.如图，已知AB为⊙O的直径，∠CAB＝30°，则∠D＝_________.
解题策略：求圆周角的方法：常常是找出或构造出同弧所对的圆心角
（或圆周角），遇到有直径常会转化成直角三角形来解决。
4.圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补；一个外角等于它的内对角。
提问：
1.一个圆都有___ 个内接四边形.
2.所有的四边形都有外接圆吗？
3.只有________的四边形才有外接圆
学以致用备战中招（三）
1.已知⊙O中弦AB长等于圆的半径，那么弦AB所对的圆周角为( )
A.60°
B.150°
C.30°
D.30°或150°
2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=( )
A．35° B.70°
C．110° D.140°
解题策略：圆内接四边形的性质是证明角相等的重要方法，
在应用是要注意和圆周角定理结合起来。
三.总结反思拓展升华
本节课复习了哪些知识？
四.考点透析中考展望
开启中招成功之门的钥匙有三：1.良好的心态，2.勤奋的精神，3.科学的方法，而其中最快捷，最有效的方法就是对历年来的中招考点进行深入透彻的分析：本节知识一直是中考的必考内容，主要考察垂径定理，圆心角，圆周角的直接运用，常与直角三角形，等腰三角形的知识进行综合命题，题型主要是填空题和选择题。
预计在2016年的中考命题中，对垂经定理、圆心角、圆周角之间的关系仍会有所涉及。
四.真题演练助你成功
1.（2015.海南）如图,在半径为5cm的圆中,圆心O到弦AB的距离为3cm,则弦AB的长为_________
2.(2011.乐山)如图，CD是⊙O的弦，直径AB⊥CD，若∠BOC＝40°，则∠ABD＝______
3.(201
4.天津）已知⊙O的直径为10，点A,B,C在
⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O与点D.
(1)如图，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；
(2)如图，若∠CAB= 60°，求BD的长。
结束语：没有做不到，只有想不到，没有比脚更高的山，只有比脚更长的路，相信自己，用信心点燃我们的希望，用青春化做无穷的力量，九年磨砺，立志凌绝顶，百日竞渡，破浪展雄风！希望同学们在今年的六月园自己的中招梦想！
教后点评:复习课不能简单是知识的重复讲解,而是通过复习把教材中各部分知识进行归纳整理,已达到巩固提高,融汇贯通的目的.本节课从整体上看体现了素质教育的教学思想，营造了和谐、互动、探究、创新的良好的学习情境和氛围,设计条理清晰，层次分明,主要有以下几方面的亮点：1、教师课堂上的教态亲切、快活、庄重，富有感染力,语言准确清楚，精炼，生动形象，有启发性。2.重视复习内容组织和设计, 明确目标,精心设计,把复习内容精炼成三个知识点,注重复习巩固，找准新旧链接教师组织学生进行知识梳理,回忆旧知，从学生已有的经验和已有的知识背景出发，找准新知的最佳切入点，为知识的迁移做好铺垫,从知识的运用中提升兴趣。3、在问题解决的过程中，突出过程和方法的引导,引导学生提炼解决问题中蕴含的数学方法,发现知识的内在联系,以达到事半功倍的效果。
O
A B
C
复习:圆的基本性质 灵宝实验中学许怀权 导入: 同学们,我们中国人对圆情有独衷,因为它寓意着团圆、完美、和谐，而数学中，圆以简洁的曲线之中，却蕴含神奇多彩的数学知识。今天我们再次走进圆的世界，共同复习圆的基本性质。 一．复习目标: 1.复习圆的有关概念,掌握圆的基本性质。 2.理解圆的对称性，掌握圆的四个定理。 3.会运用圆的基性质定理进行推理和计算。 千里之行，始于足下。明确了目标，就让我们从知识梳理开始今天的复习之旅！二．知识梳理 1.以小组为单位共同复习圆的一组概念。（组里互查,教师出示四个图形检查） 2.两个特性：同学观察两个图形回答一下问题： (1)圆是______ 图形,经过_____________是它的对称轴.圆有_______对称轴. (2)圆是_________ 图形,并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合,即____________ (3)跟踪练习,概念解读： 1.下列说法正确的是______________ : （1）直径是弦，弦也是直径； （2）半圆是弧，但弧不一定是半圆； （3）两条等弧的长度相等，但长度相等的弧不一定是等弧； （4）顶点在圆心上的角为圆心角，顶点在圆周上的角为圆周角； （5）圆的对称轴是它的直径。 3.四个定理： (1) 垂径定理及其推论:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 推论：平分弦（弦不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分弦所对的两条弧。 提问：○1.联想垂径定理基本图形是什么 ○2.根据图说说几何语言怎么叙述？
∵CD 是直径 ①经过圆心 CD ⊥AB ②垂直于弦 ∴AP=BP ③平分弦（不是直径） ④平分优弧 ⑤平分劣弧 ○ 3你能从这几个条件中任选两个推出其它的结论吗？ 找几个同学说说，由此总结： （知二，得三） ○ 4.垂径定理的几个基本图形： ○ 5.定理辨析：下列说法正确吗？为什么？ （1）过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂线平分它所对的两条弧； （3）过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧； （4）垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧 ○ 6.典例精析 例1.某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块20cm 厚的砖塞在两侧他量的两砖之间的距离刚好是 80cm ，聪明的你算出大石头的半径是（ ） A.40cm B.30cm C.20 cm D.50cm 先独立完成然后找学生讲解，最后老师进行解题方法总结。 解题策略：求圆中的弦、弦心距、和半径时，通过连半径，作垂直， 构造垂径定理基本图形，用方程思想解题。 学以致用 备战中招（一） 1.（2015.盐城）如图,AB 是⊙O 的直径,CD 为弦, DC ⊥AB 于E,则下列结论不一定正确( ) A.∠COE=∠DOE B.CE=DE ⌒ ⌒ C.OE=BE D.BD=BC 2.如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8厘米，圆心O 到AB 的距离为3厘米，⊙O 的半径____厘米。 B
