寿险精算习题及答案讲解学习

习题第一章人寿保险一、n 年定期寿险【例4.1】设有100个40岁的人投保了1000元5年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为3%。

I 、如果各年预计死亡人数分别为1、2、3、4、5人，计算赔付支出； II 、根据93男女混合表，计算赔付支出。

解：I表4–1 死亡赔付现值计算表根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：48.13468)03.1503.1403.1303.1203.11(100054321=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯-----（元）则每张保单未来赔付的精算现值为134.68元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。

解：II表4–2 死亡赔付现值计算表根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：86.9124)03.103.103.103.103.1(1000540|4440|3340|2240|11402=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯-----q q q q q （元）则每张保单未来赔付的精算现值为91.25元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。

【例4.2】某人在40岁时投保了10000元3年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。

根据93男女混合表计算：I 、单位趸缴纯保费；II 、单位赔付现值期望的方差；III 、（总）趸缴纯保费； 解：I 、单位趸缴纯保费为，)()(424023414024040|2340|1240240|11|3:40q p v q p v vq q v q v vq q v Ak k k ++=++=⨯=∑=+]05.1001993.0)001812.01()00165.01(05.1001812.0)00165.01(05.100165.0[32⨯-⨯-+⨯-+=00492793.0=（元）。

II 、单位赔付现值期望的方差为，00444265.0)()()()(21|3:4040|2640|1440221|3:40240|)1(221|3:401|3:402=-++=-⨯=-∑=+A q v q v q v A q v AAk k k III 、趸缴纯保费为，28.49100001|3:40=⨯A （元） 【例4.3】某人在50岁时投保了100000元30年期定期寿险，利率为8%。

保险精算第二版习题及答案保险精算（第二版）第一章：利息的基本概念练习题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。

(0)1(5)25 1.80.8,125300*100(5)300180300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=?===?=+= 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。

135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======—(2)假设()()100 1.1nA n =?，试确定 135,,i i i 。

135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.1,0.1(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。

11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97a i i a i a i i a i =+=?=∴=+==+=?=∴=+=4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。

123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1A A i i i A ==+++?=5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。

￥(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。

【解2.1】（1）可以被写成=(90−p(r200)18000，又由于达到极限寿命时=0，故=90。

（2）证明：因为，0=1；其次，达到极限寿命=90时，有90=0；且，的导数−110−218000<0,>0。

由此，生存函数的三个条件都被满足。

（3）93333.0)0()10(00010==S S p （4）(030−050)020（5）=−0'(p/0==110+218000−110−2因此，40=0.015833。

