专题07 二次函数中基于对称轴进行分类讨论及求解函数最值题型(原卷版)

（完整版）二次函数综合题分类讨论带答案.doc二次函数综合题分类讨论一、直角三角形分类讨论：11、已知点 A(1 ，0),B（ -5,0），在直线y 2 x 2 上存在点C，使得 ABC 为直角三角形，这样的 C 点你能找到个2、如图 1，已知抛物线C1：y a x 2 2 5 的顶点为 P，与 x 轴相较于 A 、 B 两点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1.（1）求P 点坐标及a的值；（ 2）如图 1，抛物线C2与抛物线C1关于x 轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后得到抛物线C3， C,3的顶点为 M ，当点 P、 M 关于点 B 成中心对称时，求C,3的解析式；（ 3）如图 2，点 Q 是 x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q 旋转180 后得到抛物线C,4，抛物线 C,4的顶点为N，与 x 轴相交于 E、 F 两点（点 E 在点 F 的左边），当以点 P、N、 F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标。

（2013 汇编 P56+P147）3、如图，矩形A’BC’O’是矩形 OABC( 边 OA 在 x 轴正半轴上，边 OC 在 y 轴正半轴上 )绕 B 点逆时针旋转得到的．O’点在 x 轴的正半轴上， B 点的坐标为 (1，3)．(1)如果二次函数 y＝ ax2＋ bx＋c(a≠0)的图象经过 O、O’两点且图象顶点 M 的纵坐标为—1．求这个二次函数的解析式；(2) 在 (1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得POM 为直角三角形若存在，请求出P 点的坐标和POM 的面积；若不存在，请说明理由；(3)求边C’O’所在直线的解析式．练习（ 09 成都 28）已知抛物线与x 轴交于 A 、 B 两点 (点 A 在点 B 的左侧 )，与 y 轴交于点C，其顶点为 M ，若直线 MC 的函数表达式为 y=kx-3 ，与 x 轴的交点为N，且cos∠BCO ＝(3 √ (10) /10)．（ 1）求此抛物线的解析式；（ 2）在此抛物线上是否存在异于点 C 的点 P，使以 N 、 P、C 为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；（ 3）过点 A 作 x 轴的垂线，交直线 MC 于点 Q. 若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度5 ?4A 二、4321N2 B 2 4 6 8 10 12 14 16 18123P4M56等腰三角形分类讨论1、如图，已知 Rt Rt ABC , ACB 90 , BAC 30 , 在直线BC或直线AC上取一点P，使得 PAB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有个2 A的坐标为(12)，，点B的坐标为(31)，，二次函数 y x2、①，在平面直角坐标系中，点的图象记为抛物线l1．（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：（任写一个即可）．（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过A，B两点，记为抛物线l2，如图②，求抛物线l2 的函数表达式．（3）设抛物线l2 △△，求点 K 的坐标．的顶点为 C ， K 为 y 轴上一点．若S ABK SABC（ 4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线l 2上是否存在点P ，使△ ABP 为等腰三角形．若存在，请判断点P 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师．yyyl 2l 1l 2AAA1B1CBx1BO xOO 111图①图②图③解：（ 1 ）有多种答案，符合条件即可．例如yx 2 1， y x 2 x ， y( x 1)22 或y x 2 2x 3 ， y (x2 1)2 ， y (x 12) 2 ．（2）设抛物线 l 2 的函数表达式为 y x 2bxc ，yl 2Q 点 A(12)，， B(31)，在抛物线 l 2 上，KGA1 b c ，b9 ，2 29 3b c 解得111c.抛物线 l 2 的函数表达式为y x 2 9 x 11 ．2 29 x 119 27 ，9，7（3） yx 2 xC 点的坐标为．2 2 4 164 16 过 A ， B ， C 三点分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 D ，E ，F ，则 AD 2 ， CF7 ， BE1， DE5 ， FE316 2 ， DF．44 S △ ABCS 梯形ADEBS梯形 ADFCS梯形 CFEB1(2 1) 2 1 2 75 1 1 73 15 ．2 2 164 2 164 16延长 BA 交 y 轴于点 G ，设直线 AB 的函数表达式为 y mx n ，2 m ，m1 ，Q 点 A(12)，， B(31)，在直线 AB 上， n21 3m 解得5n.n.2直线 AB 的函数表达式为 y1x 5 G 点的坐标为52 ．0，．22BCO D F E图②设 K 点坐标为(0，h)，分两种情况：若 K 点位于 G 点的上方，则KG h 5 ．连结AK ，BK ．2S△ABK S△BKG S△AKG 1 3 h 5 1 1 h 5 h 5 ．2 2 2 2 2Q S△ABK15 5 15，解得 h55K 点的坐标为55 S△ABC ，h16 16．0，．16 2 16若 K 点位于 G 点的下方，则KG 5h ．同理可得， h25．2 16 yK 点的坐标为25．l 2 0，16 A（4）作图痕迹如图③所示． B由图③可知，点P 共有3个可能的位置．O图③2、如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，y点 A 、 C 的坐标分别为A(10 ， 0)、 C（ 0,4），点 D 是 OA 的中点，点 P 在PCBC 边上运动，当是腰长为 5 的等腰三角形时，点P 的坐标为O D 3、在菱形 ABCD 中，对角线AC ， BD 相交于点 O，以 O 为坐标原点，以 BD 所在直线为 x 轴， CA 所在直线为 y 轴建立如图所示的坐标系，且AC=12 ，BD=16 ，E 为 AD 的中点，点 P 在线段 BD 上移动，若为等腰三角形，则所有符合条件的点P 的坐标为三、最值问题 B类型一：两点之间线段最短 C 1、请写出2m 3 2 1 8 2m 2 4 的最小值为 A2、如图，四边形ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，对角线BD 上60 ，得到BN，连EN任一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转EN、 AM 、CM ，求证：（ 1）AMB ENB ，(2)M点在何处时，AM+CM值最小，（3）AM+BM+CN 最小值为3 1 时，求正方形的边长（2012 汇编P52+P137） B xBxAyAExDDMC3、（ 2010 年天津 25）在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A 、B 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，OA=3 ，OB=4 ，D 为边 OB 的中点。

第七讲二次函数的最值问题二次函数 y ax2 bx c ( a 0) 是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取随意实数时的最值状况( 当a 0 时，函数在 x b 处获得最小值4ac b2 ，无最大值；当 a 0 时，函数在x b 处获得2a 4a 2a最大值4ac b2，无最小值．4a本节我们将在这个基础上持续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实质生活中的简单应用．【例 1】当 2 x 2 时，求函数y x 23 的最大值和最小值．2x剖析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，察看图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．解：作出函数的图象．当x 1 时， y min 4 ，当x 2 时，y max5．【例 2】当1 x 2时，求函数yx 2x 1 的最大值和最小值．解：作出函数的图象．当 x 1 时，y min 1，当x 2 时，y max5 ．由上述两例能够看到，二次函数在自变量 x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．依据二次函数对称轴的地点，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下边给出一些常有状况：【例 3】当x 0 时，求函数y x(2 x) 的取值范围．解：作出函数y x(2 x) x2 2x 在 x 0内的图象．能够看出：当x 1时，y min 1，无最大值．因此，当 x 0 时，函数的取值范围是 y1．【例 4】当 tx t 1时，求函数 y1 x2 x 5 的最小值 (此中 t 为常数 )．22剖析： 因为 x 所给的范围跟着 t 的变化而变化，因此需要比较对称轴与其范围的相对位 置．解： 函数 y1 x2 x5 的对称轴为 x 1 ．画出其草图．221 t 25(1) 当对称轴在所给范围左边．即t1时： 当 x t 时， y mint；22(2) 当对称轴在所给范围之间．即当 x1时， y min1 122(3) 当对称轴在所给范围右边．即当 xt 1 时， y min1(t2t1 t1 0 t 1 时：1 5 3；2 t 1 1 t 0 时：1)2 (t1) 5 1 t 2 3．2 21 t2 3,t 0 2综上所述： y 3,0t11 t2 t 5, t 1 2 2在实质生活中，我们也会碰到一些与二次函数相关的问题： 【例 5】某商场以每件30 元的价钱购进一种商品，试销中发现这类商品每日的销售量m (件 )与每件的销售价 x (元 )知足一次函数 m 162 3x,30x 54 ．(1) 写出商场卖这类商品每日的销售收益y 与每件销售价 x 之间的函数关系式；(2) 若商场要想每日获取最大销售收益，每件商品的售价定为多少最适合？最大销售收益为多少？解： (1) 由已知得每件商品的销售收益为( x 30) 元，那么 m 件的销售收益为 ym( x 30) ，又 m 162 3x ．y (x 30)(162 3x)3x 2252x 4860,30x 54(2) 由 (1)知对称轴为 x 42 ，位于 x 的范围内，另抛物线张口向下当 x42 时， y max3 422 252 42 4860432当每件商品的售价定为42 元时每日有最大销售收益，最大销售收益为432 元．练习A组1．抛物线y x2(m 4) x 2m 3 ，当m= _____时，图象的极点在y 轴上；当 m = _____时，图象的极点在x 轴上；当 m = _____时，图象过原点．2．用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为________ ．3．求以下二次函数的最值：(1)y 2x2 4 x 5；(2)y (1 x)( x 2) ．4．求二次函数y 2 x23x 5 在 2 x 2 上的最大值和最小值，并求对应的x 的值．5．对于函数y 2 x24x 3 ，当x0 时，求 y 的取值范围．6．求函数y 35x 3x2 2 的最大值和最小值．7．已知对于x 的函数y x2(2t 1)x t21，当t取何值时，y 的最小值为0？B组1．已知对于x 的函数y x22ax 2 在 5 x 5 上．(1) 当a1时，求函数的最大值和最小值；(2)当 a 为实数时，求函数的最大值．2．函数y x22x 3 在m x 0 上的最大值为3，最小值为2，求m的取值范围．3．设a 0，当1 x 1时，函数y x2 ax b 1的最小值是4，最大值是0，求a, b 的值．4．已知函数y x22ax 1 在 1 x 2 上的最大值为4，求a的值．5．求对于x 的二次函数y x22tx 1在 1 x1上的最大值( t 为常数)第七讲 二次函数的最值问题答案A 组1．4 14或 2，32． l 2 m 22163． (1) 有最小值 3，无最大值； (2) 有最大值9，无最小值．3314时， y min2 时， y max 19 ．4．当 x 8 ；当 x45． y55 时， y min 3323 ．6．当 x；当 x或 1 时， y max6637．当 t5时， y min．4B 组1． (1) 当 x 1时， y min 1 ；当 x 5时， y max 37 ． (2) 当 a0 时， y max27 10a ；当 a 0 时， y max 27 10a ．2．2 m1 ．3． a 2, b2 ．4． a1 1．或 a45．当 t 0 时， y max 2 2t ，此时 x 1；当 t 0 时， y max 2 2t ，此时 x 1．。

