方位角与方向角之间的问题

1。

2 应用举例第1课时解三角形的实际应用举例—-距离问题必备知识·自主学习1.基线（1）定义和选取原则.(2）本质:解三角形必须知道三角形的一条边长，这恰是基线的意义所在。

（3)作用：基线的选择决定了测量方案的设计.2。

方位角和方向角（1）方位角:从指北方向顺时针转到目标方向线所成的角.如图（1)目标A的方位角为135°.(2）方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角。

如图(2),北偏东30°，南偏东45°。

方位角与方向角有什么共同点?提示：方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系。

1.辨析记忆（对的打“√”,错的打“×").(1)基线选择不同,同一个量的测量结果可能不同。

(）（2)东偏北45°的方向就是东北方向。

（) (3）两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解. （)（4)如图所示，为了测量隧道AB的长度,可测量数据a,b，γ进行计算. （)提示:(1）√.（2)√.由方向角的定义可知。

（3）√.可由正弦定理解三角形求解.（4）√。

由余弦定理可求出AB。

2。

某次测量中，A在B的北偏东55°，则B在A的()A。

北偏西35° B.北偏东55°C.南偏西35°D。

南偏西55°【解析】选D。

根据题意和方向角的概念画出草图,如图所示α=55°，则β=α=55°。

所以B在A的南偏西55°。

3。

（教材二次开发:习题改编）如图所示，已知两座灯塔A和B 与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为（)A.a kmB. a kmC. a km D。

2a km【解析】选B。

由题意得∠ACB=120°，AB2=a2+a2-2a2cos 120°=3a2,所以AB=a。

浅谈方位角作者：张春艳来源：《中学课程辅导·教学研究（下）》 2019年第6期张春艳摘要：在人教版七年级上册第四章《几何图形的初步认识》的第三节方位角的教学中有这样一题：在如图所示的方位中(图略)，射线0A 所表示的方向是（）。

A. 东偏南60 度；B.南偏东30 度；C. 西偏南30 度；D. 南偏西60 度。

乍一看A、B 选项都表示那条射线，到底选哪个？哪个才是规范的表述呢？关键词：方位角；方向角；规范；铺垫中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711(2019)06-0120对于如本文摘要中所述问题的表述，笔者认为：首先不严谨。

方向角与方位角是两个概念，这应该是针对方向角的。

现行教材小学与中学有脱节，小学要求低，A的说法也对，只要学生能清楚描述一个方向就行，但A 的描述不规范。

方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)** 度。

方位角定义：从标准方向的北端起，顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角。

方位角的取值范围为0毅~360毅本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目审核。

方向角指的是采用某坐标轴方向作为标准方向所确定的方位角。

有时，方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于九十度的角。

方向角到底是方位角的补充概念，还是独立概念，笔者更倾向前者，受知识基础的制约，初中阶段学生认识的角主要是小于平角的，这达不到地理学中方位角的要求。

小学阶段学生对余角与补角的认识停留在感知层次，因此有了“东偏南”等直观解释。

七年级对这一点进行了规范要求，强调“以南北为基准”，但教材前后也有细微的变化，从有“方位角”一说到今天的忽略，是回避方向角与方位角之争，还是暗示方向角从属于方位角？物理上方向角是在坐标系中确定向量方向的量，用方向角的余弦值表示向量的方向一般小于90 度，大多也以南北方向为角的一边。

方位角1.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）××度.方位角定义:从标准方向的北端起,顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角。

方位角的取值范围为0°～360°。

方位角：从某点的指北方向线起，顺时针方向至目标方向线的水平夹角，从真子午线起算的为‘真方位角’；从磁子午线起算的为‘磁方位角’；从坐标纵线起算的为‘坐标方位角’。

