高考数学考试大纲解读专题11概率与统计理(2021年整理)

专题11 概率与统计

（六)统计

1．随机抽样

（1）理解随机抽样的必要性和重要性。

（2)会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.

2．用样本估计总体

(1）了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点。

（2）理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差.

（3）能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的解释。

（4)会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.

（5）会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.

3．变量的相关性

（1)会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系。

（2)了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。

（七）概率

1．事件与概率

（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别。

（2）了解两个互斥事件的概率加法公式.

2．古典概型

（1）理解古典概型及其概率计算公式。

（2）会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

3．随机数与几何概型

（1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率. （2）了解几何概型的意义。

（二十一）概率与统计

1．概率

(1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.

(2）理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用.

（3)了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题。

（4）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题。

（5）利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

2．统计案例

了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题.

（1）独立性检验

了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用.

（2）回归分析

了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用。

概率与统计作为高考的必考内容，在2018年的高考中预计仍会以“一小一大"的格局呈现.

对于概率部分，选择题或填空题中概率求值是高考命题的热点,以古典概型或几何概型为主线，考查随机事件的概率.解答题中则常与统计知识相结合，考查离散型随机变量的分布列与期望，需注意知识的灵活运用。

对于统计部分，选择题、填空题中以考查抽样方法和用样本估计总体为主，兼顾两个变量的线性相关；解答题中则重点考查求回归直线方程及独立性检验.

考向一 三种抽样方法

样题1 《九章算术》第三章“衰分"中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱,欲以钱数多少衰出之，问各几何?”其意为：“今有甲带了560钱，乙带了350钱,丙带了180钱，三人一起出关,共需要交关税100钱,依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出 钱(所得结果四舍五入,保留整数)。

【答案】17

考向二 频率分布直方图的应用

样题2 (2017新课标全国Ⅱ理科）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)．其频率分布直方图如下:

（1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件:“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率;

（2）填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99％的把握认为箱产量与养殖方法有关；

箱产量＜50kg 箱产量≥50kg

旧养殖法

新养殖法

（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0。01）．

附：,

(2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表：

箱产量 箱产量

旧养殖法 62 38

新养殖法 34 66

的观测值，

由于，故有的把握认为箱产量与养殖方法有关．

（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于的直方图面积为

,

箱产量低于的直方图面积为，

故新养殖法箱产量的中位数的估计值为．

22()()()()()nadbcKabcdacbd50kg50kg≥2K22006266343815.70510010096104k15.7056.63599%50kg0.0040.0200.04450.340.555kg0.0040.0200.0440.06850.680.50.50.345052.35(kg)0.068【名师点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时,应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．

考向三 线性回归方程及其应用

样题3 为了解某公司员工的年收入和年支出的关系，随机调查了5名员工，得到如下统计数据表：

收入x(万元） 8.0 8.6 10。0 11。4 12.0

支出y（万元） 4。1 5.2 6.1 6.7 7。9

根据上表可得回归直线方程，其中，，据此估计，该公司一名员工年收入为15万元时支出为

A．9.05万元 B．9。25万元

C．9。75万元 D．10.25万元

【答案】B

考向四 概率的求解

样题4 （2017新课标全国Ⅰ理科)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A． B． ˆˆˆybxaˆ0.65bˆˆaybx148C．

D．

【答案】B

【解析】设正方形边长为,则圆的半径为，正方形的面积为,圆的面积为.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是，选B．

秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例,由图可知其概率满足，故选B．

【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域(长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算。

样题5

如图,茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污染，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为

A． B．

C． D．

【答案】C 124a2a2a24a221248aap1142p()PA123545710考向五 离散型随机变量及其分布列、均值与方差

样题6 （2017新课标全国Ⅲ理科)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关。如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间［20,25）,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温 [10，15） [15,20） ［20，25） [25,30) ［30，35） [35，40）

天数 2 16 36 25 7 4

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元).当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值？

【名师点睛】离散型随机变量的分布列指出了随机变量X的取值以及取各值的概率；要理解两种特殊的概率分布—-两点分布与超几何分布，并善于灵活运用两性质:一是pi≥0(i＝1,2,…)；二是p1＋p2＋…＋pn＝1检验分布列的正误。

考向六 正态分布

样题7 已知随机变量服从正态分布,若，则等于

A． B．

C． D．

【答案】B 2,N(2)(6)0.15PP(24)P0.30.350.50.7

样题8 （2017新课标全国Ⅰ理科)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9。95 10.12 9.96 9.96 10.01 9。92 9。98

10.04

10.26 9.91 10。13 10。02 9.22 10.04 10。05

9.95

经计算得,，其中为抽取的第个零件的尺寸，．

用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和(精确到0。01）．

附：若随机变量服从正态分布，则,

,． 2(,)N(3,3)(1)PXX(3,3)16119.9716iixx16162221111()(16)0.2121616iiiisxxxxixi1,2,,16ixˆsˆˆˆˆˆ(3,3)Z2(,)N(33)0.997 4PZ160.997 40.959 20.0080.09