三年（2019-2021）中考真题数学分项汇编（浙江专用）专题07二次函数一．选择题（共15小题）1．（2021•绍兴）关于二次函数y ＝2（x ﹣4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值6【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数有最小值，最小值为6，然后即可判断哪个选项是正确的．【详解】解：∵二次函数y ＝2（x ﹣4）2+6，a ＝2＞0，∴该函数图象开口向上，有最小值，当x ＝2取得最小值6，故选：D ．2．（2021•杭州）在“探索函数y ＝ax 2+bx +c 的系数a ，b ，c 与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A （0，2），B （1，0），C （3，1），D （2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a 的值最大为（ ）A ．52B ．32C ．56D ．12 【分析】比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向，开口向下，则a ＜0，只需把开口向上的二次函数解析式求出即可．【详解】解：由图象知，A 、B 、D 组成的点开口向上，a ＞0；A 、B 、C 组成的二次函数开口向上，a ＞0；B 、C 、D 三点组成的二次函数开口向下，a ＜0；A 、D 、C 三点组成的二次函数开口向下，a ＜0；即只需比较A 、B 、D 组成的二次函数和A 、B 、C 组成的二次函数即可．设A 、B 、C 组成的二次函数为y 1＝a 1x 2+b 1x +c 1，把A （0，2），B （1，0），C （3，1）代入上式得，{c 1=2a 1+b 1+c 1=09a 1+3b 1+c 1=1，解得a 1=56；设A 、B 、D 组成的二次函数为y ＝ax 2+bx +c ，把A （0，2），B （1，0），D （2，3）代入上式得，{c =2a +b +c =04a +2b +c =3，解得a =52，即a 最大的值为52， 故选：A ．3．（2020•衢州）二次函数y ＝x 2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（ ）A ．向左平移2个单位，向下平移2个单位B ．向左平移1个单位，向上平移2个单位C ．向右平移1个单位，向下平移1个单位D ．向右平移2个单位，向上平移1个单位【分析】求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可．【详解】解：A 、平移后的解析式为y ＝（x +2）2﹣2，当x ＝2时，y ＝14，本选项不符合题意．B 、平移后的解析式为y ＝（x +1）2+2，当x ＝2时，y ＝11，本选项不符合题意．C 、平移后的解析式为y ＝（x ﹣1）2﹣1，当x ＝2时，y ＝0，函数图象经过（2，0），本选项符合题意．D 、平移后的解析式为y ＝（x ﹣2）2+1，当x ＝2时，y ＝1，本选项不符合题意．故选：C ．4．（2021•湖州）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴的交点为A （1，0）和B （3，0），点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是抛物线上不同于A ，B 的两个点，记△P 1AB 的面积为S 1，△P 2AB 的面积为S 2，有下列结论：①当x 1＞x 2+2时，S 1＞S 2；②当x 1＜2﹣x 2时，S 1＜S 2；③当|x 1﹣2|＞|x 2﹣2|＞1时，S 1＞S 2；④当|x 1﹣2|＞|x 2+2|＞1时，S 1＜S 2．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【分析】不妨假设a ＞0，利用图象法一一判断即可．【详解】解：不妨假设a ＞0．①如图1中，P 1，P 2满足x 1＞x 2+2，∵P1P2∥AB，∴S1＝S2，故①错误．②当x1＝﹣2,x2＝﹣1,满足x1＜2﹣x2，则S1＞S2，故②错误，③∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，∴P1，P2在x轴的上方，且P1离x轴的距离比P2离x轴的距离大，∴S1＞S2，故③正确，④如图1中，P1，P2满足|x1﹣2|＞|x2+2|＞1，但是S1＝S2，故④错误．故选：A．5．（2020•宁波）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（）A．abc＜0B．4ac﹣b2＞0C．c﹣a＞0D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c【分析】由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，根据对称轴方程得到b ＞0，于是得到abc＞0，故A错误；根据二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点，得到b2﹣4ac＞0，求得4ac﹣b2＜0，故B错误；根据对称轴方程得到b＝2a，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，于是得到c﹣a＜0，故C错误；当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，代入解析式得到y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）2+b（﹣n2﹣2）+c＝an2（n2+2）+c，于是得到y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正确．【详解】解：由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，又对称轴方程为x＝﹣1，所以−b2a＜0，所以b＞0，∴abc＞0，故A错误；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故B错误；∵−b2a=−1，∴b＝2a，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣2a+c＜0，∴c﹣a＜0，故C错误；当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）2+b（﹣n2﹣2）+c＝an2（n2+2）+c，∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，∴y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正确，故选：D．6．（2020•温州）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（）A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．【详解】解：抛物线的对称轴为直线x=−−122×(−3)=−2，∵a＝﹣3＜0，∴x＝﹣2时，函数值最大，又∵﹣3到﹣2的距离比1到﹣2的距离小，∴y3＜y1＜y2．故选：B．7．（2020•嘉兴）已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是（）A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值B ．当n ﹣m ＝1时，b ﹣a 有最大值C ．当b ﹣a ＝1时，n ﹣m 无最小值D ．当b ﹣a ＝1时，n ﹣m 有最大值 【分析】方法1、①当b ﹣a ＝1时，当a ，b 同号时，先判断出四边形BCDE 是矩形，得出BC ＝DE ＝b ﹣a ＝1，CD ＝BE ＝m ，进而得出AC ＝n ﹣m ，即tan ∠ABC ＝n ﹣m ，再判断出45°≤∠ABC ＜90°，即可得出n ﹣m 的范围，当a ，b 异号时，m ＝0，当a =−12，b =12时，n 最小=14，即可得出n ﹣m 的范围； ②当n ﹣m ＝1时，当a ，b 同号时，同①的方法得出NH ＝PQ ＝b ﹣a ，HQ ＝PN ＝m ，进而得出MH ＝n ﹣m ＝1，而tan ∠MHN =1b−a ，再判断出45°≤∠MNH ＜90°，当a ，b 异号时，m ＝0，则n ＝1，即可求出a ，b ，即可得出结论．方法2、根据抛物线的性质判断，即可得出结论．【详解】解：方法1、①当b ﹣a ＝1时，当a ，b 同号时，如图1，过点B 作BC ⊥AD 于C ，∴∠BCD ＝90°，∵∠ADE ＝∠BED ＝90°，∴∠ADE ＝∠BCD ＝∠BED ＝90°，∴四边形BCDE 是矩形，∴BC ＝DE ＝b ﹣a ＝1，CD ＝BE ＝m ，∴AC ＝AD ﹣CD ＝n ﹣m ，在Rt △ACB 中，tan ∠ABC =AC BC =n ﹣m ，∵点A ，B 在抛物线y ＝x 2上，且a ，b 同号，∴45°≤∠ABC ＜90°，∴tan ∠ABC ≥1，∴n ﹣m ≥1，当a ，b 异号时，m ＝0，当a =−12，b =12时，n =14，此时，n ﹣m =14，∴14≤n ﹣m ＜1， 即n ﹣m ≥14，即n ﹣m 无最大值，有最小值，最小值为14，故选项C ，D 都错误；②当n ﹣m ＝1时，如图2，当a ，b 同号时，过点N 作NH ⊥MQ 于H ，同①的方法得，NH ＝PQ ＝b ﹣a ，HQ ＝PN ＝m ，∴MH ＝MQ ﹣HQ ＝n ﹣m ＝1，在Rt △MHN 中，tan ∠MNH =MH NH =1b−a， ∵点M ，N 在抛物线y ＝x 2上，∴m ≥0，当m ＝0时，n ＝1，∴点N （0，0），M （1，1），∴NH ＝1，此时，∠MNH ＝45°，∴45°≤∠MNH ＜90°，∴tan ∠MNH ≥1，∴1b−a ≥1，当a ，b 异号时，m ＝0，∴n ＝1，∴a ＝﹣1，b ＝1，即b ﹣a ＝2，∴b ﹣a 无最小值，有最大值，最大值为2，故选项A 错误；故选：B ．方法2、当n ﹣m ＝1时，当a ，b 在y 轴同侧时，a ，b 都越大时，a ﹣b 越接近于0，但不能取0，即b ﹣a 没有最小值，当a ，b 异号时，当a ＝﹣1，b ＝1时，b ﹣a ＝2最大，当b ﹣a ＝1时，当a ，b 在y 轴同侧时，a ，b 离y 轴越远，n ﹣m 越大，但取不到最大，当a ，b 在y 轴两侧时，当a =−12，b =12时，n ﹣m 取到最小，最小值为14， 因此，只有选项B 正确，故选：B．8．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c 是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（）A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0【分析】选项B正确，利用判别式的性质证明即可．【详解】解：A、错误．由M1＝2，M2＝2，可得a2﹣4＞0，b2﹣8＞0，取a＝3，b2＝12，则c=b2a=4，此时c2﹣16＝0．故A错误．B、正确．理由：∵M1＝1，M2＝0，∴a2﹣4＝0，b2﹣8＜0，∵a，b，c是正实数，∴a＝2，∵b2＝ac，∴c=12b2，对于y3＝x2+cx+4，则有△＝c2﹣16=14b4﹣16=14（b4﹣64）=14（b2+8）（b2﹣8）＜0，∴M3＝0，∴选项B正确，C、错误．由M1＝0，M2＝2，可得a2﹣4＜0，b2﹣8＞0，取a＝1，b2＝18，则c=b2a=18，此时c2﹣16＞0．故C错误．D、由M1＝0，M2＝0，可得a2﹣4＜0，b2﹣8＜0，取a＝1，b2＝4，则c=b2a=4，此时c2﹣16＝0．故D错误．故选：B．9．（2020•杭州）设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（）A．若h＝4，则a＜0B．若h＝5，则a＞0C．若h＝6，则a＜0D．若h＝7，则a＞0【分析】当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式整理得a（9﹣2h）＝1，将h的值分别代入即可得出结果．【详解】解：当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：{1=a(1−ℎ)2+k 8=a(8−ℎ)2+k，∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，整理得：a（9﹣2h）＝1，若h＝4，则a＝1，故A错误；若h＝5，则a＝﹣1，故B错误；若h＝6，则a=−13，故C正确；若h＝7，则a=−15，故D错误；故选：C．10．（2019•湖州）已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次函数y ＝ax 2+bx 与一次函数y ＝ax +b （a ≠0）可以求得它们的交点坐标，然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a 、b 的正负情况，从而可以解答本题．【详解】解：{y =ax 2+bx y =ax +b 解得{x =−b a y =0或{x =1y =a +b ． 故二次函数y ＝ax 2+bx 与一次函数y ＝ax +b （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x 轴上为（−b a，0）或点（1，a +b ）．在A 中，由一次函数图象可知a ＞0，b ＞0，二次函数图象可知，a ＞0，b ＞0，−b a ＜0，a +b ＞0，故选项A 有可能；在B 中，由一次函数图象可知a ＞0，b ＜0，二次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，由|a |＞|b |，则a +b ＞0，故选项B 有可能；在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，a+b＜0，故选项C有可能；在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项D不可能；故选：D．11．（2019•杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A．M＝N﹣1或M＝N+1B．M＝N﹣1或M＝N+2C．M＝N或M＝N+1D．M＝N或M＝N﹣1【分析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．【详解】解：∵y＝（x+a）（x+b），a≠b，∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，∴M＝2，∵函数y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，∴当ab≠0时，△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N；当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝（ax+1）（bx+1）＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1；综上可知，M＝N或M＝N+1．故选：C．另一解法：∵a≠b，∴抛物线y＝（x+a）（x+b）与x轴有两个交点，∴M＝2，又∵函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，而y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，它至多是一个二次函数，至多与x轴有两个交点，∴N≤2，∴N≤M，∴不可能有M＝N﹣1，故排除A、B、D，故选：C ．12．（2019•舟山）小飞研究二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2﹣m +1（m 为常数）性质时得到如下结论： ①这个函数图象的顶点始终在直线y ＝﹣x +1上；②存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A （x 1，y 1）与点B （x 2，y 2）在函数图象上，若x 1＜x 2，x 1+x 2＞2m ，则y 1＜y 2；④当﹣1＜x ＜2时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围为m ≥2．