一元二次方程根的判别式完整ppt课件

一元二次方程根的判别式与根与系数的关系

〖知识点〗：一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理

〖教学要求〗：

1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；

2.掌握韦达定理及其简单的应用；

3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；

4.会应用一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系分析解决一些简单的综合性问题。

内容分析

1.一元二次方程的根的判别式

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△＝b2-4ac

当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；

当△＝0时，方程有两个相等的实数根，

当△＜0时，方程没有实数根．

2.一元二次方程的根与系数的关系

(1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么abxx21，acxx21

(2)如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P，x1x2=q x1x2=q

(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0．

x2-(x1+x2)x+x1x2=0．

3.二次三项式的因式分解(公式法)

在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是x1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．

〖考查重点与常见题型〗

1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（ ）

（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根

（C）没有实数根 （D）不能确定

一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系习题课

教学目标

1 巩固复习一元二次方程根的判别式及根与系数的关系式。

2 熟练运用一元二次方程程根的判别式及根与系数的关系式解决相关问题。

2 培养学生观察分析、综合推理的能力。

教学重点

灵活运用一元二次方程程根的判别式及根与系数的关系式解决问题。

教学过程

一 复习提问：

1 关于x的一元二次方程的一般式：)0(02acbxax

2 )0(02acbxax 的根的判别式用符号“△”表示。△=acb42

△>0 方程有两个不相等的实数根；

△=0方程有两个相等的实数根；

△<0方程没有实数根。

3 设一元二次方程)0(02acbxax的两根1x，2x

ac2x1 x,ab2x1x

二 一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系式应用举例

基本应用

例1 请同学 观察方程04322xx得出结论或提出问题。（师生共同完成）

例2 请同学给方程0322mxx加一个条件确定m的值或m的取值范围。

例3 在一元二次方程022mnxx中，若m和n可在1，2，3，4，5，6中取值，请同学确定有实数根的方程。

综合应用

例4 讨论方程04)1(4)1(22xmxm的根的情况并根据下列条件确定m的

值。（1）两实数根互为倒数，（2）两实数根互为相反数，（3）两实数根中有一根为1。

例5 已知关于x的一元二次方程)0(056252pqpxx有两个相等的实数根,求证：

（1） 方程02qpxx有两个不相等的实数根。 （2） 设方程02qpxx的两个实数根是21,xx，若21xx，则3221xx。

三 小结

由学生总结一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系的应用类型及解题过程中应注意的问题。

a 一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系。

－ 1 － 一元二次方程根的判别式的应用

1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2－4ac。

定理1 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＞0方程有两个不等实数根.

定理2 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=0方程有两个相等实数根.

定理3 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＜0方程没有实数根.

注意：（1）再次强调：根的判别式是指Δ=b2－4ac。（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。(3)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2－4ac≥0切勿丢掉等号。(4)根的判别式b2－4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0.

一、不解一元二次方程，判断根的情况

例1．不解方程，判断下列方程的根的情况：

(1)2x2+3x－4=0 (2)ax2+bx=0(a≠0).

练习1下列方程中，有两个不等实数根的是（ ）

A．238xx B．2510xx

C．271470xx D．2753xxx

二、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围

例2．k的何值时？关于x的一元二次方程x2－4x+k－5=0，（1）有两个不相等的实数根；

（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根.

练习 1当m为何值时，关于x的一元二次方程02142mxx有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？

－ 2 － 2已知关于x的一元二次方程21210kxx有两个不相同的实数根，则k的取值范围是

3已知关于x的方程21210kxx有实数根，则k的取值范围是

三、证明字母系数方程有实数根或无实数根

例3．求证方程(m2+1)x2－2mx+(m2+4)=0没有实数根。

一元二次方程的根的判别式

教学目标

1、知识与技能：了解一元二次方程根的判别式的意义，理解为什么能根据它判断方程根的情况；能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根以及两个实数根是否相等。

2、过程与方法：经历一元二次方程根的判别式的意义及作用的探究过程，体会分类讨论和转化的思想方法，感受数学思想的严密性与方法的灵活性。

3、情感态度与价值观：通过对根的判别式的意义及作用的探究，培养对科学的探索精神和严谨的治学态度。

教学重点和难点

教学重点：用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等

教学难点：弄懂为什么可以用判别式判别一元二次方程根的情况；突破难点的关键在于结合平方根的性质理解求根公式。

教学过程

一、创设情境，提出问题

1、你能说出我们共学过哪几种解一元二次方程的方法吗？

2、能力展示：分组比赛解方程

（1）x2+4=4x ；（2）x2+2x=3 ；（3）x2-x+2=0 。

（待学生做完后，教师点评。（1）x1 = x2 = 2 ；（2）x 1 = 1 ，x2 = -3 ；（3）无实数根。)

3、发现问题

观察上面三个方程的根的情况，你有什么发现？

（学生观察得出：三个方程的根的情况是不同的，其中（1）有两个相等的实数根，（2）有两个不相等的实数根，（3）没有实数根）

4、提出问题

教师引导学生思考上述方程根的情况不同的原因，尝试提出下列问题：

一般的，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？它何时没有实数根？（板书课题，出示学习目标）

学习目标： 1、知道什么叫一元二次方程的根的判别式，理解为什么能根据它来判断方程根的情况；

2、能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等；

3、体会分类思想、转化思想的应用。

二、探究新知

1、一元二次方程的根的判别式

活动1 学生自学，初步感悟