第７卷第８期２００７年４月 １６７１—１８１９（２００７）０８—１６７０－０５ 科学技术 Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ 与工程 ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｖｏ１．７ Ｎｏ．８ Ａｐｒ．２００７ ＠２００７ Ｓｃｉ．Ｔｅｅｈ．Ｅｎｇｎｇ．
水利技术
时问序列回退插值的特征线法
应用于瞬变流数值计算
茅泽育赵雪峰
（清华大学水利水电工程系，北京１０００８４）
摘要针对瞬变流的基本微分方程，应用特征差分方法，建立了管道有压流的数值模型。结点上的变量值采用时间序列回 退内插的新的插值格式，而不是传统的空间内插方法。数值试验表明，文中提出的数值模型所产生的数值耗散很小。 关键词有压管道 有压瞬变流 水击 时间序列内插 数值模拟 中图法分类号ＴＶ１３４．１；文献标识码Ａ
Ｔｈｅ ｔｒａｎｓｉｅｎｔ ｆｌｏｗ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ｉｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃｏｎｄｕｉｔｓ ａｒｅ ｇｏｖｅｒｎｅｄ ｂｙ ａｎ ａｃｃｕｒａｔｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ（ｍｏｍｅｎ—
ｔｕｍ）ａｎｄ ａｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ．Ｔｈｅｉｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｌｅａｄｓ ｔｏ ａ ｐａｉｒ ｏｆ ｑｕａｓｉ－ｌｉｎｅａｒ ｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃ ｐａｒｔｉａｌ ｄｉｆｅｒ－
ｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｗｏ ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｖａｒｉａｂｌｅｓ，
ｖｅｌｏｃｉｔｙ ａｎｄ ｈｙｄｒａｕｌｉｃ－ｇｒａｄｅ－ｌｉｎｅ ｅｌｅｖａｔｉｏｎ．Ａ ｇｅｎｅｒａｌ
ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉｓ ｎｏｔ ａｖａｉｌａｂｌｅ．Ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ ｆｏｒｍｓ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｈａｖｅ ｏｆｔｅｎ ｂｅｅｎ ａｄｏｐｔｅｄ ｆｏｒ ｓｉｍｐｌｉｃｉｔｙ，ｆｏｒ ｉｎｓｔａｎｃｅ
ｎｅｇｌｅｃｔｉｎｇ ｆｒｉｃｔｉｏｎ ｔｅｒｍｓ ｏｒ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｗｈｅｎ ｐｉｐｅ
插值法的最简单计算公式
全文共四篇示例，供读者参考
第一篇示例：
插值法是一种常用的数值计算方法，用于通过已知数据点推断出未知数据点的值。在实际问题中，往往会遇到数据点不连续或者缺失的情况，这时就需要通过插值法来填补这些数据点，以便更准确地进行计算和分析。
插值法的最简单计算公式是线性插值法。线性插值法假设数据点之间的变化是线性的，通过已知的两个数据点来推断出中间的未知数据点的值。其计算公式为：
设已知数据点为(x0, y0)和(x1, y1)，需要插值的点为x，其在(x0,
x1)之间，且x0 < x < x1，插值公式为：
y = y0 + (y1 - y0) * (x - x0) / (x1 - x0)
y为插值点x对应的值，y0和y1分别为已知数据点x0和x1对应的值。通过这个线性插值公式，可以方便地计算出中间未知点的值。
举一个简单的例子来说明线性插值法的应用。假设有一组数据点为(1, 2)和(3, 6)，现在需要插值得到x=2时的值。根据线性插值公式，我们可以计算出：
y = 2 + (6 - 2) * (2 - 1) / (3 - 1) = 2 + 4 * 1 / 2 = 2 + 2 = 4 当x=2时，线性插值法得到的值为4。通过这个简单的例子，可以看出线性插值法的计算公式的简单易懂，适用于很多实际问题中的插值计算。
