2019-2020学年江西省抚州市临川一中高一(上)第一次月考数学试卷
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当 ＝ 时， ，合题意，∴ ＝ ；
∴ ＝ ，
∵ ， ＝ ，
∴ ＝ 或 ， ， ， ，
或 ， ， ， ， ， ，
或 ， ， ， ，
或 ．
故满足条件的 有 个，
6.已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
根据 的定义域即可得出，要使得函数 有意义，则需满足 ，解出 的范围即可．
当 ＝ ，即 时， ，满足 成立；
当 ，即 时，集合 ＝ ，则 ，解得 ，∴ ；
当 ，即 时，集合 ＝ ，则 ，解得 ，∴ ，
综上实数 的取值范围为 ．
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
（1） ＝ 时，可以求出集合 ，然后进行交集、补集的运算即可；
（2）根据 ＝ 即可得出 ，并且得出 ＝ ，然后可讨论 与 的关系，从而求出集合 ，再根据 即可得出 的取值范围．
2019-2020学年江西省抚州市临川一中高一（上）第一次月考数学试卷
一、选择题.（每一题只有一个答案符合，每小题5分，共12小题，共60分）
1.已知全集 ＝ ，集合 ＝ ，集合 ＝ ，则 ＝（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
进行交集、补集的运算即可．
【解答】
∵ ＝ ， ＝ ， ＝ ，
【解答】
二次函数的对称轴为 ＝ ，
①当 时， 在 上单调递减， ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ， ＝ ，
两式作差得 ＝ ，
∵ ，∴ ＝ ，代入 ＝ ，
得 ＝ ，此方程无解；
②当 时， ＝ ，解得 ＝ ，
由 ＝ ，解得 ＝ ；
③当 时， 在 上单调递增，
∴ ＝ ， ＝ ．
即 ， 是方程 ＝ 的两根，即 ， 是方程 ＝ 的两根，
【解答】
当 ＝ 时， ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ；
∵ ＝ ，
∴ ，且 ＝ ，
当 ＝ ，即 时， ，满足 成立；
当 ，即 时，集合 ＝ ，则 ，解得 ，∴ ；
当 ，即 时，集合 ＝ ，则 ，解得 ，∴ ，
综上实数 的取值范围为 ．
已知函数 ＝ ，
（1）若 时，求函数 的最值．
（2）若 ，记函数 的最小值为 ，求 关于 的解析式．
【解答】
根据题意， ，则 ，①
函数 与 分别是定义域上的奇函数与偶函数，则 ＝ ＝ ，②
联立①②可得： ；
9.已知函数 ，其中 ，若函数 为幂函数且其在 上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，则 ＝（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【考点】
幂函数的性质
【解析】
利用幂函数的性质列出方程组，能求出结果．
即 ＝ ， ＝ ，（舍去）．
综上， ＝ ， ＝ ，此时 ＝ ．
设函数 不等式 的解集为________．
【答案】
【考点】
分段函数的应用
【解析】
在 上是单调递增函数；且 ，则不等式 ，再用单调性求解．
【解答】
由函数 在 上为奇函数且是单调递增函数；
∵
∴
则不等式 ，即 ，即 ；
三、解答题（第17题10分，18-22题每题12分，共70分）
【答案】
证明：任取 ， ，且 则 ＝ ，
又∵任意的实数 ， 都有 ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
又因为 时， ，而 ，∴ ，
【答案】
令 ，
则 ＝ ，
∴ ， ．
∴ ，其定义域为 ；
令 ，则 ＝ ，
∴ ＝ ＝ ， ．
当 时， 的最大值为 ，
∴原函数的值域为 ．
【考点】
函数的值域及其求法
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
（1）令 ，求得 ，代入原函数解析式，得到 ，则函数解析式可求；
（2）令 ，则 ＝ ，代入原函数解析式，得到关于 的一元二次函数，求其最小值，则函数 的值域可求．
当 时，配方整理得 ，
所以，当 时， 取得区间 上的最大值 .
综上，由 可知， 在区间 上可以取得最大值 ，
此时 ，即从二月一日开始的第 天时，上市的西红柿纯收益最大．
已知函数 对任意的实数 ， 都有 ＝ ，且当 时有 ．
（1）求证： 在 上为增函数；
（2）求证： 是 上的奇函数
（3）若 ＝ ，解不等式
已知集合 ＝ ，集合 ，则
（1）求 ；
（2）求 ．
【答案】
，
∴ ；
，
∴ ＝ ．
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
（1）可以求出集合 ， ，然后进行交集的运算即可；
（2）进行补集、并集的运算即可．
【解答】
，
∴ ；
，
∴ ＝ ．
已知函数 ，函数
（1）求函数 的解析式，并写出其定义域．
（2）求函数 的值域．
即
当 时，配方整理得 ．
所以，当 时， 取得区间 上的最大值 ；
当 时，配方整理得 ，
所以，当 时， 取得区间 上的最大值 .
