青岛版八年级下册数据的离散程度(三)

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数据的离散程度教案

一.学习目标：

1.掌握极差的定义，了解极差反映一组数据的变化范围，能够通过极差的大小来判断一组数据的波动情况。

2.了解衡量一组数据的波动大小除了平均数、极差外，还有方差、标准差、理解方差、标准差的定义，会计算一组数据的方差和标准差，了解样本的方差，样本标准差、总体方差的意义，会用简化的计算公式求一组数据的方差、标准差，会比较两组数据的波动情况。

二.重点：

极差的定义，方差、标准差的应用。

三、难点：

会用极差的意义判断一组数据的波动情况，利用方差、标准差描述社会生活的方方面面，在实际运用时理解相关数据之间的规律。

四、课堂教学：

（一）知识要点

知识点1：表示数据集中趋势的代表

平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中平均数的应用最为广泛。

知识点2：表示数据离散程度的代表

极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。

极差=最大值－最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。

知识点3：生活中与极差有关的例子

在生活中，我们经常用极差来描述一组数据的离散程度，比如一支篮球队队员中最高身高与最矮身高的差。一家公司成员中最高收入与最低收入的差。

知识点4：平均差的定义

在一组数据x1，x2，…，xn中各数据与它们的平均数的差的绝对值的平均数即T=叫做这组数据的“平均差”。

“平均差”能刻画一组数据的离散程度，“平均差”越大，说明数据的离散程度越大。

知识点5：方差的定义

在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即S2=来描述这组数据的离散程度，并把S2叫做这组数据的方差。

知识点6：标准差

方差的算术平方根，即用S=来描述这一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。

知识点7：方差与平均数的性质 学习好资料 欢迎下载

若x1，x2，…xn的方差是S2，平均数是，则有

①x1+b， x2+b…xn+b的方差为S2，平均数是+b

②ax1， ax2，…axn的方差为a2s2，平均数是a

③ax1+b， ax2+b，…axn+b的方差为a2s2，平均数是a+b

【典型例题】

例1.从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对使用寿命进行跟踪调查，结果如下：（单位：年）

甲：3、4、5、6、8、8、8、10

乙：4、6、6、6、8、9、12、13

丙：3、3、4、7、9、10、11、12

三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年。请根据结果判断厂家在广告中分别运用平均数、众数、中位数中的哪一种表示集中趋势的特征数。

甲：乙：丙：

解：众数、平均数、中位数

例2.下表是南京2005年2月下旬和2006年同期的每日最高气温（单位：℃）如何对两段时间的气温进行比较？

2月

21日 2月

22日 2月

23日 2月

24日 2月

25日 2月

26日 2月

27日 2月

28日

2005年 12 13 14 22 6 8 9 12

2006年 13 13 12 9 11 16 12 10

解：2005年2月下旬和2006年2月下旬的气温的极差（即温差）分别是：

2005年2月下旬：22－6=16（℃）

2006年2月下旬：16－9=7（℃）

可以看出，2005年2月下旬最高气温与最低气温之间差距较大，相差16℃，即极差为16℃，2006年2月下旬气温的极差为7℃，气温变化的范围不大。

例3.某班四个小组的人数如下：10，10，x，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数。

解：平均数是

中位数一定是四个数据中的两个数据的平均数

（1）当x≤8时，

（2）当8＜x≤10时，（舍去）

（3）当x＞10时，∴x=12，此时中位数为10

例4.从甲、乙两种棉花中各抽取10株，测得它们株高分别如下（单位：cm）

甲：25，41，40，37，22，14，19，39，21，42； 学习好资料

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乙：27，16，44，27，44，16，40，40，16，40。

（1）哪种棉花长得较高？

（2）哪种棉花长得较齐？

解：（1）（25+41+40+37+22+14+19+39+21+42）=30

（27+16+44+27+44+16+40+40+16+40）=31

∵＜

∴乙种棉花长得高

（2）

∵＜

∴甲种棉花长得整齐

例5.小李参加体育项目训练，近期5次的测试成绩为13，14，13，12，13。求测试成绩的极差、方差和标准差。（精确到0.01）

解：极差=14－12=2

例6.为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他的电脑知识进行了10次测试，成绩如下：（单位：分）

