广东省普宁市华侨中学2018-2019学年度第一学期高三第一次月考理科数学试卷与参考答案

广东省揭阳普宁华侨中学2018-2019学年高三第一次月考试题数 学（理 科）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案写在答卷上，在本试题卷上答题无效．第Ⅰ卷 选择题一、选择题：共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2|11A x x ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，{|21}x B x =<，则(∁A R )B =（ ）A ．[1,0)-B ．(1,0)-C ．(,0)-∞D ．(,1)-∞-2. 若复数232018|34|134i z i i i i i-=++++++-…，则z 的共轭复数的虚部为（ ）A ．15-B ．95-C ．95D ．95i -3．下列选项中说法正确的是（ ）A ．命题“p∨q 为真”是命题“p∧q 为真”的必要不充分条件B ．向量，满足，则与的夹角为锐角C ．若am 2≤bm 2，则a ≤bD ．“∃x 0∈R ，x 02﹣x 0≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2﹣x ≥0”4．在明朝程大位《算法统宗》中，有这样的一首歌谣，叫浮屠增级歌.“远看巍巍塔七层，红光点点倍加倍，共灯三百八十一，请问塔尖几盏灯？”意为：浮屠塔共七层，每层悬挂的灯数是上一层的2倍，全塔共381盏，则这个塔顶挂的灯有（ ）盏 A ．3 B ．4 C ．5 D ．65．设537535714(),(),log 755a b c -===，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2+c 2=a 2+bc ．若sin B•sin C=sin 2A ，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形7．已知若，是夹角为90°的两个单位向量，则=3﹣， =2+的夹角为（ ）A ．120°B ．60°C ．45°D ．30°8.执行右边的程序框图，如果输入的10N =，那么输出的S =（ ） A ．109 B ．169 C ．95 D ．20119．由01234、、、、五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位自然数，共有（ ）个．A. 24B. 20C. 12D. 1810．已知三棱锥 S －ABC 中，SA ⊥平面 ABC ，且∠ACB ＝30°，AC ＝2AB ＝SA ＝1，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）B 13πC D 11．已知直线l 的倾斜角为45︒，直线l 与双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的左、右两支分别交于M 、N 两点，且1MF 、2NF 都垂直于x 轴（其中1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点），则该双曲线的离心率为（ ）ABC1-D12．已知函数 f(x)＝e x＋2(x ＜0)与 g(x)＝ln(x ＋a)＋2 的图像上存在关于 y 轴对称的点，则 a 的取值范围是（ ）A 1(,)e -∞ B (,)e -∞ C 1(,)e e - D1(,)e e -二．填空题：共4小题，每小题5分。

13．已知函数y=3cos （2x +φ）的图象关于点中心对称，则|φ|的最小值为 ．14．若0(2sin cos )a x x dx =-⎰π，则6(ax的展开式中常数项为 ．15.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则 截去部分体积与剩余部分体积的比值为 .16.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知6a c +=，(3cos )tansin 2BA A -=，则ABC ∆的面积的最大值为 ． 三、解答题(共70分)：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（12分）已知等差数列{a n }的首项为a 1(a 1≠0)，公差为d ，且不等式a 1x 2－3x ＋2＜0的解集为(1，d )． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n －a n ＝1n 2＋n，求数列{b n }的前n 项和S n .18．（12分）如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥底面ABCD ，EDPA ，且22PA ED ==．（1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；（2）若直线 PC 与平面ABCD 所成的角为o45，求二面角D CE P --的余弦值．EDBCAP19．（12分）有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7元．现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表：(1)从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率； (2)假设同一个公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题： (ⅰ)求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；(ⅱ)小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日均工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由．20．（12分）在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段，垂足为A ，点Q 在线段AP 上，且AP =P 在圆上运动时.（Ⅰ）求点Q 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设直线m kx y l +=:与上述轨迹C 相交于M 、N 两点，且MN 的中点在直线1=x 上，求实数k 的取值范围．21．