除了线性插值法，还有其他更复杂的插值方法，如多项式插值、样条插值等，它们能够更精确地拟合数据并减小误差。在一些简单的情况下，线性插值法已经足够满足需求，并且计算起来更加直观和方便。
在实际应用中，插值法经常用于图像处理、信号处理、数据分析等领域。通过插值法，可以将不连续的数据点连接起来，填补缺失的数据，使得数据更加完整和连续，方便后续的处理和分析。
插值法是一种简单而有效的数值计算方法，其中线性插值法是最简单的计算公式之一。通过这个简单的公式，可以方便地推断出未知数据点的值，并在实际应用中发挥重要作用。在需要进行数据插值时，可以尝试使用插值法，选择适合情况的插值方法，以提高数据的准确性和完整性。
五次多项式插值法
1. 引言
多项式插值是一种常用的数值计算方法，它通过已知的数据点来构造一个多项式函数，以在这些数据点上进行插值。五次多项式插值法是其中一种常见的插值方法，它通过五个数据点来构造一个五次多项式函数。
本文将介绍五次多项式插值法的原理、步骤和应用，并通过示例详细说明其具体实现过程。
2. 原理
五次多项式插值法基于拉格朗日插值公式，该公式可以通过已知的n个数据点(x_i,
y_i)，i=0,1,…,n-1，构造出一个n次多项式函数P(x)，满足P(x_i) = y_i。具体来说，五次多项式插值法使用五个数据点(x_0, y_0)，(x_1, y_1)，(x_2, y_2)，(x_3, y_3)和(x_4, y_4)来构造一个五次多项式函数P(x)，使得P(x_i) = y_i
(i=0,1,2,3,4)。
3. 步骤
使用五次多项式插值法进行插值需要经过以下步骤：
步骤1：确定数据点
首先需要确定至少五个数据点，这些数据点应该覆盖所需插值的范围。数据点可以通过实际测量或者其他数值计算方法得到。
步骤2：构造五次多项式
通过拉格朗日插值公式，可以构造出一个五次多项式函数P(x)，满足P(x_i) =
y_i (i=0,1,2,3,4)。具体的公式如下：
P(x) = L_0(x)*y_0 + L_1(x)*y_1 + L_2(x)*y_2 + L_3(x)*y_3 + L_4(x)*y_4
其中，L_i(x)是拉格朗日基函数，定义如下：
L_i(x) = ((x-x_0)*(x-x_1)*(x-x_2)*(x-x_3)*(x-x_4)) / ((x_i-x_0)*(x_i-x_1)*(x_i-x-2)*(x_i-x-3)*(x_i-x-4))
步骤3：计算插值结果
将待插值的自变量x带入五次多项式函数P(x)，即可得到对应的插值结果。 4. 示例
假设我们有以下五个数据点：
x y
数值计算中的插值方法与误差分析
数值计算是一门应用数学学科，广泛应用于科学与工程领域。在实际问题中，我们常常需要通过已知的离散数据点来估计未知的数值。插值方法就是为了解决这个问题而设计的。
插值方法是一种基于已知数据点，推断出未知数据点的数值计算方法。常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值等。下面我们将重点介绍这两种方法。
1. 拉格朗日插值法
拉格朗日插值法是插值方法中最常见的一种。它是基于拉格朗日多项式的思想。假设我们有一组已知的数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们想要估计一个未知点x的函数值y。拉格朗日插值法的基本思想是通过插值多项式来逼近原函数。具体步骤如下：
（1）根据已知数据点构造Lagrange插值多项式：
L(x) = Σ(yi * Li(x)), i = 0, 1, ..., n
其中，Li(x) = Π((x-xj)/(xi-xj)), j ≠ i
（2）计算未知点x对应的函数值y：
y = L(x)
拉格朗日插值法的优点是简单易懂，计算方便。然而，它也存在着一些问题，比如插值多项式的次数较高时，多项式在插值区间外的振荡现象明显，容易引起插值误差。 2. 牛顿插值法
牛顿插值法是另一种常见的插值方法。它是基于差商的思想。假设我们有一组已知的数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们想要估计一个未知点x的函数值y。牛顿插值法的基本思想是通过插值多项式来逼近原函数。具体步骤如下：
（1）计算差商：
f[xi, xi+1, ..., xi+k] = (f[xi+1, ..., xi+k] - f[xi, ..., xi+k-1]) / (xi+k - xi)
（2）根据已知数据点构造Newton插值多项式：
N(x) = f[x0] + Σ(f[x0, x1, ..., xi] * Π(x - xj)), i = 0, 1, ..., n-1