综上，由 可知， 在区间 上可以取得最大值 ，
此时 ，即从二月一日开始的第 天时，上市的西红柿纯收益最大．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
函数的最值及其几何意义
【解析】
（1）观察图一可知此函数是分段函数 和 的解析式不同，分别求出各段解析式即可；第二问观察函数图象可知此图象是二次函数的图象根据图象中点的坐标求出即可．
【答案】
当 时， ＝ ， ，其对称轴为 ，
由于函数 ＝ 在 上递减，在 递增，
∴ 的最大值为 ＝ ，
的最小值为 ．
由 ＝ ，其对称轴为 ＝ ，
当 时，即 时， ＝ 在 上是递增的，
∴ ＝ ＝ ＝ ；
当 时，即 时， ＝ 在 上递减，在 递增，
；
当 时，即 时， ＝ 在 上递减∴ ＝ ＝ ＝ ，
综上： ．
【解答】
∵映射 ： ，
∴在映射 下元素 对应的原像中的元素 满足 ＝ ， ＝ ，
解得 ， ．
则在映射 下元素 的原像为 ．
已知函数 是定义域为 ，且函数 的图象关于 ＝ 对称且在 上是单调递增的，则不等式 的解集为________．
【答案】
【考点】
函数单调性的性质与判断
【解析】
根据题意可得出 是偶函数，并且 在 上单调递减，从而根据原不等式可得出 ，从而得出 ，解出 的范围即可．
【解答】
，解 得， ，
设 ＝ ，得 ，
＝ 在 上单调递减， 单调递减，
∴根据复合函数的单调性得 在 上单调递增，
∴ 的单调递增区间为 ．
8.已知函数 与 分别是定义域上的奇函数与偶函数，且 ，则 ＝（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【考点】
函数奇偶性的性质与判断结合函数的奇偶性可得 ＝ ＝ ，联立两式计算可得 的值，即可得答案．
【解答】
∵函数 在 上单调递增，则 ，
解得： ，
12.设函数 ，区间 ，集合 ，则使 成立的实数对 有（）
A. 个
B. 个
C. 个
D.无数多个
【答案】
C
【考点】
集合的相等
【解析】
由题设知对于集合 中的函数 的定义域为 ，对应的 的值域为 ．由函数 ，知 是增函数．故 ，由此能导出使 成立的实数对 的个数．
【解答】
∵集合 ，
∴当 ＝ 时， ，不合题意，舍去；
当 ＝ 时， ，不合题意，舍去；
当 ＝ 时， 无意义，不合题意，舍去；
当 ＝ 时， ，合题意，∴ ＝ ；
当 ＝ 时， ，合题意，∴ ＝ ；
当 ＝ 时， ，合题意，∴ ＝ ；
当 ＝ 时， ，合题意，∴ ＝ ；
当 ＝ 时， ，不合题意，舍去；
当 ＝ 时， ，合题意，∴ ＝ ；
【解答】
根据题意，函数 满足 ，
当 ＝ 时，有 ＝ ，①，
当 时，有 ，②，
联立①②解可得： ；
5.已知集合 ，集合 满足 ，则所有满足条件的集合 的个数为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【考点】
集合的包含关系判断及应用
【解析】
根据集合 的元素特点，可确定 中的元素，再由 ，确定满足条件的集合 的元素即可得到结论．
∴ ＝ ，
∴ ＝ ．
2.已知函数 ，则 的值为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【考点】
分段函数的应用
【解析】
根据题意，由函数的解析式可得 ＝ ，进而可得 ，由解析式计算可得答案．
【解答】
根据题意，函数 ，
则 ＝ ＝ ，
则 ＝ ；
3.设集合 ，则集合 和集合 的关系为（）
A. ＝
B.
C.
D.