圆的知识点及基础训练 第一节 圆 第二节 圆的轴对称性 第三节 圆心角 第四节 圆周角 第五节 弧长及扇形的面积 第六节 侧面积及全面积 六大知识点： 1、圆的概念及点与圆的位置关系 2、三角形的外接圆 3、垂径定理 4、垂径定理的逆定理及其应用 5、圆心角的概念及其性质 6、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 【课本相关知识点】 1、圆的定义：在同一平面，线段OP 绕它固定的一个端点O ，另一端点P 所经过的 叫做圆，定点O 叫做 ，线段OP 叫做圆的 ，以点O 为圆心的圆记作 ，读作圆O 。 2、弦和直径：连接圆上任意 叫做弦，其中经过圆心的弦叫做 ， 是圆中最长的弦。 3、弧：圆上任意 叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做 。小于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来，大于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母和中间的字母，再加上“⌒”就可表示出来。 4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆 5、点与圆的三种位置关系： 若点P 到圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，则： 点P 在⊙O 外 ； 点P 在⊙O 上 ； 点P 在⊙O 。 6、线段垂直平分线上的点 距离相等；到线段两端点距离相等的点在 上 7、过一点可作 个圆。过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。 8、过 的三点确定一个圆。 9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 。三角形的外心是三角形三条边的 【典型例题】 【题型一】证明多点共圆 例1、已知矩形ABCD ，如图所示，试说明：矩形ABCD 的四个顶点A 、B 、C 、D 在同一个圆上 【题型二】相关概念说法的正误判断 例1、（中考数学）有下列四个命题：① 直径是弦；② 经过三个点一定可以作圆；③ 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④ 半径相等的两个半圆是等弧。其中正确的有（ ）A.4个 B.3个 C.3个 D.2个 例2、下列说法中，错误的是（ ） A.直径是弦 B.半圆是弧 C.圆最长的弦是直径 D.弧小于半圆 例3、下列命题中，正确的是（ ） A ．三角形的三个顶点在同一个圆上 B ．过圆心的线段叫做圆的直径 C ．大于劣弧的弧叫优弧 D ．圆任一点到圆上任一点的距离都小于半径 例4、下列四个命题：① 经过任意三点可以作一个圆；② 三角形的外心在三角形的部；③ 等腰三角形的外心必在底边的中线上；④ 菱形一定有外接圆，圆心是对角线的交点。其中真命题的个数（ ） A.4个 B.3个 C.3个 D.2个 7、圆周角定理 8、圆周角定理的推论 9、圆锥的侧面积与全面积
24.1.3 弧、弦、圆心角 教学内容 1．圆心角的概念． 2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中,?相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等． 3．定理的推论：在同圆或等圆中,如果两条弧相等,?那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等． 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等． 教学目标 了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中,圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等,及其它们在解题中的应用． 通过复习旋转的知识,产生圆心角的概念,然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等,最后应用它解决一些具体问题． 重难点、关键 1．重点：定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,?所对弦也相等及其两个推论和它们的应用． 2．难点与关键：探索定理和推导及其应用． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下题． 已知△OAB,如图所示,作出绕O 点旋转30°、45°、60°的图形． 老师点评：绕O 点旋转,O 点就是固定点,旋转30°,就是旋转角∠BOB ′=30°． 