山东财经大学学士学位论文原创性声明
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浅谈复积分的计算方法
摘要
复积分即是指复变函数积分.在复变函数的分析理论中,复积分是研究解析函数的重要工具.解析函数中的许多重要性质都要利用复变函数积分来证明.柯西积分定理在复积分的计算中理论上处于关键地位, 因此，对复积分及其计算的研究显得尤为重要.复变函数中的积分不仅是研究解析函数的重要工具,也是它的后继课程积分变换的基础,所以就复变函数的积分计算方法进行总结和探讨是十分必要的.柯西积分公式、柯西高阶导数公式和留数定理对复积分的计算起到很大的作用.留数定理不仅可以用来计算复积分，而且可以用来计算实积分，它把实积分和复积分的相关知识有机的结合起来.
本文讨论了留数定理与复变函数积分之间的内在联系，并举例说明了留数定理、柯西积分定理、柯西积分公式和柯西高阶导数公式之间的密切关系.本文将利用复变函数积分基本原理，利用几种复积分的基本求法，针对每一种计算方法给出例子，并通过柯西积分定理、柯西积分公式、柯西高阶导数公式、留数定理等来计算复积分，从中揭示诸多方法的内在联系，对复积分的计算方法作出较系统的归纳总结，从中概括出求复变函数积分的解题方法和技巧.复变函数中积分分闭曲线和非闭曲线两类.本文就这两种积分的计算方法进行总结和探讨.
关键词：复积分；柯西积分定理；柯西积分公式；留数定理
Discussion on the computational methods of complex integration
ABSTRACT
Complex integration entails Complex integration.In the analysis of the complex function theory,Complex integration is an important tool for analytic functions.Many important properties of analytic functions must use the complex function points to prove that the Cauchy integral theorem in a key position in the calculation of the complex integral theory,Therefore,Complex integral calculation is particularly important ..The integral in the complex variable function is not only an important tool for the study of analytic functions,Also the basis for its successor course integral transforms , integral calculation of the complex function method summary and discussion is very necessary.Cauchy integral formula , Cauchy order derivative formula and residue theorem has played a significant role in the calculation of complex integration.The residue theorem can not only be used to calculate the complex integration,And can be used to calculate the real integral,It organic combination of real integral and complex integration of knowledge ..
This paper discusses the intrinsic link between the stay theorem Complex integration,And illustrates the residue theorem, the close relationship between the Cauchy integral theorem, Cauchy integral formula and the Cauchy higher derivative formula.This article will use the basic principles of Complex integration,The basic method for finding several complex integration,Give examples for each type of calculation,And by the Cauchy integral theorem, Cauchy's integral formula, Cauchy higher derivative formula of the residue theorem to calculate the complex integration,Which reveals the many ways the intrinsic link,Make a more systematic method of calculation of the complex integral summarized,Generalize from seeking complex variable of the function of problem-solving methods and https://www.doczj.com/doc/656067211.html,plex variable integral function closed curve and non- closed curves of two types of.In this paper, the method of calculating these two points were summarized and discussed.
Keywords：Complex integration ; Cauchy's integral theorem ; Cauchy integral formula ; the residue theorem
目录
一、复变函数积分 (4)
（一）复积分的概念 (4)
1．有向曲线 (4)
2．复积分的定义 (4)
3．定义说明 (5)
二、复积分的计算 (5)
（一）函数沿非闭曲线的积分的计算 (5)
1．定义法 (5)
2．参数方程法 (5)
（二）函数沿闭曲线的积分的计算 (9)
1．参数方程法 (9)
2．积分定理 (9)
3．挖奇点法 (10)
4．积分公式 (12)
5．高阶导数公式 (12)
三、复积分计算的其他方法 (16)
（一）留数定理及其应用 (16)
1．留数的定义 (16)
2．留数定理 (16)
3．留数的计算 (17)
附录 (19)
参考文献 (19)
一、复变函数积分
㈠、复积分的概念
1、有向曲线: (1-1-1)
设C 为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线, 如果选定C 的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们就把C 理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线。如图1-1-1所示。
如果A 到B 作为曲线C 的正向,记为C 。.那么B 到A 就是曲线C 的负向, 记为C 。-。
.一般曲线C 的
正方向总是指从起点到终点的方向. 那么终点到起点的方向就是曲线C 的负向,记为C 。-。
.闭曲线方向
的定义:逆时针方向为正方向记为C 。.顺时针方向为负方向，记为C 。-.对区域的边界线C 而言, C 的正向是指当曲线上的点P 沿此方向前进时, C 所围区域始终在 P 点的左方.单连通区域的边界线C 的正向沿逆时针方向；记为C 。多连通区域的外边界线C 的正向沿逆时针方向；记为C 。.内边界线C1的正向沿顺时针方向；记为1c -.
2、复积分的定义 （1-1-2）
设l 为复平面上以0z 为起点，而以z 为终点的光滑曲线（()y y x =有连续导数），在l 上取一系列
分点011,,,,n n z z z z z
-= 把l 分为n 段，在每一小段1k k z z -上任取一点k ξ作和数()()()11
1
n
n
n k k k k k k k S f z z f z ξξ-===-=?∑∑,1k k k z z z -?=-
当n →∞，且每一小段的长度趋于零时，若lim n n S →∞
存在，则称()f z 沿l 可积，lim n n S →∞
称为()f z 沿l 的
路径积分。l 为积分路径，记为
()l
f z dz ?【若l 为围线（闭的曲线），则记为()l
f z dz ? 】.
()()1
lim lim n
n
k k l
n n k f z dz S
f z ξ→∞
→∞
===?∑?（()f z 在l 上取值，即z 在l 上变化）.如图（1-1-2）所示。
3、定义说明
（1）如果C 是闭曲线，那么沿此闭曲线的积分记为
()c
f z dz ? .
（2）如果C 是x 轴上的区间a x b ≤≤，而()()f z u x =，这个积分定义就是一实变函数积分的定.
二、复积分的计算
（一）函数沿非闭曲线的积分的计算
1．定义法
定义：设l 为复平面上以0z 为起点，而以z 为终点的光滑曲线（()y y x =有连续导数），在l 上取
一系列分点011,,,,n n z z z z z
-= 把l 分为n 段，在每一小段1k k z z -上任取一点k ξ作和数()()()11
1
n
n
n k k k k k k k S f z z f z ξξ-===-=?∑∑,1k k k z z z -?=-
当n →∞，且每一小段的长度趋于零时，若lim n n S →∞
存在，则称()f z 沿l 可积，lim n n S →∞
称为()f z 沿l 的
路径积分.l 为积分路径，记为
()
l
f z d z ?【若l 为围线（闭的曲线），则记为
()
l f z d z ? 】.()()1
lim lim n
n k k l
n n k f z dz S f z ξ→∞
→∞
===?∑?（()f z 在l 上取值，即z 在l 上变化）.
例1、命c 表连接a 及b 的任意曲线，试求c
dz ?
.
解：因()()11
1,,n
n k
k k f z s z
z b a -===
-=-∑
故
max||0
lim
,k n n z s b a →∞
?→=-即c
dz b a =-?.
