江苏省金坛市第二中学5.3 圆周角(1)课件(苏科版九上)

2、四边形ABCD内接于⊙O，
则∠A+∠C=__1_8_0_°_ ，
A
∠B+∠ADC=_1_8_0_°___；
D E
80°
若∠B=80°，
B
C
则∠ADC=__1_0_0_°_ ，∠CDE=__8_0_°__
即 ∠ABC = 1∠AOC.
2
A
A
C
C
A C
●O
●O
●O
B
B B
• 同一圆内，同弧或等弧所对的圆周 角相等，都等于该弧所对的圆心角 的一半；
• 相等的圆周角所对的弧相等．
课前测验
1、100º的弧所对的圆心角等于_1__0_0_º__，所对的圆周角等于
__5_0_º___.
2、一弦分圆周角成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，
[推论]:
• 半圆（或直径）所对的圆周角都相等， 都等于90°(直角)；
• 90°的圆周角所对的弦是圆的直径．
例题
例1.如图，AB是⊙O的直径， ∠A＝80°． 求∠ABC的度数．
解 ：∵ AB是⊙O的直径， 而直径所对的圆周角是直角， ∴ ∠ABC＝180°－∠A－∠ACB ＝180°－80°－90° ＝10°． ∴ ∠ABC的度数是10°．
知识回顾:
1、圆周角定义: 顶点在圆上，并且 两边都和圆相交的角叫圆周角.
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
知识回顾:
2、圆心角与所对的弧的关系 3、圆周角与所对的弧的关系 4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系
如图，在⊙O中，∠BOC和∠ BFC分别是什么角？ ∠ BDC和∠ BEC又是什么角？
B
D

A
O
B
CB
A
A
O O
CB
C
已知：如图，在⊙O中，B⌒C 所对 的圆心角是 ∠BOC，所对的圆周角是 ∠BAC 求证：∠BA C= 1 ∠BOC
2
A
A
A
O
O O
B
CB
CB
C
分三种情况来证明： （1）圆心在∠BAC的一边上。
证明：∵OA=OC
A
∴ ∠A=∠C 又∵∠BOC= ∠A +∠C
O
∴∠BOC=2 ∠A 即∠A = 1∠BOC
A D
B
O
C
3、如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形 ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些
是相等的角？
∠1 = ∠4 ∠5 = ∠8
∠2 = ∠7 ∠3 = ∠6
A1
2
D
8 7
3
4
B
6 5
C
方法点拔：由同弧来找相等的圆周角
四、例 题
已知：AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D， 使AD=AB，如果∠ADB=35° 。
一. 复习引入:
视察右图：
O.
（1）∠BOC叫做 圆心角。
B
C
（2） ∠BOC的特征是顶点在 圆心上，
角的两边OB、OC是（否） 是 与圆相交。
二、探索新知 视察下图：
∠BAC的特征是什么呢？与∠BOC的 区分在哪里呢？ （1）∠BAC顶点在 圆周 上， 不 在 圆心.上。 （2）边AB与AC是（否） 是 与 圆相交。
2
B
C
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
（2）圆心在∠BAC的内部。

E,∠AOD=150°，BC为70°. 求∠ABD、∠AED的度数.
解: 在⊙O中，
A
∵∠AOD=150°，
B
∴ ∠ABD=75°.
O
E
∵ BC 为70°， ∴ ∠BDC=35°. 又∵∠ABD=∠AED+∠BDC，
C D
∴ ∠AED=∠ABD-∠BDC=75°-35°=40°.
随堂练习
1.如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是弧
所对的圆周角可以画多少个？你所画的圆周角为多少度？
试说明理由. A2
BC 所对的圆周角 可以画无数个.度量
得∠BA1C，∠BA2C， ∠BA3C都等于45°
A3
O
B
A1 C
课程讲授
1 圆周角定理
问题1：
△AOC是等腰直角 三角形，∠BAC= 1 90° = 45° 2
A O
B
C
课程讲授
1 圆周角定理
AC的中点，则∠D的度数是（ D）
A.70° B.55° C.35.5° D.35°
随堂练习
2.如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A=60°，
∠B=24°，则∠C的度数为（ D）
A.84° B.60° C.36° D.24°
随堂练习
3.如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的
课程讲授
1 圆周角定理
圆周角定理： 圆周角的度数等于它所对弧上的_圆__心__角__度数的
__一__半__，同弧或等弧所对的圆周角相等. 因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以我们 也可以说，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.
课程讲授
1 圆周角定理

问题探讨
问题2：如图，BC 所对的圆周角有多少个？ 请在图中画出 BC 若干个圆周角，并与同学们 交流你的发现。
BC 所对的圆心角有多少个？
尝试分类
猜想：同弧所对的圆周角度数等于这条弧所 对的圆心角的一半。
你能画出同弧所对的不同形态具有代表性的 圆周角吗？
A
A
O
O
B
C
B
C
分析论证
1.第一考虑一种特殊情况： 当圆心(O)在圆周角(∠BAC)的一边(BA)上
E，∠AOD=150°, BC 为70°.求∠ ABD、
∠ AED的度数。
探究如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，
CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC
与∠BDC的大小，并说明理由。
A
D
F
E O
C
B
拓展延伸
人们常用“一字之差，差之千里”来形 容因一点小小的差别，往往会给问题本身带 来很大的区分。在数学中，这样的例子比比 皆是，下面两句话，先请你找出其中微小的 区分，然后再比较解决问题的结果： (1)在⊙O中，一条弧所对的圆心角是120°， 该弧所对的圆周角是多少度？ (2)在⊙O中，一条弦所对的圆心角是120°， 该弦所对的圆周角是多少度？
1.什么叫圆心角?
回忆
2. 圆心角的性质
探究
问题1：将圆心角顶点的位置产生变化，你能画 出相应的图形吗？
探究
问题1：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于 点A?视察得到的∠BAC有什么特征？
顶点在圆上
两边都与圆相交
这样的角叫圆周角。
开心一练：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。
时,圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系.