二、探索新知 如图所示,∠AOB 的顶点在圆心,像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． （学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题： 如图所示的⊙O 中,分别作相等的圆心角∠AOB?和∠A?′OB?′将圆心角∠ AOB 绕圆心O 旋转到∠A ′OB ′的位置,你能发现哪些等量关系？为什么？ AB =''A B ,AB=A ′B ′ 理由：∵半径OA 与O ′A ′重合,且∠AOB=∠A ′OB ′ ∴半径OB 与OB ′重合 ∵点A 与点A ′重合,点B 与点B ′重合 ∴AB 与''A B 重合,弦AB 与弦A ′B ′重合 ∴AB =''A B ,AB=A ′B ′ 因此,在同一个圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等． 在等圆中,相等的圆心角是否也有所对的弧相等,所对的弦相等呢？?请同学们现在动手作一作． （学生活动）老师点评：如图1,在⊙O 和⊙O ′中,?分别作相等的圆心 角∠AOB 和∠A ′O ′B ′得到如图2,滚动一个圆,使O 与O ′重合,固定圆心,将其中的一个圆旋转一个角度,使得OA 与O ′A ′重合． B A O B '
第七单元圆 第28课时圆的有关性质 教学目标 【考试目标】 1.理解圆、弧、圆心角、圆周角的概念，了解等弧、等圆的概念； 2.掌握垂径定理； 3.了解圆周角定理及其推论：圆周角及圆心角及其所对弧的关系、直径所对圆周角的特征,圆内接四边形的对角互补. 【教学重点】 1.掌握圆的有关概念. 2.掌握垂径定理及其推论. 3.掌握圆心角定理及圆周角定理. 4.掌握圆的内接四边形的相关知识. 教学过程 一、体系图引入，引发思考 二、引入真题、归纳考点 【例1】（2016年永州）如图，在⊙O中， A，B是圆上的两点，已知∠AOB=40°，直 径CD∥AB，连接AC，则∠BAC= 35 度.
【解析】∵OA=OB=OC ， ∴∠OAB=∠B ，∠C=∠OAC. ∵∠AOB=40°， ∴∠B=∠OAB=70°. ∵CD ∥AB ， ∴∠BAC=∠C ， ∴∠OAC=∠BAC=0.5∠OAB=35°. 【例2】（2016年兰州）如图，在⊙O 中，点C 是 的中点，∠A=50°，则∠BOC= （A ） A.40° B.45° C.50° D.60° 【解析】(1)∵OA=OB ，∠A=50°， ∴∠B=50°， ∴∠AOB=180°-∠A-∠B=180°-50°-50°=80°. ∵点C 是 的中点， ∴∠BOC=∠AOC=0.5∠AOB =40°. 【例3】（2016年义乌）如图1，小敏利用课余时间 制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的 脸盆及架子的交点为A ，B ，AB=40cm ，脸盆的最低 点C 到AB 的距离为10cm ，则该脸盆的半径为 cm. 【解析】如图，设圆的圆心为O ，连接OA ，OC ，OC 及AB 交于点D ， 设⊙O 半径为R ， ∵OC ⊥AB ，∴AD=DB=0.5AB=20， ∠ADO=90°，在Rt △AOD 中， ∵OA2 =OD2 +AD2 ， ∴R2=202+(R ﹣10)2， ∴R=25． 故答案为25． 【例4】（2015年江西）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上， CO 的延长线交AB 于点D ，∠A=50°,∠B=30°， 则∠ADC 的度数为 110° . 【解析】∵∠A=50°， 根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=100°， 而∠BOC 是△BO D 的一个外角， AB AB
D. 120 AC=6cm , AD 平分/ BAC ，贝U AD 的长为（ A . ^/"^m B. ^/"^m 6.在O O 中，圆心角/ AOB=90°，点O 到弦A B 的距离为4,则O O 的直径的长为（ C . D . 4 cm A.4 B.8 C.24 D.16 二、填空题 1.已知圆O 的半径为5,弦AB 的长为5,则弦AB 所对的圆心角/ AOB = 2. ■如图，AB 是 O O 的直径，B C =Bb, / A=25 则/ BOD= 弧、弦、圆心角 知识点 1、 圆心角定义：顶点在 _________ 的角叫做圆心角 2、 定理：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 对应的其余各组量也分别 、选择题 1. 如果两个圆心角相等，那么（ A .这两个圆心角所对的弦相等 B ?这两个圆心角所对的弧相等 C .这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D ?以上说法都不对 2. 下列语句中不正确的有（ ①相等的圆心角所对的弧相等 条直径所在直线都是它的对称轴 A.3个 B.2个 24.1 圆（第三课时） ，它们所 ） ②平分弦的直径垂直于弦 ③圆是轴对称图形，任何一 ④长度相等的两条弧是等弧 C.1个 D.以上都不对 3.已知篦、是同圆的两段弧, 且篦=2丘5，则弦AB 与CD 之间的关系为（ ） A. AB=2CD B. AB<2CD C. AB>2CD D.不能确定 4.如图，AB 是 O O 的直径，C, D 是BE 上的三等分点，/ AOE=60 °，则/ COE 是（ 80 AB=10cm ，弦
1 3. 在O O 中，弦AB 所对的劣弧为圆周的 一，圆的半径等于12,则圆心角/ AOB = 4 弦AB 的长为 4.如图，在O O 中，AB =AC , / B=70 °则/ A 等于 5.如图，AB 和DE 是OO 的直径，弦 AC DE ，若弦BE=3，则弦CE= 6.等腰△ ABC 的顶角/ A = 120°,腰AB= AC = 10,A ABC 的外接圆半径等于 三、解答题 ,AB = AC ，/ACB= 60°，求证/ AOB =/ BOC =/ AOC. 1、如图，在O O 中 2、如图，在O O 中, B B A C B