2．参数方程法
在简单光滑曲线上连续,欲计算积分的步骤如下:第一步:写出曲线的参数方程z x iy =+，dz dx idy =+，
()()(),,f z u x y iv x y =+ (常遇到的是圆弧或直线段) ;第二步:求出()l
f z dz ?,将()(),,,u x y v x y 代
入其中;第三步:将积分化为关于的定积分，并计算该定积分。
z x iy =+，dz dx idy =+，()()(),,f z u x y iv x y =+，于是
()()()(),,l
l
f z dz u x y iv x y dx idy =++?
????? ()()()(),,,,l
l
u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy =-++??，
所以复变函数的积分可以归结为两个实变函数的线积分，它们分别是复变函数积分的实部和虚部.
复变函数积分的参数表示
设曲线l 的参数方程为()()()z z t x t iy t ==+，或表为()x x t =，()y y t =，
t αβ≤≤，()0z z α=，()z
z β= ， 记 ()()(),u x t y t u t =????，()()(),v x t y t v t =????，
于是()dx x t dt '=，()dy y t dt '=，()dz z t dt '=，()()()z t x t iy t '''=+，则
()()()()()()()()()c
f z dz u t x t v t y t dt i v t x t u t y t dt ββ
αα''''=-++?
?????????? ()()()()()()u t iv t x t iy t dt f z t z t dt β
β
α
α'''=
++=??????????????.
（2-1-2a ） （2-1-2b ）
例2、计算
()l
f z dz ?，其中l 为：
（1） 从原点到点1i +的直线段；
（2） 抛物线2
y x =上从原点到点的弧段； （3） 从原点沿x 轴到点1再到1i +的折线； 解（1）积分路径的参数方程为
()(1),(01),z t i t t =+≤≤ d (1)d ,z i t =+则C
zdz ?1
20
=(1+i)tdt ?21
(1)2
i i =
+= 如图（2-1-2a ）所示.
（2）积分路径的参数方程为2
()(01),z t t it
t =+≤≤d (12)d ,z ti t =+则
d C z z ?1
20(12)d t it it t =++?（）1
32
(-2+3)d t t it t =?1
2430
122t t it ??=-+ ???i = 如图（2-1-2b ）所示.
（2-1-2c ）
（3）如图（2-1-2c ）所示.
积分路径有两段直线构成，x 轴上直线段的参数方程为()(01),z t t t =≤≤d d ,z t =则
1到1+i 直线段的参数方程为
()1(01),z t it t =+≤≤d d ,z i t =则
C
zdz ?
10
d t t =+?1
1+)d it i t ??（
1122
i =
+-i = （2-1-2d ）
例3、试证
()
21)
(1)n
l
i n dz
n n z a π=?=?≠-?? （为的整数，l 为以z a =为圆心，ρ为半径的圆周.
如图（2-1-2d ）所示.
证：l 的参数方程为
i z a e θρ-= ()πθπ-≤≤，
在l 上，i dz i e d θρθ=。 当1n =时，
2i i l dz i e d i d i z a e θ
ππθππρθθπρ--===-??? 。
当n 为1n ≠的整数时，
()
()11i i n n
n in n l
dz
i e d i e d e z a θπ
πθ
θππρθθρρ
-----==-??? ()()11
11i n n e
n π
θ
π
ρ----=--()()()11111101n n n n ρ---??=-
---=?
?-.
复变函数积分的简单性质（以下性质i 、ii 、iii 、iv 均可从积分的定义式直接得出）
i.0l dz z
z =-? ，z 、0z 分别为l 之终、起点。l dz L =?，dz 为dz 的长度，L 为l 的长度.
ⅱ.()()()()11221
1
22
l
l l
a f z a f z dz a f z dz a f z dz ±=±?????
??，1a 、2
a 为复常数.（可推广）
ⅲ.()()()1
2
l
l l f z dz f z dz f z dz =+???, 其中1l 、2
l 连接成l .（可推广）
ⅳ.
()()l l
f z dz f z dz -
=-?
?, l - 表示与l 方向相反的同一条曲线.
不等式（估值公式） a)
()()l
l
f z dz f z dz ≤??
证：
()()()1
1
lim lim n
n
k
k
k l
n n k k f z dz f z
f z ξξ→∞
→∞
===?=?∑∑?
()()()1
1
lim lim n
n
k k k k l
n n k k f z f z f z dz ξξ→∞
→∞
==≤?=?=∑∑?。
（此处用了1212z z z z +≤+的推广，112312323z z z z z z z z z ++≤++≤++,
1212n n z z z z z z +++≤+++ ,多边形一边之长≤其他边长之和）
b) 若M 为()f z 沿曲线l 的最大值，L 为l 的长度，则
()l
f z dz ML ≤?.
证：
()()1
1
1
n
n n
k
k
k k k k k k f z
f z M z ξξ===?≤?≤∑∑∑，
两边取极限()11
lim
lim n
n
k
k
k n n k k f z
M z ξ→∞
→∞
==?≤?∑∑，即
()l
f z dz ML ≤?.
或
()()l
l
l
f z dz f z dz M dz ML ≤≤≤???.
（二）函数沿闭曲线的积分的计算
1、参数方程法
做题步骤同前的参数方程法,不同的是这儿的曲线一般为圆.
2．积分定理
柯西定理：若()f z 在单连通区域D 上解析，l 是D 内的任一围线，则 ()0l
f z dz =? .
其实只要()f z 在l 所围单连通区域内解析，则
()0l
f z dz =? 。如图（2-2-2）所示.
(2-2-2)
注： 单连通,区域内任一闭曲线可连续收缩为一点，简而言之区域内没洞.
复连通,区域内至少有一闭曲线不能连续收缩为一点，简而言之区域内有洞.
证：由于()f z 在D 上解析， 意味着()f z '在D 上各点均存在.为了证明简单，我们进一步要求()f z '在D 上连续,?
u x ??、v x ??、u y ??、v
y
??在D 上连续. ()()(),,f z u x y iv x y =+，dz dx idy =+，()u v u v f z i i x x y y
????'=
+=-+????， ()()()l
l
l
f z dz udx vdy i vdx udy =-++??? .
由于()f z '在D 上连续，所以u 、v 有连续偏导数，且满足C －R 条件u v x y
??=??， u v
y x ??=-??,而由实
的线积分的格林定理
()0l D v u udx vdy dxdy x y '??
??-=-+= ????
???? ， D '为l 所围单连通区域（C －R 条件） ()0l D u v vdx udy dxdy x y '??
??+=-= ????
????
， D '为l 所围单连通区域（C －R 条件）
()0l
f z dz ∴=? .
注意：柯西定理中只要求()f z 在D 上解析，对()f z 在D 外是否解析没有要求，证明中未用()f z 在
l 外的性质。因此只要()f z 在l 所围区域内解析.
推论：若()f z 在D 上解析，1l 、2l 是D 内有相同端点的任意两条曲线，则
()()1
2
l l f z dz f z dz =??。
即在()f z 解析的单连通区域内，()f z 沿任一曲线l 的积分，只依赖于l 的起点和终点，而与l 的具体
形状无关.
证：因为1l 、2l 的端点相同，所以1l 与2l -组成一围线.
由柯西定理
()12
0l l f z dz -
+=??
()()()1
2
2
l l l f z dz f z dz f z dz -=-=???.