方向角（Bearing）乃一平面角，系一直线与南北方向线（参见方位角条）间所夹之角，仍系用来标出两点方位之一法。

与方位角不同者，方向角系分由南北起算，角度值在零度及九十度之间。

方向角之表出方式乃是在角度值之前冠以南北字样，其后则书出东西字样。

例如在图一中，设O点观测点或原点，OA之方向角为N50。

E（北五十度东），系由北方以顺时针方向向东量出，OB之方向角为S35。

E，乃由南方沿反时针方向向东量出。

OC之方向角为S35。

W，OD之方向角为N30。

W。

此四线分别在不同之象限中，所表之值中，加上冠字尾字可表出该线在何象限，亦表出应向那一方向量出。

（见图1）方向角与方位角一样，亦根据其北南线是真北南、磁北南、假定北南而有真方向角、磁方向角、假定方向角之名称。

同一条直线，由於起点终点不同，所表出直线之方向亦相反。

如图二所示，直线LP，如以L为起点，向P之方向角若为N80。

E，则以P为起点，向L之方向为则为S80。

W，前者若称为前方向角，后者则称为后方向角。

反而言之。

若PL命名为前方向角，LP即为后方向角。

前、后方向角之角度值相等，但冠字尾字皆要改变，即N变为S，或S变为N；同时E变为W，或W变为E。

2.。

中考数学锐角三角函数应用方位角与方向角问题复习引入本节课将应用解直角三角形知识解决测量中的方位角问题．探究新知（一）方位角与方向角1．方向角教师讲解：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如课本图28．2-1中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图28．2-1的目标方向线OD 与正南方向成45°角，通常称为西南方向．图28．2-1 图28．2-2 2．方位角教师讲解：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．•如课本图28．2-2中，目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．（二）用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点教师讲解：在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）•之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解．解题时一般有以下三个步骤：1．审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知．2．将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．如果没有现成是直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形．3．根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、•角）之间关系解有关的直角三角形．（三）例题讲解教师解释题意：如课本图28．2-8所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，•距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，•到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里）教师提示：这道题的解题思路与上一节课的例4相似．因为△APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，△ACP与△PCB．PC•是东西走向的一条直线．AB是南北走向的一直线，所以AB与PC是相互垂直的，即∠ACP与∠BDP•均为直角．再通过65度角与∠APC互余的关系求∠APC；通过34度角与∠BPC•互余的关系求∠BPC．教师分析后要求学生自行做完这道题．学生做完后教师再加以总结并板书．解：如课本图28．2-8，在Rt△APC中，PC=PA·cos（90°-65°）=80×cos25°≈80×0.91=72.8．在Rt△BPC中，∠B=34°，∵sinB=PC PB，∴PB=72.872.8sin sin340.559PCB=≈︒≈130.23．因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．教师讲解：解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，•要根据实际情况灵活运用相关知识．例如，当我们要测量如课本图28．2-9所示大坝的高度h时，只要测出仰角α和大坝的坡面长度L，就能算出h=Lsinα．但是，当我们要测量如课本图28．2-10所示的山高h 时，问题就不那么简单了．这是由于不能很方便地得到仰角α和山坡长度L．图28．2-9 图28．2-10与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的．怎样解决这样的问题呢？我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，课本图28．2-11表示其中一部分小段．划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长L1，测出相应的仰角α，这样就可以算出这段山坡的高度h1=L1sin α．图28．2-11在每个小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1，h2，……．然后我们再“积零为整”，把h1，h2，…相加，于是得到山高h．以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．随堂练习课本第95页练习第1题、第2题．课时总结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，•转化为解直角三角形的问题）．2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．3．得到数学问题的答案．4．得到实际问题的答案．教后反思:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 第4课时作业设计课本练习课本第97页习题28．2拓广探索第9题、第10题．双基与中考一、选择题．1．如图，轮船航行到C处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°，那么同时从B观测到轮船的方向是（）．A．