福建省晋江市2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案

福建省晋江市2016-2017学年高二下学期期中数学试卷（文）一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数（a∈R）是纯虚数，i是虚数单位，则a的值是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣22．下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上是减函数的为（）A．B．y=x2C．D．3）的值为（）3．设函数f（x）=，则f（1+log2A．B．C．D．124．如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是B．t的取值必定是3.15C．回归直线一定过点（4，5，3，5）D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨5．在平面直角坐标系xOy中，满足x2+y2≤1，x≥0，y≥0的点P（x，y）的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的点P（x，y，z）的集合对应的空间几何体的体积为（）A．B．C．D．6．有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误 D．非以上错误7．设a，b∈（0，+∞），则a+（）A．都不大于2 B．都不小于2C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于28．已知曲线C的参数方程为（t为参数），C在点（1，1）处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为（）A．ρcosθ+ρsinθ=2 B．ρcosθ﹣ρsinθ=2C ．ρcos θ+ρsin θ=D ．ρcos θ﹣ρsin θ=9．[]表示不超过的最大整数．若S 1=[]+[]+[]=3，S 2=[]+[]+[]+[]+[]=10，S 3=[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]=21， …，则S n =（ ）A ．n （n+2）B ．n （n+3）C ．（n+1）2﹣1D ．n （2n+1） 10．已知函数f （x ）=（x ﹣a ）（x ﹣b ）（其中a ＞b ），若f （x ）的图象如图所示，则函数g （x ）=a x +b 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11．定义在R 上的偶函数y=f （x ）在[0，+∞）上递减，且=0，则满足的x 的集合为（ ）A ．B ．C ．D ．12．偶函数f （x ）满足f （x ）=f （2﹣x ），且当x ∈[﹣1，0]时，f （x ）=cos ﹣1，若函数g （x ）=f （x ）﹣log a x 有且仅有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．（2，4）D ．（3，5）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．已知集合M={0，1，3}，N={x|x=3a ，a ∈M}，则M ∪N= ．14．函数f （x ）=的定义域为 ．15．在极坐标系中，点P的距离等于 ．16．已知函数f （x ）为奇函数，当x ＜0时，f （x ）=x 2﹣1，若f （a ）=﹣2，则a= ．三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S （单位：元）与空气质量指数API （记为ω）的关系式为：S=，试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？18．已知函数f （x ）=a ﹣是定义在（﹣1，1）上的奇函数．（1）求a 的值；（2）试判断函数f （x ）在（﹣1，1）上的单调性并证明； （3）若f （x ﹣1）+f （x ）＜0，求x 的取值集合．19．已知：sin 230°+sin 290°+sin 2150°=；sin25°+sin265°+sin2125°=；sin212°+sin272°+sin2132°=；通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给予的证明．20．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，A（3，），B（3，），圆C的方程为ρ=2cosθ．（1）求在平面直角坐标系xOy中圆C的标准方程；（2）已知P为圆C上的任意一点，求△ABP面积的最大值．21．已知函数f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．（1）若a=0，判断函数y=f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若存在实数a∈（1，2]使得关于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．福建省晋江市2016-2017学年高二下学期期中数学试卷（文）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数（a∈R）是纯虚数，i是虚数单位，则a的值是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再由已知条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解： ==，由复数（a∈R）是纯虚数，得，解得a=2．故选：A．2．下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上是减函数的为（）A．B．y=x2C．D．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】本题利用函数的单调性和奇偶性定义判断选项中的函数是否符合条件，得到本题结论．【解答】解：选项A，∵f（x）=，f（﹣x）==﹣f（x），∴y=是奇函数，不合条件；选项B，y=x2在（0，+∞）单调递增，不合条件；选项C，∵，f（﹣x）=，∴f（x）是偶函数，在区间（0，+∞）上是减函数，符合条件；选项D，∵，f（﹣x）=（）﹣x=2x，∴不是偶函数，不符合条件．故答案为：C ．3．设函数f （x ）=，则f （1+log 23）的值为（ ）A ．B ．C ．D ．