高三一轮复习-第八章-第八节-曲线与方程

第八节 抛物线

1．抛物线的定义

满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：

(1)在平面内；

(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等； (3)定点不在定直线上． 2．抛物线的标准方程和几何性质

标准方程 y2＝2px

(p＞0) y2＝－2px

(p＞0) x2＝2py

(p＞0) x2＝－2py(p＞0)

p的几何意义：焦点F到准线l的距离

图形

顶点 O(0,0)

对称轴 y＝0 x＝0

焦点 Fp2，0 F－p2，0 F0，p2 F0，－p2

离心率 e＝1

准线方程 x＝－p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2

范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R

开口方向 向右 向左 向上 向下

焦半径

(其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋p2 |PF|＝

－x0＋p2 |PF|＝y0＋p2 |PF|＝－y0＋p2

[小题体验]

1．(2018·杭州七校联考)抛物线C：y＝ax2的准线方程为y＝－14，则其焦点坐标为________，实数a的值为________．

解析：由题意得焦点坐标为0，14，抛物线C的方程可化为x2＝1ay，由题意得－14a＝－14，解得a＝1.

答案：0，14 1

2．焦点在直线2x＋y＋2＝0上的抛物线的标准方程为________．

答案：y2＝－4x或x2＝－8y

3．(教材习题改编)抛物线y＝4x2的焦点坐标为__________；准线方程为____________．

解析：抛物线的标准方程为x2＝14y，所以焦点坐标为0，116，准线方程为y＝－116.

答案：0，116 y＝－116

1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．

2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p＞0才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义．

椭 圆（一）

【复习目标】：

1.掌握椭圆的第一、第二定义，会用定义解题；

2.熟记椭圆的标准方程及其简单几何性质，能熟练地进行基本量a、b、c、d、e间的互求。

3.掌握求椭圆标准方程的基本步骤①定型；②定量

【教学过程】：

一、知识梳理

1、 椭圆的定义

（1）平面内到两定点21,FF的距离 的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做 ，定点间的距离叫 。

（2）平面内动点P到 距离与到 的距离之比等于常数e（e ）的点的轨迹是椭圆。 是焦点，

是准线，常数e是椭圆的

2、椭圆的方程

（1）焦点在x轴上，中心在原点的椭圆标准方程

12222byax( ),焦点是 ，其中c

（2）焦点在y轴上，中心在原点的椭圆标准方程

12222bxay( ),焦点是 ，其中c

（3）两种标准方程的一般形式

)00(122BABAByAx，，

当AB时，椭圆的焦点在 轴上

（4）参数方程：

3、性质：12222byax( a＞b＞0 )

①范围: ②对称性:

③顶点: ④离心率:

第八章平面解析几何

第8讲圆锥曲线中的热点问题

1. 定值问题

如果曲线中某些量不依赖于变化元素而存在，则称为定值,

探讨定值的问题可以为解答题，也可以为证明题，求定值的

基本方法是：先将变动元素用参数表示，然后计算出所需结

果与该参数无关；也可将变动元素置于特殊状态下，探求出

定值，然后再予以证明，因为毕竟是解析几何中的定值问题, 所以讨论的立足点是解析几何知识，工具是代数、三角等知 识，基本数学思想与方法的体现将更明显，更逼真.教材回顾▼夯实基础 课本温故追根求源

2. 最值问题

圆锥曲线中最值问题是高中数学的重要内容，试题把代数、

三角和几何等有机结合起来，问题具有高度的综合性和灵活

性.常用的方法有⑴利用定义求解；⑵构造基本不等式；⑶

利用数形结合；（4）构造函数等.

3. 范围问题

求解析几何中的有关范围问题往往通过类比、联想、转化、

合理地构造函数，然后去分析、研究问题，转化问题和解决

问题.对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程会引入一些相

互联系、相互制约的量，从而使一些线段长度及“，b, c, e

之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时非常有效.

產D -做一做•

1.直线y=〉+ 3与双曲线器一* = 1的交点个数是

1

解析：因为直线丿=纭+3与双曲线的渐近线y=^x平行，所

以它与双曲线只有1个交点.

2.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，以其两个 焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正

方形，设P为该椭圆上的动点，C, D的坐标分别是（7,

0）,（边，0）,则PC PD的最大值为& .

2 2

解析：设椭圆的标准方程为》+器=l@>b>0）, C2=a2—b2.

由正方形的对角线性质可得:

b=c,又该正方形面积为4,

则4X；X沪=4,所以b=c=逸,则C, D即为椭圆的焦点,

所以疋喀便仟斗=—心=4 til

要点整食r

1.必明辨的2个易错点

第八章 圆锥曲线

知识结构

高考能力要求

1．掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程．

2．掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质．

3．掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质．

4．了解圆锥曲线的初步应用．

高考热点分析

圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分~24分，占15%左右，并且主要体现出以下几个特点：

1．圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容：

①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p五个参数的求解．

②圆锥曲线的几何性质的应用．

2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法．

3．有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现．

4．求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势．

高考复习建议

1．圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质是本章的基本内容．复习中对基本概念的理解要深,对公式的掌握要活,充分重视定义在解题中的地位和作用,重视知识间的内在联系．椭圆、双曲线、抛物线它们都可以看成是平面截圆锥所得的截线，其本质是统一的.因此这三种曲线可统一为“一个动点P到定点F和定直线l的距离之比是一个常数e的轨迹”，当0＜e＜1、e＝1、e＞1时,分别表示椭圆、抛物线和双曲线．复习中有必要将椭圆、抛物线和双曲线的定义，标准方程及几何性质进行归类、比较，把握它们之间的本质联系，要学会在知识网络交汇处思考问题、解决问题．