【解2.2】作为生存函数的基本属性有：(0)1,S =函数是单调递减的，同时lim ()0x S x →∞=。

（1）由于()exp[0.7(21)](10.72ln 2)xxS x x '=---⨯⨯，(0)0.51480S '=>，说明该函数不满足单调递减的性质。

所以，它不能作为生存函数。

（2）由于(0)1S =,3()2(1)0S x x -'=-+<，21lim ()lim0(1)x x S x x →∞→∞==+。

该函数可以作为生存函数。

（3）由于(0)1S =，()2()(2)0x S x ex -'=-<，lim ()0x S x →∞=。

该函数可以作为生存函数。

【解2.3】（1）4320751001)75(1)75(=--=-=S F （2）20017510040175)()75(=-==-=x x S dx d f （3）501412001)75()75()75(===S f μ【解2.4】(40)40(40)(40)40(40)(40)60(),060(40)60(40)1(),060(40)601()(),06060T t T T t T S t tS t p t S S t t t S t tf x p t t μμ+-===<≤'+=-=<≤+-==<≤【解2.5】()18)100(9)100(6)100(3100)100()100(2)]([2)]([3100)100()100()]([)100()100(222210002221000100022100022x x x x dt x t x t x T E dt p t x T Var xdt x t x dt p x T E x t x l l p xxx t xxx tx t x x t -=---=⎪⎭⎫⎝⎛------=-=-=---==---==⎰⎰⎰⎰----+【解2.6】所有表达式均为非负，因此需要验证是否满足0∞B =∞，使得0)(=∞S （1）∞==∞∞⎰0ln C BC dx BC xx，可以（2）∞=+=+∞∞-⎰001)ln()(x b a dx x b a ，可以（3）21)1(21)1(023=+-=+∞∞-⎰x dx x ，不可以【解2.7】把30.250x q +=代入120.170x q +=式中，得11232120.1700.680x x x x x x q p p q p p ++++++=⋅⋅=⇒=上式与已知条件11210.090x x x q p q+++=⋅=联立求解，解出10.770x p +=，20.117x q +=最后得1212(1)0.230.1170.347x x x x q q p q +++++=-+=+=【解2.8】由()1xS x ω=-，可知~(0,)X U ω，且有(20)~(0,20)T U ω-则[()]2x E T x ω-=，2()[()]12x Var T x ω-=已知020e 40=，即20401002ωω-=⇒=所以2(20)Var[T(20)]533.312ω-==【解2.9】首先计算K 的生存函数k012197k p +1015415则210414()09715151502210422()(21)13509715151513422()()[()]225E K p k k E K k p k k Var K E K E K ==++=∑==+⋅=⋅+⋅+⋅=∑==-=【解2.10】证明：（1）x t x x x t q t T t T p -=<-=≥=1)Pr(1)Pr(（2）xu t x t x x x x ut p p u t T t T u t T t q +-=+≥-≥=+≤≤=)Pr()Pr()Pr(（3）()()()tx u x t t x x x ut p p u T t T p ++⋅=≥⋂≥=Pr 【解2.11】（1）证明：110111111111+∞+∞+-∞∞+=+≤⋅+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x x t x x t x t x t x t x e dt p dtp p dt p dt p dt p dt p e （2）证明：由于是关于的递减函数，因此有K1B≥所以xk x k k k kx tx t x e p dtp dt p e =≥==∑∑⎰⎰∞=+∞=+∞101【解2.12】证明：()()()()()()()t x t x x t S x t f x t S x t x t p p t t S x S x S x μμ+∂∂++-++====∂∂【解2.13】318.02005exp 20025exp 20015exp )5()25()15(200exp 100exp )(2225101020=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎰S S S q x dt t x S x 【解2.14】[][]8684284p =其中86l 已知，而[][][][][]2848484184841(1)(1)p p p q q ++==--由已知条件推导出[][][]85841848483144508030360.3225550803343640050800.20644556400q q q q q ++-=⋅=⋅=-==⋅⋅=⋅=【解2.15】(1)7[76]=83[76]=1192816608=0.718208(2)6|275+1=82−8475+1=0.084631【解2.16】40+1=40(1−40),40+2=402p [40],43=40+2−40∗2|40,46=43−40+1∗2|340+1.因此343=46/43=1−(1−40)2|340+1/(2p [40]−2|40)=1−(1−0.01608)×0.08964/(0.95977-0.02383)=0.905765【解2.17】151025:2525152540015100.040.04150.06015.40667t t tte p dt p p dtedt eedt--⨯-=+=+=⎰⎰⎰⎰【解2.18】(1)0.752.5=1−53.252.5=1−0.853+0.2540.552+0.553=0.0068381.7|1.252.5=54.2−55.452.5=0.854+0.255−0.655−0.4560.552+0.553=0.022690(2)0.752.5=1−0.5p 52.50.2p 53=1−520.5530.2=0.0068351.7|1.252.5=1.7p 52.51−1.2p 54.2=0.5p 52.5530.2p 541−0.8p 54.20.4p 55=520.553540.21−540.8550.4=0.022668【解2.19】因为{}10102102221exp ()=1exp 2()1exp ()1()1(1)2x x x x x q x t dt x t dt x t dt p q q q μμμ⎡⎤''=--+⎢⎥⎣⎦⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=-=--=-⎰⎰⎰由此推出2x xq q '<。