3．挖奇点法
（2）闭复通区域情形
所谓复通区域，即函数在其中某些点处并不解析，这些点称为奇点，为了将这些点排除在外，常做一些适当的闭合曲线将这些奇点挖去，形成带“孔”的区域，即复通区域. 当()f z 在D 内处处解析，且围线l 全部在D 内时，则
()0l
f z dz =? 。但当l 所围区域内有()f z 的奇
点时，前面所讲的柯西定理是对单连通区域中的解析函数()f z 而言的，若()f z 在l 所围区域内有奇点，可做一围线将此奇点围住，若将所围的区域挖去，则区域变成复连通区域D '.如图(2-2-3a)所示.
(2-2-3a)
对于复连通区域D '，作辅助线1c 、2c 、3c ，使D '分成两个单连通区域1D 和2D 。1D 的边界为1γ，
2D 的边界为2γ，选取如此的方向为路径的正方向，即当沿着路径行进时，区域保持在左边，所以D '的
边界为12l l l --++。 12γγ+=12123123l l l c c c c c c -
-
-
-
-
++++++++，
由于()f z 在D '，从而在1D 、2D ，上解析，
由柯西定理知：
()1
0f z dz γ=? ，()2
0f z dz γ=? ，
所以()()()12
1
2
0f z dz f z dz f z dz γ
γγγ+=+=??? .
而
()()12
12123123
l l l c c c c c c f z dz f z dz γ
γ-----
+++++++++=??
()()()1
2
l
l l f z dz f z dz f z dz --=+++???
()()()()()()1
2
3
1
2
3
c c c c c c f z dz f z dz f z dz f z dz f z dz f z dz ---++++++??????
()()()1
2
l
l l f z dz f z dz f z dz =--??? ，
()()()1
2
0l
l l f z dz f z dz f z dz ∴--=??? .
从而
()()()1
2
l
l l f z dz f z dz f z dz =+??? .
容易将上述情形推广至内部有n 个洞的复连通区域，于是
()()()()()1
2
1
n
k
n
l
l l l l k f z dz f z dz f z dz f z dz f z dz ==+++=∑????? .
上述积分均沿着逆时针方向，所以在复连通情形下，在复连通区域内解析的函数，其沿外边界线逆时针
方向的积分等于其沿所有内边界线逆时针方向的积分之和. 例4： 计算
()
n
l
dz
z a -? ，l 为不通过z a =点的围线.
(2-2-3b)
解：如图（2-2-3b ）所示.z a =是()()
1
n
f z z a =
-的一个奇点，若l 没有包围点z a =，则
()()
1
n
f z z a =
-在l 所包围的区域上是解析的。 从而
()
0n
l
dz
z a =-? （l 不包围z a =）
。 若l
包围
z a = 【z a =是
()
1
n
z a -的奇点】，作以z a =为圆心的圆周1l 包围a ，则由
上述的公式得：
()
()
1
n
n
l
l dz
dz
z a z a =--??
.
由前面的例子可得:
()
1
2101n
l i n dz
n n z a π=?=?≠-?
? ，，为的整数， ()
2,10,
1n
l
i l z a n dz
n n l z a z a π==?∴=?≠=-??
，当包围且当为的整数，或不包围。
4．积分公式
()
()l f l f z f z dz z απα
-? ---
若（z ）在闭单通区域B 上解析，为B 的境界线，为B 内任一点，则有柯西公式： 1
=2i
5．高阶导数公式
解析函数()f z 的导数仍为解析函数，它的n 阶导数为：
()
!() ()d (1,2,)
2π01()0n n f z f
z z n i n C z z ?==+- 其中C 为在函数()f z 的解析区域D 内围绕
0z 的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部全含于D 。如图（2-2-5）所示
(2-2-5)
设0z 为D 内任意一点，先证n =1的情况，根据导数的定义，0000
()()
()lim z f z z f z f z z
?→+?-'=?
从
柯西积分公式得
001()()d ,2C f z f z z i z z π=
-? 001()
()d ,2C f z f z z z i z z z π+?=--??
00()()f z z f z z +?-?001()()d d ,2C C f z f z z z zi z z z z z π??=-???--?-???? 00()()f z z f z z +?-?001()d 2()()C f z z i z z z z z π=---??
220001()1()d d 2()2()()
C C f z zf z z z i z z i z z z z z ππ?=
+----??? 2001
()
d 2()()C zf z I z z z z z z π
?=
---??
2
0()1d 2C
z f z s z z z z z
π
?≤
---??
因为()f z 在C 上解析，所以在C 上连续，故()f z 在C 上有界，于是0,M ?>使得()f z M ≤, 设d 为从0z 到曲线C 上各点的最短距离，并取||z ?适当的小，满足1
, 2
z d ?<
则0 , z z d -≥ 011
, z z d
≤- 00 z z z z z z --?≥--?,2
d > 012
, z z z d
≤--?
3
,ML
I z
d π
()()
()lim
z f z z f z f z z
?→+?-'=?
201()
d ,2()C f z z i z z π=-?
再利用以上方法000
()()lim z f z z f z z ?→''+?-?
山东财经大学学士学位论文
可得0302!()
()d 2()C f z f z z i z z π''=
-?
。 至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.
依次类推, 利用数学归纳法可证()
010!()
()d .2()n n C n f z f
z z i z z π+=
-?
证毕 高阶导数公式的作用:
不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分.
（2-2-5a ）
例5计算下列积分，其中C 为正向圆周： 1.z r =>
5
22
cos (1)d ;(2)d .(1)
(1)
z
C
C
z
e z z z z π-+?
?
解：如图（2-2-5a ）所示.函数
5
cos (1)
z
z π-在C 内 1 z =不解析，但cos z π在 C 内处处解析， 根据公式()
010!()
()d 2()n n C n f z f
z z i z z π+=
-?
5cos d (1)C
z
z z π-?
(4)1
2(cos )(51)!
z i z ππ==-5;12
i
π=-
(2)函数22
(1)
z
e z +在C 内的 z i =±处不解析，
?
在C 内以i 为中心做一个正向圆周1 C ， 以-i 为中心作一个正向圆周2C ，
则函数22
(1)
z
e z +在由12,, C C C 围成的区域内解析. d 222(1)z e z C z ?+ 2
()d 22()z
e z i z C z i -?=+ 2(21)!2()z i e z i z i
π'
????=-??-??=-(1),2i i e π--+= 22
d (1)
z C
e z z +?
于是(1)2i i e π-=(1)2i i e π-=(1)()2i i i e ie π-=--2
(1)(cos1sin1)2i π=--
1.4i π??
=- ???
例6、求积分231
d .:(1)32;(2)1 3.(2)C
z C z z z z -=-=-? 其中
解：函数23
1
(2)z z
-有两个奇点 2 0, z z ==和 (1)32,z -=仅包含奇点 2, z =31 (),f z z =取231 d (2)C z z z -? 321 d (2)C z z z =-? 32
211!z i z π='
??= ???
3;8
i
π=-
(2)13z -=两个奇点 2 0 z z C ==和都含在内，作简单闭曲线12 C C 和分别
0 2,包含和12 , C C 和互不包含且互不相交12 , C C 和互不包含且互不相交
根据复合闭路定理和高阶导数公式,
231 d (2)C z z z -? 12
2323
11 d d (2)(2)C C z z z z z z =+--?? 12233211
(2) d d (2)C C z z z z z z -=+-?? 23
2
2121 2!(2)1!z z i i z z ππ=="
'
????
