高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 3.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数学案 文

3．1 任意角和弧度制及任意角的三角函数

[知识梳理]

1．任意角的概念

(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

(2)角的分类

(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．

(4)相关结论

①象限角

②轴线角

2．弧度制的定义和公式

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.

(2)公式

3．任意角的三角函数

[诊断自测]

1．概念思辨

(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( )

(2)一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位．( )

(3)α∈0，π2，则tanα>α>sinα.( )

(4)α为第一象限角，则sinα＋cosα>1.( )

答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√

2．教材衍化

(1)(必修A4P9T5)直径为4的圆中，36°的圆心角所对的弧长是( )

A.4π5 B.2π5 C.π3 D.π2

答案 B

解析 ∵36°＝36×π180 rad＝π5 rad，∴36°的圆心角所对的弧长为l＝π5×2＝2π5.故选B.

(2)(必修A4P21T9)设θ是第三象限角，且cosθ2＝－cosθ2，则θ2是( )

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

答案 B

解析 由θ在第三象限，所以2kπ＋π

3．小题热身

(1)(2017·石家庄模拟)已知角α的终边在直线y＝－x上，且cosα＜0，则tanα＝________.

答案 －1

解析 如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的定义得tanα＝yx＝－xx＝－1.

(2)(2018·黄浦模拟)如图，已知扇形OAB和OA1B1，A1为OA的中点，若扇形OA1B1的面积为1，则扇形OAB的面积为________．

答案 4

解析 设∠AOB＝α，则S扇形OA1B1＝12OA21·α＝1，

S扇形OAB＝12OA2·α，OA＝2OA1，

∴S扇形OAB＝12·(2OA1)2·α＝4.

题型1 象限角及终边相同的角

典例1设集合M＝x x＝k2·180°＋45°，k∈Z，N＝

x x＝k4·180°＋45°，k∈Z，判断两集合的关系( )

A．M＝N B．MN

C．NM D．M∩N＝∅

将描述法表示的集合变为列举法表示．

答案 B

解析 由于M＝ x x＝k2·180°＋45°，k∈Z } ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，

N＝x x＝k4·180°＋45°，k∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有MN.

典例2 已知角α＝2kπ－π5(k∈Z)，若角θ与角α终边相同，则y＝sinθ|sinθ|＋|cosθ|cosθ＋tanθ|tanθ|的值为________．

找α的终边，利用终边定号法．

答案 －1

解析 由α＝2kπ－π5(k∈Z)及终边相同角的概念知，α的终边在第四象限，又θ与α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ<0，cosθ>0，tanθ<0.因此，y＝－1＋1－1＝－1.

方法技巧

象限角的两种判断方法

1．图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．

2．转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．

提醒：注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角．

冲关针对训练

1．(2017·潍坊模拟)集合{|αkπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是(

)

答案 C

解析 当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π4≤α≤2nπ＋π2， 此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋π4≤α≤2nπ＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样．故选C.

2．若sinθ2＝45，且sinθ<0，则θ所在象限是( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

答案 C

解析 ∵sinθ<0，∴2sinθ2cosθ2<0.

又∵sinθ2＝45，∴cosθ2<0.

故θ2在第二象限，且2kπ＋π2

∴4kπ＋π

题型2 弧度制及扇形面积公式的应用

典例 已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.

(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；

(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；

(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

利用方程组法、二次函数求最值．

解 (1)α＝60°＝π3 rad，

∴l＝α ·R＝π3×10＝10π3 (cm)．

(2)由题意得 2R＋Rα＝10，12α·R2＝4，

解得 R＝1，α＝8(舍去)， R＝4，α＝12.故扇形圆心角为12.

(3)由已知得，l＋2R＝20，所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10，α＝2.

[条件探究] 将典例中的第(3)问推广为“若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？”

解 扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，

∴R＝C2＋α，

∴S扇＝12α·R2＝12α·C2＋α2＝C2α2·14＋4α＋α2＝C22·14α＋4＋α≤C216.

当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C216.

方法技巧

应用弧度制解决问题的方法

1．利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．见典例(1)．

2．求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．见典例(3)．

3．在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．

提醒：弧度制下l＝|α|·r，S＝12lr，此时α为弧度．在角度制下，弧长l＝nπr180，扇形面积S＝nπr2360，此时n为角度，它们之间有着必然的联系．

冲关针对训练

(2018·大连模拟)一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形的面积是( )

A.R22 B.12R2sin1·cos1

C.12R2(2－sin1·cos1) D．R2(1－sin1·cos1)

答案 D

解析 设圆心角为θ，由题知2R＋R·θ＝4R，得θ＝2，

所以S弓＝S扇－S三角形＝12×2R·R－12R2·sin2＝R2－12R2·sin2＝R2·1－12sin2＝R2(1－sin1·cos1)．故选D.

题型3 任意角三角函数的定义及应用

角度1 利用三角函数定义求值

典例 已知角α的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴．若角α终边经过点P(－3，y)，且sinα＝34y(y≠0)，则判断角α所在的象限，并求cosα和tanα的值．

定义法．

解 依题意，P到原点O的距离为

|PO|＝ －32＋y2，∴sinα＝yr＝y3＋y2＝34y.

∵y≠0，∴9＋3y2＝16，∴y2＝73，∴y＝±213.

∴点P在第二或第三象限．

当P在第二象限时，

y＝213，cosα＝xr＝－34，tanα＝－73.

当P在第三象限时，

y＝－213，cosα＝xr＝－34，tanα＝73.

角度2 利用三角函数线比较大小，解不等式

典例 sin1，cos1，tan1的大小关系是( )

A．sin1>cos1>tan1 B．sin1>tan1>cos1

C．tan1>sin1>cos1 D．tan1>cos1>sin1

单位圆定义法．

答案 C

解析 作单位圆，作出锐角1弧度的正弦线BP，余弦线OB，正切线AT，可得tan1>sin1>cos1.故选C.

方法技巧

三角函数定义问题的常见类型及解题策略

1．已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．

2．利用单位圆解三角不等式的步骤

(1)确定区域的边界(注意边界的虚实)；

(2)确定区域；

(3)写出解集．

3．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(sinα，cosα，tanα)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．

提醒：若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．

冲关针对训练

1．设π2

A．a

答案 B

解析 ∵π2

∴22

∴c

2．(2017·兴庆区校级期中)已知角α的终边经过点P(x，－2)(x>0)，且cosα＝36