《圆的有关概念》教学设计 一、教材分析： 本节课是人教版《义务教育课程标准实验教科书》九年级上册第二十四章圆第一节内 容，圆的定义和有关概念，是圆的第一节第一课时。因为学生在小学中已经学过圆的一些 知识，对圆已有初步的了解，本课时的内容也较为简单。这节课概念较多，是今后进一步 学习圆的相关内容的基础，因此在教材的处理上，不能盲目忽略这一节，结合小学中学习 的内容、生活中的实例来学习这一节。根据《数学课程标准》的要求，结合以上分析从而 确定教学目标。 二、教法分析： 新的课程标准指出，数学课程不仅要考虑到数学自身的特点，更应遵循学生学习数学 的心理规律，从学生已有的生活经验出发，通过自主探索与合作交流的形式，使学生乐于 投入到数学活动中去。为此我联系学生生活实际创设问题情境引入新课，使大多数学生在 问题情境中自然的进入新课，引起学生学习的兴趣；通过教师问题的设置，抓住学生已有 的知识点，在学生主动参与，教师引导下，使学生更好掌握新知识，培养学生的探索精神； 经过学生合作学习，共同探究新知识，培养学生与他人合作的意识。结合我校的“学——讲——练”教学模式学习圆的有关概念，最后利用新的知识解决问题。采用直观教具和多媒体 演示，使学生获得直观印象便于学生理解新知。 三、学情分析 学生在小学中学过圆的一些知识，对于圆已经有进步的了解，并会利用圆规画面，经历 了在操作活动中探索圆的性质的过程。初步了解圆所具有的一些性质，并会用自己的语言 加以简单描述，初步具有了有条理地思考与表达的能力，为本章的深入学习奠基了基础圆是一种基本的几何图形，圆形物体在生活中随处可见。学生通过观察体会现实生活中 圆形物体所具有的性质。获得了初步的数学活动体验。因此，圆这部分知识得以从小学到 初中的顺利过渡，并以积极的态度投入到初中数学的学习，具有了一定的主动参与、合作 意识和初步的观察、分析抽象概括的能力。通过一系列不同问题，采用自主学习与合作学
24.1圆的有关性质 24．1.1圆 教学目标 1．理解圆、弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念． 2．能初步应用“同圆的半径相等”及“圆心是任一直径的中点”进行简单的证明和计算． 教学重点 圆的有关概念． 教学难点 圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的区别与联系． 教学设计一师一优课一课一名师(设计者：) 教学过程设计 一、创设情景明确目标 圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象． 请你举出生活中一些圆的例子．从本节课开始，我们将会更清楚地了解圆以及一些相关的概念和性质． 二、自主学习指向目标 1．自学教材第79至80页． 2．学习至此：请完成学生用书“课前预习”部分． 三、合作探究达成目标 探究点一圆的定义及表示 活动一：圆的定义． 图1 (1)从旋转的角度理解：如图1，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O__旋转一周__，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做__圆心__，线段OA叫做__半径__． 【展示点评】①在平面内画出圆，必须明确圆心和半径两个要素，__圆心__确定位置，__半径__确定大小． ②以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．那么以点A为圆心的圆，记作__⊙A__，读作__圆A__． (2)从集合的观点理解：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有__到定点O的距离等于定长r__的点的集合． 【小组讨论】圆和圆面有何不同？如何证明几个点在同一个圆上？ 【反思小结】线段OA绕它的固定的一个端点O旋转一周所形成的图形叫做圆面，而圆是一个封闭的曲线图形，指的是圆周．证明几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到一个定点的距离________．
圆的有关性质 一、引言 与圆有关的知识，初中我们学习了圆心角、圆周角等有关角的概念及性质，掌握了垂径定理等有关结论，会判断点与圆的位置关系，但对于直线和圆、圆与圆的位置关系及有关性质很少涉及，本讲将补充圆的有关重要性质，为后续学习作准备。 二、回顾梳理 1.圆心角及有关性质： 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦、弦心距相等。 推论：同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦或弦心距中有一组量相等，则其余各组量分别对应相等。 2.圆周角及有关性质： 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。 推论： （1） 同弧或等弧所对的圆周角相等。同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 （2） 半圆或直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。 （3） 圆的内接四边形对角互补。 3.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 （1） 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3） 弦长公式：2 22:1-11d r l l d r -=的关系和弦长，弦心距，圆的半径如图 （4） 若圆心为O ，半径为R ，则点P 与圆O 的位置关系的判断： R 。 |OP|P R;|OP|P R; |OP|P >?=?
