一元二次方程根的判别式课件

乐学教育学员个性化教学辅导教案

学科:数学 任课教师： 叶老师 授课时间：2016年 9 月 10 日(星期 六 )

姓名 李欣珂 年级

九

性别 女 教材版本 华师大 课时

教学

内容

提纲 本次课知识点 一元二次方程根的判别式

本次课重点：

本次课难点

本次课的考点

本次课所学习的方法和能力

课前

检查 作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□

建议：

签字 教学组长签字：

本次课授课内容

1. 用直接开平方法解一元二次方程

230x 2(1)40x 22(1)(21)xx

2、用因式分解法解一元二次方程

02xx 0322xx 3632xx

3、用配方法解一元二次方程

2312210xx (2)(3)1xx 2(1)(1)12xx

4、用公式法解一元二次方程 24410xx 25(1)70xx 22220xx

(1)说说你对解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程的认识

(消元、降次、化归的思想)

(2)三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：

联系①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次．

②公式法是由配方法推导而得到．

③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．

区别：①配方法要先配方，再开方求根．

②公式法直接利用公式求根．

③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，󰀀再分别使各一次因式等于0

一元二次方程根的判别式

如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．

一元二次方程根的判别式与根与系数的关系

〖知识点〗：一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理

〖教学要求〗：

1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；

2.掌握韦达定理及其简单的应用；

3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；

4.会应用一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系分析解决一些简单的综合性问题。

内容分析

1.一元二次方程的根的判别式

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△＝b2-4ac

当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；

当△＝0时，方程有两个相等的实数根，

当△＜0时，方程没有实数根．

2.一元二次方程的根与系数的关系

(1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么abxx21，acxx21

(2)如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P，x1x2=q x1x2=q

(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0．

x2-(x1+x2)x+x1x2=0．

3.二次三项式的因式分解(公式法)

在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是x1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．

〖考查重点与常见题型〗

1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（ ）

（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根

（C）没有实数根 （D）不能确定

一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系习题课

教学目标

1 巩固复习一元二次方程根的判别式及根与系数的关系式。

2 熟练运用一元二次方程程根的判别式及根与系数的关系式解决相关问题。

2 培养学生观察分析、综合推理的能力。

教学重点

灵活运用一元二次方程程根的判别式及根与系数的关系式解决问题。

教学过程

一 复习提问：

1 关于x的一元二次方程的一般式：)0(02acbxax

2 )0(02acbxax 的根的判别式用符号“△”表示。△=acb42

△>0 方程有两个不相等的实数根；

△=0方程有两个相等的实数根；

△<0方程没有实数根。

3 设一元二次方程)0(02acbxax的两根1x，2x

ac2x1 x,ab2x1x

二 一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系式应用举例

基本应用

例1 请同学 观察方程04322xx得出结论或提出问题。（师生共同完成）

例2 请同学给方程0322mxx加一个条件确定m的值或m的取值范围。

例3 在一元二次方程022mnxx中，若m和n可在1，2，3，4，5，6中取值，请同学确定有实数根的方程。

综合应用

例4 讨论方程04)1(4)1(22xmxm的根的情况并根据下列条件确定m的

值。（1）两实数根互为倒数，（2）两实数根互为相反数，（3）两实数根中有一根为1。

例5 已知关于x的一元二次方程)0(056252pqpxx有两个相等的实数根,求证：

（1） 方程02qpxx有两个不相等的实数根。 （2） 设方程02qpxx的两个实数根是21,xx，若21xx，则3221xx。

三 小结

由学生总结一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系的应用类型及解题过程中应注意的问题。

a 一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系。

一元二次方程根的判别式

一、知识要点：

1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。

Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。

Δ=0时，方程有两个相等的实数根。

Δ<0时，方程没有实数根。

以上定理也可以逆向应用。在应用判别式之前，要把方程化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。

注意：（1）根的判别式是指Δ=b2-4ac，不是Δ= ，（2）使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式。

2.根的判别式有以下应用：

①不解一元二次方程，判断根的情况。

②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。

③证明字母系数方程有实数根或无实数根。

注意：

①如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0，切勿丢掉等号。

②根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0.

二、例题精讲： 例1．不解方程，判断下列方程的根的情况：

(1)2x2+3x-4=0 (2)3x2+2=2x

(3) x2+1=x (4)ax2+bx=0(a≠0)

(5)ax2+c=0(a≠0)

分析；一元二次方程的根的情况是由Δ=b2-4ac的符号决定的，所以，在判断一元二次方程根的情况时，应想尽办法判断出“Δ”的符号，然后根据判别式定理判定根的情况。尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“Δ”化成完全平方式或完全平方式加上（或减去）一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“Δ”的符号，从而决定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论。

解：(1) 2x2+3x-4=0

a=2, b=3, c=-4,

∵Δ=b2-4ac

=32-4×2×(-4)=41>0

∴方程有两个不相等的实数根。