（12分）已知函数2()ln (01)x f x a x x a a a =+->≠且 （Ⅰ）求函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）若存在[]1,21,1x x ∈-，使得12()()1f x f x e -≥-（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：x y ⋅=αtan （πα<≤0，2πα≠），抛物线C ：⎩⎨⎧-==ty t x 22（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求直线l 1 和抛物线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 1 和抛物线C 相交于点A （异于原点O ），过原点作与l 1垂直的直线l 2，l 2和抛物线C 相交于点B （异于原点O ），求△OAB 的面积的最小值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()||f x x a =+．（1）当1=a 时，求不等式()211f x x ≤+-的解集；（2）若函数()()3g x f x x =-+的值域为A ，且[]2,1A -⊆，求a 的取值范围．广东省普宁市华侨中学2018-2019学年高三第一次月考数学(理科)参考答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。

（13） （14）240 （15） 1/5 （16） 三．解答题，本大题共70分17. 解：(1)由不等式a 1x 2－3x ＋2＜0的解集为(1，d ),可得a 1＞0且1，d 为方程a 1x 2－3x ＋2＝0的两根，…………………………2分即有1＋d ＝3a 1，d ＝2a 1，解得a 1＝1，d ＝2……………….4分则数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2.........................6分(2)b n －a n ＝1n 2＋n ＝1n －1n ＋1，..（8分）即b n ＝a n ＋1n －1n ＋1＝2n －1＋1n －1n ＋1，……9分则数列{b n }的前n 项和S n ＝(1＋3＋…＋2n －1)＋⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1…10分＝12n (1＋2n －1)＋1－1n ＋1＝n 2＋n n ＋1.。

12分 18．（1）证明：连接 BD ，交 AC 于点O ，设PC 中点为F ， 连接OF ，EF ．因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点，所以OFPA ，且12OF PA =，因为DE PA ，且12DE PA =， 所以OF DE ，且OF DE =．…………………1分所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF ，即BD EF （2分）因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥．因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥．因为PA AC A =，所以BD ⊥平面PAC ．……………4分 因为BD EF ，所以EF ⊥平面PAC ．…………………5分因为FE ⊂平面PCE，所以平面PAC ⊥平面PCE ． ………6分（2）因为直线PC 与平面ABCD 所成角为45，且⊥PA 平面ABCD ，所以45PCA ∠=，所以2==AC PA ．……………7分 因为2AB BC ==，所以∆ABC 为等边三角形．因为⊥PA 平面ABCD ，由（1）知//PA OF ，所以⊥OF 平面ABCD ．因为⊂OB 平面ABCD ，⊂OC 平面ABCD ，所以⊥OF OB 且⊥OF OC ．在菱形ABCD 中，⊥OB OC ．以点O 为原点，OB ，OC ，OF 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系-O xyz（如图）．则(0,0,0),(0,1,2),(0,1,0),((-O P C D E ，zOyxPACBDE则(0,2,2),(3,1,1),(3,1,0)=-=--=--CP CE CD ．……9分 设平面PCE 的法向量为111(,,)x y z =n ，则0,0,CP CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即11111220,0.y z y z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令11=y ，则111,1.y z =⎧⎨=⎩，则法向量()0,1,1=n (10分)设平面CDE 的法向量为222(,,)x y z =m ，则0,0,CE CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即222220,0.y z y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩令21=x ，则220.y z⎧=⎪⎨=⎪⎩则法向量()1,=m ．…………………11分设二面角--P CE D 的大小为θ，由于θ为钝角，则cos cos ,θ⋅=-=-==⋅n m n m n m．所以二面角--P CE D 的余弦值为．…………………………12分 19.【解析】(1)由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A ，则P (A )＝C 330C 350＝29140.(3分)(2)(ⅰ)设乙公司送餐员的送餐单数为n ，日工资为X 元，则当n ＝38时，X ＝38×6＝228；当n ＝39时，X ＝39×6＝234；当n ＝40时，X ＝40×6＝240； 当n ＝41时，X ＝40×6＋7＝247；当n ＝42时，X ＝40×6＋14＝254. 所以X 的分布列为分)E ()X ＝228×15＋234×310＋240×15＋247×15＋254×110＝238.6.(9分)(ⅱ)依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为38×0.2＋39×0.2＋40×0.3＋41×0.2＋42×0.1＝39.8，(10分) 所以甲公司送餐员的日平均工资为80＋4×39.8＝239.2元，(11分) 因为238.6<239.2，所以小张应选择甲公司应聘．(12分) 20.