南偏西35°B．东偏西35°C．南偏东55°D．南偏东35°(第1题) (第5题) (第8题) 2．•身高相同的三个小朋友甲、•乙、•丙放风筝，•他们放出的线长分别是300m，250m，200m，线与地面所成的角分别为30°、45°、60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放风筝（）．A．甲的最高B．乙的最低C．丙的最低D．乙的最高3．一日上午8时到12时，若太阳光线与地面所成角由30°增大到45°，•一棵树的高为10m，则树在地面上影长h的范围是（）．A．5<h≤B．10≤h≤C．10<h<15 D．4．△ABC中，AB=6，AC=3，则∠B最大值是（）．A．30°B．45°C．60°D．无法确定5．如图，水库大坝横断面为梯形，坝顶宽6m，坝高2m，斜坡AB的坡角为45°，•斜坡CD的坡度i=1：2，则坝底AD的长为（）．A．42m B．（）m C．78m D．（）m6．△ABC中，+（2=0且AB=4，则△ABC的面积是（）．A．B．4 C．D．27．一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘船以28海里/小时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时，灯塔M 与渔船的距离是（）．A．B．C．7 D．148．某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m；要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，•使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板AC的宽度应为（）．A．1.8tan80°m B．1.8cos80°mC．1.8sin80︒D．1.8cot80°m9．若菱形的边长为4，它的一个内角为126°，则较短的对角线长为（ ）．A ．4sin54°B ．4cos63°C ．8sin27°D ．8cos27°10．如图，上午9时，一条船从A 处出发以20海里/小时的速度向正北方向航行，•11时到达B 处，从A 、B 望灯塔C ，测得∠NAC=36°，∠NBC=72°，那么从B 处到灯塔C 的距离是（ ）．A ．20海里B ．36海里C ．72海里D ．40海里 北BA NC(第10题) (第11题)11．如图，一电线杆AB 的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1•米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB 落在地上的影子BD 长3米，落在墙上的影子CD 的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB 的高，•请你计算电线杆AB 的高为（ ）．A ．5米B ．6米C ．7米D ．8米二、填空题．12．升国旗时，某同学站在离旗杆底部24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，•该同学视线的仰角恰为30°，若双眼离地面1.5m ，则旗杆高度为______m ．（•用含根号的式子表示）13．在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45°，沿水平方向，•再向塔底前进a 米，又测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔高为________．• • •14．•如图一铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD ，•根据图示数据得下底宽AD=______米．(第14题) (第15题)15．如图△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，4），（3，0），并且∠ACB=90°，∠B=•30°，则顶点B的坐标是________．16．如图，•燕尾槽的外口宽AD=•90mm，•深为70mm，•燕尾角为60•°，•则里口宽为________．(第16题) (第17题)17．如图，从高出海平面500m的直升飞机上，测得两艘船的俯角分别为45•°和30°，如果这两艘船一个在正东，一个在正西，那么它们之间的距离为______．三、解答题．18．甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以16．1海里/小时的速度向东偏南35°方向航行，乙船向西偏南58°，方向航行，航行了两小时，甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好在其正西方向，求乙船的速度v．（精确到0.1海里/小时）（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，cot32°≈1.60）19．去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，•为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A、B两地之间修筑一条笔直公路（图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C•处有一个半径为0.7千米的公园，问计算修筑的这条公路会不会穿出公园？为什么？A B答案：一、1．D 2．D 3．B 4．A 5．C 6．A 7．A 8．D 9．C 10．D11．D 二、12．332 1333米 14．29.2 15．（3316．（90+33）mm 17．500（3）m三、18．由题意可知：OA=16．1×2=32.2（海里）．∠1=32°，∠2=58°．∴∠AOB=180°-（∠1+∠2）=180°-（32°+58°）=90°．由B 在A 的正西方向，可得：∠A=∠1=32°．又∵在Rt △AOB 中，tanA=OBOA ，∴OB=OA ·tanA=32.2×tan32°=32.2×0.62=19.964（海里）．∴v=2OB=19.964÷2=9.982≈10.0（海里/小时）．即：乙船的速度约为10.0海里/小时．19．过点C 作CD ⊥AB 于D ，3，这条公路不会穿过公园．。

方位角和方向角的区别是什么方位角和方向角这两者有什么区别？不知道的小伙伴看过来，下面由小编为你精心准备了“方位角和方向角的区别是什么”仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的内容!方位角和方向角的区别一、方向角1。