=+?
???-??
??
3388
i i
ππ=
-
0.= 三、 复积分计算的其他方法
（一） 留数的定理及其应用
1. 留数的定义
设z 0为 f (z )的孤立奇点， f (z ) 在z 0的去心邻域内有洛朗展式0
()()
n
n
n f z a z z ∞
=-∞
=
-∑称1a -为 f (z )
在 z 0点的留数，记作Res f (z 0)。即，留数是 (洛朗展式中) 负一次幂的系数.
2. 留数定理
如图（3-1-2）所示.
（3-1-2）
沿圆周0:||,0c z z R ρρ-=<< , 对复变函数 f (z )积分：
1()()
2n
n
c
c
n f z dz a z z dz ia π∞
-=-∞
=
-=∑?
?
011
Res ()()2c f z a f z dz i π-==
?
由复连通区域的柯西积分定理得：留数的值与圆 c 的半径ρ无关. 单个奇点时的留数定理：
()2Res ()c
f z dz i f z π=?
定理 4.1 (多个奇点的留数定理) 设 f (z )在曲线c 所围闭区域D 上除了D 内的有限个奇点
12,,,n z z z 外均解析，则1
()2Res ()n
k c
k f z dz i f z π==∑?
证明：分别以 z k 为中心作小圆周c
k .
由柯西积分定理
1
()()k
n
c
c k f z dz f z dz ==∑??
1
2Res ()n
k k i f z π==∑
定理得证.
柯西积分公式和解析函数的无穷可微性公式可以看作是留数定理的变形. 由留数定理＋泰勒展开，反推出 ① 解析函数的柯西积分公式：1()
()2c f z f dz i z απα
=-? ② 解析函数的求导公式：()
1!()
(),1,2,2()
n n c n f z f dz n i z απα+=
=-? 3.留数的计算
1.极点处的留数的计算
公式 I 若z 0是 f (z )的 m 阶极点，则01
0011Res ()lim [()()](1)!m m m z z d f z z z f z m dz
--→=--
特别的，若z 0是 f (z )的单极点，则0
00Res ()lim()()z z f z z z f z →=-
公式 II 若()
()()
P z f z Q z =
，其中P (z )和Q (z )均在z 0点解析，且 000()0,
()0,'()0P z Q z Q z ≠=≠，则000()
Res ()'()
P z f z Q z =
例7. 2
sin ()z
f z z =
，求Res (0)f 解：Res (0)f =()()()0001lim 21z z d z z z z f z dz →--????- 例8. 1
()1
n f z z =-，求Res (1)f ，（解法同上）
例9. 3()iz
e f z z
=，求Res (0)f ，（解法同上）
2.直接应用留数的定义。
适用于所有的孤立奇点类型;特别是本性奇点或性质不明的奇点. 留数：负一次幂的系数. 例10. 1
()z f z e =求Res (0)f 解： 例11. 3
sin ()(1)z z z
f z e =
-求Res (0)f
3. 无穷远点处的留数
设z =∞是 f (z )的孤立奇点, 在圆周:||c z R =的外部没有其他奇点。无穷远点的留数值的定义为：
1
Res ()()2c f f z dz i π-∞=
?
无穷远点的去心邻域为||R z <<∞。此区域也是以0z =点为中心的环域。在此区域， f (z ) 的洛朗
展式为：(),||n
n
n f z a z
R z =-∞
=
<<∞∑
该区域与区域||z R <的洛朗展开一般不同。沿c -
逐项积分，即得
11
Res ()()2c f f z dz a i π--∞=
=-?
即，无穷远点的留数值 f (z ) 在环域||R z <<∞上洛朗展开式的负一次幂的系数 乘以(－1)
与有限远奇点不同，即使无穷远点是 f (z )的可去奇点，Res ()f ∞仍可能不等于0. 例如 1
(),Res ()1f z f z
=
∞=- 定理4.2 如果 f (z )在扩充了的复平面上只有有限个奇点，则 f (z )在所有奇点(包括无穷远点在内)的留数之和为零.
例12，()1z
e f z z
=+求Res ()f ∞
例13.若 f (z )= tan z ，是否能求出Res f (∞)
4. 利用留数定理计算复积分 例14.
2
1
:|3|(1)(3)2
c z dz c z z z -=--? ， 例15. 2||1
,
||12z dz
I z z εεε
==
<++?
例16. 15
2243||4(1)(2)z z I dz z z ==++?
附录 本文章符号编辑是由公式编辑器编辑，图型由计算机语言软件和绘图软件制作，很多图形采用
简单易懂的方式展现，公式和图形有牵强之处望读者见谅.
参考文献
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[1] 钟玉泉.复变函数论[M].北京:高教出版社,1988.
[2]西安交通大学高等数学教研室.工程数学—复变函数[M].北京:高教出版社,1996.
[3] 严之山.关于复积分的计算[J].青海师专学报,2004 (5):34～36.
[4]王文鹏.复变函数积分的求解策略[J].重庆科技学院学报,2007.9(12):145～147.
复变函数与积分变换复习提纲 第一章 复变函数 一、复变数和复变函数 ()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续 极限 A z f z z =→)(lim 0 连续 )()(lim 00 z f z f z z =→ 第二章 解析函数 一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。 二、柯西——黎曼方程 掌握利用C-R 方程?????-==x y y x v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。 掌握复变函数的导数： y x y x y y x x v iv iu u v iu y f i iv u x f z f +==-=+-=??=+=??= ΛΛ1)(' 三、初等函数 重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。 1、幂函数与根式函数 θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数 n k z i n n e r z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数 2、指数函数：)sin (cos y i y e e w x z +== 性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，z z e e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数 ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……） 性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:k k z z 1 )'(ln = 。 4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= i e e z iz iz 2sin --= 性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界 5、反三角函数（了解） 反正弦函数 )1(1 sin 2z iz Ln i z Arc w -+= =
.
研究生课程（论文类）试卷
2 0 1 6 /2 0 1 7 学年第一学期
课程名称：
国民经济统计学
课程代码：
论文题目： 浅谈几种综合国力测算方法
学生姓名：
专业﹑学号：
统计学
学院：
理学院
课程（论文）成绩： 课程（论文）评分依据（必填）：
任课教师签字： 日期： 年 月 日
.
.
浅谈几种综合国力测算方法
摘要：综合国力，是国家实力和权力的综合体现。国家实力是指一国自己做事的 能力，是一个绝对概念。有学者把实力定义为“逾越障碍和影响结果的能力”[1] 。 权力则指一国促使别国做事的能力，是一个相对概念。有学者将权力定义为“促 使其他行为体做其原本不会去做的事情”[2] 。在国际竞争中，国家实力与权力这 两个概念的最根本区别在于：实力不以国家关系为前提，或无须以他国为参照系， 而权力则是以国家关系为前提。
一、中西方对综合国力观点的差异
对于综合国力的定义，中西方学者的观点存在若干差异，西方学者侧重于强 调国家权力的比较，其代表思想是以强权治为中心。20 世纪 80 年代美国中央情 报局前副局长克莱因说：“国家在国际舞台的实力是该国政府影响他国政府主动 或者被动去做某件事的能力，不论是通过说服、威胁甚至是通过武力。”而在今 天变化多端的国际环境下，西方学者认为，国家实力并不只是国家之间相互影响 的能力。而是利用经济、军事、外交或其他软实力相结合的方法来影响他国的能 力。
但中国学者则更偏向于国家实力的比较，认为综合国力更多的是强调国家的 和平与发展，即再保护本国国家利益的基础上，与他国互惠互利、和平共处。学 者黄硕风在其 2001 年出版的《综合国力新论》中说道：“综合国力是国家生存 与发展所拥有的全部实力，包括物质力、精神力及国际影响力”，学者王诵芬在 其 1996 年出版的《世界主要国家综合国力研究》中写道：“综合国力是国家拥 有的各种力量的有机总和，是国家赖以生存和发展的基础，也是强国确立国际地 位、发挥国际影响作用的基础。”
.