【答案】
B
【考点】
【解答】
由题意， ＝ ＝ ，
∴ ， ．
方程可转化为 ＝ ．
整理，得 ＝ ．
∴ ＝ ， ＝ ．
可令 ，则 ， ＝ ．
故 ， ．
∵ ，即 ．
整理，得 ，
解得 ．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
11.已知函数 ，对任意 ， 且 时，有 ，则实数 的取值范围为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【考点】
分段函数的应用
【解析】
函数 ，在 上单调递增，则每段函数均为增函数，且当 ＝ 时，前一段函数的函数值不大于后一段函数的函数值，由此可构造满足条件的不等式组，解出实数 的取值范围．
当 ＝ 时， ，合题意，∴ ＝ ；
∴ ＝ ，
∵ ， ＝ ，
∴ ＝ 或 ， ， ， ，
或 ， ， ， ， ， ，
或 ， ， ， ，
或 ．
故满足条件的 有 个，
6.已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
根据 的定义域即可得出，要使得函数 有意义，则需满足 ，解出 的范围即可．
当 ＝ ，即 时， ，满足 成立；
当 ，即 时，集合 ＝ ，则 ，解得 ，∴ ；
当 ，即 时，集合 ＝ ，则 ，解得 ，∴ ，
综上实数 的取值范围为 ．
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
（1） ＝ 时，可以求出集合 ，然后进行交集、补集的运算即可；
（2）根据 ＝ 即可得出 ，并且得出 ＝ ，然后可讨论 与 的关系，从而求出集合 ，再根据 即可得出 的取值范围．
2019-2020学年江西省抚州市临川一中高一（上）第一次月考数学试卷
一、选择题.（每一题只有一个答案符合，每小题5分，共12小题，共60分）
1.已知全集 ＝ ，集合 ＝ ，集合 ＝ ，则 ＝（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
进行交集、补集的运算即可．
【解答】
∵ ＝ ， ＝ ， ＝ ，
【解答】
二次函数的对称轴为 ＝ ，
①当 时， 在 上单调递减， ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ， ＝ ，
两式作差得 ＝ ，
∵ ，∴ ＝ ，代入 ＝ ，
得 ＝ ，此方程无解；
②当 时， ＝ ，解得 ＝ ，
由 ＝ ，解得 ＝ ；
③当 时， 在 上单调递增，
∴ ＝ ， ＝ ．
即 ， 是方程 ＝ 的两根，即 ， 是方程 ＝ 的两根，
【解答】
当 ＝ 时， ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ；
∵ ＝ ，
∴ ，且 ＝ ，
当 ＝ ，即 时， ，满足 成立；
当 ，即 时，集合 ＝ ，则 ，解得 ，∴ ；
当 ，即 时，集合 ＝ ，则 ，解得 ，∴ ，
综上实数 的取值范围为 ．
已知函数 ＝ ，
（1）若 时，求函数 的最值．
（2）若 ，记函数 的最小值为 ，求 关于 的解析式．
【解答】
根据题意， ，则 ，①
函数 与 分别是定义域上的奇函数与偶函数，则 ＝ ＝ ，②
联立①②可得： ；
9.已知函数 ，其中 ，若函数 为幂函数且其在 上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，则 ＝（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【考点】
幂函数的性质
【解析】
利用幂函数的性质列出方程组，能求出结果．
即 ＝ ， ＝ ，（舍去）．
综上， ＝ ， ＝ ，此时 ＝ ．
设函数 不等式 的解集为________．
【答案】
【考点】
分段函数的应用
【解析】
在 上是单调递增函数；且 ，则不等式 ，再用单调性求解．
【解答】
由函数 在 上为奇函数且是单调递增函数；
∵
∴
则不等式 ，即 ，即 ；
三、解答题（第17题10分，18-22题每题12分，共70分）
【答案】
证明：任取 ， ，且 则 ＝ ，
又∵任意的实数 ， 都有 ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
又因为 时， ，而 ，∴ ，
【答案】
令 ，
则 ＝ ，
∴ ， ．
∴ ，其定义域为 ；
令 ，则 ＝ ，
∴ ＝ ＝ ， ．
当 时， 的最大值为 ，
∴原函数的值域为 ．
【考点】
函数的值域及其求法
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
（1）令 ，求得 ，代入原函数解析式，得到 ，则函数解析式可求；
（2）令 ，则 ＝ ，代入原函数解析式，得到关于 的一元二次函数，求其最小值，则函数 的值域可求．
当 时，配方整理得 ，
所以，当 时， 取得区间 上的最大值 .
综上，由 可知， 在区间 上可以取得最大值 ，
此时 ，即从二月一日开始的第 天时，上市的西红柿纯收益最大．
已知函数 对任意的实数 ， 都有 ＝ ，且当 时有 ．
（1）求证： 在 上为增函数；
（2）求证： 是 上的奇函数
（3）若 ＝ ，解不等式
已知集合 ＝ ，集合 ，则
（1）求 ；
（2）求 ．
【答案】
，
∴ ；
，
∴ ＝ ．
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
（1）可以求出集合 ， ，然后进行交集的运算即可；
（2）进行补集、并集的运算即可．
【解答】
，
∴ ；
，
∴ ＝ ．
已知函数 ，函数
（1）求函数 的解析式，并写出其定义域．
（2）求函数 的值域．
即
当 时，配方整理得 ．
所以，当 时， 取得区间 上的最大值 ；
当 时，配方整理得 ，
所以，当 时， 取得区间 上的最大值 .