其中错误结论的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对4个结论作出判断即可．【详解】解：二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2﹣m +1（m 为常数）①∵顶点坐标为（m ，﹣m +1）且当x ＝m 时，y ＝﹣m +1∴这个函数图象的顶点始终在直线y ＝﹣x +1上故结论①正确；②假设存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形令y ＝0，得﹣（x ﹣m ）2﹣m +1＝0，其中m ≤1解得：x 1＝m −√−m +1，x 2＝m +√−m +1∵顶点坐标为（m ，﹣m +1），且顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形∴|﹣m +1|＝|m ﹣（m −√−m +1）|解得：m ＝0或1，当m ＝1时，二次函数y ＝﹣（x ﹣1）2，此时顶点为（1，0），与x 轴的交点也为（1，0），不构成三角形，舍去；∴存在m ＝0，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形故结论②正确；③∵x 1+x 2＞2m∴x 1+x 22＞m∵二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2﹣m +1（m 为常数）的对称轴为直线x ＝m∴点A 离对称轴的距离小于点B 离对称轴的距离∵x 1＜x 2，且a ＝﹣1＜0∴y 1＞y 2故结论③错误；④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，且a＝﹣1＜0∴m的取值范围为m≥2．故结论④正确．故选：C．13．（2019•绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向左平移8个单位D．向右平移8个单位【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【详解】解：y＝（x+5）（x﹣3）＝（x+1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y＝（x+3）（x﹣5）＝（x﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y＝（x+5）（x﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），故选：B．14．（2019•温州）已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值﹣1，有最小值﹣2B．有最大值0，有最小值﹣1C．有最大值7，有最小值﹣1D．有最大值7，有最小值﹣2【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．【详解】解：∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，∴在﹣1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值﹣2，当x＝﹣1时，有最大值为y＝9﹣2＝7．故选：D．15．（2019•衢州）二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）【分析】由抛物线顶点式可求得答案．【详解】解：∵y＝（x﹣1）2+3，∴顶点坐标为（1，3），故选：A ．二．填空题（共3小题）16．（2021•湖州）已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（3，4），M 是抛物线y ＝ax 2+bx +2（a ≠0）对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当b a 的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM 为直角三角形的点M 的个数也随之确定，若抛物线y ＝ax 2+bx +2（a ≠0）的对称轴上存在3个不同的点M ，使△AOM 为直角三角形，则b a 的值是 2或﹣8 ． 【分析】由题意△AOM 是直角三角形，当对称轴x ≠0或x ≠3时,可知一定存在两个以A ，O 为直角顶点的直角三角形，当对称轴x ＝0或x ＝3时，不存在满足条件的点M ,当以OA 为直径的圆与抛物线的对称轴x =−b 2a相切时，对称轴上存在1个以点M 为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点M ，使△AOM 为直角三角形，利用图象法求解即可．【详解】解：∵△AOM 是直角三角形，∴当对称轴x ≠0或x ≠3时，一定存在两个以A ，O 为直角顶点的直角三角形，且点M 在对称轴上的直角三角形，当对称轴x ＝0或x ＝3时，不存在满足条件的点M ,∴当以OA 为直径的圆与抛物线的对称轴x =−b 2a相切时，对称轴上存在1个以M 为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点M ，使△AOM 为直角三角形（如图所示）．观察图象可知，−b 2a =−1或4，∴b a =2或﹣8， 故答案为：2或﹣8．17．（2021•温州）图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2），则图1中所标注的d的值为6﹣2√3；记图1中小正方形的中心为点A，B，C，图2中的对应点为点A′，B′，C′．以大正方形的中心O为圆心作圆，则当点A′，B′，C′在圆内或圆上时，圆的最小面积为(16﹣8√3)π．【分析】如图，连接FW,由题意可知点A′,O,C′在线段FW上,连接OB′,B′C′,过点O作OH⊥B′C′于H．证明∠EGF＝30°,解直角三角形求出JK,OH,B′H,再求出OB′2,可得结论．【详解】解：如图，连接FH,由题意可知点A′,O,C′在线段FW上,连接OB′,B′C′,过点O作OH⊥B′C′于H．∵大正方形的面积＝12，∴FG＝GW＝2√3,∵EF＝WK＝2,∴在Rt△EFG中，tan∠EGF=EFFG=2√3=√33,∴∠EGF＝30°,∵JK∥FG,∴∠KJG＝∠EGF＝30°,∴d＝JK=√3GK=√3(2√3−2)＝6﹣2√3,∵OF＝OW=12FW=√6,C′W=√2,∴OC′=√6−√2,∵B′C′∥QW,B′C′＝2,∴∠OC′H＝∠FWQ＝45°,∴OH＝HC′=√3−1,∴HB′＝2﹣(√3−1)＝3−√3,∴OB′2＝OH2+B′H2＝(√3−1)2+(3−√3)2＝16﹣8√3,∵OA′＝OC′＜OB′,∴当点A′，B′，C′在圆内或圆上时，圆的最小面积为(16﹣8√3)π．故答案为：6﹣2√3，(16﹣8√3)π．18．（2021•台州）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝√2．【分析】利用h＝vt﹣4.9t2，求出t1,t2,再根据h1＝2h2，求出v1=√2v2,可得结论．【详解】解：由题意，t1=v14.9,t2=v24.9,h1=−v12−4×4.9=v124×4.9,h2=−v22−4×4.9=v224×4.9,∵h1＝2h2，∴v1=√2v2,∴t1：t2＝v1:v2=√2,故答案为：√2．三．解答题（共7小题）19．（2021•宁波）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．（1）求a的值．（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．【分析】（1）根据抛物线解析式得到抛物线与x 轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质求得a 的值即可．（2）将a 的值代入，结合抛物线解析式求平移后图象所对应的二次函数的表达式．【详解】解：（1）由二次函数y ＝（x ﹣1）（x ﹣a ）（a 为常数）知，该抛物线与x 轴的交点坐标是（1，0）和（a ，0）．∵对称轴为直线x ＝2，∴1+a 2=2．解得a ＝3；（2）由（1）知，a ＝3，则该抛物线解析式是：y ＝x ²﹣4x +3．∴抛物线向下平移3个单位后经过原点．∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是y ＝x ²﹣4x ．20．（2021•金华）某游乐场的圆形喷水池中心O 有一雕塑OA ，从A 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x 轴，点O 为原点建立直角坐标系，点A 在y 轴上，x 轴上的点C ，D 为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y =−16（x ﹣5）2+6．（1）求雕塑高OA ．（2）求落水点C ，D 之间的距离．（3）若需要在OD 上的点E 处竖立雕塑EF ，OE ＝10m ，EF ＝1.8m ，EF ⊥OD ．问：顶部F 是否会碰到水柱？请通过计算说明．【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A 的坐标，进而可得出雕塑高OA 的值；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D 的坐标，进而可得出OD 的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同,可得出OC 的长，结合CD ＝OC +OD 即可求出落水点C ，D 之间的距离;（3）代入x ＝10求出y 值，进而可得出点（10，116）在抛物线y =−16（x ﹣5）2+6上，将116与1.8比较后即可得出顶部F 不会碰到水柱． 【详解】解：（1）当x ＝0时，y =−16（0﹣5）2+6=116， ∴点A 的坐标为（0，116）， ∴雕塑高116m ．（2）当y ＝0时，−16（x ﹣5）2+6＝0，解得：x 1＝﹣1（舍去），x 2＝11，∴点D 的坐标为（11，0），∴OD ＝11m ．∵从A 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同,∴OC ＝OD ＝11m ，∴CD ＝OC +OD ＝22m ．（3）当x ＝10时，y =−16（10﹣5）2+6=116，∴点（10，116）在抛物线y =−16（x ﹣5）2+6上． 又∵116≈1.83＞1.8，∴顶部F 不会碰到水柱．21．（2021•湖州）如图，已知经过原点的抛物线y ＝2x 2+mx 与x 轴交于另一点A （2，0）．（1）求m 的值和抛物线顶点M 的坐标；（2）求直线AM 的解析式．【分析】（1）将A （2，0）代入抛物线解析式即可求出m 的值，然后将关系式化为顶点式即可得出顶点坐标；（2）设直线AM 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将点A ，M 的坐标代入即可．【详解】解：（1）∵抛物线y ＝2x 2+mx 与x 轴交于另一点A （2，0），∴2×22+2m ＝0，∴m ＝﹣4，∴y ＝2x 2﹣4x＝2（x ﹣1）2﹣2，∴顶点M 的坐标为（1，﹣2），（2）设直线AM 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），∵图象过A （2，0），M （1，﹣2），∴{2k +b =0k +b =−2， 解得{k =2b =−4， ∴直线AM 的解析式为y ＝2x ﹣4．22．（2020•温州）已知抛物线y ＝ax 2+bx +1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．（1）求a ，b 的值．（2）若（5，y 1），（m ，y 2）是抛物线上不同的两点，且y 2＝12﹣y 1，求m 的值．【分析】（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y ＝ax 2+bx +1解方程组即可得到结论；（2）把x ＝5代入y ＝x 2﹣4x +1得到y 1＝6，于是得到y 1＝y 2，即可得到结论．【详解】解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y ＝ax 2+bx +1得，{−2=a +b +113=4a −2b +1， 解得：{a =1b =−4； （2）由（1）得函数解析式为y ＝x 2﹣4x +1，把x ＝5代入y ＝x 2﹣4x +1得，y 1＝6，∴y 2＝12﹣y 1＝6，∵y 1＝y 2，且对称轴为直线x ＝2，∴m ＝4﹣5＝﹣1．23．（2020•宁波）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+4x ﹣3图象的顶点是A ，与x 轴交于B ，C 两点，与y 轴交于点D ．点B 的坐标是（1，0）．（1）求A ，C 两点的坐标，并根据图象直接写出当y ＞0时x 的取值范围．（2）平移该二次函数的图象，使点D 恰好落在点A 的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．【分析】（1）利用待定系数法求出a，再求出点C的坐标即可解决问题．（2）由题意点D平移到A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，由此可得抛物线的解析式．【详解】解：（1）把B（1，0）代入y＝ax2+4x﹣3，得0＝a+4﹣3，解得a＝﹣1，∴y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴A（2，1），∵对称轴为直线x＝2，B，C关于x＝2对称，∴C（3，0），∴当y＞0时，1＜x＜3．（2）∵D（0，﹣3），∴点D平移到点A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+5．24．（2019•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）．（1）求a的值和图象的顶点坐标．（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．①当m＝2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．【分析】（1）把点P（﹣2，3）代入y＝x2+ax+3中，即可求出a；（2）①把m＝2代入解析式即可求n的值；②由点Q到y轴的距离小于2，可得﹣2＜m＜2，在此范围内求n即可；【详解】解：（1）把点P（﹣2，3）代入y＝x2+ax+3中，∴a＝2，∴y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，∴顶点坐标为（﹣1，2）；（2）①当m＝2时，n＝11，②点Q到y轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴﹣2＜m＜2，∴2≤n＜11；25．（2019•湖州）已知抛物线y＝2x2﹣4x+c与x轴有两个不同的交点．（1）求c的取值范围；（2）若抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点A（2，m）和点B（3，n），试比较m与n的大小，并说明理由．【分析】（1）由二次函数与x轴交点情况，可知△＞0；（2）求出抛物线对称轴为直线x＝1，由于A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，即可求解；【详解】解：（1）∵抛物线y＝2x2﹣4x+c与x轴有两个不同的交点，∴△＝b2﹣4ac＝16﹣8c＞0，∴c＜2；（2）抛物线y＝2x2﹣4x+c的对称轴为直线x＝1，∴A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，当x≥1时，y随x的增大而增大，∴m＜n；。