12【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的性质，把x=1+log 23分别反复代入f （x ﹣1）直到x ≤0，再代入相应的函数解析式，从而求解；【解答】解：∵2＜1+log 23＜3， ∴﹣1＜1+log 23﹣3＜0，即f （1+log 23）=f[（1+log 23）﹣1）]=f （log 23） ∵log 23＞0f （log 23）=f （log 23﹣1），∵log 23﹣1＞0 ∴f （log 23﹣1）=f （log 23﹣2），∵log 23﹣2=log 2≤0，∴f （log 23﹣2）=f （log 2）=（）=2=，故选：C4．如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据，根据表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是B ．t 的取值必定是3.15C ．回归直线一定过点（4，5，3，5）D ．A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨 【考点】线性回归方程．【分析】先求出这组数据的，把代入线性回归方程，求出，即可得到结果．【解答】解：由题意， ==4.5，∵=0.7x+0.35，∴=0.7×4.5+0.35=3.5， ∴t=4×3.5﹣2.5﹣4﹣4.5=3， 故选：B ．5．在平面直角坐标系xOy中，满足x2+y2≤1，x≥0，y≥0的点P（x，y）的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的点P（x，y，z）的集合对应的空间几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】类比推理．【分析】类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的点P（x，y）的集合对应的空间几何体的体积为球的体积的，即可得出结论．【解答】解：类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的点P（x，y）的集合对应的空间几何体的体积为球的体积的，即=，故选：B．6．有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误 D．非以上错误【考点】进行简单的演绎推理．【分析】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及整数的，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“有些…”，不难得到结论．【解答】解：∵大前提的形式：“有些有理数是真分数”，不是全称命题，∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误，故选C．7．设a，b∈（0，+∞），则a+（）A．都不大于2 B．都不小于2C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2【考点】不等式比较大小．【分析】利用反证法证明，假设a+，b+都小于或等于2，然后找出矛盾，从而得到结论．【解答】解：假设a+，b+都小于或等于2，即a+≤2，b+≤2，将两式相加，得a++b+≤4，又因为a+≥2，b+≥2，两式相加，得a++b+≥4，与a++b+≤4，矛盾所以a+，b+至少有一个不小于2．故选D．8．已知曲线C的参数方程为（t为参数），C在点（1，1）处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为（）A．ρcosθ+ρsinθ=2 B．ρcosθ﹣ρsinθ=2C．ρcosθ+ρsinθ=D．ρcosθ﹣ρsinθ=【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】化参数方程与普通方程，求出圆的圆心与半径，求出切线的斜率，然后求解切线方程，转化为极坐标方程．【解答】解：因为曲线C的参数方程为（t为参数），所以其普通方程为x2+y2=2，即曲线C为以原点为圆心，为半径的圆．由于点（1，1）在圆上，且该圆过（1，1）点的半径的斜率为1，所以切线l的斜率为﹣1，其普通方程为x+y﹣2=0，化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=2．故选：A．9．[]表示不超过的最大整数．若S1=[]+[]+[]=3，S2=[]+[]+[]+[]+[]=10，S3=[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]=21，…，则Sn=（）A．n（n+2） B．n（n+3） C．（n+1）2﹣1 D．n（2n+1）【考点】归纳推理．【分析】先根据条件，观察S1，S2，S3…的起始数、项数的规律，再根据规律归纳推理，得到Sn的起始数、项数，从而求出Sn．【解答】解：第一个等式，起始数为：1，项数为：3=4﹣1=22﹣12，S1=1×3；第二个等式，起始数为：2，项数为：5=9﹣4=32﹣22，S2=2×5；第三个等式，起始数为：3，项数为：7=16﹣9═42﹣32，S3=3×7；…第n个等式，起始数为：n，项数为：（n+1）2﹣n2=2n+1，Sn=n（2n+1），（n∈N*）．故选：D．10．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象大致为（）A．B． C．D．【考点】指数函数的图象变换；函数的零点与方程根的关系．【分析】根据题意，易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b，又由函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；根据函数图象变化的规律可得g （x）=a X+b的单调性即与y轴交点的位置，分析选项可得答案．【解答】解：由二次方程的解法易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b；根据函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，即函数图象与x轴交点的横坐标；观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；在函数g（x）=a x+b可得，由0＜a＜1可得其是减函数，又由b＜﹣1可得其与y轴交点的坐标在x轴的下方；分析选项可得A符合这两点，BCD均不满足；故选A．11．定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）上递减，且=0，则满足的x的集合为（）A．B．C．D．