综上，由 可知， 在区间 上可以取得最大值 ，
此时 ，即从二月一日开始的第 天时，上市的西红柿纯收益最大．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
函数的最值及其几何意义
【解析】
（1）观察图一可知此函数是分段函数 和 的解析式不同，分别求出各段解析式即可；第二问观察函数图象可知此图象是二次函数的图象根据图象中点的坐标求出即可．
【答案】
当 时， ＝ ， ，其对称轴为 ，
由于函数 ＝ 在 上递减，在 递增，
∴ 的最大值为 ＝ ，
的最小值为 ．
由 ＝ ，其对称轴为 ＝ ，
当 时，即 时， ＝ 在 上是递增的，
∴ ＝ ＝ ＝ ；
当 时，即 时， ＝ 在 上递减，在 递增，
；
当 时，即 时， ＝ 在 上递减∴ ＝ ＝ ＝ ，
综上： ．
【解答】
∵映射 ： ，
∴在映射 下元素 对应的原像中的元素 满足 ＝ ， ＝ ，
解得 ， ．
则在映射 下元素 的原像为 ．
已知函数 是定义域为 ，且函数 的图象关于 ＝ 对称且在 上是单调递增的，则不等式 的解集为________．
【答案】
【考点】
函数单调性的性质与判断
【解析】
根据题意可得出 是偶函数，并且 在 上单调递减，从而根据原不等式可得出 ，从而得出 ，解出 的范围即可．
【解答】
，解 得， ，
设 ＝ ，得 ，
＝ 在 上单调递减， 单调递减，
∴根据复合函数的单调性得 在 上单调递增，
∴ 的单调递增区间为 ．
8.已知函数 与 分别是定义域上的奇函数与偶函数，且 ，则 ＝（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【考点】
函数奇偶性的性质与判断结合函数的奇偶性可得 ＝ ＝ ，联立两式计算可得 的值，即可得答案．
【解答】
∵函数 在 上单调递增，则 ，
解得： ，
12.设函数 ，区间 ，集合 ，则使 成立的实数对 有（）
A. 个
B. 个
C. 个
D.无数多个
【答案】
C
【考点】
集合的相等
【解析】
由题设知对于集合 中的函数 的定义域为 ，对应的 的值域为 ．由函数 ，知 是增函数．故 ，由此能导出使 成立的实数对 的个数．
【解答】
∵集合 ，
∴当 ＝ 时， ，不合题意，舍去；
当 ＝ 时， ，不合题意，舍去；
当 ＝ 时， 无意义，不合题意，舍去；
当 ＝ 时， ，合题意，∴ ＝ ；
当 ＝ 时， ，合题意，∴ ＝ ；
当 ＝ 时， ，合题意，∴ ＝ ；
当 ＝ 时， ，合题意，∴ ＝ ；
当 ＝ 时， ，不合题意，舍去；
当 ＝ 时， ，合题意，∴ ＝ ；
【解答】
根据题意，函数 满足 ，
当 ＝ 时，有 ＝ ，①，
当 时，有 ，②，
联立①②解可得： ；
5.已知集合 ，集合 满足 ，则所有满足条件的集合 的个数为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【考点】
集合的包含关系判断及应用
【解析】
根据集合 的元素特点，可确定 中的元素，再由 ，确定满足条件的集合 的元素即可得到结论．
∴ ＝ ，
∴ ＝ ．
2.已知函数 ，则 的值为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【考点】
分段函数的应用
【解析】
根据题意，由函数的解析式可得 ＝ ，进而可得 ，由解析式计算可得答案．
【解答】
根据题意，函数 ，
则 ＝ ＝ ，
则 ＝ ；
3.设集合 ，则集合 和集合 的关系为（）
A. ＝
B.
C.
D.
【答案】
B
【考点】
【解答】
由题意， ＝ ＝ ，
∴ ， ．
方程可转化为 ＝ ．
整理，得 ＝ ．
∴ ＝ ， ＝ ．
可令 ，则 ， ＝ ．
故 ， ．
∵ ，即 ．
整理，得 ，
解得 ．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
11.已知函数 ，对任意 ， 且 时，有 ，则实数 的取值范围为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【考点】
分段函数的应用
【解析】
函数 ，在 上单调递增，则每段函数均为增函数，且当 ＝ 时，前一段函数的函数值不大于后一段函数的函数值，由此可构造满足条件的不等式组，解出实数 的取值范围．
