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万有引力定律

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1 万有引力定律专题

一、知识回顾

1、万有引力定律的表达式：

式中21mm位置互换后结果不变说明:

适用于两个 或 球体；r为 ；G 为

G

2、处理天体运动问题的基本模型：

1．人间模型

（1）原始方程：

（2）基本结论：① ②

③ ④

2．天上模型

（1）原始方程：

（2）基本结论：① ②

③ ④

合起来称为“天上人间”模型． 模图

一、开普勒定律

1、我国的人造卫星围绕地球的运动，有近地点和远地点，由开普勒定律可知卫星在远地点运动速率比近地点运动的速率小，如果近地点距地心距离为R1，远地点距地心距离为R2，则该卫星在远地点运动速率和近地点运动的速率之比为

A．12RR B. 21RR C. 12RR D. 21RR

2、飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T，如果飞船要返回地面，可在轨道上的某点A处，将速率降到适当的数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道和地球表面相切，如图所示，如果地球半径为R0，求飞船由A点回到B点所需时间。

二、万有引力定律：

1、如下图所示，设想质量为m的物体放到地球的中心，地球质量为M，半径为R，则物体与地球间的万有引力是：

A．零 B．无穷大 C．2MmFGR D．无法确定

2、设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看作是均匀球体，月球仍沿开采前的圆轨道运动，则与开采前相比：

A．地球与月球间的万有引力将变大 B．地球与月球将的万有引力将变小

C．月球绕地球运动的周期将变大 D．月球绕地球运动的周期将变短

3、如下图所示，在半径R＝20cm、质量M＝168kg的均匀铜球中，挖去一球形空穴，空穴的半径为10cm，并且跟铜球相切，在铜球外有一质量m＝1kg、体积可忽略不计的小球，这个小球位于连接铜球球心跟空穴A B R

R0 2 中心的直线上，并且在空穴一边，两球心相距是d＝2m，试求它们之间的相互吸引力．

4、（09年全国高考）)如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为；石油密度远小于，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高。重力加速度在原坚直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近重力加速度反常现象。已知引力常数为G。

（1）设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），PQx，求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常

（2）若在水平地面上半径L的范围内发现：重力加速度反常值在与k（k>1）之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半为L的范围的中心,如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。

二、向心加速度与重力加速度

1、对于在地球上的物体所受的重力和地球对他的引力的关系，下列说法正确的是：

A．这两个力可能相同也可能不同；

B．在地球上，海拔越高物体所受重力越小

C．在地球上，纬度越高物体所受重力越大；

D．在忽略地球自转影响时，重力就是定值，与物体所在高度和纬度都无关。

2、地球赤道上物体重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，假如地球的自转速度加快，使赤道上的物体完全漂浮起来，那么地球的转速应为原来的 ( )

A.ag 倍 B.21aag 倍 C. 21aag倍 D. 21ag倍

3、某行星自转一周所需时间为地球上的6h，在这行星上用弹簧秤测某物体的重量，在该行量赤道上称得物重是两极时测得读数的90％，已知万有引力恒量G＝6.67×10－11N·m2／kg2，若该行星能看做球体，则它的平均密度为多少?

3

4、土星的外层有一个环，为了判断它是土星的一部分，即土星的“连续群”，还是土星的“卫星群”，可以通过测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系来判断：

A．若v∝R，则该层是土星的连续群 B．若v2∝R，则该层是土星的卫星群

C．若v2∝R，则该层是土星的卫星群 D．若R1v，则该层是土星的连续群

三、天体的质量与平均密度

1、已知万有引力常量是G，地球半径是R，月球和地球之间的距离为r，同步卫星距地面的高度为h，月球绕地球的运动周期为T1，地球自转的周期为T2，地球表面的重力加速度为g。请根据以上条件，提出三种估算地球质量的方法。