甲的成绩 76 84 90 86 81 87 86 82 85 83

乙的成绩 82 84 85 89 79 80 91 89 74 79

回答下列问题：

（1）甲学生成绩的众数是分，乙学生成绩的中位数是分。

（2）若甲学生成绩的平均数为，乙学生成绩的平均数为，则与的大小关系是。

（3）经计算知=13.2，=26.36，这说明。

（4）若测验分数在85分（含85分）以上为优秀，则甲的优秀率为，乙的优秀率为。

解：（1）86，83

（2）＞

（3）甲学生的成绩比乙学生的成绩稳定

（4）50%， 40%。

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例7.已知： x1，x2，…xn的平均数是，标准差是Sx。3x1+5，3x2+5，…，3xn+5的平均数是，标准差是Sy，试说明：

（1）=3+5

（2）Sy=3Sx

解：（1）

（2）

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

一、选择题

1. 6个数据的平均数为10，其中的一个为5，那么其余5个数的平均数是（）

A. 10 B. 9 C. 11 D. 12

2.甲、乙两个样本中，则两个样本的波动情况是（）

A.甲的波动比乙大 B.乙的波动比甲大

C.甲、乙波动一样大 D.无法比较

3.如果10个数的平方和是370，方差是33，那么平均数是（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4.能反映一组数据与其平均数的离散程度的是（）

A.极差和方差 B.极差和标准差 C.方差和标准差 D.以上都不对

5.一组数据的方差为S2，将这组数据中的每个数据都乘2，所得到的一组新数据的方差是（）

A. B. S2 C. 2S2 D. 4S2

6.甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，他们射击的环数的方差分别为：

=2.4，=3.2，则射击的稳定程度是（）

A.甲高 B.乙高 C.一样高 D.不能确定

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二、填空题

7.某次考试5个班级的平均成绩如下（单位：分）53，62，63，48，54则这5个班级的平均成绩的极差是。

8.已知某班第8小组8位男生的身高如下（单位：m）： 1.78， 1.68， 1.72，1.80， 1.64，1.69，1.71，1.82则他们的平均身高是。

9.一组数据的方差为S2，将这组数据中的每个数据都乘以2，再减去3，则所得新数据的方差为。

10.已知样本4，2，x的方差S2=，则x的值。

11.一组数据为1，－1，0，－1，1，则这组数据的极差、方差、标准差分别为，，。

12.若1，2，3，a的平均数是3，且4，5，a，b的平均数是5，则样本0，1，2，3，4，a，b的方差是。

13.已知甲、乙两名学生5次考试数学成绩如下：

甲：97，103，95，110，95 乙：90，110，95，115，90

（1），S甲≈（精确到0.01），=

（2），S乙≈（精确到0.01），=

三、解答题

14.甲、乙两名学生各进行了5次立定跳远测试，两人平均成绩相同，其中甲的成绩的方差是0.005，乙的成绩如下：2.20m，2.30m.2.30m， 2.40m，2.30m，那么甲、乙的成绩谁更稳定些？说说你的理由。

15.在一次中考模拟考试中，某校初三（1）和初三（2）班的学生成绩如下表所示：

分数

人数 50 60 70 80 90 100

（1）班 3 5 16 3 11 12

（2）班 2 5 11 12 13 7

请你根据所学的统计知识，分别从平均数和方差的角度判断这两个班的成绩谁优谁次？

16.某校初三（1）班、（2）班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩如下表所示：（单位：分）

班级 平均数 众数 中位数 标准差

一班 79 70 87 19.8

二班 79 70 79 5.2

（1）请你对下面一段话，给予简要分析：初三（1）班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里可算上游了！”

（2）请你根据表中的数据对这两个班的测验情况进行评价，并提出建议。

【试题答案】

1. C 2. A 3. B 4. C 5. D