高考数学必修二直线与方程专题知识及练习

直线与方程知识梳理：1．倾斜角的定义(1)当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 3．直线的斜率直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α. 4．斜率与倾斜角的对应关系α＝0° 0°<α<90°α＝90° 90°<α<180°5.直线的斜率公式已知直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2).6.两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l 1，l 2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k 1，k 2.则对应关系如下：7.8.直线方程的五种形式(1)直线的点斜式方程: y －y 0＝k(x －x 0). 由直线上一定点P 0(x 0，y 0)及斜率k 确定. (2)直线的斜截式方程：y ＝kx ＋b. 由直线的斜率k 和它在y 轴上的截距b 确定. (3)直线的两点式方程:y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 由直线上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)确定. (4)直线的截距式方程：x a ＋yb＝1 . 由直线分别在x ，y 轴上的截距a ，b 确定.(5)直线的一般式方程: Ax ＋By ＋C ＝0. 当B≠0时，其斜率是－A B ，在y 轴上的截距是－CB 当B ＝0时，这条直线垂直于x 轴. 9.两条直线的位置关系已知直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2.(1) l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2. (2) l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. 10.线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，设P(x ，y)是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.11.两条直线的交点已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.若两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有惟一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0，y ＝y 0，则两直线相交，交点坐标为(x 0，y 0).12.两点间的距离公式(1)已知平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)则它们的距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)两点间距离的特殊情况①原点O(0,0)与任一点P(x ，y)的距离|OP|＝x 2＋y 2. ②当P 1P 2∥x 轴(y 1＝y 2)时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. ③当P 1P 2∥y 轴(x 1＝x 2)时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|. 13.点到直线的距离公式点P(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2. 14.两条平行直线间的距离公式两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.巩固练习：1．如图，直线l 的倾斜角为( )A ．45°B ．135°C ．0°D ．不存在2．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为__________.3．已知A(2,3)、B(－1,4)，则直线AB的斜率是________．4．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，则实数a的值为_______．5．已知直线l1∥l2，直线l1的斜率k1＝2，则直线l2的斜率k2＝________.6.已知直线l1⊥l2，若直线l1的倾斜角为30°，则直线l2的斜率为________．7．直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3,5)，N(x,7)，P(－1，y)，若l1⊥l2，则x＝________，y ＝________.8．若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，且l1⊥l2，则( )A．α1－α2＝90° B．α2－α1＝90° C．|α1－α2|＝90° D．α1＋α2＝180°9．直线l过点A(－1,2)，斜率为3，则直线l的方程为___________________.10．已知直线l的点斜式方程为y－1＝x－1，那么直线l的斜率为________，倾斜角为________，在y 轴上的截距为________．11.(1)斜率为2，在y轴上的截距是5的直线方程为____________________；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2的直线方程为_____________________；12．(1)经过点(1,1)且与直线y＝2x＋7平行的直线方程为_____________________；(2)经过点(－1,1)且与直线y＝－2x＋7垂直的直线方程为_________________．13．过P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是_________________.14．直线2x＋3y＋1＝0的斜率为________；在x轴上的截距为________；在y轴上的截距为________．15．已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是( )A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5 C．x＋2y＝5 D．x－2y＝516．若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则( )A．ab>0，bc>0 B．ab>0，bc<0 C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<017．在下列各种情况下，直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的系数A，B，C之间各有什么关系：(1)直线与x轴平行时：_____________； (2)直线与y轴平行时：_________________；(3)直线过原点时：_________________； (4)直线过点(1，－1)时：_______________.18．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是______________.19．已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|=_____________. 20．直线x －2y ＋1＝0与2x ＋y －1＝0的位置关系是( )A ．平行B ．相交且垂直C ．相交但不垂直D ．重合 21．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为___________.22．两条平行线l 1：3x ＋4y －7＝0和l 2：3x ＋4y －12＝0的距离为________________. 23．若点(1，a)到直线y ＝x ＋1的距离是322，则实数a 为___________.24．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是_________. 25.当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2 (1)平行; (2)垂直26．已知在△ABC 中，A ，B 的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求直线MN 的方程．。

例题： 直线 3x − 2y + m = 0 和 (m 2 + 1)x + 3y − 3m = 0 的位置关系是（ A．平行 B．重合 C．相交 D．不确定 解：两直线的斜率分别为 交．
3 3 m2 + 1 m2 + 1 和 − ，因为方程 − 无解，所以两直线相 = 2 3 3 2
已知直线 l 1 ：ax + 2y + 6 = 0，l 2 ：x + (a − 1)y + a2 − 1 = 0，求适合下列条件的 a 的取值 范围． （1）l 1 与 l 2 相交； （2）l 1 与 l 2 平行； （3）l 1 与 l 2 重合； （4）l 1 与 l 2 垂直． 解：（1）因为 l 1 与 l 2 相交，所以 A 1 B 2 − A 2 B 1 ≠ 0 ，即 a(a − 1) − 2 ≠ 0 ，所以 a ≠ −1 且 a ≠ 2，所以 a ∈ R 且 a ≠ −1 且 a ≠ 2 时，l 1 与 l 2 相交． （2）因为 l 1 与 l 2 平行，所以 A 1 B 2 − A 2 B 1 = 0 且 B 1 C2 − B 2 C1 ≠ 0，即
− − − − − − − − − − − − − − −
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− −− − − − − − − − − − −− − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − y = √[x − (−1)] 2 + [0 − (−1)] 2 + √(x − 3)2 + (0 − 2)2 ,
例题： 已知点 A(−1, 2) ，B(2, √7 ) ，在 x 轴上求一点 P ，使 |P A| = |P B|，并求 |P A| 的值． 解：设所求点为 P (x, 0) ，于是有