复变函数积分方法总结
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复变函数积分方法总结
数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新
形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，
也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：
z=x+iy i2=-1 ，x,y 分别称为 z 的实部和虚部，记作
x=Re(z),y=Im(z)。 arg z=θ? θ?称为主值 -π＜θ?≤π ，
Arg=argz+2kπ 。利用直角坐标和极坐标的关系式 x=rcosθ ，
y=rsinθ,故 z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθ。
z=reiθ。
1.定义法求积分：
定义：设函数 w=f(z)定义在区域 D 内，C 为区域 D 内起点为 A 终点
为 B 的一条光滑的有向曲线，把曲线 C 任意分成 n 个弧段，设分点为
A=z0 ，z1，…，zk-1，zk，…，zn=B，在每个弧段 zk-1 zk(k=1,2…n)上任
取一点?k 并作和式 Sn=
(zk-zk-1)=
?zk 记?zk= zk-
zk-1，弧段 zk-1 zk 的长度 =
{?Sk}(k=1,2…,n),当
0 时，
不论对 c 的分发即?k 的取法如何，Sn 有唯一的极限，则称该极限值为
函数 f(z)沿曲线 C 的积分为：
=
?zk
设 C 负方向(即 B 到 A 的积分记作)
.当 C 为闭曲线时，f(z)
的积分记作
(C 圆周正方向为逆时针方向)
例题：计算积分
,其中 C 表示 a 到 b 的任一曲
几种定积分的数值计算方法 摘要:本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法,并着重分析了各种数值方法的计 算思想,结合实例,对其优劣性作了简要说明. 关键词:数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形 Several Numerical Methods for Solving Definite Integrals Abstract:Several common methods for solving definite integrals are summarized in this paper. Meantime, the idea for each method is emphatically analyzed. Afterwards, a numerical example is illustrated to show that the advantages and disadvantages of these methods. Keywords:Numerical methods, Rectangle method, Trapezoidal method, Parabolic method, Class rectangle, Class trapezoid
1. 引言 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数 )(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 ?-=b a a F b F x f ) ()()( 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用. 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 ?-=b a a F b F x f ) ()()( 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用.另外,对于求导数也有一系列的求导公式和求导法则.但是,在实际问题中遇到求积分的计算,经常会有这样的情况: (1)函数)(x f 的原函数无法用初等函数给出.例如积分 dx e x ?-1 02 , ? 1 sin dx x x 等,从而无法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分。 (2)函数)(x f 使用表格形式或图形给出,因而无法直接用积分公式或导数公式。 (3)函数)(x f 的原函数或导数值虽然能够求出,但形式过于复杂,不便使用. 由此可见,利用原函数求积分或利用求导法则求导数有它的局限性,所以就有了求解数值积分的很多方法,目前有牛顿—柯特斯公式法,矩形法,梯形法,抛物线法,随机投点法,平均值法,高斯型求积法,龙贝格积分法,李查逊外推算法等等,本文对其中部分方法作一个比较． 2.几何意义上的数值算法 s 在几何上表示以],[b a 为底,以曲线)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积A ,因此,计 算s 的近似值也就是A 的近似值,如图1所示.沿着积分区间],[b a ,可以把大的曲边梯形分割成许多小的曲边梯形面积之和.常采用均匀分割,假设],[b a 上等分n 的小区间 ,x 1-i h x i +=b x a x n ==,0,其中n a b h -= 表示小区间的长度. 2.1矩形法
复变函数积分计算方法总结 1、 一般计算方法：()(,)(,)f z u x y iv x y =+沿有向曲线C 的积分： ()C C C f z dz udx vdy i udy vdx =-++? ?? 若有向光滑曲线C 可以表示为参数方程()()() ()z z t x t iy t t αβ==+≤≤，则： ()[()]()C f z dz f z t z t dt β α '=? ? 2、 柯西积分定理：()f z 在简单闭曲线C 上和内部解析，则： ()0C f z dz =? 由闭路变形原理可得重要积分：10 0, 01 2, 0()n C n dz i n z z π+≠?=? =-?? 可以把各种简单闭路变为圆周进行积分。 3、 柯西积分公式：设D 为有界多（单）连域，Γ为其正向边界 条件：()f z 在D 内及其边界Γ上解析，0z 为D 内任意一点 公式： 00() 2()f z dz if z z z πΓ=-? 高阶导数公式：设D 为有界多（单）连域，Γ为其正向边界 条件：()f z 在D 内及其边界Γ上解析，0z 为D 内任意一点 公式： () 01 0()2()()! n n f z i dz f z z z n π+Γ=-? 联系：柯西积分公式是高阶导数公式的特殊情况，高阶导数公式是柯西积分公式的推广。 4、 用洛朗级数展开式的-1次项系数计算积分 00101() ()() (r<) 2()n n n n C n f z f z c z z z z R c dz i z z π∞ +=-∞ = --<= -∑?，其中： 其中C 为环域内任意围绕0z 的正向简单闭路。当1n =-时，-1次项的系数为11()2C c f z dz i π-= ? ，因此 1()2C f z dz ic π-=? 5、 用留数计算复积分 函数()f z 在点0z 的留数定义为:01Re [(),]()2C s f z z f z dz i π= ? ，即洛朗级数展开式中-1 次项的系数。 留数定理：函数()f z 在正向简单曲线C 上处处解析，在C 内部除了有限个孤立奇点12, ... n z z z 外解析，则有：
学科分类号110.3420 州 GUIZHOU NORMAL COLLEGE 本科毕业论文 题目—几种常用数值积分方法的比较_____________ 姓名潘晓祥学号1006020540200 院（系）数学与计算机科学学院 __________________ 专业数学与应用数学年级_____________2010级 指导教师雍进军职称______________________讲师 二O—四年五月
贵州师范学院本科毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本科毕业论文作者签名： 年月曰
贵州师范学院本科毕业论文（设计）任务书
研究方法: 本论文主要通过对相关文献和书籍的参考，合自己的见解，复化求积公式，Newton —Cotes求积公式,Romberg求积公式，高斯型求积公式进行讨论并进行上机实验，从代数精度，求积公式误差等角度对这些方法进行分析比较完成期限和采取的主要措施： 本论文计划用6个月的时间完成，阶段的任务如下： (1) 7月份查阅相关书籍和文献； (2) 8月份完成开题报告并交老师批阅； (3) 9月份完成论文初稿并交老师批阅； (4) 10月份完成论文二搞并交老师批阅； (5) 11月份完成论文三搞； (6) 12月份定稿. 主要措施：考相关书籍和文献，合自己的见解，老师的指导下和同学的帮助下完成 主要参考文献及资料名称： [1] 关治?陆金甫?数学分析基础(第二版) [M].北京：等教育出版社.2010.7 [2] 胡祖炽.林源渠.数值分析[M]北京：等教育出版社.1986.3 [3] 薛毅.数学分析与实验[M] 北京：业大学出版社2005.3 [4] 徐士良.数值分析与算法[M].北京：械工业出版社2007.1 [5] 王开荣.杨大地.应用数值分析[M]北京:等教育出版社2010.7 [6] 杨一都.数值计算方法[M].北京:等教育出版社.2008.4 [7] 韩明.王家宝.李林.数学实验(MATLAB版[M].上海：济大学出版社2012.1 [8] 圣宝建.关于数值积分若干问题的研究[J].南京信息工程大学.2009.05.01. : 42 [9] 刘绪军.几种求积公式计算精确度的比较[J].南京职业技术学院.2009. [10] 史万明.吴裕树.孙新.数值分析[M].北京理工大学出版社.2010.4. 指导教师意见: 签名： 年月日
