高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.2 指数扩充及其运算性质 3.2.1 指数扩充素材 北师大

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1 / 34 必修1对数、对数函数、幂函数部分单元教学设计

一、教材分析

1、本单元教学内容的X围

第三章的主要内容是指数函数、对数函数和幂函数这三种函数模型.本章共分四大节，共14课时.

第一大节3.1指数与指数函数分2小节（3.11-3.12）共4课时.初中已经学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念的基础上，本节复习了正整数指数幂、零指数、负整数指数幂的概念，并且复习了正整数指数幂的运算法则.有了这些知识，本章将指数幂的概念和运算性质逐步扩充到有理指数幂以及实数指数幂. 接着通过两个具体的例子引入了指数函数，并对指数函数的图象和性质进行了研究.

第二大节3.2对数与对数函数分3小节（-3.2.3），共5课时，该节首先学习对数和对数的运算法则，然后再学习对数函数及其图象和性质，对数函数的图象是在画指数函数图象的对应值表的基础上描绘的，对数函数同指数函数一样，是以对数概念和运算法则作为基础讲授的.接着，通过对指数函数与对数函数的关系的研究给出了反函数的含义，并对这两种函数的增长差异进行了比较.

通过考查已经学过的函数，引出了幂函数的概念，然后研究了幂函数的图象和性质.

函数的应用（Ⅱ）也安排了1个课时，举例说明了指数函数、对数函数和幂函数在经济学、物理学等领域中的应用.

为了加强数学的应用意识，体现函数作为刻画现实世界变量之间相互关系的数学模型的作用，在第四大节的“探索与研究”中安排了“如何建立数学模型”的内容，在章末安排了“实习作业”.另外，在本章内容的讲解过程中，特别注意通过一些社会生活中的实例来展示指数函数、对数函数和幂函数作为函数模型的广泛应用.

为了体现数学文化的作用，本章安排了两个阅读材料，通过介绍对数方法产生的历史以及建立对数与指数的联系的过程，引导学生体会数学与社会生产生活之间的紧密联系，认识对数在人类社会发展、科技进步中的作用，以及社会生产生活的需要对数学发展的促进作用.另外，通过介绍对数方法先于指数概念，对数的发明没有应用指数与对数的互逆关系这一历史，可以让学生体会数学发展的不同轨迹，从而激发学生的学习兴趣. word 2 / 34

精 品 教 学 设 计

§2指数扩充及其运算性质

教学过程：（第二课时）

一、复习引入：

正整数指数幂运算性质

(1)mnmnaaa

(2)()mnmnaa

(3)()nnnabab

(4)mmnnaaa

(5)nnnaabb

二、讲解新课：

实数指数幂运算性质

当a>0,b>0时，对任意实数m,n都满足上述性质.并且可归纳为三条：

(1)mnmnaaa

(2)()mnmnaa

(3)()nnnabab

三、讲解例题：

例1 化简（式中字母均为正实数）：

122(1)3(2);(2)()(4).xxyzxyy　　　

解：2222(1)3(2)(32)6;xxyzxyzyz＝

11(2)()(4)444.xyyxyyxyx

22103,104.(1)10;6(2)102已知求的值把写成底数是的例2.幂的形式.

112222221042(1)101039（）解：；（）

11221122422411222(10)10643)1010210.210410（（）

例3．化简4133332233381242aabbaababa

41333322333111133332112133333812428242aabbaababaaababababaa解：

3311133311332112113333332422aabaababaab

111211233333331133211211333333242422aabbabaaababaab

必修1 第一章 集合

§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算3.1 交集与并集3.2 全集与补集

第二章 函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识2.1 函数概念2.2 函数的表示法2.3 映射

§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究4.1 二次函数的图像4.2 二次函数的性质§5

简单的幂函数

课题学习 个人所得税的计算

第三章 指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数扩充及其运算性质2.1 指数概念的扩充2.2 指数运算的性质§3指数函数3.1 指数函数的概念3.2 指数函数 和 的图像和性质3.3 指数函数的图像和性质§4 对数

4.1 对数及其运算4.2 换底公式§5 对数函数5.1 对数函数的概念5.2 y=log2x的图像和性质5.3 对数函数的图像和性质§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

第四章 函数应用§1 函数与方程1.1 利用函数性质判定方程解的存在1.2 利用二分法求方程的近似解

§2 实际问题的函数建模2.1 实际问题的函数刻画2.2 用函数模型解决实际问题2.3 函数建模案例

必修2

第一章 立体几何初步§1 简单几何体 1.1 简单旋转体1.2 简单多面体§2 直观图§3 三视图3.1 简单组合体的三视图3.2 由三视图还原成实物图§4 空间图形的基本关系与公理4.1 空间图形基本关系的认识4.2 空间图形的公理§5 平行关系5.1 平型关系的判定5.2 平行关系的性质§6 垂直关系6.1 垂直关系的判定6.2 垂直关系的性质§7 简单几何体的面积和体积7.1 简单几何体的侧面积7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积课题学习 正方体截面的形状

第二章 解析几何初步§1 直线与直线的方程1.1 直线的倾斜角和斜率1.2 直线的方程1.3

两条直线的位置关系1.4 两条直线的交点1.5 平面直角坐标系中的距离公式§2 圆与圆的方程2.1 圆的标准方程2.2 圆的一般方程2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系§3 空间直角坐标系3.1 空间直角坐标系的建立3.2 空间直角坐标系中点的坐标3.3 空间两点间的距离公式

第三章 基本初等函数（I）

3.1 指数与指数函数

1.󰀁实数指数幂及其运算

（1）整数指数

在初中，我们研究了正整数指数幂：一个数a的n次幂等于n个a的连乘积，即

nnaaaa个…。

正整数指数幂的运算法则有4条：①am·an=am+n；②am÷an=am-n（a≠0，m＞n）；③(am)n=amn；

④(ab)n=an·bn。

为了保证这些法则可以从定义直接推出，我们限定m、n都是正整数，且法则②中限定m＞n。

为了取消m＞n的限制，我们定义了零指数幂和负数指数幂：a0=1（a≠0）；a-n=1na（n

∈N*，a≠0）。

在引入了负整数指数幂后，法则②可归入法则①。同时，指数的范围也从正整数扩大

1到了整数。 注意：由于零指数和负整数指数幂都要求底数不等于零，因而，对于整数指数幂而言，

也要求底数不等于零，主要是为了对性质的合理推广。

（2）分数指数幂①根式

n次方根的定义：n次方根的定义是平方根、立方根定义的推广，根式记号是平方根、

立方根记号的推广。对比平方根、立方根概念，不难知道：a.在实数范围内，正数的奇次方根是一个负数，零的奇次方根是零，设a∈R，n是大于1的奇数，则a的n次方根是na；

b.在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，零的偶次方根是零，

负数的偶次方根没有意义，设a≥0，n是大于1的偶数，则a的n次方根是±na。开方与乘方：求a的n次方根的运算称为开方运算，开方运算与乘方运算是互逆的运算，不要与乘方运算相混。对于根式记号na，要注意以下几点：a.n∈N且n＞1；b.当n

为大于1的奇数时，na对任意a∈R都有意义，它表示a在实数范围内唯一的一个n次方

根，(na)n=a；c.当n为大于1的偶数时，na只有当a≥0时有意义，当a＜0时无意义，

na（a≥0）表示a在实数范围内的一个n次方根，另一个是-na，(±na)n=a；d.式子

nna对任意a∈R都有意义，当n为奇数时，nna=a，当n为偶数时，nna=|a|=(0)(0)aaaa＜。