二次函数的最值精选题参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．【分析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可．【解答】解：二次函数的对称轴为直线x＝m，①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，此时，m2+1＝4，解得m＝﹣，m＝（舍去）；③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2，综上所述，m的值为2或﹣．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，难点在于分情况讨论．2．【分析】首先求得抛物线的对称轴，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，在距对称轴最远处取得最大值．【解答】解：抛物线的对称轴是直线x＝1，则当x＝1时，y＝1﹣2﹣3＝﹣4，是最小值；当x＝3时，y＝9﹣6﹣3＝0是最大值．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，正确理解取得最大值和最小值的条件是关键．3．【分析】min{a，b}的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．【解答】解：在同一坐标系xOy中，画出二次函数y＝﹣x2+1与正比例函数y＝﹣x的图象，如图所示．设它们交于点A、B．令﹣x2+1＝﹣x，即x2﹣x﹣1＝0，解得：x＝或，∴A（，），B（，）．观察图象可知：①当x≤时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函数值随x的增大而增大，其最大值为；②当＜x＜时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x，函数值随x的增大而减小，其最大值为小于；③当x≥时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函数值随x的增大而减小，最大值为．综上所述，min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是．故选：A．【点评】本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义min{a，b}和掌握函数的性质是解题的关键．4．【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可．【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣4，对称轴是：x＝﹣1∵a＝1＞0，∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小，由图象可知：在﹣2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2+1）2﹣4＝5，x＝﹣1时y有最小值，是﹣4，故选：B．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，结合图象可得函数的最值是解题的关键．5．【分析】根据已知条件得到CP＝6﹣t，得到PQ＝＝＝，于是得到结论．【解答】解：∵AP＝CQ＝t，∴CP＝6﹣t，∴PQ＝＝＝，∵0≤t≤2，∴当t＝2时，PQ的值最小，∴线段PQ的最小值是2，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的最值，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．6．【分析】先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是﹣，得出m≤﹣；再求得当x＝1时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得m的下限．【解答】解：解法一：∵函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x＝﹣，∴当x＝﹣时，y有最小值，此时y＝﹣﹣1＝﹣，∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是﹣，∴m≤﹣；∵当x＝1时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x＝﹣，∴当x＝﹣﹣[1﹣（﹣）]＝﹣2时，y＝1，∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤﹣；∴﹣2≤m≤﹣．解法二：画出函数图象，如图所示：y＝x2+x﹣1＝（x+）2﹣，∴当x＝1时，y＝1；当x＝﹣，y＝﹣，当x＝﹣2，y＝1，∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，∴﹣2≤m≤﹣．故选：C．【点评】本题考查了二次函数在给定范围内的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．7．【分析】用a表示出b、c并求出a的取值范围，再代入S整理成关于a的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出m、n的值，再相减即可得解．【解答】解：∵a+b＝2，c﹣3a＝4，∴b＝2﹣a，c＝3a+4，∵b，c都是非负数，∴，解不等式①得，a≤2，解不等式②得，a≥﹣，∴﹣≤a≤2，又∵a是非负数，∴0≤a≤2，S＝a2+b+c＝a2+（2﹣a）+3a+4，＝a2+2a+6，∴对称轴为直线a＝﹣＝﹣1，∴a＝0时，最小值n＝6，a＝2时，最大值m＝22+2×2+6＝14，∴m﹣n＝14﹣6＝8．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，用a表示出b、c并求出a的取值范围是解题的关键，难点在于整理出s关于a的函数关系式．8．【分析】抛物线y＝（x+1）2﹣2开口向上，有最小值，顶点坐标为（﹣1，﹣2），顶点的纵坐标﹣2即为函数的最小值．【解答】解：根据二次函数的性质，当x＝﹣1时，二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的最小值是﹣2．故选：D．【点评】本题考查对二次函数最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．9．【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数最值问题解答即可．【解答】解：y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，∵a＝1＞0，∴当x＝﹣1时，二次函数由最小值﹣6．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，整理成顶点式形式求解更简便．10．【分析】利用配方法将原函数关系式化为顶点式，即可求出二次函数的最小值．【解答】解：y＝2x2﹣4x﹣6＝2（x﹣1）2﹣8，因为图象开口向上，故二次函数的最小值为﹣8．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的最值，将原式化为顶点式是解题的关键．11．【分析】根据题意判定抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，然后根据点到对称轴的距离的大小即可判断．【解答】解：∵二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，且y3＜y2＜y4，∴抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，∴P1（﹣3，y1）离对称轴的距离最大，P3（1，y3）离对称轴距离最小，∴y3最小，y1最大，故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，判定对称轴的位置是解题的关键．12．【分析】根据二次函数的性质求解．【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+2，∴当x＝1时，函数有最小值2．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝﹣，函数最小值y＝；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝﹣，函数最大值y＝．13．【分析】根据二次函数的图象，可知函数y的最大值和最小值．【解答】解：观察图象可得，在0≤x≤4时，图象有最高点和最低点，∴函数有最大值2和最小值﹣2.5，故选：A．【点评】本题考查二次函数的最值，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象解决最值问题．14．【分析】把（﹣1，﹣3）代入y＝x2+mx+n确定m，n之间的数量关系，代入mn+1讨论．【解答】解：把（﹣1，﹣3）代入y＝x2+mx+n得﹣3＝1﹣m+n∴n＝m﹣4∴mn+1＝m（m﹣4）+1＝m2﹣4m+1＝（m﹣2）2﹣3所以mn+1有最小值﹣3，故选：A．【点评】本题考查二次函数图象上点的特征．根据二次函数性质确定m，n的数量关系是解答关键．二．填空题（共18小题）15．【分析】由a+b2＝2得出b2＝2﹣a，代入a2+5b2得出a2+5b2＝a2+5（2﹣a）＝a2﹣5a+10，再利用配方法化成a2+5b2＝（a﹣）2+，即可求出其最小值．【解答】解：∵a+b2＝2，∴b2＝2﹣a，a≤2，∴a2+5b2＝a2+5（2﹣a）＝a2﹣5a+10＝（a﹣）2+，当a＝2时，a2+5b2可取得最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了二次函数的最值，根据题意得出a2+5b2＝（a﹣）2+是关键．16．【分析】设矩形的宽为x，则长为（20﹣x），S＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100，当x＝10时，S最大值为100．【解答】解：设矩形的宽为x，则长为（20﹣x），S＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100，当x＝10时，S最大值为100．故答案为100．【点评】本题考查了函数的最值，熟练运用配方法是解题的关键．17．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得a的取值范围，本题得以解决．【解答】解：∵函数y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，当﹣1≤x≤a时，函数的最大值是2，∴当x＝1时，函数取得最大值，此时y＝2，∴a≥1，故答案为：a≥1．【点评】本题考查二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．18．【分析】分类讨论抛物线对称轴的位置确定出m的范围即可．【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），得到对称轴为直线x＝m，抛物线开口向上，当m≥2时，由题意得：当x＝2时，y最小值为﹣2，代入得：4﹣4m＝﹣2，即m＝1.5＜2，不合题意，舍去；当﹣1≤m≤2时，由题意得：当x＝m时，y最小值为﹣2，代入得：﹣m2＝﹣2，即m＝或m＝﹣（舍去）；当m＜﹣1时，由题意得：当x＝﹣1时，y最小值为﹣2，代入得：1+2m＝﹣2，即m＝﹣1.5，综上，m的值是﹣1.5或，故答案为：﹣1.5或．【点评】此题考查了二次函数的最值，利用了分类讨论的思想，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．19．【分析】化成顶点式，根据二次函数的性质即可求得．【解答】解：y＝x2﹣16x﹣8＝（x﹣8）2﹣72，由于函数开口向上，因此函数有最小值，且最小值为﹣72，故答案为：﹣72．【点评】本题考查了二次函数的最值、顶点式的运用及顶点坐标的求法．20．【分析】根据二次函数的增减性利用对称轴列出不等式求解即可．【解答】解：∵0≤x≤4时，y仅在x＝4时取得最大值，∴﹣＜，解得a＜5．故答案为：a＜5．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的增减性和对称轴公式是解题的关键．21．【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a＝2或a+1＝0，∴a＝2或a＝﹣1，故答案是：2或﹣1．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值是解题的关键．22．【分析】根据二次函数的性质，可以得到在2≤x≤5范围内，该函数的最小值．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，∴在2≤x≤5范围内，当x＝2时，y取得最小值，此时y＝（2﹣1）2＝1，故答案为：1．【点评】本题考查二次函数的最值、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．23．【分析】由当x＝﹣1时y取得最大值知﹣＝﹣1且m＜0，解关于m的方程可得答案．【解答】解：根据题意知，﹣＝﹣1，且m＜0，整理该方程可得m2﹣2m﹣3＝0，解得：m＝﹣1或m＝3（舍），故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查二次函数的最值，解题的关键是根据二次函数的性质得出关于m 的方程．【点评】本题考查了二次函数的最值：对于二次函数y＝a（x﹣k）2+h，当a＞0时，x＝k时，y有最小值h，当a＜0时，x＝k时，y有最大值h．24．【分析】根据抛物线解析式得到顶点坐标（﹣3，5）；然后由抛物线的增减性进行解答．【解答】解：∵y＝﹣（x+3）2+5，∴该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是（﹣3，5）．∴当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，∴当x＝a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3，把y＝3代入函数解析式得到3＝﹣（x+3）2+5，解得x1＝﹣5，x2＝﹣1．∴a＝﹣5．故答案是：﹣5．【点评】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．25．【分析】根据三角形的面积公式，△ABE底边BE上的高AO不变，BE越小，则面积越小，可以判断当AD与⊙C相切时，BE的值最小，根据勾股定理求出AD的值，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度，代入三角形的面积公式进行计算即可求解．【解答】解：如图所示，当AD与⊙C相切时，线段BE最短，此时△ABE面积的最小，∵A（2，0），C（﹣1，0），⊙C半径为1，∴AO＝2，AC＝2+1＝3，CD＝1，在Rt△ACD中，AD＝＝＝2，∵CD⊥AD，∴∠D＝90°，∴∠D＝∠AOE，在△AOE与△ADC中，，∴△AOE∽△ADC，∴＝，即＝，解得EO＝，∵点B（0，2），∴OB＝2，∴BE＝OB﹣OE＝2﹣，∴△ABE面积的最小值＝×BE×AO＝（2﹣）×2＝2﹣．故答案为：2﹣．【点评】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度是解题的关键．26．【分析】根据题意：二次函数y＝ax2+4x+a﹣1的最小值是2，则判断二次函数的系数大于0，再根据公式y最小值＝2列出关于a的一元二次方程，解得a的值即可．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+4x+a﹣1有最小值2，∴a＞0，y最小值＝＝＝2，整理，得a2﹣3a﹣4＝0，解得a＝﹣1或4，∵a＞0，∴a＝4．故答案为4．【点评】本题主要考查二次函数的最值的知识点，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次项系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好．37．【分析】根据题意求出当菱形EGFH的面积最大时所满足的条件，然后根据条件求出GH长度，即可求出面积．【解答】解：根据题意可得，由勾股定理可得EF＝；∵四边形EGFH为菱形，根据菱形面积公式，S EGFH＝，∴若要菱形EGFH的面积最大，只需GH值最大，∴根据题意可得G，H在图象上的位置为：过点E作EM⊥BC，垂足为M；过点G作GN⊥CD，垂足为N；又∵EF⊥GH，∴∠MEF＝∠NGH，又∵∠EMF＝∠GNH，EM＝GN，∴△EMF≌△GNH（AAS），∴GH＝EF＝2，∴＝34．【点评】本题考查了求最大面积时所满足的条件以及菱形的面积公式，根据临界值即可求出答案，属于中档题．28．【分析】根据二次函数的性质解答即可．【解答】解：二次函数y＝（x﹣4）2﹣5的最小值是﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查的是二次函数的最值的确定，掌握二次函数的性质是解题的关键．29．【分析】将二次函数配方，即可直接求出二次函数的最小值．【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣4＝x2﹣2x+1﹣5＝（x﹣1）2﹣5，∴可得二次函数的最小值为﹣5．故答案是：﹣5．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，用配方法是解此类问题的最简洁的方法．三．解答题（共8小题）30．【分析】（1）根据max{a，b}表示a、b两数中较大者，即可求出结论；（2）根据max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；（3）联立两函数解析式成方程组，解之即可求出交点坐标，画出直线y＝﹣x+2的图象，观察图形，即可得出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值．【解答】解：（1）max{5，2}＝5，max{0，3}＝3．故答案为：5；3．（2）∵max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，∴3x+1≤﹣x+1，解得：x≤0．（3）联立两函数解析式成方程组，，解得：，，∴交点坐标为（﹣2，4）和（3，﹣1）．画出直线y＝﹣x+2，如图所示，观察函数图象可知：当x＝3时，max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}取最小值﹣1．【点评】本题考查了二次函数的最值、一次函数的图象、一次函数的性质以及二次函数的图象，解题的关键是：（1）读懂题意，弄清max的意思；（2）根据max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，找出关于x的一元一次不等式；（3）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点坐标．31．【分析】（1）①根据二次项系数为0，一次项系数不为0，常数项为任意实数解答即可；②根据k＞0，k＜0时x、y的对应关系确定直线经过的点的坐标，求出解析式；③根据一次函数的性质即增减性解答即可；（2）把m＝﹣1，n＝2代入关系式，得到二次函数解析式，确定对称轴，顶点坐标，分情况讨论求出k的值．【解答】解：（1）①m＝﹣2，k≠0，n为任意实数；②当k＞0时，y随x的增大而增大，直线经过（﹣2，0）（1，3），函数关系式为：y＝x+2当k＜0时，y随x的增大而减小，直线经过（﹣2，3）（1，0），函数关系式为：y＝﹣x+1③当k＞0时，x＝﹣2，y有最小值为﹣2k+nx＝3时，y有最大值为3k+n当k＜0时，x＝﹣2，y有最大值为﹣2k+nx＝3时，y有最小值为3k+n（2）若m＝﹣1，n＝2时，二次函数为y＝x2+kx+2对称轴为x＝﹣，当﹣≤﹣2，即k≥4时，把x＝﹣2，y＝﹣4代入关系式得：k＝5当﹣2＜﹣＜2，即﹣4＜k＜4时，把x＝﹣，y＝﹣4代入关系式得：k＝±2（不合题意）当﹣≥2，即k≤﹣4时，把x＝2，y＝﹣4代入关系式得：k＝﹣5．所以实数k的值为±5．【点评】本题考查了一次函数的概念、一次函数的性质、一次函数最值的应用以及二次函数的性质，综合性较强，需要学生灵活运用性质，把握一次函数的增减性和二次函数的增减性，解答题目．32．【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，然后确定当x＝4时取得最大值，代入函数解析式进行计算即可得解；（2）先求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，再根据对称性可得x＝﹣4和x＝2时函数值相等，然后分p≤﹣4，﹣4＜p≤2讨论求解；（3）根据（2）的思路分t＜﹣2，t≥﹣2时两种情况讨论求解．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴当﹣2≤x≤4时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为：2×42+4×4+1＝49；（2）∵二次函数y＝2x2+4x+1的对称轴为直线x＝﹣1，∴由对称性可知，当x＝﹣4和x＝2时函数值相等，∴若p≤﹣4，则当x＝p时，y的最大值为2p2+4p+1，若﹣4＜p≤2，则当x＝2时，y的最大值为17；（3）t＜﹣2时，最大值为：2t2+4t+1＝31，整理得，t2+2t﹣15＝0，解得t1＝3（舍去），t2＝﹣5，t≥﹣2时，最大值为：2（t+2）2+4（t+2）+1＝31，整理得，（t+2）2+2（t+2）﹣15＝0，解得t1＝1，t2＝﹣7（舍去），所以，t的值为1或﹣5．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了二次函数的对称性，确定出抛物线的对称轴解析式是确定p和t的取值范围的关键，难点在于读懂题目信息．33．【分析】（1）根据表中的数据得出对称轴是直线x＝2，根据对称点的特点得出即可；（2）根据表得出图象有最小值，根据顶点坐标得出即可；（3）根据二次函数的性质得出即可．【解答】解：（1）∵根据表可知：对称轴是直线x＝2，∴点（0，5）和（4，n）关于直线x＝2对称，∴n＝5，故答案为：5；（2）根据表可知：顶点坐标为（2，1），即当x＝2时，y有最小值，最小值是1；（3）∵函数的图象开口向上，顶点坐标为（2，1），对称轴是直线x＝2，∴当m＞2时，点A（m1，y1），B（m+1，y2）都在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，∵m＜m+1，∴y1＜y2．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，能根据表中的熟记得出正确信息是解此题的关键．34．【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AE＝x，利用平行四边的周长可表示出BC＝4﹣x，则0＜x＜4；然后根据平行四边形的面积公式即可得到y（cm2）与x的函数关系式；（2）把（1）中的关系式配成顶点式得到y＝﹣（x﹣2）2+2，然后根据二次函数的最值问题即可得到x取什么值时，y的值最大，并得到最大值．【解答】解：（1）过A作AE⊥BC于E，如图，∵∠B＝30°，AB＝x，∴AE＝x，又∵平行四边形ABCD的周长为8cm，∴BC＝4﹣x，∴y＝AE•BC＝x（4﹣x）＝﹣x2+2x（0＜x＜4）；（2）y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣2）2+2，∵a＝﹣，∴当x＝2时，y有最大值，其最大值为2．【点评】本题考查了二次函数的最值问题：先把二次函数配成顶点式：y＝a（x﹣h）2+k，当a＜0时，x＝h，y有最大值k；当a＞0，x＝h，y有最小值k．也考查了平行四边形的性质以及含30度的直角三角形三边的关系．35．【分析】（1）把抛物线的解析式化成顶点式即可；（2）把点B坐标代入抛物线的解析式，求出抛物线的解析式，结合图形，再求当0＜m＜3时，n的取值范围；（3）分别讨论m和b的大小关系，根据n≤2，求出b的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2bx+b2﹣2＝（x﹣b）2﹣2，∴顶点坐标为（b，﹣2）；（2）把（0，2）代入y＝x2﹣2bx+b2﹣2（b＞0），得b＝2，或b＝﹣2（舍去），∴b＝2，∴解析式为：y＝x2﹣4x+2，对称轴为x＝2；顶点坐标为（2，﹣2），结合函数图象可得，在顶点处n取得最小值﹣2；当x＝0时，y＝2，∴当0＜m＜3时，﹣2≤n＜2．（3）如图，①若3≤m≤5≤b时，y max＝（3﹣b）2﹣2≤2，∴1≤b≤5，矛盾，不成立；②若3≤b≤5时，则当x＝3时，y＝（3﹣b）2﹣2≤2，得1≤b≤5，且当x＝5时，y＝（5﹣b）2﹣2≤2，得3≤b≤7，∴3≤b≤5；③当b≤3≤m≤5时，y max＝（5﹣b）2﹣2≤2，得3≤b≤7，矛盾；综上，b的取值范围为3≤b≤5．【点评】本题主要考查二次函数的取值范围问题，涉及待定系数法求解析式，数形结合思想等，利用数形结合思想结合图象求取值范围是常见方法．36．【分析】物线的顶点式解析式y＝a（x﹣h）2+k，代入顶点坐标另一点求出a的值即可．【解答】解：∵抛物线l1的最高点为P（3，4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+4，把点（0，1）代入得，1＝a（0﹣3）2+4，解得，a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+4．【点评】此题考查待定系数法求函数解析式，根据题目中的已知条件，灵活选用二次函数解析式的形式解决问题．37．【分析】直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出S＝AC•BD，再利用配方法求出二次函数最值．【解答】解：设AC＝x，四边形ABCD面积为S，则BD＝12﹣x，则：S＝AC•BD＝x（12﹣x）＝﹣（x﹣6）2+18，当x＝6时，S最大＝18；所以AC＝BD＝6时，四边形ABCD的面积最大．【点评】此题主要考查了二次函数最值以及四边形面积求法，正确掌握对角线互相垂直的四边形面积求法是解题关键．。