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由于函数y=f（x）为R上的偶函数，所以f（x）=f（|x|），又由于y=f（x）在[0，+∞）上单调递减，所以要求的⇔⇔，然后解出含绝对值的对数不等式即可．【解答】解：因为定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）上递减，且=0，则满足⇔⇔⇔或⇒0＜x＜或x＞2故选D．12．偶函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=cos﹣1，若函数g（x）=f（x）x有且仅有三个零点，则实数a的取值范围是（）﹣logaA．B．C．（2，4）D．（3，5）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可得，函数f（x）的图象既关于y轴对称又关于x=1对称，函数f（x）是周期为2，函数y=f（x）的图象x有的图象有且仅有3个交点，数形结合可得，由此求得a的范围．和函数y=loga【解答】解：∵偶函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），故函数的图象既关于y轴对称又关于x=1对称，故函数f（x）是周期为2．由当x∈[﹣1，0]时，f（x）=cos﹣1，可得函数f（x）的图象，如图所示：由题意可得，函数y=f（x）的图象和函数y=logx有的图象有且仅有3个交点，a故有，求得＜a＜，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．已知集合M={0，1，3}，N={x|x=3a，a∈M}，则M∪N= {0，1，3，9} ．【考点】并集及其运算．【分析】由题意求出集合N，然后直接利用并集运算得答案．【解答】解：∵M={0，1，3}，∴N={x|x=3a，a∈M}={0，3，9}，则M∪N={0，1，3，9，}．故答案为：{0，1，3，9}．14．函数f（x）=的定义域为（﹣2，1] ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的定义可知1﹣x≥0且根据对数函数定义得x+2＞0，联立求出解集即可．【解答】解：因为f（x）=，根据二次根式定义得1﹣x≥0①，根据对数函数定义得x+2＞0②联立①②解得：﹣2＜x≤1故答案为（﹣2，1]15．在极坐标系中，点P的距离等于．【考点】点到直线的距离公式；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】点的极坐标和直角坐标的互化，极坐标方程化为直角坐标方程，然后用点到直线的距离来解．【解答】解：在极坐标系中，点P化为直角坐标为，化为，到的距离，即为P的距离，所以距离为．故答案为：．16．已知函数f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）=x2﹣1，若f（a）=﹣2，则a= ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用f（a）=﹣2，分类讨论，即可求出a的值．【解答】解：∵f（a）=﹣2，∴若a＜0，则a2﹣1=﹣2，方程无解；若a＞0，则﹣a＜0，依题意，f（﹣a）=（﹣a）2﹣1=2，∴a=．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．S=，试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）由200＜S ≤600，得150＜ω≤250，频数为39，即可求出概率；（2）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论．【解答】解：（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元”为事件A… 由200＜S ≤600，得150＜ω≤250，频数为39，…∴P （A ）=…．…．K 2的观测值K 2=≈4.575＞3.841…．所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．…．18．已知函数f （x ）=a ﹣是定义在（﹣1，1）上的奇函数．（1）求a 的值；（2）试判断函数f （x ）在（﹣1，1）上的单调性并证明；（3）若f （x ﹣1）+f （x ）＜0，求x 的取值集合．【考点】函数单调性的性质．【分析】（1）根据题意，f （x ）为奇函数且在原点有定义，从而有f （0）=0，这样便可解出a 的值；（2）根据反比例函数、指数函数及复合函数的单调性便可判断f （x ）在（﹣1，1）上为增函数，根据增函数的定义：设任意的x 1，x 2∈（﹣1，1），且x 1＜x 2，然后作差，通分，根据指数函数的单调性及值域便可得出f （x 1）＜f （x 2），这样便得出f （x ）在（﹣1，1）上为增函数；（3）根f （x ）为奇函数便可由f （x ﹣1）+f （x ）＜0得到f （x ﹣1）＜f （﹣x ），再由f （x ）在定义域（﹣1，1）上为增函数便可得到，从而解该不等式组即可得出x 的取值范围．【解答】解：（1）由题意得；（2）由（1）可知，函数f （x ）在区间（﹣1，1）上为增函数；证明如下：设﹣1＜x 1＜x 2＜1，则：f （x 1）﹣f （x 2）===； ∵﹣1＜x 1＜x 2＜1；∴；∴f （x 1）＜f （x 2）；∴f （x ）在（﹣1，1）上为增函数；（3）f （x ﹣1）+f （x ）＜0⇔f （x ﹣1）＜﹣f （x ）因为f （x ）为奇函数，所以﹣f （x ）=f （﹣x ）；则不等式可变形为f （x ﹣1）＜f （﹣x ），因为f （x ）在（﹣1，1）上为增函数；所以；解得；∴x 的取值集合为．19．已知：sin 230°+sin 290°+sin 2150°=；sin25°+sin265°+sin2125°=；sin212°+sin272°+sin2132°=；通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给予的证明．【考点】归纳推理．【分析】通过所给的等式归纳出一般形式，利用二倍角的余弦公式将等式的左边降幂求出左边的值，即得到证明．【解答】解：一般形式：sin2α+sin2（α+60°）+sin2（α+120°）=…证明左边=…==﹣sin2αsin240°]…=…==右边∴原式得证…（将一般形式写成 sin2（α﹣60°）+sin2α+sin2（α+60°）=，sin2（α﹣240°）+sin2（α﹣120°）+sin2α=等均正确，其证明过程可参照给分．）20．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，A（3，），B（3，），圆C的方程为ρ=2cosθ．