1 排列组合二项式定理知识要点
【考点梳理】
一、考试内容
1.分类计数原理与分步计数原理。
2.排列、排列数公式。
3.组合、组合数公式。
4.组合数的两个性质。
5.二项式定理，二项式展开的性质。
二、考试要求
1.掌握分类计数原理及分步计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。
2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它解决一些简单的问题。
3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题。
三、考点简析
1.排列、组合、二项式知识相互关系表
2.两个基本原理
（1）分类计数原理中的分类。
（2）分步计数原理中的分步。
正确地分类与分步是学好这一章的关键。
3.排列
（1）排列定义，排列数
（2）排列数公式：系mnA =)!(!mnn=n·(n-1)„(n-m+1)
（3）全排列列：nnA =n!
（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720
4.组合
（1）组合的定义，排列与组合的区别
（2）组合数公式：Cnm=)!(!!mnmn=12)1(1)m-(n1)-n(mmn
（3）组合数的性质
①Cnm=Cnn-m
②rnrnrnCCC11
③rCnr=n·Cn-1r-1 2 ④Cn0+Cn1+„+Cnn=2n
⑤Cn0-Cn1+„+(-1)nCnn=0
即 Cn0+Cn2+Cn4+„=Cn1+Cn3+„=2n-1
5.二项式定理
（1）二项式展开公式
(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+„+Cnkan-kbk+„+Cnnbn
（2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是
Tk+1=Cnkan-kbk
6.二项式的应用
（1）求某些多项式系数的和。
（2）证明一些简单的组合恒等式。
第9讲
排列组合与二项式定理
考点一 排列与组合
(一)基本计数原理
1.加法原理
分类计数原理：做一件事，完成它有𝑛类办法，在第一类办法中有𝑚1种不同的方法，在第二类办法中有𝑚2种方法，……，在第𝑛类办法中有𝑚𝑛种不同的方法．那么完成这件事共有𝑁=𝑚1+𝑚2+⋯+𝑚𝑛种不同的方法．又称加法原理．
2.乘法原理
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成𝑛个子步骤，做第一个步骤有𝑚1种不同的方法，做第二个步骤有𝑚2种不同方法，……，做第𝑛个步骤有𝑚𝑛种不同的方法．那么完成这件事共有𝑁=𝑚1×𝑚2×⋯×𝑚𝑛种不同的方法．又称乘法原理．
3.加法原理与乘法原理的综合运用
运用：如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．
(二)排列与组合
1.排列
定义：一般地，从𝑛个不同的元素中任取𝑚(𝑚≤𝑛)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从𝑛个不同元素中取出𝑚个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）
排列数：从𝑛个不同的元素中取出𝑚(𝑚≤𝑛)个元素的所有排列的个数，叫做从𝑛个不同元素中取出𝑚个元素的排列数，用符号𝐴𝑛𝑚表示． 排列数公式：𝐴𝑛𝑚=𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)⋯(𝑛−𝑚+1)，𝑚，𝑛∈𝑵+，并且𝑚≤𝑛．
全排列：一般地，𝑛个不同元素全部取出的一个排列，叫做𝑛个不同元素的一个全排列．
𝒏的阶乘：正整数由1到𝑛的连乘积，叫作𝑛的阶乘，用𝑛!表示．规定：0!=1．
2.组合
定义：一般地，从𝑛个不同元素中，任意取出𝑚(𝑚≤𝑛)个元素并成一组，叫做从𝑛个元素中任取𝑚个元素的一个组合．
组合数：从𝑛个不同元素中，任意取出𝑚(𝑚≤𝑛)个元素的所有组合的个数，叫做从𝑛个不同元素中，任意取出𝑚个元素的组合数，用符号𝐶𝑛𝑚表示．
第讲排列组合和二项式定理概率(2022高考数学---新东方内部
第十一章排列、组合和二项式定理
1.排列数公式
mAnn(n1)(n2)(nm1)n!n(mn)；Ann!n(n1)(n2)21。
(nm)!如①1！+2！+3！+…+n！（n4,nN某）的个位数字为；（答：3）②满足A8某6A8某2的某＝（答：8）组合数公式
mAnn(n1)(nm1)n!0Cm(mn)；规定0!1，Cn1.
Amm(m1)21m!nm!mnmnm如已知CnCm1An6，求n，m的值.（答：m＝n＝2）(了解)排列数、组合数的性质
①CnmCnnm；
1②CnmCnm1Cnm1；
kk1③kCn；nCn11④CrrCrr1Crr2CnrCnr；1⑤nn!(n1)!n!；
n11⑥.(n1)!n!(n1)!2.解排列组合问题的依据是：
分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），
分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），
有序排列，无序组合． 如①将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种；（答：35）②从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有种；（答：70）
③从集合1,2,3和1,4,5,6中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系
中能确定不同点的个数是_；（答：23）④72的正约数（包括1和72）共有个；（答：12）⑤A的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同A的
A顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_____个三角形；（答：
CB90）
⑥用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同
一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有D种不同涂法；（答：480）
⑦同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有种；（答：9）
微专题2 排列组合与二项式定理、概率
命 题 者 说
考 题 统 计 考 情 点 击
2018·全国卷Ⅰ·T10·几何概型
2018·全国卷Ⅰ·T15·排列与组合
2018·全国卷Ⅱ·T8·古典概型
2018·全国卷Ⅲ·T5·二项式定理
2018·天津高考·T10·二项式定理 1.排列、组合在高中数学中占有特殊的位置，是高考的必考内容，很少单独命题，主要考查利用排列、组合知识计算古典概型。
2.二项式定理仍以求二项展开式的特定项、特定项的系数及二项式系数为主，题目难度一般。
3.概率、随机变量及其分布列是高考命题的热点之一，命题形式为“一小一大”，即一道选择或填空题和一道解答题。
考向一 排列与组合
【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种。(用数字填写答案)
(2)(2018·浙江高考)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数。(用数字作答)
解析 (1)解法一：根据题意，没有女生入选有C34＝4(种)选法，从6名学生中任意选3人有C36＝20(种)选法，故至少有1位女生入选，不同的选法共有20－4＝16(种)。
解法二：可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有C12C24＝12(种)；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有C22C14＝4(种)。根据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同的选法有16种。
(2)若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为C25C23A44；若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为C25C13C13A33。综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为C25C23A44＋C25C13C13A33＝720＋540＝1 260。
答案 (1)16 (2)1 260
