konig 定理

e and All ts in their being ar X&Z专题之切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段

1切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

以及与圆有关的比例线段

［学习目标］

1.切线长概念

切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，

具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

2.切线长定理

对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆

上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经

过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过

这点向圆引的两条切线所夹的角。

3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）

4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

7.与圆有关的比例线段

定理 图形已知结论证法

相交弦定

理

⊙O中，AB、CD为弦，

交于P.PA·PB＝PC·PD.连结AC、BD，证：△

APC∽△DPB.

相交弦定

理的推论

⊙O中，AB为直径，

CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB.用相交弦定理.

t tie and All things in their being are good for sometX&Z专题之切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段

2切割线定

理

⊙O中，PT切⊙O于T，

割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△

PTB∽△PAT

切割线定

理推论

PB、PD为⊙O的两条割

NOIP提⾼组CSP-S复赛需掌握的算法

1、排序算法（快排、选择、冒泡、堆排序、⼆叉排序树、桶排序）

2、DFS/BFS 也就是搜索算法，剪枝务必要学！ 学宽搜的时候学⼀下哈希表!

3、树

①遍历

②⼆叉树

③⼆叉排序树（查找、⽣成、删除）

④堆（⼆叉堆、左偏树、堆排序）

⑤Trie树4、图（图论建模）

①最⼩⽣成树

②最短路径

③计算图的传递闭包

④连通分量（其中要掌握并查集技术）

强连通分量tarjin⑤拓扑排序、关键路径

⑥哈密尔顿环

⑦欧拉回路（USACO 3.3 题1 Fence）

⑧Bell-man Ford、SPFA（能解决负权回路）（USACO 3.2 题6 Butter）

⑨⼆分图（匈⽛利算法）(USACO 4.2 题2 stall)5、动态规划（背包问题只是其中⼀种）

①线性动规

②区间动规

③树形动规

④图形动规6、分治（掌握了动规分治就好学了）

7、贪⼼

8、位运算（可以⽤来进⾏优化）

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补充：

时间复杂度（渐近时间复杂度的严格定义，NP问题，时间复杂度的分析⽅法，主定理）

排序算法（平⽅排序算法的应⽤，Shell排序，快速排序，归并排序，时间复杂度下界，三种线性时间排序，外部排序）

数论（整除，集合论，关系，素数，进位制，辗转相除，扩展的辗转相除，同余运算，解线性同余⽅程，中国剩余定理）

指针（链表，搜索判重，邻接表，开散列，⼆叉树的表⽰，多叉树的表⽰）

按位运算（and，or，xor，shl，shr，⼀些应⽤）

图论（图论模型的建⽴，平⾯图，欧拉公式与五⾊定理，求强连通分量，求割点和桥，欧拉回路，AOV问题，AOE问题，最⼩⽣成树的三种算法，最短路的三种算法，标号法，差分约束系统，验

证⼆分图，Konig定理，匈⽛利算法，KM算法，稳定婚姻系统，最⼤流算法，最⼩割最⼤流定理，最⼩费⽤最⼤流算法）

课程名称（中文）：矩阵论

课程名称（英文）： Matrix Theory

一）课程目的和任务：本课程是泛应用数学包括计算数学、运筹与控制特别是组合与图论、应用数学等专业的一门共同的基础课，主要讲授矩阵的分析性质和组合性质。课程的目的和任务是让学生掌握矩阵论的基本知识和思想方法、了解该领域的某些最新成果、通过利用数学其他分支的工具来解决矩阵问题以及用矩阵解决其他领域的问题加深对数学的认识并且增加数学修养。教材内容强调以下几方面的标准：1）重要，2）优雅，3）巧妙，4）有趣。矩阵论在科学与工程计算、控制论、系统论、信息论、信号处理、计算机科学、经济学、组合与图论、运筹学、统计学、概率论、微分方程、数学物理、动力系统等领域都有应用。矩阵论一方面是有用的工具，另一方面也是目前一个活跃的研究领域。

二）预备知识：线性代数，数学分析

三）教材及参考书目：

教材：Matrix Theory by X. Zhan, 讲义，已投稿到出版社

参考书目：1）《矩阵论》，詹兴致著，高等教育出版社，2008年

2）Matrix Analysis, R. Bhatia著, GTM 169, Springer, New York, 1997

四）讲授大纲（中英文）

第一章 预备知识

1）特殊矩阵类

2）特征多项式

3）谱映射定理

4）特征值和对角元

5）范数

6）矩阵乘方序列的收敛性

7）矩阵分解

8）数值范围

9）多项式的伙伴矩阵

10）广义逆

奈奎斯特定理与香农定理

1.奈奎斯特定理

奈奎斯特定理又称奈氏准则，它指出在理想低通（没有噪音、带宽有限）的信道中，极限码元传输率为2WBaud。其中，W是理想低通信道的带宽，单位是HZ。若用V表示每个码元离散电平的数目，则极限数据率为

理想低通信道下的极限数据传输率=2Wlog2 V （单位：b/s）

对于奈氏准则，可以得到以下结论：

1）在任何信道中，码元传输的速率是有上限的。若传输速率超过上限，就会出现严重的码间串扰问题（是指在接受段收到的信号的波形失去了码元之间的清晰界限），使接受段对码元的完全正确识别成为不可能。

2）信道的频带越宽（即能通过的信号高频分量越多），就可以用更高的速率进行码元的有效传输。

3）奈氏准则给出了码元传输速率的限制，但并没有对信息传输速率给出限制。

由于码元的传输速率受奈氏准则的制约，所以要提高数据的传输速率，就必须设法使每个码元能携带更多个比特的信号量，这就需要采用多元制的调制方法。

对于采样定理：在通信领域带宽是指信号最高频率和最低频率之差，单位是HZ。因此将模拟信号转换成数字信号时，假设原始信号中的最大频率为f,那么采样频率f(采样)必须大于等于最大频率f的两倍,才能保证采样后的数字信号完整保留原始模拟信号的信息。另外，采样信息又称为奈奎斯特定理。

2.香农定理

香农定理给出了带宽受限且有高斯白噪声干扰的信道的极限数据传输速率，当用此速率进行传输时，做到不产生误差。香农定理定义为

信道的极限数据传输速率=wlog2 (1+S/N) (单位：b/s)

式中，W为信道的带宽，S为信道所传输信号的平均功率，N为信道内部的高斯噪声功率，S/N为信噪比，即信号的平均功率和噪声的平均功率之比，信噪比（单位：dB）=10 log10 (S/N)(dB)，如，当S/N=10时，信噪比为10dB,而当S/N=1000时，信噪比为30dB。

对于香农定理，可以得出以下结论：