专题07二次函数的图象与性质（2）（4个知识点2种题型1个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象及性质（重点难点）【方法二】实例探索法题型1.由抛物线的顶点坐标、对称轴及最值求字母或代数式的取值范围题型2.二次函数的增减性问题题型3.抛物线的对称性题型4.根据条件确定参数的取值范围题型5.二次函数与其他函数相结合的双图象问题题型6.二次函数图象与图形的综合【方法三】差异对比法易错点：不能根据二次函数的各项系数确定二次函数的大致图象【方法四】成果评定法【学习目标】1.掌握二函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象的画法及性质。

2.会计算二次函数图象)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标，图象的开口方向，图象的对称轴。

3.会用二次函数的图象与性质解决相关的计算题。

4.重点：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象及性质。

5.难点：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 性质的应用。

【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象及性质（重点难点）二次函数2y ax bx c =++的图像称为抛物线2y ax bx c =++，这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式．任意一个二次函数2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且0a ≠）都可以运用配方法，把它的解析式化为()2y a x m k =++的形式．对2y ax bx c =++配方得：22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭．由此可知：抛物线2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是（2ba-，244ac b a-）．当0a >时，抛物线2y ax bx c =++开口向上，顶点是抛物线的最低点，抛物线在对称轴（即直线2b x a=-）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的；当0a <时，抛物线2y ax bx c =++开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴（即直线2bx a =-）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的．【例1】对于二次函数2288y x x =-+-：（1）求出图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？（2）求出此抛物线与x 、y 轴的交点坐标；（3）当x 取何值时，y 随着x 的增大而减小．【变式1】.已知二次函数2y ax bx c =++，若0a <，0b <，0c >，那么它的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．xy xy xy xy【变式2】二次函数2y ax bx c =++中，0a >，0b <，0c =，则其图像的顶点在第____象限．【方法二】实例探索法题型1.由抛物线的顶点坐标、对称轴及最值求字母或代数式的取值范围1．（2022秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图像如图所示，对称轴为12x =，且经过点(2,0)，下列说法：①<0abc ；②20b c -+=；③420a b c ++<；④若11,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、25,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭是抛物线上的两点，则12y y =；⑤1()4b m am b >+（其中12m ≠），正确的结论有（）A ．②③④B ．①②⑤C ．①③⑤D ．①②④⑤题型2.二次函数的增减性问题2.已知抛物线()21y x =--，当x >1时，y 随着x 的增大而______；当x <1时，y 随着x 的增大而______．3.请选择一组a 、b 、c 的值，使二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图像同时满足下列条件：当2x ≤时，y 随x 的增大而增大；当2x >时，y 随x 的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是___________________．题型3.抛物线的对称性4.已知二次函数23(1)y x k =-+的图像上有A 2，y 1）、B （2，y 2）、C （5-，y 3）三个点，则y 1、y 2、y 3的大小关系为（）A ．123y y y >>B ．213y y y >>C ．312y y y >>D ．321y y y >>5.已知抛物线2y x mx n =-+-的对称轴为3x =-，且过点（0，4），求m 、n 的值．题型4.根据条件确定参数的取值范围6．（2023·安徽合肥·校考一模）已知抛物线245y ax ax =--，其中a 为常数，且0a ＞．(1)设此抛物线与y 轴的交点为A ，过点A 作y 轴的垂线交抛物线于另一点B ，求点B 的坐标；(2)若抛物线2y ax =先向右平移h 个单位长度，再向下平移3h 个单位长度后，可得抛物线245y ax ax =--，求a 的值；(3)已知点()1,M m y 、()25,N y 均在此抛物线上，且12y y <，求m 的取值范围．题型5.二次函数与其他函数相结合的双图象问题7.在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．xyxyxyxy8.如图，已知二次函数()2y a x m =+与一次函数y ax m =+，它们在同一直角坐标系中的图像大致是（）xy OxyOxy Oxy OA ．B ．C ．D ．题型6.二次函数图象与图形的综合9.将抛物线244y x x =-+沿y 轴向下平移后，所得抛物线与x 轴交于点A 、B ，顶点为C ．如果ABC ∆是等腰直角三角形，求顶点C 的坐标．10．（2023秋·安徽合肥·九年级合肥市五十中学西校校考阶段练习）已知k 为任意实数，随着k 的变化，抛物线222(1)3y x k x k =--+-的顶点随之运动，则顶点运动时经过的路径与两条坐标轴围成图形的面积是___________．【方法三】差异对比法易错点：不能根据二次函数的各项系数确定二次函数的大致图象11.已知二次函数2y ax bx c =++，若0a <，0b <，0c >，那么它的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．xyxyxyxy【方法四】成果评定法一．选择题（共10小题）1．（2023秋•绿园区期末）若抛物线2y x bx c =++的对称轴为y 轴，且点(2,6)P 在该抛物线上，则c 的值为()A ．2-B ．0C ．2D ．42．（2022秋•孝义市期末）将抛物线244y x x =+-向下平移3个单位，再向左平移2个单位，得到抛物线的表达式为()A ．2(4)11y x =+-B ．2(4)5y x =+-C ．211y x =-D ．25y x =-3．（2023秋•庐阳区校级月考）已知二次函数2y ax bx c =++中的y 与x 的部分对应值如下表：x⋯1-012⋯y⋯5-131⋯则下列判断正确的是()A ．抛物线开口向上B ．抛物线与y 轴交于负半轴C ．当1x >时，y 随x 的增大而减小D ．方程20ax bx c ++=的正根在3与4之间4．（2022秋•姜堰区期末）将关于x 的函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象向下平移两个单位，以下说法错误的是()A ．开口方向不变B ．对称轴不变C ．与y 轴的交点不变D ．自变量x 的取值范围不变5．（2022秋•丹江口市期末）把二次函数211322y x x =---的图象向上平移3个单位，再向左平移4个单位，则两次平移后的图象解析式是()A ．21(7)72y x =-++B ．21(3)42y x =-++C ．21(1)72y x =--+D ．21(1)12y x =--+6．（2023秋•克东县期末）点11(2,)P y -，22(2,)P y ，33(4,)P y 均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是()A ．231y y y >>B ．213y y y >=C ．132y y y =>D ．123y y y =>7．（2022秋•东明县期末）如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，其对称轴为1x =，下列结论：①0abc >；②20a b +=；③420a b c ++>；④30a c +=，其中正确结论的个数是()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．（2023秋•明光市期中）如图，抛物线与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点．若OA ＝OB ，则下列结论成立的是（）A ．4b ﹣c ＝1B ．b +4c ＝1C ．4b ﹣c ＝4D ．4b +c ＝49．（2022秋•桥西区期末）题目：“如图，抛物线2y x mx =+与直线y x b =-+相交于点(2,0)A 和点B ．点M 是直线AB 上的一个动点，将点M 向左平移3个单位长度得到点N ，若线段MN 与抛物线只有一个公共点，直接写出点M 的横坐标M x 的取值范围．”对于其答案，甲答：3M x =．乙答：12M x -<，丙答：12M x -<，丁答：12M x -，则正确的是()A ．只有甲答的对B ．甲、乙答案合在一起才完整C ．甲、丙答案合在一起才完整D ．甲、丁答案合在一起才完整10．（2022秋•安新县期末）在平面直角坐标系中，如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的一部分，给出下列命题：①50a b c ++=；②2b a >；③方程20ax bx c ++=的两根分别为3-和1；④240b ac ->，其中正确的命题有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题（共8小题）11．（2023秋•铁西区期末）二次函数269y x x =++的最小值是．12．（2023秋•闵行区月考）已知点1(1,)A y 和2(2,)B y 在二次函数22(0)y ax ax c a =++<图象上，则12y y -0．（填“>”、“<”或“=”)13．（2023秋•雁塔区校级月考）若1231(,),(1,),(2,)2A yB yC y -三点都在二次函数24(0)y ax ax c a =-+>的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为．（用“<”连接）14．（2023秋•普陀区期末）已知二次函数232y x x m =++-的图象与y 轴的交点在正半轴上，那么m 的取值范围是．15．（2023秋•浑江区期末）开口向下的抛物线22(2)21y m x mx =-++的对称轴经过点(1,2)-，则m =．16．（2022秋•潢川县期末）二次函数y ＝x 2﹣4x +3的图象与直线y ＝﹣1的交点坐标是．17．（2022秋•姜堰区期末）已知关于x 的二次函数2y x c =-+的图象不经过第一、二象限，请写出一个合适的常数c 的值为．18．（2023秋•吉林期中）若二次函数y =△2(1)6x +-有最大值，则“△”中可填的数字是．三．解答题（共6小题）19．（2022秋•广陵区校级期末）如图，已知抛物线23y x mx =-++经过点(2,3)M -．（1）求m 的值，并求出此抛物线的顶点坐标；（2）当30x -时，直接写出y 的取值范围．20．（2022秋•郸城县期末）已知二次函数2243y x x =-++．（1）求开口方向、对称轴及顶点坐标；（2）当x 为何值时，y 随x 增大而减小，当x 为何值时，y 随x 增大而增大．21．（2023秋•黄山期中）定义：关于x 轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：2(1)2y x =--的“同轴对称抛物线”为2(1)2y x =--+．（1）抛物线213(1)22y x =--+的顶点坐标为，它的“同轴对称抛物线”为；（2）如图，在平面直角坐标系中，第四象限的点B 是抛物线241y ax ax =-+上一点，点B 的横坐标为1，过点B 作x 轴的垂线，交抛物线241y ax ax =-+的“同轴对称抛物线”于点C ，分别作点B 、C 关于抛物线241y ax ax =-+的对称轴对称的点B '、C '，连接BC 、CC '、C B ''、B B '．当四边形BCC B ''为正方形时，求a 的值．22．（2023秋•芜湖期中）已知二次函数223y x x =+-的图象顶点为M ．（1）请直接写出点M 的坐标；（2）请通过列表描点，画出该二次函数的大致图象；（3）当22x -<<时，则y 的取值范围是.（直接写出结果）23．（2023•海曙区一模）对于抛物线243(0)y ax x a =-+>．（1）若抛物线过点(4,3)．①求顶点坐标；②当06x 时，直接写出y 的取值范围为；（2）已知当0x m 时，19y ，求a 和m 的值．24．（2023秋•上思县期中）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中的x ，y 满足如表．x ⋯1-0123⋯y ⋯03-4-3-0⋯（1）该抛物线的顶点坐标为；（2）当5x=时，求对应的函数值；（3）当1x>时，函数y的值随x的增大而（填“增大”或“减小”)．。

---二次函数的最值问题一、内容概述对二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，若自变量为任意实数，则取最值情况为：（1）当0,2b a x a >=-时，244ac b y a -=最小值（2）当0,2b a x a <=-时，244ac b y a-=最大值若自变量x 的取值范围为()x αβαβ≤≤≠，则取最值分0a >和0a <两种情况，由α、β与2b a-的大小关系确定。

1．对于0a >：（1）当2baαβ<≤-，因为对称轴左侧y 随x 的增大而减小，所以y 的最大值为()y α，最小值为()y β。

这里()y α、()y β分别是y 在x α=与x β=时的函数值。

（2）当2baαβ-≤≤，因为对称轴右侧y 随x 的增大而增大，所以y 的最大值为()y β，最小值为()y α。

（3）当2b a αβ≤-≤，y 的最大值为()y α、 ()y β中较大者，y 的最小值为()2b y a-. 2．对于0a <（1）当2baαβ<≤-，y 的最大值为()y β，最小值为()y α。

（2）当2baαβ-≤≤，y 的最大值为()y α，最小值为()y β。

（3）当2b a αβ≤-≤，y 的最小值为()y α、 ()y β中较大者，y 的最大值为()2b y a-. 综上所述，求函数的最大、最小值，需比较三个函数值：()y α、()y β、()2b y a- 二、例题解析例1 已知12,x x 是方程22(2)(35)0x k x k k --+++=的两个实数根，求2212x x +的最大值和最小值。

解：由于题给出的二次方程有实根，所以0∆≥，解得443k -≤≤- ∴y ＝2212x x +＝21212()2x x x x +-＝2106k k ---∵函数y 在443k -≤≤-随着k 的增大而减小 ∴当4k =-时，8y =最大值；当43k =-时，509y =最小值例2 （1）求函数243y x x =--在区间25x -≤≤中的最大值和最小值。