2、 一艘宇宙飞船飞近某一新发现的行星，并进入靠近行星表面的圆形轨道绕行数圈后，着陆在该行星上，飞船上备有以下实验器材：

A．精确秒表一个 B．已知质量为m 的物体一个

C．弹簧测力计一个 D．天平一台（附砝码）

已知宇航员在绕行时和着陆后各作了一次测量，依据测量数据，可求出该行星的半径R和行星质量M。（已知万有引力常量为G）

① 两次测量所选用的器材分别为： 、 。（用序号表示）

② 两次测量的物理量分别是： 、 。

③ 用该数据推出半径R、质量M 的表达式：R＝ ，M＝

四、人造卫星

1．发射过程

例1、某次发射火箭时，火箭内平台上方有测试仪器，火箭从地面启动后，以加速度g/2竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪对平台的压力为起动前压力的17/18。已知地球半径为R，求火箭此时离地面的高度。（g为地面附近的重力加速度）

2．发射速度与环绕速度

例2、下列说法正确的是：

A．我们可以发射一颗环绕速度小于7.9km/s的卫星；

B．我们可以发射一颗环绕速度大于7.9km/s的卫星；

C．我们可以发射一颗环绕周期大于84min的卫星；

D．我们可以发射一颗环绕周期小于84min的卫星；

练1、关于第一宇宙速度，下列说法正确的是：

A．它是人造地球卫星绕地球作匀速圆周运动的最大速度

B．它是人造地球卫星在圆形轨道上的最小运行速度 4 C．它是能使卫星绕地球运行的最小发射速度

D．它是人造卫星绕地球作椭圆轨道运行时在近地点的速度

练2、如图是“嫦娥一号奔月”示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测。下列说法正确的是：

A．发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度

B．在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关

C．卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比

D．在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力

3．运行轨道

例3、人造卫星绕地球作匀速圆周运动，关于它运转的轨道平面，下列情况可能的有：

A．运转轨道平面与赤道平面是重合的

B．轨道平面与某经线所在平面是重合的

C．轨道平面与赤道以外的某纬线所在平面是重合的

D．轨道平面通过地球球心，但平面与任一纬线和经线均不重合

4．运动参量的比较

例4、如图所示，在同一轨道平面上的三颗人造地球卫星A、B、C，在某一时刻恰好在同一直线上，下列说法正确的有

A．根据grV，可知VA＜VB＜VC

B．根据万有引力定律，FA＞FB＞FC

C．向心加速度aA＞aB＞aC

D．运动一周后，C先回到原地点

五、地球同步卫星（通信）

1、下列关于地球同步卫星的说法中正确的是：

A．为避免通讯卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上

B．通讯卫星定点在地球赤道上空某处，所有通讯卫星的周期都是24h

C．不同国家发射通讯卫星的地点不同，这些卫星的轨道不一定在同一平面上

D．不同通讯卫星运行的线速度大小是相同的，加速度的大小也是相同的。

2、地球上空有人造地球同步通信卫星，它们向地球发射微波，但无论同步卫星数目增到多少个，地球表面上总有一部分面积不能直接收到它们发射来的微波，问这个面积S与地球面积之比至少有多大？结果要求保留两位有效数字，已知地球半径，半径为R高为h的球缺的表面积为，球面积为。

3、发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道上，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点（如图所示），则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运动时，下列说法正确的是

A. 卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率

B. 卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度 5 C. 卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度

D. 卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度

4、位于赤道面上的一颗人造地球卫星绕地球运行，傍晚在赤道上的某人发现卫星位于自己的正上方相对地面运动，第二天傍晚同一时刻又发现此卫星出现在自己的正上方，已知地球自转角速度为，地表处重力加速度为，地球半径为，则对此卫星下列论述正确的是

