数值计算方法作业
专业：测控1002
学号：10540226
姓名：崔 海 雪
拉格朗日插值的算法及应用
【摘要】 本文简介拉格朗日插值，它的算法及程序和拉格朗日在实际生活中的运用。运用了拉格朗日插值的公式，以及它在MATLAB中的算法程序，并用具体例子说明。拉格朗日插值在很多方面都可以运用，具有很高的应用价值。
【关键词】 拉格朗日；插值；公式；Matlab算法程序；
一、绪论
约瑟夫·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)，法国数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。拉格朗日对流体运动的理论也有重要贡献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法。数据建模有两大方法：一类是插值方法，另一类是拟合函数一般的说，插值法比较适合数据准确或数据量小的情形。然而Lagrange插值有很多种，1阶，2阶,„n阶。我们可以利用拉格朗日插值求方程，根据它的程序求原方程的图像。下面我具体介绍分析一下拉格朗日插值的算法设计及应用。
二、正文
1、基本概念
已知函数y=f(x)在若干点ix的函数值iy=ixf（i=0,1,,n）一个差值问题就是求一“简单”的函数p(x)：p(ix)=iy,i=0,1,,n, (1)
则p(x)为f(x)的插值函数，而f(x)为被插值函数会插值原函数，0x，1x，2x，...,nx为插值节点，式（1）为插值条件，如果对固定点x求f(x)数值解，我们称x为一个插值节点，f(x)p(x)称为x点的插值，当x[min(0x，1x，2x，...,nx)，max(0x，1x，2x，...,nx)]时，称为内插，否则称为外插式外推，特别地，当p(x)为不超过n次多项式时称为n阶Lagrange插值。
2、Lagrange插值公式
（1）线性插值)1(1L
第一章 引论
计算方法解决问题的主要思想
计算方法的精髓：以直代曲、化繁为简
1、采用“构造性”方法
构造性方法是指具体地把问题的计算公式构造出来。这种方法不但证明了问题的存在性，而且有了具体的计算公式，就便于编制程序上机计算。
2、采用“离散化”方法
把连续变量问题转为求离散变量问题。
例：把定积分离散成求和，把微分方程离散成差分方程。
3、采用“递推化”方法
将复杂的计算过程归结为简单过程的多次重复。由于递推算法便于编写程序，所以数值计算中常采用“递推化”方法。
4、采用“近似代替”方法
计算机运算必须在有限次停止，所以数值方法常表现为一个无穷过程的截断，把一个无限过程的数学问题，转化为满足一定误差要求的有限步来近似替代。
算法的可行性分析
时间复杂度、空间复杂度
分析算法的复杂性（包含时间复杂性和空间复杂性）。
时间复杂度是算法耗费时间的度量。
算法的空间复杂度是指算法需占用存储空间的量度
算法的可靠性分析
良态算法、病态算法
一个算法若运算过程中舍入误差的积累对最后计算结果影响很大，则称该算法是不稳定的或病态算法，反之称为稳定算法或良态算法。
误差的来源
1、模型误差
我们所建立的数学模型是对实际问题进行抽象简化而得到的。因而总是近似的，这就产生了误差。这种数学模型解与实际问题的解之间出现的误差，称为模型误差。
2、观测误差
观测到的数据与实际数据之差。
3、截断误差
数学模型的准确解与计算方法的准确解之间的误差。
4、舍入误差
由于计算机字长有限，原始数据在计算机上表示会产生误差，每次计算又会产生新的误差，这种误差称为舍入误差。
绝对误差、相对误差
定义2 记x*为x的近似数，称E(x)=x-x*为近似数x*的绝对误差，|E(x)|为绝对误差限。
定义3 称Er(x)=(x-x*)/x为近似数x*的相对误差。实际运算时也将Er*(x)=(x-x*)/x*称为近似数x*的相对误差。 “四舍五入”：即尾数是4或以下则舍去，尾数是6或以上则进1，如果尾数是5，则规定：前面一位数字是偶数则舍去，奇数则进1。
数 值 计 算 方 法
课 程 设 计 报 告
课程设计名称： 数值计算方法
课程设计题目： 插值算法
年 级 专 业： 信计1302班
组员姓名学号： 高育坤 **********
王冬妮 1309064044
韩 建 1309064046
李 婧 1309064047
* * * 师： ***
完 成 时 间： 2015年6月17日
插值算法
一、问题提出
插值法是实用的数值方法，是函数逼近的重要方法。在生产和科学实验中，自变量x与因变量y的函数y = f(x)的关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的函数值或导数值。当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数值在该点的值。
如何根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y=φ(x)，使函数在观测点的值等于已知的数值或导数值，进而用简单函数y=φ(x)在点x处的值来估计未知函数y=f(x)在x点的值。寻找这样的函数φ(x)，办法是很多的。φ(x)可以是一个代数多项式，或是三角多项式，也可以是有理分式；φ(x)可以是任意光滑（任意阶导数连续）的函数或是分段函数；函数类的不同，自然地有不同的逼近效果。
二、背景分析
在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，然而，这种关系经常很难有明显的解析表达，通常只是由观察与测试得到一些离散数值。有时，即使给出了解析表达式，却由于表达式过于复杂，不仅使用不便，而且不易于进行计算与理论分析。解决这类问题的方法有两种：一种是插值法插值法，另一种是一拟合法。插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践，早在一千多年前，我国科学家在研究历法上就应用了线性插值与二次插值，但它的基本理论却是在微积分产生之后才逐渐完善的，其应用也日益增多，特别是在计算机软件中，许多库函数，如 ,cos,sin
第五章最小二乘法与曲线拟合小结
一、本章知识梳理
1、
从整体上考虑近似函数同所给数据点 (i=0,1,…,m)误差(i=0,1,…,m) (i=0,1,…,m)绝对值的最大值，即误差向量的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1—范数；三是误差平方和的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和来 度量误差 (i=0，1，…，m)的整体大小。
数据拟合的具体作法是：对给定数据 (i=0,1,…，m)，在取定的函数类中,求,使误差(i=0,1,…,m)的平方和最小，即
从几何意义上讲，就是寻求与给定点 (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线（图6-1）。函数称为拟合 函数或最小二乘解，求拟合函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
2、 多项式拟合
假设给定数据点 (i=0,1,…,m)，为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得
(1)
当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。
显然
为的多元函数，因此上述问题即为求的极值 问题。由多元函数求极值的必要条件，得
(2)
即 (3)
（3）是关于的线性方程组，用矩阵表示为
(4)
式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。
可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（4）中解出 (k=0,1,…，n)，从而可得多项式
(5)
可以证明，式（5）中的满足式（1），即为所求的拟合多项式。我们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差，记作
由式(2)可得
(6)
