经典因式分解实例解析及答案

1 第三讲：因式分解一提公因式法

【知识要点】

1、分解因式的概念

把一个多项式公成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式 。

2、分解因式与整式乘法的关系

分解因式与整式乘法是 的恒等变形。

3．分解因式的一些注意点

（1）结果应该是 的形式；（2）必须分解到每个因式都不能 为止；

（3）如果结果有相同的因式，必须写成 的形式。

4．公因式

多项式中各项都含有的公共的因式，我们把这个因式叫做这个多项式的 .

5.提公因式法

如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方示叫做提公因式法.

6.确定公因式的方法

(1)系数公因式:应取多项式中各项系数为 ;

(2)字母公因式:应取多项式中各项字母为 .

《重点辨析》

提取公因式时的注意点

多项式的形式 注意点

多项式的首项系数为负数 (1)首项为负数,一般要提出“-”号;(2)在括号内的多项式的各项都要变号.如)(cbammcmbma

公因式是多项式 公因式是多项式时,可把这个因式作为一个整体提出,如)23)(()(2)(3nmbabanbam

多项式的某一项恰是公因式 提公因式后,括号内的项数,不增不减,特殊是某一项为1,千万不要漏掉此项,如)1(bammmbma

底数需调整为同底数幂 32)()(abba可调整为:32)()(baba或32)()(abab

渣渡中心学校“人本健智大课堂”七年级下期 数学 导学案

编号 01 备课组 方菊红 况中初 肖艳 班级 七 姓名

课题 第三章.因式分解总复习学案 审阅

一、知识梳理

1、因式分解的概念

，叫做把多项式因式分解.

注：因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解.

2、提取公因式法

把mambmc，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式()abc是mambmc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.用式子表求如 下:()mambmcmabc

注：i 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.

ii 公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；②字母：各项都含有的相同字母； ③指数：相同字母的最低次幂.

3、运用公式法

把乘法公式反过用，可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.

ⅰ）平方差公式 22()()ababab

注意:①条件：两个二次幂的差的形式；

②平方差公式中的a、b可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；

③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22ba的形式，并弄清a、b分别表示什么.

ⅱ）完全平方公式 2222222(),2()aabbabaabbab

注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式； ②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；

③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；

④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成222)(2bababa公式原型，弄清a、b分别表示的量.

因式分解 例题解说及练习

【例题优选】：

（1） 5x2 y 15x 3 y 2 20x 2 y3

评析：先查各项系数（其余字母临时不看） ，确立 5，15，20 的最大公因数是 5，确立系数是 5 ，再查各项能否都有字母 X，各项都有时，再确立 X 的最低次幂是几，至此确认提取 X2，同法确立提 Y，最后确立提公因式 5X2Y。提取公因式后，再算出括号内各项。

解： 5x2 y 15x 3 y 2 20x 2 y3

=5x2 y(1 3xy 4y 2 )

（2） 3x 2 y 12x 2 yz 9x 3 y 2

评析：多项式的第一项系数为负数，应先提出负号，各项系数的最大公因数为 3，且同样字母最低次的项是 X2Y

解: 3x 2 y 12 x2 yz 9x3 y 2

= (9x3 y 2 12x

= 3(3x3 y 2 4x 2

2

yz 3x2 y)

yz x 2 y)

= 3x 2 y(3xy 42 1)

（ 3）(y-x)(c-b-a)-(x-y)(2a+b-c)-(x-y)(b-2a)

评析：在本题中， y-x 和 x-y 都能够做为公因式，但应防止负号过多的状况出现，所以应提取 y-x

解：原式 =(y-x)(c-b-a)+(y-x)(2a+b-c)+(y-x)(b-2a) =(y-x)(c-b-a+2a+b-c+b-2a)

=(y-x)(b-a)

（4）（4） 把 32x 3 y 4 2x3 分解因式

评析：这个多项式有公因式 2x3，应先提取公因式，节余的多项式

16y4-1 具备平方差公式的形式

解 ：

32x3 y4 2x3 =2x 3 (16y 4 1) =2x3 (4 y 2 1)(4 y2 1) =2 x3 (2y 1)( 2y 1)( 4y 2 1)

初中因式分解经典题型精选

第一组：基础题

1、a²b+2ab+b

2、2a²-4a+2

3、16-8（m-n）+（m-n）²

4、a²（p-q）-p+q

5、a（ab+bc+ac）-abc

【答案】

1、a²b+2ab+b

提取公因式b

=b（a²+2a+1）

=b（a+1）²

2、2a²-4a+2

提取2

=2（a²-2a+1）

=2（a-1）²

3、16-8（m-n）+（m-n）²

把（m-n）看着一个整体，

然后运用完全平方公式

=4²-2*4*（m-n）+（m-n）²

=[4-(m-n)] ²

=(4-m+n) ²

4、a²（p-q）-p+q

后面两项结合

=a²（p-q）-（p-q）

提取公因式（p-q）

=（p-q）（a²-1）

用平方差公式再分解

=（p-q）（a+1）（a-1）

5、a（ab+bc+ac）-abc

提取公因式a

=a[（ab+bc+ac）-bc]

去小括号

=a（ab+bc+ac-bc）

bc与-bc 抵消

=a（ab+ac）

提取公因式a

=a²（b+c）

第二组：提升题

6、（x-y-1）²-（y- x-1）²

7、a3b-ab3

8、b4-14b²+1

9、x4+x²+2ax+1﹣a²

10、a5+a+1

【答案】

6、（x-y-1）²-（y- x-1）²

用平方差公式

=[（x-y-1）+（y-x-1）][（x-y-1）-（y-x-1）]

去括号，合并同类项

=（-2）（2x-2y）

提取2

= -4（x-y）

7、a3b-ab3

提取公因式ab

=ab（a²-b²）

用平方差公式

=ab（a+b）（a-b）

8、b4-14b²+1

将-14b²拆分为：+2b²-16b²

=b4+2b²-16b²+1

将-16b²移到最后