定义:一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)××度。

2。

度量：方向角系分由南北起算，角度值在零度及九十度之间。

方向角之表示方式乃是在角度值之前冠以南北字样，其后则书出东西字样。

方向角与方位角一样，亦根据其北南线是真北南、磁北南、假定北南而有真方向角、磁方向角、假定方向角之名称。

正北：北偏东0度或者北偏西0度。

正南：南偏东0度或者南偏西0度。

正东：北偏东90度或者南偏东90度。

正西：北偏西90度或者南偏西90度。

东北：北偏东45度。

西北：北偏西45度。

东南：南偏东45度西南：南偏西45度二、方位角1。

定义:从标准方向的北端起,顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角。

方位角的取值范围为0°～360°。

2。

度量：从某点的指北方向线起，顺时针方向至目标方向线的水平夹角，从真子午线起算的为‘真方位角’;从磁子午线起算的为‘磁方位角’;从坐标纵线起算的为‘坐标方位角’。

正北：0度。

正东：90度正南：180度正西：270度东北：45度东南：135度西南：225度西北：315度。

方位角和方向角的定义一、方位角方位角又称地平经度(缩写Az)，是在平面上量度物体之间的角度差的方法之一。

是从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。

方位角是指卫星接收天线，在水平面做0°-360°旋转。

方位角调整时抛物面在水平面做左右运动。

通常我们通过计算软件或在资料中得到的结果应该是以正北方向(约地磁南极)为标准，将卫星天线的指向偏东或偏西调整一个角度，该角度即是所谓的方位角。

姓名: __________ 打卡时间: __________1．本专题复习高中数学必修5中解三角形的实际应用，在实际生活中很多长度、角度不好测量，这时我们能够利用解三角形的知识来解决．2．分析实际问题中的背景，利用解三角形解决长度、角度的相关问题．3．根据所给的知识点梳理识记相关公式，阅读例题并完成相关配点训练，时间：25分钟．利用正弦定理、余弦定理解决实际问题1．方位角、方向角(1)方位角：从指北方向________时针转到目标方向的水平角．如图（1）所示(2)方向角：相对于某一正方向(东、西、南、北)的水平角．①北偏东α°，即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向，如图（2）所示．②北偏西α°，即是由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．专题三：距离、角度相关问题方位角2．仰、俯角：目标方向线(视线)与水平线的夹角中，当目标(视线)在水平线上方时，称为______，在水平线下方时，称为______，如图．{例题}要测量河对岸两地A 、B 之间的距离，在岸边选取相距100 3m 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A 、B 、C 、D 在同一平面内)，求A 、B 两地的距离．{解析}如图所示，在△ACD 中，∠CAD ＝180°－(120°＋30°)＝30°，∴AC ＝CD ＝1003．在△BCD 中，∠CBD ＝180°－(45°＋75°)＝60°．仰、俯角利用正、余弦定理求距离由正弦定理，得BC＝1003sin75°sin60°＝200sin75°．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(1003)2＋(200sin75°)2－2×1003×200sin75°·cos75°＝1002(3＋4×1－cos150°2－2×3×sin150°)＝1002×5，∴AB＝1005．{答案} A、B两地间的距离为1005m．3．如图所示，海中小岛A周围38 n mile内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30 n mile后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？{例题}如图所示，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地平面上取一基线AB，AB ＝20 m，在A处测得P点的仰角∠OAP＝30°，在B处测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高h．求解三角形中的基本元素，应由确定三角形的条件个数，选择合适的三角形求解，如本题选择的是△BCD和△ABC．利用正、余弦定理求高度{解析} AO＝OPtan30°＝3h，OB＝OP＝h．在△ABO中，由余弦定理，得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB．∴400＝3h2＋h2－23h2·cos60°，即400＝4h2－3h2，∴h＝204－3≈13(m)．{答案}旗杆的高大约为13 m．4．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m．{例题}在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(3－1) n mile的B处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以103n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？{解析}设缉私船用t h在D处追上走私船．在△ABC，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2×cos120°＝6，欲求旗杆的高度h，只要注意到OB＝OP＝h，便可在△BPO、△APO、△AOB 中找出OP(h)、OA、OB的关系，用正弦定理或余弦定理去解决．利用正、余弦定理求角度∴BC＝6．在△ABC中，由正弦定理，得 sin ∠ABC ＝AC BC sin ∠BAC ＝22，∴∠ABC ＝45°，∴BC 与正北方向垂直∴∠CBD ＝120°．在△BCD 中，由正弦定理，得 CD sin ∠CBD ＝BD sin ∠BCD ，∴103t sin120°＝10tsin ∠BCD，∴sin ∠BCD ＝12，∴∠BCD ＝30°．{答案}缉私船沿东偏北30°的方向能最快追上走私船．5．我缉私巡逻艇在一小岛A 南50°西的方向，距小岛A 12 n mile 的B 处，发现隐藏在小岛边上的一走私船正开始向岛北10°西方向行驶，测得其速度为每小时10 n mile ，问我巡逻艇需用多大的速度朝什么方向航行才能恰在两个小时后截获该走私船？(参考数据：sin38°≈0.62)把实际问题抽象为几何问题，再利用正、余弦定理求相关角度．1．顺2．仰角，俯角3．解：在△ABC 中，BC ＝30，∠ABC ＝30°，∠ACB ＝135°，∴∠BAC ＝15°， 由正弦定理，得BC sin A ＝AC sin B 即：30sin15°＝ACsin30°，∴AC ＝60cos15°＝60cos(45°－30°)＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(6＋2)， ∴A 到BC 的距离为d ＝AC sin45°＝15(3＋1)≈40.98 n mile>38 n mile ， 答：继续向南航行，没有触礁危险．4．1006．由题意可知，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°，所以∠ACB ＝45°．故由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC ，即有60022＝BC12，解得BC ＝3002．又由题意可知，在Rt △BCD 中，∠BCD ＝90°，∠CBD ＝30°，所以由tan ∠CBD ＝CD BC 可得33＝CD3002，解得CD＝1006．5．解：如右图所示，AC 所在射线即为走私船航行路线，假设我巡逻艇在C 处截获走私船，我巡逻艇的速度为每小时x n mile ，则BC ＝2x ，AC ＝20． 依题意∠BAC ＝180°－50°－10°＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos120° ＝122＋202－2×12×20×(－12)＝784，∴BC ＝28，∵BC ＝2x ，∴x ＝14．又由正弦定理得，sin ∠ABC ＝AC sin ∠BACBC ＝20×3228≈0.62．∴∠ABC ＝38°．而如图所示的Rt △ADB 中，∠ABD ＝40°． ∴∠EBC ＝90°－38°－40°＝12°．专题三：距离、角度相关问题 答案答：我巡逻艇用每小时14 n mile的速度向北12°东的方向航行．。

