分式方程解法易错点分析

分式方程典型易错点及典型例题分析

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ﻩ分式方程典型易错点及典型例题分析

一、 错用分式的基本性质

例1 化简

错解：原式

分析:分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变”，而此题分子乘以3，分母乘以２，违反了分式的基本性质.

正解：原式

二、 错在颠倒运算顺序

例２ 计算

错解:原式

分析:乘除是同一级运算,除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序,致使结果出现错误.

正解:原式

三、错在约分

例１ 当为何值时,分式有意义？

[错解]原式.

由得．

∴时，分式有意义. ［解析]上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式,扩大了未知数的取值范围，而导致错误.

[正解]由得且.

∴当且，分式有意义.

四、错在以偏概全

例2 为何值时,分式有意义？

[错解］当,得.

∴当,原分式有意义.

[解析］上述解法中只考虑的分母，没有注意整个分母，犯了以偏概全的错误．

[正解］ ,得，

由,得．

∴当且时,原分式有意义．

五、错在计算去分母

例3 计算.

[错解]原式

＝．

[解析]上述解法把分式通分与解方程混淆了,分式计算是等值代换,不能去分母，.

[正解］原式

．

六、错在只考虑分子没有顾及分母 例4 当为何值时，分式的值为零.

[错解]由，得.

∴当或时,原分式的值为零.

[解析］当时，分式的分母，分式无意义,谈不上有值存在，出错的原因是忽视了分母不能为零的条件.

［正解]由由,得．

由,得且．

∴当时，原分式的值为零．

典例分析

类型一:分式及其基本性质

1．当x为任意实数时,下列分式一定有意义的是( )ﻫ A.

B. C.

Ｄ.

2.若分式的值等于零,则x=___＿_＿_；

列分式方程解决实际问题常见的几种类型

一、行程问题

例题、小明和小亮进行百米比赛。当小明到达终点时，小亮距离终点还有5米，如果小明比小亮每秒多跑0.35米，你知道小明百米跑的平均速度是多少吗？

解：设小明百米跑的平均速度为xm/s，那么小亮百米跑的平均速度是（x-0.35）m/s，根据题意得，

10010050.35xx

解这个方程得

7x

经检验：7x是原方程的解。

答：小明百米跑的平均速度是米/秒。

二、工程问题

某工程队承建一所希望小学。在施工过程中，由于改进了工作方法，工作效率提高了20%，因此，比原定工期提高了1个月完工。问这个工程队原计划用几个月建成这所希望小学？

解：设这个工程队原计划用x个月建成这所希望小学，

根据题意得

11(120%)1xx

解这个方程得

6x

经检验：6x是原方程的解。

答：这个工程队原计划用6个月建成这所希望小学。

三、数字问题

今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，再过5年，父亲与儿子的年龄的比是22：9。求今年父亲和儿子的年龄。

解：设今年儿子的年龄是x岁，则父亲的年龄是3x岁，根据题意得

352259xx

解这个方程得x=13

经检验：x=13时原方程的解

3x=3×13=39

答：今年父亲和儿子的年龄分别是13岁和39岁。

四、利润问题

某超市市场销售一种钢笔，每枝售价为11.7元。后来，钢笔的进价降低了6.4%，从而使超市销售这种钢笔的利润提高了8%。这种钢笔原来每枝是多少元？

解：设这种钢笔原来每枝的进价为x元，根据题意得

11.711.7(16.4%)100%8%100%(16.4%)xxxx

解这个方程得x=10

经检验：x=10时原方程的解 答：这种钢笔原来每枝是10元。

五、几何问题

如图所示某村计划开挖一条长1500米的水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道深0.8米，下底宽1.2米，坡角为45°。实际开挖时，工作效率是原计划的1.2倍，结果比原计划提前4天完工。求原计划每天挖多少米？

