浅谈不定积分的计算方法与技巧

一、凑微分法 （ 一） 抓出“障碍物”求微分
∫ 例 1 （ 2x + 1） 8 dx．
∫ 解
原式 =
（ 2x + 1） 8·
1 2
·d（ 2x + 1）
∫ =
1 2
（ 2x + 1） 8 d（ 2x + 1） ，
∫ 令 u
= 2x + 1
1 2
u8 du
=
1 18
u9
+C
回代
1 18
（
2x
+ 1）
9
+ C．
∫ 根据不定积分基本公式表中第 2 个公式 ——— xμ dx =
∫ x μ +1
μ +1
+
C（ μ ≠ 1）
，容易知道
x8 dx
=
1 9
x9
+
C，对照例题发
现 2x + 1 这个被积函数就是影响我们直接套用公式的“障碍
物”，就需要把它抓出来求微分，运用微分的定义 dy = y'dx
计算后找出
x，套用公式可完成解答．
∫ （ 二） 重新包装成 udv 的样式，用公式求解
∫ 例 4 xexdx．
∫ ∫ 解 原式 = x d（ ex ） = xex － ex dx = xex － ex + C．
弄清 u，v 很重要，公式中 dv 的 v 是原来函数通过微分的 知识变形后得出的． 此题中 ex dx = d（ ex ） ，这样就可以套用
d（
x2
+ 1）
，接下来就可以按部就班地完成该题的求
解过程．
二、分部积分法
（ 一） 直接用公式求解
∫ 例 3 lnxdx．
∫ ∫ 解
原式 = xlnx －
xd（ lnx）
= xlnx －
x·
1 x
dx
∫ = xlnx － dx = xlnx － x + C．
∫ ∫ 对应分部积分公式 udv = uv － vdu，这里 u = lnx，v =
1 x
dx
=
ln |
x|
+
∫ C（
x
≠
0）
，
ax
1 +
bdx（
a，b 为实数，且 a ≠ 0）
式子中的 ax
+
b． 这些都是影响我们套用公式计算的“障碍物”，在这里都
要分别把它们找出来求微分，找出能让等式成立的常量，接
下来按常规步骤都能完成计算．
（ 二） 重新包装求微分
∫ 例 2 xsin（ x2 + 1） dx．
∫ ∫ 公式 udv = uv － vdu，这里 u = x，v = ex ，很容易完成解答．
∫ 例 5 x3 lnxdx．
∫ ( ) ∫ 解
原式 =
lnx d
1 x4 4
=
1 4
x4 lnx
－
1 4
x4 d（
lnx）
∫ =
1wk.baidu.com4
x4 lnx
－
1 4
x3 dx =
1 4
x4 lnx
－
1 16
x4
+
C．
【关键词】不定积分； 凑微分法； 分部积分法
不定积分是微积 分 学 中 的 一 个 重 要 内 容，它 对 学 生 学 好后续的知识起着至关重要的作用． 目前，高职数学教学过 程中普遍存在课时少、任务重、学生学习习惯不好的情况， 学生在不定积分的学习过程中，往往感觉抽象、难懂、枯燥， 对积分的各种计算 方 法 更 是 茫 然 不 知 所 措 ，这 在 很 大 程 度 上影响了他们对数学学习的兴趣和积极性． 针对这种现象， 笔者就凑微分法（ 第一类换元积分法） 和分部积分法的使 用，通过举例的方式谈谈自己的教学体会．
( ) 这里 x3 dx = d
1 x4 4
，u = lnx，v =
1 4
x4 ，接下来套用公
式就能完成计算． 式子中出现的被积函数，要挑出一个函数 做出变形． 做出变形的先后顺序为： 指数函数（ 如，ex ） 、三角 函 数 （ 如，sinx，cosx） 、幂 函 数 （ 如，x，x2 ，x3 ，…） 、对 数 函 数
∫ 解 原式 = sin（ x2 + 1） ·xdx
∫=
sin（ x2
+ 1） ·
1 2
d（
x2
+ 1）
，
∫ 令 u = x2 + 1
1 2
sinudu =
1 2
（
－
cosu）
+ C 回代
－
1 2
cos（
x2
+1）
+ C．
因为 xdx =
1 2
d（
x2
+ 1）
，将 xdx 项换成另一种形式，即
换成
1 2
1 2
，乘进去，等式前后才成立，接下来应用凑微
分法求不定积分的步骤及基本公式就可完成解答．
∫ 其他类 似 的 问 题，比 如，对 照 公 式 ex dx = ex + C，
∫ ∫ e100x dx 式 子 中 的 100x； 对 照 公 式 sinxdx = － cosx + C，
∫ ∫ sin（ 3x － 2） dx 式子中的 3x － 2； 对照公式
高教视野
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GAOJIAO SHIYE
浅谈不定积分的计算方法与技巧
◎张 智 （ 六盘水职业技术学院，贵州 六盘水 553001）
【摘要】不定积分是微积分学中的重要内容之一，也是 高职学生学习的难点之一． 为了帮助学生更好地学习掌握 这一知识，本文对不定积分的计算提出几种解题思路，并结 合实际例题加以说明．
（ 如，lnx） 、反三角函数．
不定积分的计算灵活性很强，在教学过程中，教师需要
引导学生多练习、多思考、多接触不同积分的求法，才能更
好地让他们掌握不 同 积 分 的 解 题 套 路，从 而 达 到 运 用 自 如
的目的．
数学学习与研究 2018. 1