课题角度问题第课时教学目标1．知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题．2．过程与方法通过综合训练强化学生的相应能力，让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三．3．情感、态度与价值观培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神．教学重点能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系．教学难点灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题．教学方法讲练结合教学过程：步骤、内容、教学活动二次备课方位角与方向角【问题导思】课上，老师让同学们画148°的方位角，有二位同学提出疑问，甲说：老师的说法不对，应具体说出148°角是哪个方向偏哪个方向的角度，如南偏东148°.乙说：方位角应该小于90°，不应该为148°.你认为老师说法正确吗？二位同学产生疑问的原因是什么？【提示】老师说法是正确的．二位同学产生疑问的原因是混淆了方位角与方向角的概念．图1－2－171．方位角：从指北方向顺时针方向转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α°(如图1－2－17)．方位角的取值范围：0°～360°.2．方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.俯角、仰角与坡角(1)仰角和俯角是指与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线与目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角．如图1－2－18，仰角为∠1，俯角为∠2.图1－2－18(2)坡角是指斜坡所在平面与水平面的夹角．坡度(坡比)是指坡面的垂直高度和水平宽度的比．确定航向的角度问题一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到0.01 n mile)图1－2－19【思路探究】 (1)如图AB ，BC 已知，只要求出它们的夹角ABC 就可以用余弦定理求出AC ，∠ABC 怎样求？(2)∠CAB 怎样求？若求出∠CAB ，航向该怎样表示？【自主解答】 在△ABC 中，∠ABC ＝180°－75°＋32°＝137°，根据余弦定理，AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos ∠ABC＝67.52＋54.02－2×67.5×54.0×cos 137° ≈113.15.由正弦定理，得BC sin ∠CAB ＝ACsin ∠ABC， sin ∠CAB ＝BC sin ∠ABCAC＝54.0×sin 137°113.15≈0.3255，所以∠CAB ＝19.0°，75°－∠CAB ＝56.0°.答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15 n mile.1．本题中由于A 、C 均为固定点，故所求航向是确定的，只要解出∠CAB 的大小，可用方向角表示出来．2．在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角．因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正弦函数在(0，π)上不是一一对应，一个正弦值可以对应两个角．但角在(0，π2]上时，用正、余弦定理皆可．如图1－2－20所示，从A 到B ，方位角是50°，距离是470 m ，从B 到C ，方位角是80°，距离是860 m ，从C 到D ，方位角是150°，距离是640 m ，试计算从A 到D 的方位角和距离．图1－2－20【解】 连接AC ，在△ABC 中， ∠ABC ＝50°＋(180°－80°)＝150°， 由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 150°≈1 289 m，由正弦定理，得 sin ∠BAC ＝BC sin ∠ABC AC ≈860sin 150°1 289≈0.333 6，∴∠BAC ≈19.5°， ∴∠ACB ≈10.5°.在△ACD 中，∠ACD ≈80°－10.5°＋30°＝99.5°.由余弦定理，得AD ＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos ∠ACD ≈1 531 m.∴cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD≈0.911 1，∴∠CAD ≈24.3°.∴从A 到D 的方位角为50°＋19.5°＋24.3°＝93.8°. 即从A 到D 的方位角约为93.8°，距离约为1 531 m.不确定航向的角度问题某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离A 为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以103海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．【思路探究】 (1)你能否根据题意画出图形？(2)舰艇与渔船在何处相遇？相遇时有怎样的等量关系？【自主解答】 如图所示，设所需时间为t 小时， 则AB ＝103t ，CB ＝10t ，在△ABC 中，根据余弦定理，则有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，可得：(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos 120°.