三、衔接拓展 1. 圆内外角、圆外角和弦切角及性质： （1）圆内角：如果角的顶点在圆内，.2 1 2 -11）（，如图COD AOB APB ∠+∠=∠ （2）圆外角：如果角的顶点在圆外，且角的两边都与同一个圆相交， .-2 13-11）（即为圆外角，且，如图AOB COD APB APB ∠∠=∠∠ （3）弦切角：顶点在圆上，角的一边与圆相交，另一边与圆相切， .2 1 4-11AOT TBA PTA PTA ∠=∠=∠∠即为弦切角，且，如图 2. 直线和圆的位置关系： . ;;1R d O l R d O l R d O l d l O O R l >?=?
双曲线的定义及性质练习题 一．选择题（共20小题） 1．已知两定点F1（﹣5，0），F2（5，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=2a，则当a=3和5时，P点的轨迹为（） A．双曲线和一条直线B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条直线D．双曲线的一支和一条射线 2．双曲线的渐近线方程为（） A． B． C． D． 3．如果方程表示双曲线，则m的取值范围是（） A．（2，+∞）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣∞，﹣1）D．（1，2） 4．已知点P在曲线C1：上，点Q在曲线C2：（x﹣5）2+y2=1上，点R 在曲线C3：（x+5）2+y2=1上，则|PQ|﹣|PR|的最大值是（） A．6 B．8 C．10 D．12 5．在△ABC中，已知A（﹣4，0），B（4，0），且sinA﹣sinB=，则C的轨 迹方程是（） A．B． C．D． 6．已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为（） A．B．C．D．
7．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（） A．B．C．D． 8．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）A．B．C．D． 9．已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x 轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（） A．B．C．D．2 10．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（） A．B．C． D． 11．将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m （m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（） A．对任意的a，b，e1＞e2 B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2 C．对任意的a，b，e1＜e2 D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2 12．已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（） A．B．3 C．m D．3m
初三数学总复习教案－圆的有关性质 教学目标 : 知识目标： （1）理解圆、等圆、等弧等概念及圆的对称性，掌握点和圆的位置关系； （2）掌握垂径定理及其逆定理和圆心角，弧，弦，弦心距及圆周角之间的主要关系；掌握圆周角定理并会用它们进行计算； （3）掌握圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角的性质。 （4）会用尺规作三角形的外接圆；了解三角形的外心的概念. 能力目标： 通过知识点和典型题的讲练，使学生熟练掌握本节课的知识点，再用题图变形与题组训练来培养学生综合运用知识的能力以及思维的灵活性和广阔性。 情感目标： 通过题图变形与题组训练来激发学生学习数学的兴趣；同时将课本的题目与中考题结合在教学当中以进一步向学生强调“依纲靠本”的复习指导思想，强化学生的中考意识。知识结构 圆 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - ? ? ? 圆周角定理 的弧的概念 距的关系 圆心角、弦、弧、弦心 旋转不变性 垂径定理 轴对称 性质 点的轨迹 不在同一直线上的三点 定义 ο 1 圆内接四边形及性质 重点、热点 垂径定理及推论；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理. 运用圆内接四边形的性质解有关计算和证明题. 【典型例析】 例1.（1）[2002.广西] 如图7.1-1.OE、OF分别是⊙O的弦AB、CD的弦心距，若OE=OF，则（只需写出一个正确的结论）. （2）[2002. 广西] 如图7.1-2.已知，AB为⊙O的直径，D为弦AC的中点，BC=6cm,则OD= .