寿险精算习题答案寿险精算习题答案寿险精算作为保险行业中的重要分支，是对寿险产品的风险和收益进行评估和计算的过程。

在寿险精算的学习过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以帮助我们更好地理解和掌握相关的知识。

下面，我们将一起来解答一些寿险精算的习题。

1. 问题：某寿险公司推出一款定期寿险产品，保险期限为20年，保额为50万，保费为每年1000元。

根据历史数据，该产品的死亡率为1‰。

请计算该产品的预期净保费。

解答：预期净保费是指在考虑风险的情况下，保险公司需要收取的保费。

根据题目给出的数据，我们可以得出以下计算公式：预期净保费 = 保费 - 风险保费风险保费 = 死亡率× 保额代入具体数值进行计算：风险保费= 0.001 × 500000 = 500预期净保费 = 1000 - 500 = 500所以，该产品的预期净保费为500元。

2. 问题：某寿险公司推出一款年金保险产品，保险期限为30年，保险年金为每年2万元，保费为每年5000元。

根据历史数据，该产品的终身年龄为85岁，死亡率为0.5‰。

请计算该产品的预期净保费。

解答：与上一题类似，我们还是需要计算风险保费。

不同之处在于，这是一款年金保险产品，保险期限为30年，但是保险金可能会在30年后一直支付到被保险人去世。

所以，在计算风险保费时，需要考虑被保险人在30年后的存活概率。

风险保费 = 死亡率× 保额× 存活概率存活概率 = 1 - 死亡率× 保险期限代入具体数值进行计算：存活概率 = 1 - 0.0005 × 30 = 0.985风险保费= 0.0005 × 20000 × 0.985 = 9.85预期净保费 = 5000 - 9.85 = 4990.15所以，该产品的预期净保费为4990.15元。

3. 问题：某寿险公司推出一款重大疾病保险产品，保险期限为10年，保额为50万元，保费为每年1000元。

中国精算师寿险与精算习题解答（1）
1．风险的含义包括哪两个基本方面?请举例说明。

答：风险与三个因素直接有关：自然状态的不确定性、人的主观行为及两者结合所蕴涵的潜在后果。

形象地说，从潘多拉魔盒中飞出去的各种天灾人祸与被留在魔盒中的不可预知或不确定性结合在一起便构成了形成风险的两个方面。

例如，股票的涨跌与炒股者的买卖或不买或不买不卖行为便构成了形成风险的两个方面。

2．何谓风险态度?如何能够定量地刻画风险态度?
答：从某个决策问题出发，讨论一个决策者面对某种风险的反应或态度，常称之为风险态度，或者说是比较一群人各自的风险态度之间的差异程度。

假如有n个决策者DM1，DM2，…，DMn为了达到某个决策目标O而提出一系列备选方案．f，g，…，h，要在其中选择一个最优或最满意的方案，在这个问题框架下，可以研究相对于某项或某些方案的潜在后果来考察某个决策者的风险态度或者比较决策者之间风险态度的差别。