专题07 二次函数与实际应用（拱桥问题）一、填空题1．（2024·安徽肥东·中考二模）如图，一座悬索桥的桥面OA 与主悬钢索MN 之间用垂直钢索连接，主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM 与AN 相等．小强骑自行车从桥的一端O 沿直线匀速穿过桥面到达另一端A ，当他行驶18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，那么他通过整个桥面OA 共需_____________秒．2．（2024·江苏工业园区·中考一模）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州历史文化．如图②，“东方之门”的内侧轮廓是由两条抛物线组成的，已知其底部宽度均为80m ，高度分别为300m 和225m ，则在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度（AB 的长）为_________m ．第1题图 第2题图3．（2024·浙江·温州市中考一模）2024年1月12日世界最大跨度铁路拱桥——贵州北盘江特大桥主体成功合拢．如图2所示，已知桥底呈抛物线，主桥底部跨度400OA =米，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，桥面//BF OA ，抛物线最高点离路面距离10EF =米，120BC =米，CD BF ⊥，O ，D ，B 三点恰好在同一直线上，则CD =________米．第3题图 第4题图4．（2024·江苏工业园区·中考二模）如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A ，B 两点，拱桥最高点C 到AB 的距离为8m ，24m AB =，D ，E 为拱桥底部的两点，且//DE AB ，若DE 的长为36m ，则点E 到直线AB 的距离为______．二、解答题5．（2024·浙江衢州·中考真题）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱项部O离水面的距离．（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．6．如图，某水库上游有一单孔抛物线型拱桥，它的跨度AB为100米．最低水位（与AB在同一平面）时桥面CD距离水面25米，桥拱两端有两根25米高的水泥柱BC和AD，中间等距离竖立9根钢柱支撑桥面，拱顶正上方的钢柱EF长5米．（1）建立适当的直角坐标系，求抛物线型桥拱的解析式；（2）在最低水位时，能并排通过两艘宽28米，高16米的游轮吗？（假设两游轮之间的安全间距为4米）（3）由于下游水库蓄水及雨季影响导致水位上涨，水位最高时比最低水位高出13米，请问最高水位时没在水面以下的钢柱总长为多少米？7．（2024·山西·长治市实验中学九年级期末）景德桥，俗称西关大桥，是我国一座著名的古代石拱桥．景德桥位于山西省东南部的晋城西门外，横跨沁水河，过去，它是晋城通往沁水河阳城地区交通干道上的一座重要桥梁，故曾又名沁阳桥．桥下水面宽度AB是20米，拱高CD是4米，若水面上升3米至EF处．（1）把拱桥看作抛物线的一部分，建立如图1所示的平面直角坐标系，求水面宽度EF．（2）把拱桥看作圆的一部分，则可构造如图2所示的图形，求水面宽度EF．8．（2024·山东即墨·中考一模）即墨古城某城门横断面分为两部分，上半部分为抛物线形状，下半部分为正方形（OMNE为正方形），已知城门宽度为4米，最高处离地面6米，如图1所示，现以O点为原点，OM所在的直线为x轴，OE所在的直线为y轴建立直角坐标系．（1）求出上半部分抛物线的函数表达式，并写出其自变量的取值范围；（2）有一辆宽3米，高4.5米的消防车需要通过该城门进入古城，请问该消防车能否正常进入？（3）为营造节日气氛，需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD，该“装饰门”关于抛物线对称轴对称，如图2所示，其中AB，AD，CD为三根承重钢支架，A、D在抛物线上，B，C在地面上，已知钢支架每米50元，问搭建这样一个矩形“装饰门”，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？9．（·山东青岛·中考真题）某公司生产A 型活动板房成本是每个425元．图①表示A 型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长4AD m =，宽3AB m =，抛物线的最高点E 到BC 的距离为4m ．（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用()20y kx m k =+≠表示，求该抛物线的函数表达式；（2）现将A 型活动板房改造为B 型活动板房．如图②，在抛物线与AD 之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN ，点G ，M 在AD 上，点N ，F 在抛物线上，窗户的成本为50元2/m ．已知2GM m =，求每个B 型活动板房的成本是多少？（每个B 型活动板房的成本＝每个A 型活动板房的成本+一扇窗户FGMN 的成本） （3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B 型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B 型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n （元）定为多少时，每月销售B 型活动板房所获利润w （元）最大？最大利润是多少？10．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为8米，宽度OM 为16米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图1所示）．（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB ，使A ．D 点在抛物线上．B 、C 点在地面OM 线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．11．（2024·辽宁海城·九年级月考）如图，隧道的横截面由抛物线形和矩形OABC 构成．矩形一边OA 的长是12m ，另一边OC 的长是1m ．抛物线上的最高点D 到地面OA 的距离为7m ．以OA 所在直线为x 轴，以OC所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．（1）求该抛物线所对应的函数表达式；（2）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度为5m ，求两排灯之间的水平距离；（3）隧道内车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于1m 3的空隙．现有一辆货运汽车，在隧道内距离道路边缘2m 处行驶，求这辆货运汽车载物后的最大高度．12．（·陕西·子长县齐家湾中学九年级期末）小明将他家乡的抛物线型彩虹桥按比例缩小后，绘制成如下图所示的示意图，图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁，x 轴表示桥面，y 轴经过中间抛物线的最高点，左右两条抛物线关于y 轴对称，经过测算，右边抛物线的表达式为21(30)520y x =--+． （1）直接写出左边抛物线的解析式； （2）求抛物线彩虹桥的总跨度AB 的长；（3）若三条钢梁的顶点M 、E 、N 与原点O 连成的四边形OMEN 是菱形，你能求出钢梁最高点离桥面的高度OE 的长吗？如果能，请写出过程；如果不能，请说明理由．13．（2024·山东黄岛·九年级期末）为促进经济发展，方便居民出行．某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道．抛物线的最高点P离路面OM的距离为6m，宽度OM为12m．（1）按如图所示的平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；（2）一货运汽车装载某大型设备后高为4m，宽为3.5m．如果该隧道内设双向行车道（正中间是一条宽1m 的隔离带），那么这辆货车能否安全通过？（3）施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A，D点在抛物线上．B，C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．14．（2024·福建厦门·九年级期末）某海湾有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下的水面宽为100m（如图所示）．由于潮汐变化，该海湾涨潮5h后达到最高潮位，此最高潮位维持1h，之后开始退潮．如：某日16时开始涨潮，21时达到最高潮位，22时开始退潮．该桥的桥下水位相对于正常水位上涨的高度随涨潮时间t 变化的情况大致如表所示．（在涨潮的5h 内，该变化关系近似于一次函数） 涨潮时间t （单位：h ）1 2 3 4 5 6桥下水位上涨的高度（单位：m ）4585 1251654 4 （1）求桥下水位上涨的高度（单位：m ）关于涨潮时间t （06t ≤≤，单位：h ）的函数解析式； （2）某日涨潮期间，某船务公司对该桥下水面宽度进行了三次测量，数据如表所示： 涨潮时间t （单位：h ） 5452 154桥下水面宽（单位：m ）202420232022现有一艘满载集装箱的货轮，水面以上部分高15m ，宽20m ，在涨潮期间能否安全从该桥下驶过？请说明理由．15．（·河北·中考一模）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为18米，拱顶O 离水面AB 的距离OM 为9米，建立如图所示的平面直角坐标系. （1）求此抛物线的解析式；（2）一艘货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF .①如果限定矩形的长CD 为12米，那么要使船通过拱桥，矩形的高DE 不能超过多少米？ ②若点E ，F 都在抛物线上，设L EF DE CF =++，当L 的值最大时，求矩形CDEF 的高.16．（·安徽无为·九年级期末）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两个小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面常度AB＝20米，顶点M距水面6米（即MO＝6米），小孔水面宽度BC＝6米，顶点N距水面4.5米．航管部门设定警戒水位为正常水位上方2米处借助于图中的平面直角坐标系解答下列问题：（1）在汛期期间的某天，水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面3米，顶部宽4米的巡逻船要路过此处，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由．（2）在问题（1）中，同时桥对面又有一艘小船准备从小孔迎面通过，小船的船顶高出水面1.5米，顶部宽3米，请问小船能否安全通过小孔？并说明理由．17．（2024·贵州安顺·中考真题）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽8m OA =，桥拱顶点B 到水面的距离是4m ．（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为1.2m 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O 点0.4m 时，桥下水位刚好在OA 处．有一名身高1.68m 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）；（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线()20y ax bx c a =++≠，该抛物线在x 轴下方部分与桥拱OBA 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移()0m m >个单位长度，平移后的函数图象在89x ≤≤时，y 的值随x 值的增大而减小，结合函数图象，求m 的取值范围．。

专题07二次函数的最值问题考点1：定轴动区间；考点2：动轴定区间。