[特色] 以上几道中考题均为直接运用圆的有关性质解题. [解答]（1）AB=CD 或 AB=CD 或AD ＝BC, 直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理. （2）由三角形的中位线定理知OD=21BC [拓展]复习中要加强对圆的有关性质的理解、运用. 例2.（1）[2002.大连市]下列命题中真命题是（ ）. A. 平分弦的直径垂直于弦 B.圆的半径垂直于圆的切线 C.到圆心的距离大于半径的点在圆内 D.等弧所对的圆心角相等 （2）[2002.河北] 如图7.1-3.AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 弦，若AB=10cm,CD=8cm ，那么A 、B 两点到直线CD 的距离之和为（ ）. A.12cm B.10cm C.8cm D.6cm (3)[2002.武汉市] 已知如图7.1-4圆心角∠BOC=100ο，则圆周角∠BAC 的度数是（ ）. A. 50ο B.100ο C.130ο D.200ο [特色]着眼于基本知识的考查和辨析思维的评价. [解答] （1） D （考查对基本性质的理解）. (2) D (过O 作OM ⊥CD ，连结OC ，由垂径定理得CM= 2 1CD=4，由勾股定理得OM=3，而AB 两点到CD 的距离和等于OM 的2倍) (3) A (由圆周角定理可得) [拓展] 第（2）题中，涉及圆的弦一般作弦心距. 例3.[2002.广西南宁市]圆内接四边形ABCD ，∠A 、∠B 、∠C 的度数的比是1∶2∶3，则这个四边形的最大角是 . [特色]运用圆内接四边形的性质进行简单计算. [解答]设A=x ，则∠B=2x,∠C=3x . ∵∠A+∠C=180ο， ∴x+3x=180ο， ∴ x=45ο. ∴∠A=45ο， ∠ B=90ο， ∠C=135ο， ∠ D=90ο.
垂径定理 知识点 1、 垂径定理：垂直于弦的直径 _____________ ，并且平分弦所对的 _ 2、 推论：平分弦（不是直径）的直径 ______________ ，并且平分弦所对的 【特别注意：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦 ⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意 解题过程中的灵活运用；2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的垂线； 3、垂径定理常用作计 算，在半径r 、弦a 、弦心d 和■拱高h 中已知两个可求另外两个】 C , AB=4 , 0C=1，贝U OB 的长是( 3.在半径为5cm 的圆中，弦 AB // CD,AB=6cm , CD=8cm ，贝U AB 和CD 的距离是 A.7cm B.1cm C.7cm 或 4cm 5. 如图，AB 是O O 的直径，弦 CD 丄AB ，垂足为 M ，下列结论不成立的是（ 24.1 圆（第二课时） 2.如图，O O 的半径为5, .弦 AB=8, A.2 B.3 A CD B M 是弦AB 上的动点，则 OM 不可能为（ C.4 D.5 ). D.7cm 或 1cm 4.如图，AB 是O O 的弦，半径 OA = 2, / -AOB = 120 °，则弦 AB 的长是（ ). B (B) 2J3 (c) 75 ). A . CM=DM B . CB = DB C . / ACD= / ADC D . OM =MD 、选择题 OC 丄弦AB 于点
AB 为O O 的直径，弦CD 丄AB 于E ,已知CD=12 , BE=2，则O O 的直径为（ ） B . 10 C . 16 D . 20 6.如图，在半径为 则OP 的长为（ 5的O O 中，AB 、CD 是互相垂直的两条弦，垂足为 P ,且AB=CD=8 , ） 7.如图, A . 8 8、如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面 最深地方的高度为 2cm ，则该输水管的半径为（ ） A . 3cm B . 4cm C . AB 宽为8cm ，水面 二、填空题 1.如图，AB 是O O 的直径, 5cm D . 6cm BC 是弦，OD 丄BC ,垂足为D ,已知OD=5,则弦AC= 2、如图AB 是O O 的直径, / BAC=42。，点D 是弦AC 的中点，则/ DOC 的度数是 __________ 度. B
专题六 第二讲 圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题 A 组 1．已知方程x 2 2－k ＋y 2 2k －1 ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 ( C ) A ．(1 2，2) B ．(1，＋∞) C ．(1,2) D ．(1 2 ，1) [解析] 由题意可得，2k －1>2－k >0， 即? ?? ?? 2k －1>2－k ，2－k >0，解得1
( D ) A ． 73 B ．54 C ．43 D ．53 [解析] 由题利用双曲线的渐近线经过点(3，－4)，得到关于a ，b 的关系式，然后求 出双曲线的离心率即可．因为双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)， ∴3b ＝4a ，∴9(c 2－a 2)＝16a 2 ，∴e ＝c a ＝53 ，故选D ． (理)(2016·天津卷，6)已知双曲线x 24－y 2 b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长 为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为 ( D ) A ．x 24－3y 24＝1 B ．x 24－ C ．x 24－y 2 4 ＝1 2 －12 ＝[解析] 为矩形．双曲线的渐近线方程为 y ＝±b x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4y ＝b 2 x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝ 4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2 ＝12， D ． C 于A ，B 两点，交C 的准线于 D ， E 两点．已 ( B ) B ．4 D ．8 [解析] 由题意，不妨设抛物线方程为y 2 ＝2px (p >0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A (4p ，22)，D (－p 2，5)，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 2 4 ＋5， 得p ＝4.故选B ． (理)(2016·浙江卷，7)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2 ＝1(n >0)的焦 点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则 ( A ) A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1
