高中数学第2章函数复习学案苏教版必修

函数

【学习目标】

1．梳理本章知识结构，找出重点；

2．函数的概念、图象及其性质．

【重点】函数的概念与图象及函数的简单性质．

【难点】运用数形结合的方法来研究函数的性质．

【活动过程】

活动一：复习引入

一般函数

一次 二次 反比例

定义域

值域

图象

单调性

奇偶性

其他

活动二：知识梳理

1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域常见类型有：(1)分式的分母 ；(2)偶次方根的被开方数 ；(3)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合的交集；

(4)零次幂函数 ；

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

2．值域 : 先考虑其定义域，主要方法有：

(1)观察法 ；(2)配方法；(3)换元法；（4）分离常数法；（5）逐步分析法（反解法）；（6）单调性法。

3.函数的解析式 （1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：

1）代入法；2）换元法；3）配凑法；4）待定系数法；5）解方程组法；6)奇偶函数法

4.函数的单调性

(1)设2121,,xxbaxx那么

1212()()()0xxfxfxbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数；

1212()()()0xxfxfxbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数.

(2)如果函数)(xf和)(xg都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(xgxf也是减函数; 如果函数)(ufy和)(xgu在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([xgfy是增函数.复合函数法则：

(3)(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(4)(A) 定义法：

○1 任取x1，x2∈D，且x1

○2 作差变形f(x1)－f(x2) （通常是因式分解和配方）；

○3定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

○4下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．；

(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性

5.函数的奇偶性

(1)奇偶函数定义

前提条件： ；

奇函数： ；

偶函数： .

(2)奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

(3)奇偶函数的性质

①奇函数在对称区间的单调性 ；偶函数在对称区间的单调性

②奇函数的特性： ；

③偶函数的特性：

（4）若函数)(xfy是偶函数，则)()(axfaxf；若函数)(axfy是偶函数，则)()(axfaxf.

活动三：数学应用

（一）函数的有关概念

例1 二次函数的图象顶点为A(1，16)，且图象在x轴上截得的线段长为8，求这个二次函数的解析式．

练习：

1．已知二次函数f(x)同时满足条件：（1）对称轴是x＝1；（2）f(x)的最大值为15； （3）f(x)的两个零点的立方和等于17．求f(x)的解析式．

2．已知f(2x＋1)＝4x＋3，求f(x)．

3．已知221()+()=(,,R,0,)afxbfcxabcabcabx，求f(x)．

例2 求函数23134yxx=---的定义域与值域．

（二）函数的图象

例4 下列关于函数y = f(x)(xD)的图象与直线x＝a交点的个数的结论，（1）有且只有1个；（2）至少有1个；（3）至多有1个，其中正确的是 ．

练习：画出下列函数的图象．

（1） f (x)＝|x2－x|； （2） f (x)＝|2x－1|；

（3）f (x)＝|x－1|＋|x＋1|； （4） f (x)＝|x－1|－|x＋1|．

（三）函数的单调性

例5 若函数f(x)是R上的增函数，对实数a、b，若a＋b＞0，则有下列关系式：（1）f (a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)；（2）f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)；（3）f(a)－f(b)＞f(－a)－f(－b)；（4）f(a)－f(b)＜f(－a) －f(－b)；其中一定正确的有 ．

（四）函数的奇偶性

例6 判断下列函数的奇偶性：

（1）f (x)＝|x－1|＋|x＋1|； （2）f (x)＝|x－1|－|x＋1|；

（3）2224-()=+-xfxx； （4）2220()0.2,,xxxfxxxx,

练习：设函数f(x)在R上有定义，下列函数（1）y＝－|f(x)|；（2）y＝xf(x2)；

（3）y＝－f(－x)；（4）y＝f(x)－f(－x)中必为奇函数的有____________．

（五）函数奇偶性的综合应用 例7 设函数f(x)是定义在实数集R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝x(x＋1)，试求当x＞0时，f(x)的解析式．

例8 已知函数21()axfxbxc(a，b，cZ)是奇函数，又f(1)＝2，f(2)＜3，求a，b，c的值．

练习：（1）与y＝x2－2x＋5的图象关于y轴对称的图象的函数解析式是_____．

（2）已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，

则a＝ ，b＝ ．

（3）已知函数f(x)为偶函数，且其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和为________．

（4）f(x)是偶函数，且在[a，b]上是减函数(0＜a＜b)，则f(x)在[－b，－a]上的单调性为_____．（若改为奇函数呢？）

活动四 ：课后巩固 班级：高一（ ）班 姓名

基础题：

1.求下列函数的定义域：

⑴221533xxyx ⑵211()1xyx

2.若函数(1)fx的定义域为[]23，，则函数(21)fx的定义域是

3.函数22(1)()(12)2(2)xxfxxxxx ，若()3fx，则x=

4.求下列函数的值域：

⑴223yxx ()xR ⑵223yxx [1,2]x

(3)12yxx (4)245yxx

5.已知函数2(1)4fxxx，求函数()fx，(21)fx的解析式

6.已知函数()fx满足2()()34fxfxx，则()fx= 。

提高题：

7.设()fx是R上的奇函数，且当[0,)x时,3()(1)fxxx,则当(,0)x时()fx=

()fx在R上的解析式为

8.求下列函数的单调区间：

⑴ 223yxx ⑵223yxx ⑶ 261yxx

9.判断函数13xy的单调性并证明你的结论．

10.设函数2211)(xxxf判断它的奇偶性并且求证：)()1(xfxf．

11．(2016·四川高考)若函数f(x)是定义在R上的奇函数)()2(xfxf，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则f－52＋f(2)＝________.

12．(2014·浙江高考)设函数f(x)＝ x2＋x，x<0，－x2，x≥0，若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________．

13.定义在R上的奇函数xf，当0,x时，12mxxxf．

⑴求xf的解析式；

⑵若方程0xf有五个不相等的实数解，求实数m的取值范围．

14.设函数xf的解析式满足011212axaxxxf．

⑴求函数xf的解析式； ⑵当1a时，试判断函数xf在区间,0上的单调性，并加以证明；

⑶当1a时，记函数0,0,xxfxxfxg，求函数xg在区间21,2上的值域．