（1）求在平面直角坐标系xOy中圆C的标准方程；（2）已知P为圆C上的任意一点，求△ABP面积的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，可得圆的直角坐标方程；（2）求得A，B的直角坐标，即可得到直线AB的方程；求得AB的距离和圆C和半径，求得圆C到直线AB 的距离，由圆C上的点到直线AB的最大距离为d+r，运用三角形的面积公式，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由ρ=2cosθ，可得：ρ2=2ρcosθ，所以x2+y2=2x故在平面直角坐标系中圆的标准方程为：（x﹣1）2+y2=1 …（2）在直角坐标系中A（0，3），B（，）所以|AB|==3，直线AB的方程为： x+y=3所以圆心到直线AB的距离d==，又圆C的半径为1，所以圆C上的点到直线AB的最大距离为+1故△ABP面积的最大值为S==…21．已知函数f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．（1）若a=0，判断函数y=f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若存在实数a∈（1，2]使得关于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）若a=0，根据函数奇偶性的定义即可判断函数y=f（x）的奇偶性；（2）根据函数单调性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求实数a的取值范围；（3）根据方程有三个不同的实数根，建立条件关系即可得到结论．【解答】解：（1）函数y=f（x）为奇函数．当a=0时，f（x）=x|x|+2x，∴f（﹣x）=﹣x|x|﹣2x=﹣f（x），∴函数y=f（x）为奇函数；（2）f（x）=，当x≥2a时，f（x）的对称轴为：x=a﹣1；当x＜2a时，y=f（x）的对称轴为：x=a+1；∴当a﹣1≤2a≤a+1时，f（x）在R上是增函数，即﹣1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数；（3）方程f（x）﹣tf（2a）=0的解即为方程f（x）=tf（2a）的解．由a∈（1，2]知2a＞a+1＞a﹣1，∴y=f（x）在（﹣∞，a+1）上单调增，在（a+1，2a）上单调减，在（2a，+∞）上单调增，∴当f（2a）＜tf（2a）＜f（a+1）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根；即4a＜t•4a＜（a+1）2，∵a＞1，∴，设，∵存在a∈（1，2]使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，，∴1＜t＜h（a）max又可证在（1，2]上单调增=，∴h（a）max∴1＜t＜．。

高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）设全集U=R，集合A、B满足如图所示的关系，且A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，阴影部分表示的集合为{x|﹣1≤x＜1}，则集合B可以是（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|1＜x≤3}C．{x|1≤x＜3}D．{x|1≤x≤3} 2．（5分）i是虚数单位，复数的共轭复数是（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．2﹣i D．2+i3．（5分）演绎推理“因为对数函数y=log a x（a＞0且a≠1）是增函数，而函数是对数函数，所以是增函数”所得结论错误的原因是（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误 D．大前提和小前提都错误4．（5分）用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除5．（5分）若P=+，Q=+（a≥0），则P，Q的大小关系是（）A．P＞Q B．P=QC．P＜Q D．由a的取值确定6．（5分）对于“a，b，c”是不全相等的正数，给出下列判断：①（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≠0；②a=b与b=c及a=c中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立，其中判断正确的个数是（）A．0个B．1个 C．2个 D．3个7．（5分）如图阴影部分的面积是（）A．e+B．e+﹣1 C．e+﹣2 D．e﹣8．（5分）函数y=﹣2sinx 的图象大致是（）A．B． C. D．9．（5分）用数学归纳法证明不等式++…+＞（n＞1，n∈N*）的过程中，从n=k到n=k+1时左边需增加的代数式是（）A． B．﹣C．+D．10．（5分）已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则=（）A．1 B．2 C．3 D．411．（5分）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（）A．∀x∈R，f（x）≤f（x0）B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点12．（5分）已知函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）•f（30.3），b=（logπ3）•f（logπ3），c=（log3）•f（log3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．13．（5分）变速直线运动的物体的速度为v（t）=1﹣t2（m/s）（其中t为时间，单位：s），则它在前1s内所走过的路程为m．14．（5分）若函数f（x）=mx2﹣2x+3只有一个零点，则实数m的取值是．15．（5分）已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是．16．（5分）图1是一个由27个棱长为1的小正方体组成的魔方，图2是由棱长为1的小正方体组成的5种简单组合体．如果每种组合体的个数都有7个，现从总共35个组合体中选出若干组合体，使它们恰好可以拼成1个图1所示的魔方，则所需组合体的序号和相应的个数是．（提示回答形式，如2个①和3个②，只需写出一个正确答案）三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请在答题卡各自题目的答题区域内作答．17．