24.1.4 圆周角 【知识与技能】 理解圆周角的概念.探索圆周角与同弧所对的圆心角之间的关系,并会用圆周角定理及推论进行有关计算和证明. 【过程与方法】 经历探索圆周角定理的过程,初步体会分类讨论的数学思想,渗透解决不确定的探索型问题的思想和方法,提高学生的发散思维能力. 【情感态度】 通过积极引导,帮助学生有意识地积累活动经验,获得成功的体验. 【教学重点】 圆周角定理及其推论的探究与应用. 【教学难点】 圆周角定理的证明中由一般到特殊的数学思想方法以及 圆周角定理及推论的应用. 一、情境导入,初步认识 如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图,人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗AB观看窗内的海洋动物,同学甲站在圆心O的位置.同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C,他们的视角（∠AOB和∠ACB）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E,他们的视角（∠ADB和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？ ［相同,2∠ACB=2∠AEB=2∠ADB=∠AOB］ 【教学说明】教师出示海洋馆图片,引导学生思考,引出课题,学生观察图形、分析,初步
感知角的特征. 二、思考探究,获取新知 1.圆周角的定义 探究1 观察下列各图,图（1）中∠APB的顶点P在圆心O的位置,此时∠APB叫做圆心角,这是我们上节所学的内容.图（2）中∠APB的顶点P在⊙O上,角的两边都与⊙O相交,这样的角叫圆周角.请同学们分析（3）、（4）、（5）、（6）是圆心角还是圆周角. 【教学说明】设计这样的一个判断角的问题,是再次强调圆周角的定义,让学生深刻体会定义中的两个条件缺一不可. 【归纳结论】圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都与圆相交.二者缺一不可. 2.圆周角定理 探究2如图,（1）指出⊙O中所有的圆心角与圆周角,并指出这些角所对的是哪一条弧？ （2）量一量∠D、∠C、∠AOB的度数,看看它们之间有什么样的关系？ （3）改变动点C在圆周上的位置,看看圆周角的度数有没有变化？你发现其中有规律吗？若有规律,请用语言叙述.
D B 圆的基本性质 基础知识回放 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 垂径定理: 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ??BC BD =??AC AD =
B 圆心角定理 圆周角定理 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论：
B A B A O 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对 的弦是直径 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 即：在△ABC 中，∵OC=OA=OB ∴△ABC 是直角三角形或∠C=90° 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜 边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 弦切角定理: 弦切角等于所夹弧所对的圆周角 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。 即：∵MN 是切线，AB 是弦 ∴∠BAM=∠BCA 切线的性质与判定定理 （1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切 线
24.1.1 圆（第一课时）教学设计 教学目标 1、知识技能：探索圆的两种定义，理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、 半圆等基本概念，能够从图形中识别． 2、过程与方法：体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系． 培养学生把实际问题转化为数学问题的能力． 3、情感与态度：在解决问题过程中使学生体会数学知识在生活中的普遍性． 重点难点： 重点: 圆的两种定义的探索，能够解释一些生活问题． 难点: 圆的运动式定义方法 教学过程： 一、情境引入 1. 圆的历史： 古代人最早是从太阳，阴历十五的月亮得到圆的概念的．那么是什么人做出第一个圆的呢？18000 年前的山顶洞人用一种尖状的石器来钻孔，一面钻不透，再从另一面钻，石器的尖是圆心，它的宽度的一半就是半径，这样以同一个半径和圆心一圈圈地转，就可以钻出一个圆的孔．到了陶器时代，多陶器都是圆的，圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的．我国古代，半坡人就已经会造圆形的房顶了．大约在同一时代，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子——圆的木轮．很早之前，人们将圆的木轮固定在木架上，这样就成了最初的车子．2 000 多年前，墨子给出圆的定义“一