一一元一次方程概念∞：　例１　下列方程是一元一次方程的是（　）．　

理解　Ａ．　＋２：５　Ｂ．　＋４：２ｘ　Ｉ　：　Ｃ．　＋３ｙ＝０　Ｄ．９ｘ—ｖ＝２　错解选Ａ或Ｃ或Ｄ．　

：　错解剖析　本题主要是强化学生对一元一次方程概念的理解：①一　：元指的是一个未知数，Ｄ不符合；②～次指的是未知数的次数是一次的，　：ｃ不符合；③必须是整式方程，Ａ的分母含有字母了，它不是整式方程，所以　：也不能选．　

：　正解选Ｂ．　

：等式性质运用出错　

１．系数化“１”时出错　

２．移项没变号出错　ｊ　例２解方程：—　・　：１．　

１　：　错解：　＝　．　’　二　Ｉ　一　：　锗解静ｊ析　方程两边都乘以２而不是．　１，这样的错误很普遍，希望　ｆ　ｌ　同学们要时刻注意．　：　正解　＝２．　

铡３　解方程：３　＝４—５　．　

：　错解移项，得３　一５ｘ＝４，一２ｘ＝４，　＝一２．　

错解割祈　移项要变号．移项的过程实质是等式的基本性质１：等式　ｌ　－两边都加上（或减去）一个相同的数或式子，等式不变．本题是方程两边都加　：上５　，才能把方程右边的一５　合并为０，这就相当于把右边的一５　移到了方　程的左边变成５　了．做数学题必须按规则办事，不能凭借自己想象或自己　制定的规则办事．建议同学们在做题时要针对自己的错误进行正确的分析。　ｌ　。就能很好地避免错误．　

：　正解３ｘ　４－５ｘ＝４，８ｘ：４，　＝　１．　Ｌ———————————．—．———————————————————．—————．———————．————————　—————————　——————　————————————————————．——————　：　例４　甲、乙、丙、丁四人在解方程８　一２＝７　＋３时有四　

！种不同的结果，评判一下，他们谁的解答是正确的．　

Ｃｈｅｅｒｆｕｌｎｅｓｓ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｐｒｏｍｏｔｅｒ　ｏｆ　ｈｅａｌｔｈ．　

心情愉快是健康的增进剂　——约瑟夫・阿迪生　

９　１０　・枣・　

1 / 2 等式和方程易错点分析

一、等式和它的性质易错点

1．等式性质中强调“等式的两边都……”有些同学在利用性质时易忽略“都”，也就是在等式变形的过程中，只改变了一边，忽略了另一边的变形。

例1 变形为3x=_________.

【错解】3x=2x-1.

【分析】错解的原因是等式的右边-1没有乘以6.根据等式的性质2,等式的两边的每一项都要乘以6.

【正解】3x=2x-6.

2.等式性质2中强调“等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为零）”有些同学在利用等式的性质2时，易忽略“除数不为零”。

例2 判断：若ac=bc，则a=b是否成立？

【错解】若ac=bc，则a=b成立。

【分析】错解的原因是忽略了已知条件中的c=0的情况，事实上当c=0时，ac=cb=0，但a不一定等于b。

【正解】若ac=bc，则a=b的说法是错误的。

二、方程和它的解易错点

1．对于方程的解要注意两点

（1）使方程左右两边相等的未知数的值可以不止一个，这时方程的解就是多个解的情况。

例3 当x2=1时, x=_____.

【错解】当x2=1时,x=1.

【分析】当x=-1时,x2也等于1,错解在忽略了x的值有多个的情况.

【正解】x=±1.

(2)方程只含有的未知数的可以是一个,月可以是多个,对于只含有一个未知数的方程来说,它的解叫做方程的根.

2.方程的解与解方程的联系与区别

(1) 联系:求方程的解有多种方法,不管用什么方法,求的方程的解的过程叫解方程.解方程实际是将方程根据等式的性质进行等式变形,最终得到x=a(a是常数)的形式.

例4 写出方程2x-6=4x的解.

【错解】x=32264xx.

【分析】错解在没有理解方程的解的定义.方程的解是一个具体的值.错解中只是等式的变形,根本没有写出方程的解.

【正解】x=-3.

(2) 区别:方程的解是结果,而解方程指的是过程.