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点为F（﹣2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值．18．（12分）某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t元（t为常数，且2≤t≤5），设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元（25≤x≤40），根据市场调查，销售量q与e x成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．（Ⅰ）求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式；（Ⅱ）若t=5，当每公斤蘑菇的出厂价x为多少元时，该工厂的利润y最大，并求最大值．19．（12分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°（4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos48°（5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos55°（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．20．（12分）已知函数f（x）=ln（1+x）﹣x+x2（k≥0）．（Ⅰ）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．21．（12分）已知函数f（x）=e1﹣x（﹣a+cosx）（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）存在单调递减区间，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=0，证明：，总有f（﹣x﹣1）+2f'（x）•cos（x+1）＞0．选修4-4；坐标系与参数方程22．（10分）平面直角坐标系xOy，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和圆C的极坐标方程；（2）设直线l和圆C相交于A，B两点，求弦AB与其所对的劣弧围成的图形的面积．选修4-5；不等式选讲23．设f（x）=|2x﹣1|+|1﹣x|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤3x+4；（Ⅱ）对任意的x，不等式f（x）≥（m2﹣3m+3）•|x|恒成立，求实数m的取值范围．高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）设全集U=R，集合A、B满足如图所示的关系，且A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，阴影部分表示的集合为{x|﹣1≤x＜1}，则集合B可以是（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|1＜x≤3}C．{x|1≤x＜3}D．{x|1≤x≤3}【分析】求出阴影部分对应的结合，结合集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：阴影部分为集合A∩∁U B，A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，若B={x|1＜x＜3}，则∁U B={x|x≥3或x≤1}，则A∩∁U B={x|﹣1≤x≤1或x=3}，不满足条件．若B={x|1＜x≤3}，则∁U B={x|x＞3或x≤1}，则A∩∁U B={x|﹣1≤x≤1}，不满足条件．若B={x|1≤x＜3}，则∁U B={x|x≥3或x＜1}，则A∩∁U B={x|﹣1≤x＜1或x=3}，不满足条件．若B={x|1≤x≤3}，则∁U B={x|x＞3或x＜1}，则A∩∁U B={x|﹣1≤x＜1}，满足条件．故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据Venn图表示集合关系是解决本题的关键．2．（5分）i是虚数单位，复数的共轭复数是（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．2﹣i D．2+i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵=，∴复数的共轭复数是2+i．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题．3．（5分）演绎推理“因为对数函数y=log a x（a＞0且a≠1）是增函数，而函数是对数函数，所以是增函数”所得结论错误的原因是（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．大前提和小前提都错误【分析】对于对数函数来说，底数的范围不同，则函数的增减性不同，当a＞1时，函数是一个增函数，当0＜a＜1时，对数函数是一个减函数，对数函数y=log a x （a＞0且a≠1）是增函数这个大前提是错误的．【解答】解：∵当a＞1时，函数y=log a x（a＞0且a≠1）是一个增函数，当0＜a＜1时，此函数是一个减函数∴y=log a x（a＞0且a≠1）是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．故选A．【点评】本题考查演绎推理的基本方法，考查对数函数的单调性，是一个基础题，解题的关键是理解函数的单调性，分析出大前提是错误的．4．（5分）用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除【分析】“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设a，b都不能被3整除．【解答】解：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设a，b都不能被3整除，故选B．【点评】本题考查用反证法证明命题，应假设命题的反面成立．5．（5分）若P=+，Q=+（a≥0），则P，Q的大小关系是（）A．P＞Q B．P=QC．P＜Q D．由a的取值确定【分析】本题考查的知识点是证明的方法，观察待证明的两个式子P=+，Q=+，很难找到由已知到未知的切入点，故我们可以用分析法来证明．【解答】解：∵要证P＜Q，只要证P2＜Q2，只要证：2a+7+2＜2a+7+2，只要证：a2+7a＜a2+7a+12，只要证：0＜12，∵0＜12成立，∴P＜Q成立．