解：（Ⅰ）设00(,)P x y 0(2)x ≠±，(,)Q x y ，----------------------------1分由AP =则00,x x y ==，-----------------------------2分∵点P 在圆224x y +=上，即22004x y +=，∴22)4x +=，即12422=+y x ， ∴点Q 的轨迹C 方程为12422=+y x ----5分（Ⅱ）设),(11y x M ，),(22y x N ，若直线l 与x 轴平行，则MN 的中点在y 轴上，与已知矛盾，所以0≠k ，------------------------------------6分把m kx y +=代入12422=+y x ，得0424)12(222=-+++m kmx x k ，-----7分则)42)(12(4162222-+-=∆m k m k )24(822m k -+=，由0>∆，得22)12(2m k >+，-------------------------------------------------------------------9分由11222221=+-=+k kmx x ，得1222+=-k km ，-----------------------------------10分故2222)12()12(8+>+k k k ，即162>k ，解得k >或k <--------------12分 21.解：（I ）因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+，所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+，(0)0f '=，又因为(0)1f =，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =． …3分 （II ）因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立， 而当[1,1]x ∈-时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤，所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可．……………………………………………4分由（I ），()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++．得()2()2ln xf x a a ''=⋅+因为当0,1a a >≠时，总有()0,f x ''>所以()f x '在R 上是增函数， ………5分 又(0)0f '=，所以x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：所以()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()min 01f x f ==， ()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值．…………7分因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a aa a--=--=--+++，令1()2ln (0)g a a a a a=-->，因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+，所以1()2ln g a a a a=--在()()0,11+a ∈∞、，上是增函数． 而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-．………………………………………9分所以，当1a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即ln e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥；………………………………10分当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即1ln e 1a a +-≥，函数1ln y a a=+在(0,1)a ∈上是减函数，解得10ea <≤．…………11分综上可知，所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+．………………………………12分22、解：（Ⅰ）可知l 1是过原点且倾斜角为α的直线，其极坐标方程为αθ=(,)2R παρ≠∈------2分 抛物线C 的普通方程为x y 42=，----------3分其极坐标方程为θρθρcos 4)sin (2=，化简得θθρcos 4sin 2=．--------------5分 （Ⅱ）解法1：由直线l 1 和抛物线C 有两个交点知0α≠，把αθ=代入θθρcos 4sin 2=，得ααρ2sin cos 4=A ，-----------------6分可知直线l 2的极坐标方程为2παθ+=)(R ∈ρ，-----------------------7分代入θθρcos 4sin 2=，得ααρsin 4cos 2-=B ，所以ααρ2cos sin 4-=B ，----8分||||21||||21B A OABOB OA S ρρ⋅=⋅=∆|cos sin 2|16αα=16|2sin |16≥=α， ∴△OAB 的面积的最小值为16．--------------------------10分23．解：（1）当1=a 时，()|1|=+f x x ．…………………………………………1分①当1x ≤-时，原不等式可化为122x x --≤--，解得1≤-x ．………………2分 ②当112x -<<-时，原不等式可化为122+≤--x x ，解得1≤-x ，此时原不等式无解．……3分 ③当12x ≥-时，原不等式可化为12+≤x x ，解得1≥x ．……………………4分 综上可知，原不等式的解集为{1x x ≤-或}1≥x ．……………………………5分（2）①当3a ≤时，()3,3,23,3,3,.a x g x x a x a a x a -≤-⎧⎪=----<<-⎨⎪-≥-⎩……………………6分所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--，因为[2,1]-⊆A ，所以3231a a -≤-⎧⎨-≥⎩，，解得1a ≤．………7分②当3a >时，()3,,23,3,3, 3.a x a g x x a a x a x -≤-⎧⎪=++-<<-⎨⎪-≥-⎩………………………………8分所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--，因为[2,1]-⊆A ，所以3231a a -≤-⎧⎨-≥⎩，，解得5a ≥．………9分综上可知，a 的取值范围是(][),15,-∞+∞．……………10分。