【解3.1】因为()()ln ()Pr Pr Pr T z F z Z z e z T δδ-⎛⎫=≤=≤=≥ ⎪-⎝⎭且由条件知剩余寿命服从De Moivre 分布,即()0,70T U ，故70ln ln 1ln ()Pr 17070z z z F z T dt δδδ-⎛⎫=≥==+ ⎪-⎝⎭⎰密度函数等于分布函数求导()ln 117070Z z f z zδδ'⎛⎫=+= ⎪⎝⎭已知0.05δ=，0.6z =代入上式得()0.60.48Z f =【解3.2】（40）的剩余寿命T 服从均匀分布（0，70），其生存函数为407070t tP -=，070t ≤≤由题意，可得ln 70ln ln ()Pr()Pr()Pr()ln 70t z z v F z Z z v z t v-=≤=≤=≥=Z 的90％置信上限即为使()0.9F z =的z 值，即ln 70ln 0.970zv -=解得exp[(70700.9)ln ]0.84z v =-⨯=【解3.3】在恒定死亡力和恒定利息力场合，容易验证趸缴净保费等于x A μδμ=+在调整以前有0.60.05μμ=+则求得0.075μ=调整以后0.0750.020.095μ'=+=，0.04δ'=则调整后的趸缴净保费为0.0950.7040.0950.04x A μμδ'===''++【解3.4】（1）()()tx A E Z E v ==,则()()2200.055001 1.250.031252500.0312522Pr[0]t x T x tt t A e f t dtedte dte Y δ∞-∞--+⎛⎫∞- ⎪⎝⎭====≥⎰⎰⎰其中~( 1.25,25)Y N -，则()1.25Pr(0)Pr(0.25)10.255Y Y +≥=≥=-Φ()0.031252[10.25]0.83x A e =-Φ=（2）因为22()x x Var Z A A =-，其中()()()2220.100.15001 2.50.1252500.12522[10.5]0.70t x T x tt t A e f t dte dte dte ∞-∞--+⎛⎫∞- ⎪⎝⎭====-Φ=⎰⎰⎰所以222()0.700.830.014x x Var Z A A =-=-=【解3.5】给付函数和贴现函数都已知，容易得到现时值函数为1(10.2)t t Z b v t -==+密度函数已知()()40400.02,050T t f t p t t μ=+=≤≤则趸缴净保费等于()()505000ln 10.21110.020.2410.2500.210t E Z dt t +⎛⎫=⨯=== ⎪+⎝⎭⎰两倍利息力下，趸缴净保费等于()()50502200110.020.020.091(10.2)0.210.2E Z dt t t -=⨯=⨯=++⎰所以现值变量的方差等于222()()[()]0.09090.23980.0334Var Z E Z E Z =-=-=【解3.6】一般情况下，如果剩余寿命T 服从()0,ω的均匀分布，即1(),0T f t t ωω=≤≤可以得到()0111t x T tt A e f t dte dtev a δωδωδωωωωδωδω∞---==-=-==⎰⎰本题中，T 服从（0，60）的均匀分布，故所求的净保费为604040100010001000666.76060a A =⨯=⨯=【解3.7】令3z 为()x 岁的人投保期末赔付1的n 年定期生存保险的现时值变量，根据已知条件有3()0.20.450.09n n x E z v p =⋅=⨯=223()0.040.450.018n n x E z v p =⋅=⨯=根据定期两全保险与定期寿险和定期生存险的关系，有213z z z =+则213123()()()()()()0.350.090.26E z E z E z E z E z E z =+⇒=-=-=[][]222213222212322()()()()()()()()0.060.0180.350.1645Var z E z E z E z E z Var z E z E z =+-⇒=-+=-+=推导出()[]2221110.16450.260.0969Var Z E Z E Z ⎡⎤=-=-=⎣⎦【解3.8】因为死亡服从De Moivre 分布，故40岁的人剩余寿命的密度函数为()160T f t =，060t ≤≤由于延期20年，所以赔付现值变量为0,020,2060TT Z e T δ-≤≤⎧=⎨<≤⎩所以，0z =点为重概率点，该点概率值为20201Pr(0)Pr(020)()603T Z T f t dt ==≤≤===⎰【解3.9】该保单可以视为一个10000元的终身寿险和10000元的20年定期寿险的组合，则该保单趸缴净保费为14545:201000010000A A +已知450.25A =，下面求145:20A 的值。