A. 一定是同步卫星 B. 可能是同步卫星

C. 此卫星距地面的高度可能是 D. 此卫星距地面的高度可能是

5、用m表示同步卫星的质量，h表示它离地面的高度，表示地球半径，表示地球表面处的重力加速度，表示地球的自转的角速度，则通讯卫星受到地球对它的万有引力大小为

A. B.

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万有引力定律

万有引力定律

万有引力定律

知识点：

1、万有引力定律

（1）内容：任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。

（2）公式：F=G ，其中G=6.67×10-11N·m2/kg2

（3）万有引力定律适用于一切物体，而该公式在中学阶段只能直接用于质点间的万有引力的计算（匀质球体或匀质球壳亦可）。

（4）万有引力是一种场力

在空间只要存在有质量的物体，它就会在周围空间建立起引力场。任何一个有质量的物体进入这个引力场，就会受到万有引力的作用，这是由于进入引力场的物体也在周围空间形成自己的引力场，并通过引力场与其它物体相互作用。

2、地球上物体重力变化的原因

（1）自转的影响

当物体位于纬度F处时，万有引力为F=G ，向心力为Fn=mω2RcosF，则重力mg=

当物体位于赤道时，F=0°，mg=F－Fn=G －mω2R；

当物体位于两极时，F=90°，mg=F=G 。 可见，物体的重力产生于地球对物体的引力，但在一般情况下，重力不等于万有引力，方向不指向地心，由于地球自转的影响，从赤道到两极，物体的重力随纬度的增大而增大。

（2）地面到地心的距离R和地球密度r的影响

由于地球是椭球体，质量分布也不均匀，根据F=G = ρGRmr可知，随着R和r的变化，重力也会发生变化。

说明：

由于地球自转的影响，从赤道到两极，重力变化为千分之五；地面到地心的距离R每增加一千米，重力减少不到万分之三。所以，在近似计算中，mg≈F。

3、万有引力定律的应用

（1）重力加速度g=M

（2）行星绕恒星、卫星绕行星做匀速圆周运动，万有引力充当向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律可知：

G =man

又an= =w2r=（ ）2r，则：

v= ，w= ，T=2p

（3）中心天体的质量M和密度r 由G =m（ ）2r

万有引力定律的拓展

万有引力定律的拓展

万有引力定律的拓展

应用万有引力定律 求物体间的引力时，应注意其适用条件，只有当两个物体可视为质点时，才能认为R是两物体间的距离。对于球壳类不能视为质点则必须采用其它方法进行求解。

结论：一质点在匀质球壳空腔内任一点受到球壳的万有引力为零。

证明：如图：在球壳上分别取对称的微小部分，这两部分可视为圆周，设半径分别为r1、r2，到A点的距离为R1、R2，令球壳的面密度为ρ，则两圆周的质量分别为：m1=ρπ ，m2=ρπ 。对A点质量为m物体的万有引力为：

， 。

由几何关系又有：

所以：F1=F2，物体m受到两圆周万有引力的合力为零。

由上述可知，球壳上任一对称部分对A点的物体的万有引力均为零，即球壳对其内部A点的物体万有引力为零。

推广1：处于均匀球层内任一点的物体受到球层的万有引力为零。

证明：对于均匀球层可视为许多的球壳组成，而每个球壳对球壳内物体的万有引力为零。所以，物体受到球层的万有引力为零。

推广2：处于球体内距球心为x的物体m受球体（质量为M）的万有引力为： 。

证明：把球体分成半径为x的小球体与厚为R－x的球层两部分。则由推广1可得：球层对物体的万有引力为零。而小球体对物体的万有引力为：，M ′ 为小球体的质量，设整个球体的质量为M，则

，所以：。

例1：设想把一个质量为m的物体放在地球的中心，这时它受到地球对它的万有引力为：

A. 零 B. mg C. 无穷大 D. 无法求出 错解：由万有引力公式： ，因R=0，所以受到地球的万有引力为无穷大。

错解原因：对万有引力公式的适用条件不理解，随意套用公式。因万有引力的适用条件为两个物体可视为质点，但题中物体与地球之间的距离很小，故不能把地球视为质点，直接套用万有引力公式进行计算是错误的。