三重积分的计算方法介绍： 三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看： 如果先做定积分?2 1),,(z z dz z y x f ，再做二重积分??D d y x F σ),(，就是“投 影法”，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。σd dz z y x f dv z y x f D z z ??????Ω =2 1]),,([),,( 如果先做二重积分??z D d z y x f σ),,(再做定积分?2 1 )(c c dz z F ，就是“截面 法”，也即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分??z D d z y x f σ),,(，完成 了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分?2 1 )(c c dz z F ，完成“后 一”这一步。dz d z y x f dv z y x f c c D z ]),,([),,(2 1σ??????Ω = 当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。 为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面) （1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲
三重积分的计算方法： 三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看： 如果先做定积分?2 1),,(z z dz z y x f ，再做二重积分??D d y x F σ),(，就是“投 影法”，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。σd dz z y x f dv z y x f D z z ??????Ω =2 1]),,([),,( 如果先做二重积分??z D d z y x f σ),,(再做定积分?2 1 )(c c dz z F ，就是“截面 法”，也即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分??z D d z y x f σ),,(，完成 了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分?2 1 )(c c dz z F ，完成“后 一”这一步。dz d z y x f dv z y x f c c D z ]),,([),,(2 1σ??????Ω = 当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。 为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面) （1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲
复变函数与积分变换公 式 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值 ()arg z 是位于(,]ππ- 中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??
复变函数的积分及其计算方法 石睿 (北京林业大学工学院自动化10-1班,学号:101044118) 摘要：复变函数的积分是研究解析函数的一个重要工具,解析函数的很多重要性质都是通过复积分证明的。本文主要介绍柯西定理和柯西积分公式。 关键词：柯西定理；柯西积分公式 引言：首先介绍复积分的概念、性质和计算法，然后介绍解析函数积分的柯西积分定理及其推广——复合闭路定理. 在此基础上，建立柯西积分公式，然后利用这一重要公式证明解析函数的导数仍然是解析函数这一重要结论. 复积分的概念： 设C 是平面上一条光滑的简单曲线，其起点为A ，终点为B 。函数f(z)在C 上有定义。把曲线C 任意分成n 个小弧段。设分点为A=z 0,z 1,…,z n-1,z n =B,其中z k =x k +iyl k (k=0,1,2,…,n)，在每个弧段 zk-1zk 上任取一点ζ k =ξ k +i η k ，做合式k n k k n k k k k n Δz )f(ζ)z (z )f(ζ S ∑∑==-?=-?= 1 1 1，其中 k k k k k y i x z z z ?+?=-=?-1 。 记 当λ→0时，如果和式的极限存在，且此极限值不依赖与ζk 的选择，也不依赖对 C 的分法，那么就称此极限值为f(z)沿曲线C 自A 到B 的复积分，记作 复积分的计算方法： 复积分可以通过两个二元实变函数的线积分来计算 设 ???==,)(,)(:t y y t x x C .βα≤≤t 则???'+'+'-'=β α β α t t y t y t x u t x t y t x v i t t y t y t x v t x t y t x u z z f C d )}()](),([)()](),([{d )}()](),([)()](),([{d )( ?'+'+= β αt t y i t x t y t x iv t y t x u d )}()()]}{(),([)](),([{ |,|max 1k n k z ?=≤≤λ.)(lim d )(1 0k n k k C z f z z f ??=∑ ? =→ζλ
复变函数与积分变换 第一章 复变函数 一、复变数和复变函数 ()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续 极限 A z f z z =→)(lim 0 连续 )()(lim 00 z f z f z z =→ 第二章 解析函数 一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。 二、柯西——黎曼方程 掌握利用C-R 方程?????-==x y y x v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。 掌握复变函数的导数： y x y x y y x x v iv iu u v iu y f i iv u x f z f +==-=+-=??=+=??= 1)(' 三、初等函数 重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。 1、幂函数与根式函数 θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数 n k z i n n e r z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数 2、指数函数：)sin (cos y i y e e w x z +== 性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，z z e e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数 ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……） 性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:k k z z 1 )'(ln = 。 4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= i e e z iz iz 2sin --= 性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界 5、反三角函数（了解） 反正弦函数 )1(1 sin 2z iz Ln i z Arc w -+== 反余弦函数 )1(1 cos 2-+= =z z Ln i z Arc w
复变函数积分方法总结 经营教育 乐享 [选取日期] 复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数： z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。arg z=θ? θ?称为主值-π＜θ?≤π，Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式 e iθ=cosθ+isinθ。z=re iθ。 1.定义法求积分： 定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0，z1，…，