直线的一般式方程及综合【学习目标】1．掌握直线的一般式方程；2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；3．能利用直线的一般式方程解决有关问题.【要点梳理】要点一：直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．要点诠释：1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.当B≠0时，方程可变形为A Cy xB B=--，它表示过点0,CB⎛⎫-⎪⎝⎭，斜率为AB-的直线．当B=0，A≠0时，方程可变形为Ax+C=0，即CxA=-，它表示一条与x轴垂直的直线．由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0，也可以是1122x y-+=，还可以是4x―2y+2=0等．）要点二：直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：要点诠释：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x 1≠x 2，y 1≠y 2），应用时若采用(y 2―y 1)(x ―x 1)―(x 2―x 1)(y ―y 1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．要点三：直线方程的综合应用1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．（1）从斜截式考虑已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,12121212//()l l k k b b αα⇒=⇒=≠；12121211221tan cot 12l l k k k k παααα⊥⇒-=⇒=-⇒=-⇒=- 于是与直线y kx b =+平行的直线可以设为1y kx b =+；垂直的直线可以设为21y x b k=-+． （2）从一般式考虑：11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1212120l l A A B B ⊥⇔+=121221//0l l A B A B ⇔-=且12210A C A C -≠或12210B C B C -≠，记忆式（111222A B C A B C =≠） 1l 与2l 重合，12210A B A B -=，12210A C A C -=，12210B C B C -=于是与直线0Ax By C ++=平行的直线可以设为0Ax By D ++=；垂直的直线可以设为0Bx Ay D -+=.【典型例题】类型一：直线的一般式方程例1．根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式：（1A （5，3）；（2）过点B （―3，0），且垂直于x 轴；（3）斜率为4，在y 轴上的截距为―2；（4）在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴；（5）经过C （―1，5），D （2，―1）两点；（6）在x ，y 轴上的截距分别是―3，―1．【答案】（130y -+-=（2）x+3=0（3）4x ―y ―2=0（4）4x ―y ―2=0（5）2x+y ―3=0（6）x+3y+3=0【解析】 （1）由点斜式方程得35)y x -=-30y -+-=．（2）x=―3，即x+3=0．（3）y=4x ―2，即4x ―y ―2=0．（4）y=3，即y ―3=0．（5）由两点式方程得5(1)152(1)y x ---=----，整理得2x+y ―3=0． （6）由截距式方程得131x y +=--，整理得x+3y+3=0． 【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x 的系数为正，x ，y 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x 项、y 项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．举一反三：【变式1】已知直线l 经过点A （―5，6）和点B （―4，8），求直线的一般式方程和截距式方程，并画图．【答案】2x －y+16=0 1816x y +=- 【解析】 所求直线的一般式方程为2x －y+16=0，截距式方程为1816x y +=-．图形如右图所示． 【高清课堂：直线的一般式 381507 例4】例2．ABC ∆的一个顶点为(1,4)A --，B ∠、C ∠ 的平分线在直线10y +=和10x y ++=上，求直线BC 的方程.【答案】230x y +-=【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，所以可得A 点关于B ∠的平分线的对称点'A 在BC 上，B 点关于C ∠的平分线的对称点'B 也在BC 上．写出直线''A B 的方程，即为直线BC 的方程.例3．已知直线1:310l ax y ++=，2:(2)0l x a y a +-+=，求满足下列条件的a 的值．（1）12//l l ；（2）12l l ⊥．【思路点拨】利用直线平行和垂直的条件去求解。

必修二第三章直线与方程（1）直线的倾斜角定义： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x 轴平行或重合时 , 我们规定它的倾斜角为0 度。

所以，倾斜角的取值范围是0°≤α＜ 180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用 k 表示。

即k tan。

斜率反应直线与轴的倾斜程度。

当直线 l与 x 轴平行或重合时 ,α =0° , k = tan0° =0;当直线 l与 x 轴垂直时 ,α = 90 ° , k不存在 .当0,90 时，k 0；当90 ,180时， k 0 ；当90时， k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式： k y2y1 (x1x2 )（ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠ x2 ）x2x1注意下边四点： (1)当 x1x2时，公式右侧无心义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与 P1、 P2的次序没关；(3)此后求斜率可不经过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率获得。

（3）直线方程①点斜式：y y1k( x x1 ) 直线斜率k，且过点x1, y1注意：当直线的斜率为= 0°时， k=0，直线的方程是y y1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不可以用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x ，所以它的方程是x=x 。

11②斜截式：y kx b ，直线斜率为k，直线在 y 轴上的截距为b③两点式：y y1x x1（ x1 x2 , y1y2）直线两点x1, y1，x2, y2y2y1x2x1④截矩式：xy 1 此中直线l与 x 轴交于点 (a,0) ,与y轴交于点 (0,b) ,即l与 x 轴、y轴a b的截距分别为 a,b 。