精算学考研题目及答案解析### 题目：精算学中的寿险数学问题#### 问题描述：某保险公司推出了一款寿险产品，该产品的保费支付方式为年缴，保险期限为10年。

假设保险公司使用寿险数学中的“等额保费法”来计算保费。

保险公司希望确保在保险期间内，如果被保险人去世，保险公司能够支付出至少100万元的保险金。

同时，保险公司希望在保险期满时，如果被保险人仍然健在，能够返还给被保险人累计保费的110%。

#### 已知条件：- 年利率为5%。

- 被保险人投保时的年龄为30岁。

- 保险公司使用的生命表显示，30岁男性的剩余寿命期望为50年。

- 保险公司希望计算出每年的保费金额。

#### 问题：1. 计算每年的保费金额。

2. 计算保险期间内，保险公司的期望利润。

#### 答案解析：1. 计算每年的保费金额：首先，我们需要使用寿险数学中的“等额保费法”公式来计算保费。

公式如下：\[ P = \frac{A}{a_{\overline{n}|x}} \]其中：- \( P \) 是每年的保费金额。

- \( A \) 是保险金，本题中为100万元。

- \( a_{\overline{n}|x} \) 是在年龄 \( x \) 时，支付 \( n \) 年的年金现值因子。

根据已知条件，\( n = 10 \) 年，\( x = 30 \) 岁，年利率\( i = 5\% \)。

年金现值因子 \( a_{\overline{n}|x} \) 可以通过以下公式计算：\[ a_{\overline{n}|x} = \frac{1 - (1 + i)^{-n}}{i} \cdot \frac{1}{\sum_{t=1}^{n}(1 + i)^{-t}} \]将已知数值代入，计算得到 \( a_{\overline{10}|30} \)，然后计算出 \( P \)。

2. 计算保险期间内的期望利润：期望利润可以通过以下公式计算：\[ E(Profit) = P \cdot n - (A \cdot \sum_{t=1}^{n}q_{x+t-1}) - (P \cdot \sum_{t=1}^{n}v^{t}) \]其中：- \( P \) 是每年的保费金额。

寿险精算模拟试题及答案一、选择题1. 寿险精算中，以下哪项是评估保险合同财务影响的基本工具？A. 利率B. 死亡率C. 精算现值D. 保险金额2. 寿险合同的现金价值是指什么？A. 投保人所支付的保费总额B. 保险合同到期时投保人可得到的金额C. 保险合同在某一特定时间点的净值D. 保险公司为保险合同设立的准备金3. 在寿险精算中，以下哪项不是风险评估的基本要素？A. 风险识别B. 风险量化C. 风险规避D. 风险评估二、填空题4. 寿险精算中，_________是指在保险期间内，保险公司为履行保险责任而设立的基金。

5. 寿险精算中，_________是指根据保险合同的条款，计算出的保险金的预期支付额。

三、简答题6. 简述寿险精算中净保费和毛保费的区别。

四、计算题7. 假设某寿险公司销售了一份10年期的寿险合同，年保费为1000元，预定利率为5%，死亡率为0.5%，请计算该合同第一年的净保费。

五、论述题8. 论述寿险精算在保险产品定价中的作用及其重要性。

答案：一、选择题1. C2. C3. C二、填空题4. 准备金5. 预期保险金三、简答题6. 净保费是指在扣除保险公司运营成本和利润后，用于保险风险保障的保费部分。

毛保费则包括了净保费和保险公司的运营成本及利润。

四、计算题7. 净保费计算公式为：净保费 = 毛保费 / (1 + 预定利率) - 死亡率 * 保险金额 / (1 + 预定利率)。

根据题目数据，净保费 = 1000 / (1 + 0.05) - 0.005 * 1000 / (1 + 0.05) = 952.38元。

五、论述题8. 寿险精算在保险产品定价中的作用是确保保险产品的价格既能覆盖风险成本，又能为保险公司带来合理的利润。

精算师通过评估死亡率、利率、费用率等因素，计算出保险产品的净保费，从而确定毛保费。

这一过程对于保险公司的财务稳定和市场竞争力至关重要。