1．在二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3中，当0≤x ≤3时，y 的最大值和最小值分别是（）A ．0，﹣4B ．0，﹣3C ．﹣3，﹣4D ．0，0解：抛物线的对称轴是直线x ＝1，则当x ＝1时，y ＝1﹣2﹣3＝﹣4，是最小值；当x ＝3时，y ＝9﹣6﹣3＝0是最大值．答案：A ．2．（易错题）已知二次函数y ＝a （x ﹣1）2﹣a （a ≠0），当﹣1≤x ≤4时，y 的最小值为﹣4，则a 的值为（）A ．12或4B ．43或−12C ．−43或4D ．−12或4解：y ＝a （x ﹣1）2﹣a 的对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为（1，﹣a ），当a ＞0时，在﹣1≤x ≤4，函数有最小值﹣a ，∵y 的最小值为﹣4，∴﹣a ＝﹣4，∴a ＝4；当a ＜0时，在﹣1≤x ≤4，当x ＝4时，函数有最小值，∴9a ﹣a ＝﹣4，解得a =−12；综上所述：a 的值为4或−12，答案：D．3．（易错题）当a ≤x ≤a +1时，函数y ＝x 2﹣2x +1的最小值为1，则a 的值为（）A ．﹣1B ．2C ．0或2D ．﹣1或2解：当y ＝1时，有x 2﹣2x +1＝1，解得：x 1＝0，x 2＝2．题型01定轴动区间∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a＝2或a+1＝0，∴a＝2或a＝﹣1，答案：D．4．已知函数y＝﹣3（x﹣2）2+4，当x＝2时，函数取得最大值为4．解：∵y＝﹣3（x﹣2）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（2，4），又∵a＝﹣3＜0，∴抛物线的开口向下，顶点是它的最高点，∴x＝2时，函数有最大值为4．答案：2，4．5．若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝9．解：原式可化为y＝（x﹣3）2﹣4，可知函数顶点坐标为（3，﹣4），当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，即（x﹣1）（x﹣5）＝0，解得x1＝1，x2＝5．如图：m＝﹣4，当x＝6时，y＝36﹣36+5＝5，即M＝5．则M﹣m＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．6．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（1）若a＝1，则函数y的最小值为﹣1．（2）若当1≤x≤4时，y的最大值是4，则a的值为43或﹣4．解：（1）当a＝1时，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1∵a＝1＞0∴抛物线的开口向上，当x＝2时，函数y的最小值为﹣1．（2）∵二次函数y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a∴抛物线的对称轴是直线x＝2，∵1≤x≤4，∴当a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴直线x＝2右侧y随x的增大而增大，当x＝4时y有最大值，a×（4﹣2）2﹣a＝4，解得a=43，当a＜0时，抛物线开口向下，x＝2时y有最大值，a×（2﹣2）2﹣a＝4，解得a＝﹣4．答案：（1）﹣1；（2）43或−4．7．（易错题）设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．（1）函数y＝﹣x2+4x﹣2在区间[0，5]上的最小值是﹣7（2）求函数=(+12)2+34在区间[0，32]上的最小值．（3）求函数y＝x2﹣4x﹣4在区间[t﹣2，t﹣1]（t为任意实数）上的最小值y min的解析式．解：（1）y＝﹣x2+4x﹣2其对称轴为直线为x＝2，顶点坐标为（2，2），函数图象开口向下．如图1所示：当x＝5时，函数有最小值，最小值为﹣7．答案：﹣7．（2）=(+12)2+34，其对称轴为直线=−12，顶点坐标(−12，34)，且图象开口向上．其顶点横坐标不在区间[0，32]内，如图2所示：当x＝0时，函数y有最小值m=1．（3）将二次函数配方得：y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8其对称轴为直线：x＝2，顶点坐标为（2，﹣8），图象开口向上若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]左侧，则2＜t﹣2，即t＞4．当x＝t﹣2时，函数取得最小值：m=(−4)2−8=2−8+8若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]上，则t﹣2≤2≤t﹣1，即3≤t≤4．当x＝2时，函数取得最小值：y min＝﹣8若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]右侧，则t﹣1＜2，即t＜3．当x＝t﹣1时，函数取得最小值：m=(−3)2−8=2−6+1综上讨论，得m=2−8+8(＞4)−8(3≤≤4)2−6+1(＜3)．8．（易错题）已知二次函数y ＝﹣x 2+6x ﹣5．（1）求二次函数图象的顶点坐标；（2）当1≤x ≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？（3）当t ≤x ≤t +3时，函数的最大值为m ，最小值为n ，若m ﹣n ＝3，求t 的值．解：（1）∵y ＝﹣x 2+6x ﹣5＝﹣（x ﹣3）2+4，∴顶点坐标为（3，4）；（2）∵a ＝﹣1＜0，∴抛物线开口向下，∵顶点坐标为（3，4），∴当x ＝3时，y 最大值＝4，∵当1≤x ≤3时，y 随着x 的增大而增大，∴当x ＝1时，y 最小值＝0，∵当3＜x ≤4时，y 随着x 的增大而减小，∴当x ＝4时，y 最小值＝3．∴当1≤x ≤4时，函数的最大值为4，最小值为0；（3）当t ≤x ≤t +3时，对t 进行分类讨论，①当t +3＜3时，即t ＜0，y 随着x 的增大而增大，当x ＝t +3时，m ＝﹣（t +3）2+6（t +3）﹣5＝﹣t 2+4，当x ＝t 时，n ＝﹣t 2+6t ﹣5，∴m ﹣n ＝﹣t 2+4﹣（﹣t 2+6t ﹣5）＝﹣6t +9，∴﹣6t +9＝3，解得t ＝1（不合题意，舍去），②当0≤t ＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，∴m ＝4，i ）当0≤t ≤32时，在x ＝t 时，n ＝﹣t 2+6t ﹣5，∴m ﹣n ＝4﹣（﹣t 2+6t ﹣5）＝t 2﹣6t +9，∴t2﹣6t+9＝3，解得t1＝3−3，t2＝3+3（不合题意，舍去）；ii）当32＜t＜3时，在x＝t+3时，n＝﹣t2+4，∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+4）＝t2，∴t2＝3，解得t1=3，t2=−3（不合题意，舍去），③当t≥3时，y随着x的增大而减小，当x＝t时，m＝﹣t2+6t﹣5，当x＝t+3时，n＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，.m﹣n＝﹣t2+6t﹣5﹣（﹣t2+4）＝6t﹣9，∴6t﹣9＝3，解得t＝2（不合题意，舍去），综上所述，t＝3−3或3．9．已知二次函数y＝ax2+4x+a﹣1的最小值为2，则a的值为（）A．3B．﹣1C．4D．4或﹣1解：∵二次函数y＝ax2+4x+a﹣1有最小值2，∴a＞0，y最小值=4a−24=4oK1)−424=2，整理，得a2﹣3a﹣4＝0，解得a＝﹣1或4，∵a＞0，∴a＝4．答案：C．10．设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（）A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣aB．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2aC．当k＝4时，函数y的最小值为﹣aD．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a题型02动轴定区间解：令y＝0，则（x﹣m）（x﹣m﹣k）＝0，∴x1＝m，x2＝m+k，∴二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）与x轴的交点坐标是（m，0），（m+k，0），∴二次函数的对称轴是：=1+22=rr2=2r2，∵a＞0，∴y有最小值，当=2r2时y最小，即=o2r2−p(2r2−−p=−24，当k＝2时，函数y的最小值为=−224=−；当k＝4时，函数y的最小值为=−424=−4，答案：A．11．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（）A．最大值5B．最大值154C．最小值5D．最小值154解：由题意可得：6＝m2﹣m，解得：m1＝3，m2＝﹣2，∵二次函数y＝x2+mx+m2﹣m，对称轴在y轴左侧，∴m＞0，∴m＝3，∴y＝x2+3x+6，∴二次函数有最小值为：4a−24=4×1×6−324×1=154．答案：D．12．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（）A．32B．2C．32或2D．−32或2解：y＝x2﹣2mx＝（x﹣m）2﹣m2，①若m＜﹣1，当x＝﹣1时，y＝1+2m＝﹣2，解得：m=−32；②若m＞2，当x＝2时，y＝4﹣4m＝﹣2，解得：m=32＜2（舍）；③若﹣1≤m≤2，当x＝m时，y＝﹣m2＝﹣2，解得：m=2或m=−2＜−1（舍），∴m的值为−32或2，答案：D．13．（易错题）当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝x2+2kx+1的最小值是﹣1，则k的值可能是32或−解：对称轴：x=−22=−k，分三种情况讨论：①当﹣k＜﹣1时，即k＞1时，此时﹣1≤x≤2在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，＝（﹣1）2+2k×（﹣1）+1＝﹣1，∴当x＝﹣1时，y有最小值，y小k=32，②当﹣1≤﹣k≤2时，即﹣2≤k≤1，对称轴在﹣1≤x≤2内，此时函数在﹣1≤x≤﹣k，y随x的增大而减小，在﹣k≤x≤2时，y随x的增大而增大，＝（﹣k）2+2k•（﹣k）+1＝﹣1，∴当x＝﹣k时，y有最小值，y小k2﹣2k2+2＝0，k2﹣2＝0，k=±2，∵﹣2≤k≤1，∴k=−2，③当﹣k＞2时，即k＜﹣2，此时﹣1≤x≤2在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，∴当x＝2时，y有最小值，y＝22+2k×2+1＝﹣1，小k=−32（舍），综上所述，k的值可能是32或−2，答案：32或−2．14．已知y＝﹣x（x+3﹣a）是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，若y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是a≤5．解：第一种情况：当二次函数的对称轴不在1≤x≤5内时，此时，对称轴一定在1≤x≤5的左边，函数方能在这个区域取得最大值，x=K32＜1，即a＜5，第二种情况：当对称轴在1≤x≤5内时，对称轴一定是在顶点处取得最大值，即对称轴为x＝1，∴K32=1，即a＝5综合上所述a≤5．答案：a≤5．15．（易错题）已知二次函数y＝x2﹣2hx+h，当自变量x的取值在﹣1≤x≤1的范围中时，函数有最小值n，则n的最大值是14．解：二次函数y＝x2﹣2hx+h图象的对称轴为直线x＝h．当h≤﹣1时，x＝﹣1时y取最小值，此时n＝1+2h+h＝1+3h≤﹣2；当﹣1＜h＜1时，x＝h时y取最小值，此时n＝h2﹣2h2+h＝﹣h2+h＝﹣（h−12）2+14≤14；当h≥1时，x＝1时y取最小值，此时n＝1﹣2h+h＝1﹣h≤0．综上所述：n的最大值为14．答案：14．16．（易错题）已知二次函数y＝x2﹣2x+2在t≤x≤t+1时的最小值是t，则t的值为1或2．解：y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，分类讨论：（1）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1右侧时，有t+1＜1，即t＜0，此时y随x的增大而减小，＝t＝（t+1）2﹣2（t+1）+2，∴当x＝t+1时，函数取得最小值，y最小值方程无解．（2）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1内时，即有t≤1≤t+1，＝1，解这个不等式，即0≤t≤1．此时当x＝1时，函数取得最小值，y最小值∴t＝1．（3）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1左侧时，即t＞1时，y随x的增大而增大，＝t＝t2﹣2t+2，解得t＝2或1（舍弃），∵当x＝t时，函数取得最小值，y最小值∴t＝1或2．答案：1或2．17．已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．解：（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，得b＝﹣6，c＝﹣3．（2）∵y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6，又∵﹣4≤x≤0，∴当x＝﹣3时，y有最大值为6．（3）①当﹣3＜m≤0时，当x＝0时，y有最小值为﹣3，当x＝m时，y有最大值为﹣m2﹣6m﹣3，∴﹣m2﹣6m﹣3+（﹣3）＝2，∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）．②当m≤﹣3时，当x＝﹣3时y有最大值为6，∵y的最大值与最小值之和为2，∴y最小值为﹣4，∴﹣（m+3）2+6＝﹣4，∴m=−3−10或m=−3+10（舍去）．综上所述，m＝﹣2或−3−10．18．（易错题）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）．（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，求二次函数的最小值；（Ⅱ）当c＝5时，若在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；（Ⅲ）当c＝b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．解：（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴当x＝﹣1时，二次函数取得最小值﹣4；（Ⅱ）当c＝5时，二次函数的解析式为y＝x2+bx+5，由题意得，x2+bx+5＝1有两个相等是实数根，∴△＝b2﹣16＝0，解得，b1＝4，b2＝﹣4，∴二次函数的解析式y＝x2+4x+5，y＝x2﹣4x+5；（Ⅲ）当c＝b2时，二次函数解析式为y＝x2+bx+b2，图象开口向上，对称轴为直线x=−2，①当−2＜b，即b＞0时，在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而增大，∴当x＝b时，y＝b2+b•b+b2＝3b2为最小值，∴3b2＝21，解得，b1=−7（舍去），b2=7；②当b≤−2≤b+3时，即﹣2≤b≤0，∴x=−2，y=34b2为最小值，∴34b2＝21，解得，b1＝﹣27（舍去），b2＝27（舍去）；③当−2＞b+3，即b＜﹣2，在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而减小，故当x＝b+3时，y＝（b+3）2+b（b+3）+b2＝3b2+9b+9为最小值，∴3b2+9b+9＝21．解得，b1＝1（舍去），b2＝﹣4；∴b=7时，解析式为：y＝x2+7x+7b＝﹣4时，解析式为：y＝x2﹣4x+16．综上可得，此时二次函数的解析式为y＝x2+7x+7或y＝x2﹣4x+16．。

