因式分解经典例题
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因式分解经典例题
一、提取公因式法
例1：分解因式ax + ay。
解析：公因式为a，所以ax+ay = a(x + y)。
例2：分解因式3x^2-6x。
解析：公因式为3x，3x^2-6x=3x(x - 2)。
例3：分解因式5a^2b - 10ab^2。
解析：公因式为5ab，5a^2b-10ab^2=5ab(a - 2b)。
二、运用平方差公式a^2-b^2=(a + b)(a - b)分解因式
例4：分解因式x^2-9。
解析：x^2-9=x^2-3^2=(x + 3)(x-3)。
例5：分解因式16y^2-25。
解析：16y^2-25=(4y)^2-5^2=(4y + 5)(4y-5)。
例6：分解因式(x + p)^2-(x + q)^2。
解析：根据平方差公式a=(x + p)，b=(x+q)，则(x + p)^2-(x + q)^2=[(x +
p)+(x + q)][(x + p)-(x + q)]=(2x + p + q)(p - q)。 三、运用完全平方公式a^2±2ab + b^2=(a± b)^2分解因式
例7：分解因式x^2+6x + 9。
解析：x^2+6x + 9=x^2+2×3x+3^2=(x + 3)^2。
例8：分解因式4y^2-20y+25。
解析：4y^2-20y + 25=(2y)^2-2×5×2y+5^2=(2y - 5)^2。
例9：分解因式x^2-4xy+4y^2。
解析：x^2-4xy + 4y^2=x^2-2×2xy+(2y)^2=(x - 2y)^2。
四、综合运用多种方法分解因式
例10：分解因式x^3-2x^2+x。
解析：先提取公因式x，得到x(x^2-2x + 1)，而x^2-2x + 1=(x - 1)^2，所以原式=x(x - 1)^2。
例11：分解因式2x^2-8。
解析：先提取公因式2，得到2(x^2-4)，再利用平方差公式x^2-4=(x + 2)(x-2)，所以原式=2(x + 2)(x - 2)。
例12：分解因式x^4-1。
解析：利用平方差公式x^4-1=(x^2+1)(x^2-1)，而x^2-1=(x + 1)(x - 1)，所以原式=(x^2+1)(x + 1)(x - 1)。 五、分组分解法
例13：分解因式ax+ay+bx+by。
解析：分组(ax + ay)+(bx+by)，分别提取公因式得a(x + y)+b(x + y)=(a +
b)(x + y)。
例14：分解因式x^2-y^2+x - y。
解析：分组(x^2-y^2)+(x - y)，x^2-y^2=(x + y)(x - y)，则原式=(x + y)(x -
y)+(x - y)=(x - y)(x + y+1)。
例15：分解因式m^2+5m - mn - 5n。
解析：分组(m^2+5m)-(mn + 5n)，分别提取公因式得m(m + 5)-n(m +
5)=(m + 5)(m - n)。
六、十字相乘法（二次三项式ax^2+bx + c，a≠0）
例16：分解因式x^2+3x+2。
解析：x^2+3x + 2=(x + 1)(x+2)，因为1×2 = 2，1+2=3。
例17：分解因式x^2-5x+6。
解析：x^2-5x + 6=(x - 2)(x - 3)，因为(-2)×(-3)=6，-2+(-3)=-5。
例18：分解因式2x^2+5x+3。 解析：2x^2+5x + 3=(2x + 3)(x+1)，因为2×1 = 2，3×1=3，2×1+3×1 =
5。
七、较复杂的因式分解
例19：分解因式(x^2+x)^2-(x + 1)^2。
解析：利用平方差公式a=(x^2+x)，b=(x + 1)，则(x^2+x)^2-(x +
1)^2=[(x^2+x)+(x + 1)][(x^2+x)-(x + 1)]=(x^2+2x + 1)(x^2-1)，再进一步分解x^2+2x + 1=(x + 1)^2，x^2-1=(x + 1)(x - 1)，所以原式=(x + 1)^3(x - 1)。
例20：分解因式x^3-x^2-x+1。
解析：分组(x^3-x^2)-(x - 1)，提取公因式得x^2(x - 1)-(x - 1)=(x - 1)(x^2-1)，再利用平方差公式x^2-1=(x + 1)(x - 1)，所以原式=(x - 1)^2(x + 1)。