中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比古希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早很多年． 2. 生活中的圆 出示一组含有圆生活图片，让学生感知图片主要部分形状，在寻找圆共同特点引入圆定义。 师生活动：学生观察图形，发现图中都有圆，然后回答问题，此时学生可以再举出一些生活中类似的图形。 设计意图：导入新课，受圆和实际生活的密切联系，同时激发学生的学习渴望以及探究热情，同时将实物抽象出几何图形，建立数学模型，引出课题。 二、新课讲授 1．圆的概念 观察下列画圆的过程，你能由此说出圆是如何画出来的吗？ 圆的概念： 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆． 固定的端点O 叫做圆心，线段OA叫做半径，以 点O 为圆心的圆，记作“⊙ O”，读作“圆O”． 注意：“圆”指的是“圆周”而不是“圆平面” . 师生活动：学生动手画圆，观察画圆的过程学生观察发现在一个平面内一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点形成的图形就是圆。并试着说出圆的定义。
4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性 质 4.4 单位圆的对称性与诱导公式 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解正弦函数、余弦函数的基本性质． 2．会借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式．(难点) 3．掌握诱导公式及其应用．(重点) 1.通过借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式，提升逻辑推理素养． 2．通过诱导公式的应用，提升数学运算素养． 1．正弦函数、余弦函数的基本性质 从单位圆看出正弦函数y ＝sin x 有以下性质 (1)定义域是R ； (2)最大值是1，最小值是－1，值域是[－1，1]； (3)它是周期函数，其周期是2k π(k ∈Z )； (4)在[0，2π]上的单调性为：在??????0，π2上是单调递增；在?????? π2，32π上是单调递减； 在???? ?? 3π2，2π上是单调递增． 同样，从单位圆也可看出余弦函数y ＝cos x 的性质． 思考1：正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少？ [提示] 设任意角x 的终边与单位圆交于点P (cos x ，sin x )，当自变量x 变化时，点P 的横坐标是cos x ，|cos x |≤1，纵坐标是sin x ，|sin x |≤1，所以正弦函数、余弦函数的最大值为1，最小值为－1. 2．诱导公式的推导
(1)诱导公式(－α，π±α)的推导 ①在直角坐标系中 α与－α角的终边关于x 轴对称； α与π＋α的终边关于原点对称； α与π－α的终边关于y 轴对称． ②公式 sin (－α)＝－sin α，cos (－α)＝cos α； sin (π＋α)＝－sin α，cos (π＋α)＝－cos α； sin (π－α)＝sin α，cos (π－α)＝－cos α． (2)诱导公式? ?? ?? π2±α的推导 ①π 2－α的终边与α的终边关于直线y ＝x 对称． ②公式 sin ? ????π2－α＝cos α，cos ? ???? π2－α＝sin α 用－α代替α并用前面公式 sin ? ????π2＋α＝cos α，cos ? ?? ?? π2＋α＝－sin α 思考2：设α为任意角，则2k π＋α，π＋α，－α，2k π－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？ [提示] 它们的对应关系如表： 相关角 终边之间的对应关系 2k π＋α与α 终边相同 π＋α与α 关于原点对称 －α与α 关于x 轴对称 2π－α与α 关于x 轴对称 π－α与α 关于y 轴对称 1．当α∈R 时，下列各式恒成立的是( ) A.sin ? ?? ?? π2＋α＝－cos α
圆的基本性质复习课 教学目标： 1、在例题的分析过程中回顾并进一步理解圆的轴对称性和旋转不变性； 2、在知识框架的建立过程中进一步掌握由这两个性质得到的垂径定理及逆定理，以及圆心角定理、圆周角定理及推论； 3、通过例题的探究，进一步培养学生的探究能力、思维能力和解决问题的能力。 4、通过课堂学习，熏陶学生乐于探究、善于总结的数学学习品质。 教学重点：圆的轴对称性、旋转不变性 教学难点：相关性质的应用 一、引入： 师：同学们已经发现，老师在黑板上画了好几个圆，我们今天上课的主角就是这些圆。圆是一切平面图形中最美的图形，它的美体现在哪些方面呢？让我们一起来感受一下。今天，老师也带来了一个圆，但圆心找不到了，你能通过折纸的方法帮老师来找到这个圆心吗？ 生：对折两次，两条折痕的交点就是圆心。 师：非常好，两条折痕其实是圆的什么？对折后能完全重合，说明圆具有什么性质？ 生：折痕是直径。圆具有轴对称性。 师：刚才这位同学其实就抓住了圆的这个性质，直径所在直线就是圆的对称轴，轻而易举地找到了这个圆心。这两条直径所夹的弧相等吗？为什么？ 生：因为它们所对的圆心角相等。 师：在一个圆中，只要圆心角相等，它们所对的弧一定相等。这说明圆具有一种旋转不变性。圆的这两种性质使得圆中五种基本量：圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间具有特殊的关系。今天这节课我们来复习圆的基本性质。—出示课题《圆的基本性质复习》。 二、圆的基本性质复习： 例1、 （1）如图，AB 是⊙O 直径，C 是⊙O 上一点，OD 是半径，且 OD//AC 。求证：CD=BD 师：在圆中，你想到用什么方法证明弦相等呢？下面我们以小组为单位，合作交流各自的想法，尽可能多角度、多途径来证明这两条弦相等。每组选派一位代表，整理组员的意见，待会来汇报展示。 （学生分组交流，一会后学生汇报成果。） 组一：连接OC ，OD AC // COD ACO BOD A , OC OA ACO A DOB COD BD CD 师：这是通过证圆心角相等，得到弦相等。还有其他证明方法吗？ 组二：连接AD ，OD AC // ， OA=OD CAD OAD ODA 弧CD=弧BD CD=BD 师：由圆周角相等，我们可以得到弧相等（或圆心角相等），从而得到弦相等。这种证法利用了圆心角、圆周角与弧的关系。在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于所对圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。这样，证弦相等，又多了两条途径：可以考虑 去证弧相等，也可以考虑去证圆周角相等。 （边总结，边在黑板上抽离基本图形）