z k-1，z k，…，z n=B，在每个弧段z k-1 z k(k=1,2…n)上任取一点?k并作和式S n=?(z k-z k-1)=??z k记?z k= z k- z k-1，弧段z k-1 z k的长度 ={?S k}(k=1,2…,n),当0时，不论对c的分发即?k的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为： =??z k 设C负方向(即B到A的积分记作).当C为闭曲线时，f(z)的积分记作(C圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分,其中C表示a到b的任一曲线。（1）解：当C为闭合曲线时，=0. ∵f(z)=1 S n=?(z k-z k-1)=b-a ∴=b-a,即=b-a. (2)当C为闭曲线时，=0. f(z)=2z;沿C连续，则积分存在，设?k=z k-1,则 ∑1= （）(z k-z k-1) 有可设?k=z k，则 ∑2= （）(z k-z k-1) 因为S n的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以 S n= (∑1+∑2)==b2-a2 ∴=b2-a2 1.2 定义衍生1：参数法： f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入得：
山东财经大学学士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 年月日 山东财经大学关于论文使用授权的说明 本人完全了解山东财经大学有关保留、使用学士学位论文的规定，即：学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文。 指导教师签名：论文作者签名： 年月日年月日 浅谈复积分的计算方法
摘要 复积分即是指复变函数积分.在复变函数的分析理论中,复积分是研究解析函数的重要工具.解析函数中的许多重要性质都要利用复变函数积分来证明.柯西积分定理在复积分的计算中理论上处于关键地位, 因此，对复积分及其计算的研究显得尤为重要.复变函数中的积分不仅是研究解析函数的重要工具,也是它的后继课程积分变换的基础,所以就复变函数的积分计算方法进行总结和探讨是十分必要的.柯西积分公式、柯西高阶导数公式和留数定理对复积分的计算起到很大的作用.留数定理不仅可以用来计算复积分，而且可以用来计算实积分，它把实积分和复积分的相关知识有机的结合起来. 本文讨论了留数定理与复变函数积分之间的内在联系，并举例说明了留数定理、柯西积分定理、柯西积分公式和柯西高阶导数公式之间的密切关系.本文将利用复变函数积分基本原理，利用几种复积分的基本求法，针对每一种计算方法给出例子，并通过柯西积分定理、柯西积分公式、柯西高阶导数公式、留数定理等来计算复积分，从中揭示诸多方法的内在联系，对复积分的计算方法作出较系统的归纳总结，从中概括出求复变函数积分的解题方法和技巧.复变函数中积分分闭曲线和非闭曲线两类.本文就这两种积分的计算方法进行总结和探讨. 关键词：复积分；柯西积分定理；柯西积分公式；留数定理 Discussion on the computational methods of complex integration
复变函数练习题 第三章 复变函数的积分 系 专业 班 姓名 学号 §1 复变函数积分的概念 §4 原函数与不定积分 一．选择题 1．设C 为从原点沿2y x =至1i +的弧段，则2()C x iy dz +=? [ ] （A ）15 66 i - （B ）156 6 i -+ （C ）156 6 i -- （D ）156 6 i + 2. 设C 是(1)z i t =+，t 从1到2的线段，则arg C zdz =? [ ] （A ）4 π （B ）4 i π （C ）(1)4 i π + （D ）1i + 3．设C 是从0到12 i π +的直线段，则 z C ze dz =? [ ] （A ）12 e π- （B ）12 e π-- （C ）12 ei π+ （D ）12 ei π - 4．设()f z 在复平面处处解析且()2i i f z dz i πππ-=?，则积分()i i f z dz ππ--=? [ ] （A ）2i π （B ）2i π- （C ）0 （D ）不能确定 二．填空题
1． 设C 为沿原点0z =到点1z i =+的直线段，则 2C zdz =? 2 。 2． 设C 为正向圆周|4|1z -=，则 22 32 (4) C z z dz z -+=-? 10.i π 三．解答题 1．计算下列积分。 （1） 323262121 ()02 i z i i z i i i e dz e e e ππππππ---==-=? （2） 22222sin 1cos2sin 222 4sin 2.244i i i i i i zdz z z z dz i e e e e i i i i ππ ππππππππππππ------??==- ????? --=-=-=+ ?? ? ??
第1章 引言 曹 1.1研究背景及研究内容 复变函数的积分理论是复变函数理论的重要组成部分，是研究解析函数的重要工具之一.但对于如何计算复变函数积分以及如何处理有关复变函数积分的问题，往往很难迅速找到解决问题的方法.因此，理解复变函数积分，并能够灵活运用复积分计算方法进行复积分计算就显得极其重要.复积分中的Cauchy 积分定理在理论上处于关键地位，由它派生出的Cauchy 积分公式、留数定理、辐角原理等都涉及到积分的计算问题.解析函数在孤立奇点的留数原本是一个积分，而实际计算却需要Laurent 展式.因而把积分与级数结合起来的留数定理使复积分理论甚至是复变函数理论达到高潮，且其用途十分广泛.因此，研究复变函数积分计算的各种方法有着非常重要的意义，本文以所列参考文献[3]中的复积分计算方法为基础，并通过查阅相关资料，借鉴了文献[4]-[7]的结果，总结复积分计算的各种方法，并通过应用[1],[2],[8],[9]中的相关知识和方法，对所列出的每种方法作典型例证和分析. 1.2预备知识 定义1.1[3] 复积分 设有向曲线C ：()()βα≤≤=t t z z ,，以()αz a =为起点， ()βz b =为终点，()z f 沿C 有定义.顺着C 从a 到b 的方向在C 上依次取分点： 011,, ,,n n a z z z z b -==.把曲线C 分成若干个弧段.在从1-k z 到k z ()n k ,..,2,1=的每 一弧段上任取一点k ζ.作成和数()1 n n k k k S f z ζ==?∑，其中1k k k z z z -?=-.当分点无限 增多，而这些弧段长度的最大值趋于零时，如果和数n S 的极限存在且等于J ，则称()z f 沿C (从a 到b ）可积，而称J 为()z f 沿C (从a 到b ）的积分，并记以 ()c f z dz ?.C 称为积分路径. ()c f z dz ?表示沿C 的正方向的积分，()c f z dz - ? 表 示沿C 的负方向的积分. 定义1.2[3] 解析函数 如果函数()z f 在0z 点及()z f 的某个邻域内处处可导，那么称 ()z f 在0z 点解析，如果()z f 在区域D 内解析就称()z f 是D 内的一个解析
几种特殊积分的计算方法 1前言 积分发展的动力来自于实际应用中的需求.实际操作中，有时候可以粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值.要求简单几何形体或者体积，可以套用已知的公式.比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长乘宽乘高求出.但如果游泳池是卵形、抛物型或者更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积.物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个（比如力）的累积效果，这时候也需要积分.在古希腊数学的早期，数学分析的结果是隐含给出的.比如，芝诺的两分法悖论就隐含了无限几何和.再后来，古希腊数学家如欧多克索斯和阿基米德使数学分析变得更加明确，但还不是很正式.他们在使用穷竭法去计算区域和固体的面积和体积时，使用了极限和收敛的概念. 在古印度数学（英语：Indian mathematics）的早期，12世纪的数学家婆什迦罗第二给出了导数的例子，还使用过现在所知的罗尔定理.数学分析的创立始于17 世纪以牛顿（Newton, I.）和莱布尼茨（Leibniz, G.W.）为代表的开创性工作，而完成于19世纪以柯西（Cauchy, A.-L.）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass, K.(T.W.)）为代表的奠基性工作.从牛顿开始就将微积分学及其有关内容称为分析.其后，微积分学领域不断扩大，但许多数学家还是沿用这一名称.时至今日，许多内容虽已从微积分学中分离出去，成了独立的学科，而人们仍以分析统称之.数学分析亦简称分析（参见“分析学”）.数学分析的研究对象是函数，它从局部和整体这两个方面研究函数的基本性态，从而形成微分学和积分学的基本内容.微分学研究变化率等函数的局部特征，导数和微分是它的主要概念，求导数的过程就是微分法.围绕着导数与微分的性质、计算和直接应用，形成微分学的主要内容.积分学则从总体上研究微小变化（尤其是非均匀变化）积累的总效果，其基本概念是原函数（反导数）和定积分，求积分的过程就是积分法.积分的性质、计算、推广与直接应用构成积分学的全部内容.牛顿和莱布尼茨对数学的杰出贡献就在于，他们在1670年左右，总结了求导数与求积分的一系列基本法则，发现了求导数与求积分是两种互逆的运算，并通过后来以他们的名字命名的著名公式反映了这种互逆关系，从而使本来各自独立发展的微分学和积分
江西师范大学数学与信息科学学院 学士学位论文 三重积分的计算方法小结Methods of Calculation of Triple Integral 姓名：蒋晓颖 学号： 1007012048 学院：数学与信息科学学院 专业：数学与应用数学 指导老师：蒋新荣（副教授） 完成时间：2014年1月23日