第七讲二次函数面积最大值问题目录必备知识点 (1)考点一三角形面积的最大值 (1)考点二四边形面积的最大值 (3)考点三图形面积和、差、比的最大值 (5)必备知识点考点一三角形面积的最大值1．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线l 与抛物线交于A、D两点，点D的坐标为（4，n）．（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接P A、PD，求当△P AD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；知识导航2．如图1，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P在直线BC下方的抛物线上运动，求点P运动到何处时，△PBC的面积最大？3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣2，0），直线BC的解析式为y＝x﹣4．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A），P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PQ∥y轴，交AD于点Q，过点Q作QR⊥BC于点R，连接PR．求△PQR面积的最大值及此时点P的坐标．4．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，交y轴于点C，．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P点为一象限内抛物线上的一个动点，D点是BC中点，连接PD，BD，PB．求△BDP面积的最大值以及此时P点坐标；考点二四边形面积的最大值5．如图，抛物线y＝﹣x2+mx+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴直线x ＝交x轴于点D．（1）求m的值；（2）点E是线段BC上的一个动点．过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，与x轴相交于点H，连接CF、BF、OE．当四边形CDBF的面积最大时，请你说明四边形OCFE的形状．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），交y 轴于点C，且OC＝3．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一点，连接AC、BC、CP、BP，求四边形PCAB的面积的最大值，以及此时点P的坐标；7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，一次函数y＝kx+b（k≠0）与抛物线交于B、D两点，已知cos∠ABD＝．（1）求点D的坐标；（2）点F是抛物线的顶点，连接BF．P是抛物线上F、D两点之间的任意一点，过点P作PE ∥BF交BD于点E，连接PF、PD、FE．求四边形PFED面积的最大值及相应的点P的坐标；8．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线交于x轴上的点B，y轴上的点C，且其对称轴为直线．该抛物线与x轴的另一交点为点A，顶点为M．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）如图2，长度为的线段DF在线段BC上滑动（点D在点F的左侧），过D，F分别作y 轴的平行线，交抛物线于E，P两点，连接PE．求四边形PFDE面积的最大值及此时点P坐标；考点三图形面积和、差、比的最大值9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，BC，点D是线段AC上一点，过点D作DE∥BC交线段AC上方的抛物线于点E，过点E作EM∥y轴交直线AC于点M，过点D作DN⊥EM于点N，求阴影部分面积S的最大值和此时点E的坐标．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A的坐标；（2）如图1，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴交线段AC于E点，连接EO，记△ADC的面积为S1，△AEO的面积为S2，求S1﹣S2的最大值及此时点D的坐标；11．已知抛物线与x轴交于A，B两点，且经过点C（0，﹣2），顶点坐标为（，）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，当最大时，求D点坐标；12．如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．（1）求点C的坐标和抛物线的解析式；（2）点P是第一象限抛物线上的一个动点，连接P A，交直线BC于点D．①若sin∠P AB＝，试求四边形OBPC的面积S；②设△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，求的最大值．。

精品文档就在这里------------- 各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有-------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------二次函数求最值参数分类讨论的方法分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略 , 它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点 , 将对象分为不同种类然后逐类解决问题．一般地 , 对于二次函数 y=a (x m)2+n，x∈ [ t，s] 求最值的问题 ; 解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。

为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。

t + st 2 s①②③④①表示对称轴在区间［ t， s］的左侧，②表示对称轴在区间［t，s］内且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间［t， s］的右侧。

然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。

含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值例１、求函数 f ( x) x2 2ax 3在 x [0, 4] 上的最值。

分析：先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。

解： f ( x) x2 2ax 3 ( x a)2 3 a2∴此函数图像开口向上，对称轴x=a①、当 a＜ 0 时， 0 距对称轴 x=a 最近， 4 距对称轴 x=a 最远，∴x=0 时，y min =3，x=4 时，y max =19-8a②、当 0≤a＜ 2 时， a 距对称轴x=a 最近， 4 距对称轴 x=a 最远，∴x=a 时，y min =3-a2 ， x=4 时，y max =19-8a③、当 2≤ a＜ 4 时， a 距对称轴x=a 最近， 0 距对称轴 x=a 最远，∴x=a 时，y min =3-a2 ， x=0 时，y max =3④、当 4≤a时， 4 距对称轴x=a 最近， 0 距对称轴x=a 最远，∴x=4 时，y min =19-8a ，x=0 时，y max =33 , 2] 上最大值为1,求实数a的值例 2、已知函数 f ( x) ax2(2 a 1)x 3在区间 [2分析 : 取 a=0,a ≠ 0，分别化为一次函数与二次函数, 根据一次函数、二次函数的性质分---------------------------------------------------------精品文档---------------------------------------------------------------------精品文档就在这里------------- 各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有 -------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------类讨论 .解 :1) 若 a=0, 则 f(x)=-x-3,而 f(x) 在 [ 31, ∴ a ≠ 0, 2] 上取不到最大值为21 2a2) 若 a ≠ 0, 则 f ( x)ax 2(2 a 1)x 3 的对称轴为 x 02a( Ⅰ ) 若 f ( 3 )1，解得 a10 ，此时 x23 [ 3 ,2]2320 2a<0, f (x 0 ) 为最大值，但f ( 23 ) 120( Ⅱ )若 f (2)1解得 a 3此时 x 0 1 [ 3,2]31 4 3 2a2 较远， f (2)0, x 03 距右端点 最大值符合条件4( Ⅲ )若f ( x 0 )1 解得 a3 222当 a 3 2 20 时 x 0 2 24[ 3,2]22当 a3 2 2 0 时 x 02 2 4 [ 3,2]22综收所述 a 3或 a 32 242评注：此类题属于“动轴定区间”型的二次函数最值，解决此类问题的关键是讨论对称轴相对于定义域区间的位置，讨论时做到不重不漏。