整理得：2t 2－t －1＝0， 解得t ＝1或t ＝－12(舍去)，所以舰艇需1小时靠近渔船，此时AB ＝103，BC ＝10. 在△ABC 中，由正弦定理得：BC sin ∠CAB ＝ABsin 120°，∴sin ∠CAB ＝BC ·sin 120°AB ＝10×32103＝12.∴∠CAB ＝30°.所以舰艇航行的方位角为75°.1．本题欲求方位角，先求边长，而要求边长，需先求时间，由于舰艇与渔船同时在移动，故相遇点不确定，即舰艇的航向不确定，解题时画图的关键是设出相遇点B ，画出可以求解的三角形．2．解决这类问题首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，根据题意画出正确的示意图，将实际问题转化为数学问题，运用正弦定理或余弦定理求解．体现了数形结合与方程的数学思想方法．在甲船A 处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B 处，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船速度是乙船速度的3倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？此时乙船行驶了多少海里？【解】 设甲船沿直线与乙船同时到C 点，则A 、B 、C 构成△ABC ，如图，设乙船速度为v ，则甲船速度为3v ，到达C 处用时为t .由题意BC ＝vt ，AC ＝3vt ，∠ABC ＝120°.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 120°， ∴3v 2t 2＝a 2＋v 2t 2＋avt . ∴2v 2t 2－avt －a 2＝0,解得vt ＝－a2(舍去)或vt ＝a . ∴BC ＝a ，在△ABC 中AB ＝BC ＝a ，∴∠BAC ＝∠ACB ＝30°. 60°－30°＝30°. 即甲船应取北偏东30°的方向去追乙船，此时乙船行驶了a 海里．易错辨析题：应用正余弦定理时出现增根致误图1－2－21某观测站C 在A 城的南偏西20°方向上，由A 城出发的一条公路走向是南偏东40°.在C 处测得公路上距C 为31 km 的B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20 km 后到达D 处，此时CD 间的距离为21 km ，则这人还要走多远才可到达A 城？【错解】 如题图所示，∠CAD ＝60°， 在△BCD 中，由余弦定理，得：cos B ＝BC 2＋BD 2－CD 22BC ·BD ＝312＋202－2122×31×20＝2331.所以sin B ＝1－cos 2B ＝12331. 在△ABC 中，AC ＝BC sin Bsin ∠BAC＝24(km)．在△ACD 中，由余弦定理，得：CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD cos ∠CAD ，即212＝242＋AD 2－24AD . 所以AD ＝15或AD ＝9， 即这人还要走15 km 或9 km 才能到达A 城．【错因分析】 余弦定理中线段都带着平方，故求值时会出现两个值，未检验解是否合题意，导致了错误．【防范措施】 求解应用题一定要注意验根，看是否符合题意或符合实际问题．【正解】 设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β， 在△CBD 中，由余弦定理，得：cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD ＝202＋212－3122×20×21＝－17. 所以sin β＝437.所以si n α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β＝437×12＋32×17＝5314. 在△ACD 中，由正弦定理，得CD sin 60°＝ADsin α，所以AD ＝21×sin αsin 60°＝15(km)．即这人还要走15 km 才可以到达A 城．巩固练习：图1－2－221．对右图正确的描述应为( )A ．东偏北α°B ．东北方向α°C ．北偏东α° 【答案】 C2．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°【解析】 如图，由题意，知AC ＝BC ，∠ACB ＝80°， ∴∠CBA ＝50°，α＋∠CBA ＝60°. ∴α＝10°，即A 在B 的北偏西10°.【答案】 B3．△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝7，则cos C ＝( ) A ．－15 B.15C.79D.45【解析】 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－840＝－15.【答案】 A4．一船向正北匀速行驶，看见正西方两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，求该船的速度．【解】 如图，B ，C 为两灯塔，行驶半小时后船从A 到达D ，由∠ADC ＝75°，∠ADB ＝60°，∴∠BCD ＝∠BDC ＝15°.∴BD ＝BC ＝10，∴AD ＝10×cos 60°＝5. 设船速为x ，则12x ＝5，即x ＝10(海里/小时)．课堂小结：1．测量角度问题是指无法直接用量角器和测角仪测量角度的求解问题．在实际生活中，要测量角的大小，求三角形中角度的大小，求不能直接测得的角，求轮船航行时航速与航向等问题都可以结合正、余弦定理，通过解三角形解决．2．在解决与角度有关的题目时，要搞清仰角、俯角、坡角、方位角和方向角的含义，合理的构造三角形把实际问题转化为数学问题加以解决.布置作业：。