三重积分的计算方法小结 蒋晓颖 【摘要】三重积分的计算是数学分析中的难点，本文结合教材以及相关资料较全面地给出了三重积分计算中的四种处理方法。第一，利用降低三重积分重数的思想，将其化为累次积分；第二，采用坐标变换的方法，将积分体表示成适当的形式；第三，充分运用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，简化计算；第四，利用高斯公式将三重积分的计算转化成曲面积分计算。希望这几种方法能对学习者具有一定的指导意义。 【关键词】三重积分累次积分坐标变换对称性高斯公式
Methods of Calculation of Triple Integral Jiang Xiaoying 【Abstract】The calculation of triple integral is the difficulty in Mathematics analysis．In this paper，unifying the teaching and related materials ，we give four instructive methods of the calculation of triple integral for learner．The four methods are as follows：the first，lower the multiplicity of triple integral and replace it with iterated integral；the second，with the method of coordinate alternate，we can transform the integral volume into appropriate form；the third，fully use the parity of integrand and symmetry of integral area to simplify calculation；finally，we can calculate the triple integral with the Gauss formula that could transform triple integral into a surface integral． 【Key words】triple integral iterated integral coordinate alternate symmetry Gauss formula
几种常用的数字积分方法（微分方程的数字解） 2－5数字积分法 1 欧拉法（折线法） 设一阶微分方程)y ,t (f y dx dy == 00y )t (y = 由图可知，过（t 0, y 0）点的斜率为 )y ,t (f y 000= 如果1t 离0t 很近，即t ? 很小，曲线y(t)可用切线来近似，其切线方程 )t t )(y ,t (f y y 0000-+= 其微分方程在t=t 1 时，可近似表示为 )t t )(y ,t (f y y )t (y 0100011-+== 重复上述近似过程，当2t t =时， )t t )(y ,t (f y y )t (y 1211122-+== 则有一般近似公式 ))(,()(111n n n n n n n t t y t f y y t y -+==+++ 如果令n n 1n h t t =-+，称为计算步矩，则 n n n n 1n 1n h )y ,t (f y y )t (y ?+==++ (1) 这就是欧拉法数字积分的递推计算公式。 由公式可看出，只要我们给出方程的初值（t 0, y 0）以及相应的步距，逐步进行递推就可获得微分方程的近似数字解。 欧拉法的计算是十分简单的，其计算误差正比于2h ，由此，要获得高精度解，必须减小步距，但这使得计算次数增加，又由于计算机的字长有限，h 减小得过小，将引 图2-5-1 图2-5-2
入舍入误差，所以此方法的精度提高有限，实际应用中较少采用。 2 梯形法（预报――校正法） 欧拉法精度低，却给我们一些启发，对微分方程 ),(y t f y = 可改写成 ττ+=?d )y ,(f y )t (y t 0t 0 当 1t t = 时，则 ?+=1 t t 01dt ))t (y ,t (f y )t (y 从此式可以看出，要求得 )t (y 1 的值，等式右边中含有未知函数，所以不能得到)t (y 1的值，但如果我们用已知的函数值)t (y 0来代替)t (y ，用不变取代变化的函数，即 ??≈1 1 t t 00t t dt ))t (y ,t (f dt ))t (y ,t (f 实际上右边是一个矩形面积 )t t ())t (y ,t (f dt ))t (y ,t (f 0100t t 10 -?=? 则)y ,t (f h y y 00001?+= 递推公式为)y ,t (f h y y n n n n 1n ?+=+ 用此矩形的面积的算法，其计算误差是显然的（欧拉法），为了提高精度，我们可以用梯形面积来取代矩形的面积，即 01021t t h )f f (dt ))t (y ,t (f 1 ?+= ? 则0 10101h )f f (y y ?++= 递推形式为)f f (h 2 1y y 1n n n n 1n +++?+= 或)]y ,t (f )y ,t (f [h 2 1y y 1n 1n n n n n 1n ++++?+= 应用上式求积分，产生了新的问题，即在计算1n y +时，要用1n y +，而1n y +不知，则)y ,t (f 1n 1n ++是未知的，要获得1n y +，通常可用迭代方法，即在n t 与1n t +之间迭代多次，使其计算的1n y +逐步收敛于)t (y 1，即
合肥学院论文 求积分的若干方法 姓名：陈涛 学号：1506011005 学院：合肥学院 专业：机械设计制造及其自动化 老师：左功武 完成时间：2015年12月29日 求积分的几种常规方法 陈涛 摘要:数学分析中，不定积分是求导问题的逆运算，而且是联系微分学和积分学的一条纽带。为灵活运用积分方法求不定积分，本文介绍了求积分的几种重要方法和常用技巧，讨论和分析了求积分的几种方法：直接积分法，换元积分法，分部积分法以及有理函数积分的待定系数法，对于快速求不定积分有重要意义，适当的运用积分方法求不定积分，才可以简捷，准确。 关键词：定积分、不定积分、换元积分法、分部积分法、待定系数法 引言 数学分析是师范大学数学专业必修专业课，微分和积分都是数学分析的重点，而不定积分是积分学的基础，更是关键，直接关系到学习数学的重点。其任务是掌握逻辑思维方法和提高使用数学手段解决问题的能力。一般地，求不定积分要比求导数难很多，运用积分法则
和积分公式只能解决一些简单的积分，更多的不定积分要因函数的不同形式和不同类型选用不同的方法，巧妙运用恰当的方法，可以化难为易，从而简单、快捷、准确的求出不定积分。本文为解决求积分的困难问题给出了相应的解决方法，帮助理解不定积分。 1 积分的概念 设F(x)为函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分(indefinite integral)。 记作∫f(x)dx。其中∫叫做积分号(integral sign)，f(x)叫做被积函数(integrand)，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。 1.1 不定积分 积分还可以分为两部分。第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，而若F(x)的导数是f(x)，那么F(x)+C（C是常数）的导数也是f(x)，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)，C是任意的常数，所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的，我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。 用公式表示是:f'(x)=g(x)->∫g(x)dx=f(x)+c 不定积分是为解决求导和微分的逆运算而提出的。例如：已知定义在区间I上的函数f（x)，求一条曲线y=F（x），x∈I，使得它在每一点的切线斜率为F′（x）= f（x）。函数f（x）的不定积分是f（x）的全体原函数（见原函数），记作。如果F(x)是f(x)的一个原函数，则，其中C为任意常数。 1.2 定积分 相对于不定积分，还有定积分。所谓定积分，其形式为∫[a:b]f(x)dx 。之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。 微积分的最初发展中,定积分即黎曼积分。用自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线和x轴把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形的面积累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a、b。而实变函数中,可以利用测度论将黎曼积分推广到更加一般的情况,如勒贝格积分. 用公式表示是：∫[a,b]f(x)dx=lim(n->∞)∑(0-n)a+f(ti)*(b-a)/n 定积分是以平面图形的面积问题引出的。y=f（x）为定义在[a，b]上的函数，为求由x=a，x=b ，y=0和y=f（x）所围图形的面积S，采用古希腊人的穷竭法，先在小范围内以直代曲，求出S的近似值，再取极限得到所求面积S，为此，先将[a，b]分成n等分：a=x0
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