正确解答：把地球视为许多的球壳组成，因球壳对处于其内部物体的万有引力为零。所以地球中各个球壳对物体的万有引力为零。物体在地球球心受到的万有引力为零。

万有引力定律复习资料

万有引力定律复习资料

1 万有引力定律复习资料一

一、本章解题的两条基本思路

（1）根据重力等于引力

GMgRRMmGmg22

（2）根据引力等于向心力

rTmrmrvmmarMmG22222

二：人造卫星运动规律

1、根据引力等于向心力基本公式推导出人造卫星的线速度V、角速度ω、周期T、向心加速度a的表达式（G—万有引力常量、M——地球质量、r——轨道半径、m——卫星质量）

小结：人造卫星的轨道半径越大，人造卫星的向心加速度、环绕速度、角速度越小，周期越大。简单的说：越高越慢。

三、同步卫星特点：

1、轨道平面： 2、环绕方向：

3、环绕周期： 4、轨道半径约为地球半径的 倍

四、近地卫星特点：

1、轨道半径为： 2、环绕速度为： 3、环绕周期约为 分钟

五、人造卫星的发射速度和环绕速度与轨道半径的关系

卫星轨道越高，需要的发射速度 ，但环绕速度 （填“越大”或“越小”）。

六、第一宇宙速度

1、第一宇宙速度是 卫星的环绕速度 ，是人造卫星的最 环绕速度，是发射人造卫星的最 速度。第一宇宙速度的大小为 。人造卫星的发射速度大小范围：

2、第二宇宙速度大小为：

3、第三宇宙速度大小为：

七、计算天体质量的方法：

1、根据天体表面的重力加速度g和天体的半径R，由公式 可计算天体的质量M； 2 2、根据某天体的卫星的运行情况r、v 、T(ω)中的两个物理量，由公式 可计算中心天体的质量。

万有引力定律 2

万有引力定律 2

万有引力定律 编辑

本词条由“科普中国”百科科学词条编写与应用工作项目 审核 。

[1] 万有引力定律是艾萨克·牛顿在1687年于《自然哲学的数学原理》上发表的。牛顿的普适的万有引力定律表示如下：

任意两个质点有通过连心线方向上的力相互吸引。该引力大小与它们质量的乘积成正比与它们距离的平方成反比，与两物体的化学组成和其间介质种类无关。

中文名 万有引力定律 外文名 Law of universal gravitation 表达式 F=(G×M₁×M₂)/R² 提出者艾萨克·牛顿 提出时间 1687年 应用学科 数学、自然哲学、物理学、自然学等 适用领域范围 物理学、自然学等

推理依据编辑

伽利略在1632年实际上已经提出离心力和向心力的初步想法。布里阿德在1645年提出了引力平方比关系的思想.牛顿在1665～1666年的手稿中，用自己的方式证明了离心力定律，但向心力这个词可能首先出现在《论运动》的第一个手稿中。一般人认为离心力定律是惠更斯在1673年发表的《摆钟》一书中提出来的。根据1684年8月～10月的《论回转物体的运动》一文手稿中，牛顿很可能在这个手稿中第一次提出向心力及其定义。

万有引力与相作用的物体的质量乘积成正比，是发现引力平方反比定律过渡到发现万有引力定律的必要阶段.·牛顿从1665年至1685年，花了整整20年的时间，才沿着离心力—向心力—重力—万有引力概念的演化顺序，终于提出“万有引力”这个概念和词汇。·牛顿在《自然哲学的数学原理》第三卷中写道：“最后，如果由实验和天文学观测，普遍显示出地球周围的一切天体被地球重力所吸引，并且其重力与它们各自含有的物质之量成比例，则月球同样按照物质之量被地球重力所吸引。另一方面，它显示出，我们的海洋被月球重力所吸引；并且一切行星相互被重力所吸引，彗星同样被太阳的重力所吸引。由于这个规则，我们必须普遍承认，一切物体，不论是什么，都被赋与了相互的引力（gravitation）的原理。因为根据这个表象所得出的一切物体的万有引力（universal gravitation）的论证„„”