方位角（azimuthangle）：从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，叫方位角。

（一）方位角的种类由于每点都有真北、磁北和坐标纵线北三种不同的指北方向线，因此，从某点到某一目标，就有三种不同方位角。

（1）真方位角。

某点指向北极的方向线叫真北方向线，而经线，也叫真子午线。

由真子午线方向的北端起，顺时针量到直线间的夹角，称为该直线的真方位角，一般用A表示。

通常在精密测量中使用。

（2）磁方位角。

地球是一个大磁体，地球的磁极位置是不断变化的，某点指向磁北极的方向线叫磁北方向线，也叫磁子午线。

在地形图南、北图廓上的磁南、磁北两点间的直线，为该图的磁子午线。

由磁子午线方向的北端起，顺时针量至直线间的夹角，称为该直线的磁方位角，用Aｍ表示。

（3）坐标方位角。

由坐标纵轴方向的北端起，顺时针量到直线间的夹角，称为该直线的坐标方位角，常简称方位角，用a表示。

方位角在测绘、地质与地球物理勘探、航空、航海、炮兵射击及部队行进时等，都广泛使用。

不同的方位角可以相互换算。

军事应用：为了计算方便精确，方位角的单位不用度，用密位作单位。

换算作：360度=6000密位。

（二）三种方位角之间的关系因标准方向选择的不同，使得一条直线有不同的方位角。

同一直线的三种方位角之间的关系为：Ａ＝Ａｍ＋δＡ＝a＋γa＝Ａｍ＋δ－γ（三）坐标方位角的推算1．正、反坐标方位角每条直线段都有两个端点，若直线段从起点1到终点2为直线的前进方向，则在起点1处的坐标方位角a12称为直线12的正方位角，在终点2处的坐标方位角a21称为直线12的反方位角。

a反=a正±180°式中，当a正＜180°时，上式用加180°；当a正＞180°时，上式用减180°。

2．坐标方位角的推算实际工作中并不需要测定每条直线的坐标方位角，而是通过与已知坐标方位角的直线连测后，推算出各直线的坐标方位角。