故选C【点评】分析法──通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法，也称为因果分析，从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．6．（5分）对于“a，b，c”是不全相等的正数，给出下列判断：①（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≠0；②a=b与b=c及a=c中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立，其中判断正确的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】“a，b，c”是不全相等的正数是对“a，b，c”是全相等的正数的否定，从而对三个命题依次判断即可．【解答】解：∵“a，b，c”是不全相等的正数，∴①（a﹣b）2，（b﹣c）2，（c﹣a）2三个数中至少有两个是正值，故（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＞0，故正确；②当a，b，c全不相等，如a=1，b=2，c=3时，故错误；③由a=1，b=2，c=3知，a≠c，b≠c，a≠b可以同时成立，故错误；故仅有①正确；故选B．【点评】本题考查了数学中的否定，注意数学中的否定与俗语中的不同，属于中档题．7．（5分）如图阴影部分的面积是（）A．e+B．e+﹣1 C．e+﹣2 D．e﹣【分析】利用定积分可得阴影部分的面积．【解答】解：利用定积分可得阴影部分的面积S==（e x+e﹣x）=e+﹣2．故选：C．【点评】本题考查利用定积分求阴影部分的面积，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8．（5分）函数y=﹣2sinx 的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的解析式，我们根据定义在R上的奇函数图象必要原点可以排除A，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个答案，即可找到满足条件的结论．【解答】解：当x=0时，y=0﹣2sin0=0故函数图象过原点，可排除A又∵y'=故函数的单调区间呈周期性变化分析四个答案，只有C满足要求故选C【点评】本题考查的知识点是函数的图象，在分析非基本函数图象的形状时，特殊点、单调性、奇偶性是我们经常用的方法．9．（5分）用数学归纳法证明不等式++…+＞（n＞1，n∈N*）的过程中，从n=k到n=k+1时左边需增加的代数式是（）A．B．﹣C．+D．【分析】求出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．【解答】解：当n=k时，左边的代数式为++…+，当n=k+1时，左边的代数式为++…+++，故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：+﹣=﹣．故选B．【点评】本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从n=k 到n=k+1项的变化．10．（5分）已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则=（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】类比平面几何结论，推广到空间，则有结论：“=3”．设正四面体ABCD 边长为1，易求得AM=，又O到四面体各面的距离都相等，所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r=，可求得r即OM，从而可验证结果的正确性．【解答】解：推广到空间，则有结论：“=3”．设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=，又O到四面体各面的距离都相等，所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r=，可求得r即OM=，所以AO=AM﹣OM=，所以=3故答案为：3【点评】本题考查类比推理、几何体的结构特征、体积法等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力、化归与转化思想．属于基础题．11．（5分）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（）A．∀x∈R，f（x）≤f（x0）B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点【分析】A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，故不正确；B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点；C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点；D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f （﹣x）的极小值点．【解答】解：对于A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故A错误；对于B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点，故B错误；对于C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点，故C错误；对于D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点，故D正确．故选：D．【点评】本题考查函数的极值，考查函数图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．（5分）已知函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）•f（30.3），b=（logπ3）•f（logπ3），c=（log3）•f（log3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b【分析】由“当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立”知xf（x）是减函数，要得到a，b，c的大小关系，只要比较30.3，，的大小即可．【解答】解：∵当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立即：（xf（x））′＜0，∴xf（x）在（﹣∞，0）上是减函数．又∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，∴函数y=f（x）是定义在R上的奇函数∴xf（x）是定义在R上的偶函数∴xf（x）在（0，+∞）上是增函数．又∵30.3＞1＞＞0＞=﹣2，2=﹣＞30.3＞1＞＞0．∴（﹣）•f（﹣）＞30.3•f（30.3）＞（）•f（）即（）•f（）＞30.3•f（30.3）＞（）•f（）即：c＞a＞b故选C．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性以及函数的单调性，同时考查了分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．13．（5分）变速直线运动的物体的速度为v（t）=1﹣t2（m/s）（其中t为时间，单位：s），则它在前1s内所走过的路程为m．【分析】根据题意，由定积分的物理意义，该物体在前1s内所走过的路程为v （t）dt，由定积分计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，由物体的速度为v（t）=1﹣t2m/s，由定积分的物理意义，该物体在前1s内所走过的路程为v（t）dt，则v（t）dt=（1﹣t2）dt=（t﹣）|01=，故答案为：．【点评】本题考查定积分的物理意义以及定积分的计算，关键是理解积分与导数的关系．14．（5分）若函数f（x）=mx2﹣2x+3只有一个零点，则实数m的取值是0或．【分析】由题意得m=0，或，由此解得m的值．【解答】解：由题意得m=0，或，解得m=0或m=．答案：0或．【点评】本题主要考查二次函数的性质，函数的零点的定义，属于基础题．15．（5分）已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是．【分析】先求函数的导数，因为函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调函数，所以在（﹣∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，再利用一元二次不等式的解得到a的取值范围即可．【解答】解：f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1的导数为f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1，∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调函数，∴在（﹣∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，即﹣3x2+2ax﹣1≤0恒成立，∴△=4a2﹣12≤0，解得﹣≤a≤∴实数a的取值范围是故答案为【点评】本题主要考查函数的导数与单调区间的关系，以及恒成立问题的解法，属于导数的应用．16．（5分）图1是一个由27个棱长为1的小正方体组成的魔方，图2是由棱长为1的小正方体组成的5种简单组合体．如果每种组合体的个数都有7个，现从总共35个组合体中选出若干组合体，使它们恰好可以拼成1个图1所示的魔方，则所需组合体的序号和相应的个数是4个③和1个⑤．（提示回答形式，如2个①和3个②，只需写出一个正确答案）【分析】利用图1是一个由27个棱长为1的小正方体组成的魔方，图2是由棱长为1的小正方体组成的5种简单组合体，即可得出结论．【解答】解：根据图1是一个由27个棱长为1的小正方体组成的魔方，图2是由棱长为1的小正方体组成的5种简单组合体，可得4个③和1个⑤可组成魔方．故答案为：4个③和1个⑤【点评】本题考查简单空间图形的三视图，比较基础．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请在答题卡各自题目的答题区域内作答．17．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点为F（﹣2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值．【分析】（1）直接由已知列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b的值，则椭圆方程可求；（2）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得线段AB的中点M的坐标，代入圆的方程求得m的值．【解答】解：（1）由题意椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点为F（﹣2，0），得a2=b2+c2．c=2，可得a=2，解得b=2，∴椭圆C的方程为：．（2）设点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），由，消去y得，3x2+4mx+2m2﹣8=0，△16m2﹣12（2m2﹣8）=96﹣8m2＞0，∴﹣2＜m＜2，∵x0=（x1+x2）=﹣m，∴y0=x0+m=m，∵点M（x0，y0）在圆x2+y2=1上，∴m2+m2=1，∴m=±．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．18．（12分）某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t元（t为常数，且2≤t≤5），设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元（25≤x≤40），根据市场调查，销售量q与e x成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．（Ⅰ）求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式；（Ⅱ）若t=5，当每公斤蘑菇的出厂价x为多少元时，该工厂的利润y最大，并求最大值．【分析】（I）由条件“日销售量与e x（e为自然对数的底数）成反比例”可设日销量为，根据日利润y=每件的利润×件数，建立函数关系式，注意实际问题自变量的范围．（II）先对函数进行求导，求出极值点，讨论极值是否在25≤x≤40范围内，利用单调性求出函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）设日销量，∴k=100e30，∴日销量∴．（Ⅱ）当t=5时，由y'≥0得x≤26，由y'≤0得x≥26∴y在[25，26]上单调递增，在[26，40]上单调递减．∴当x=26时，y max=100e4．当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为100e4元．【点评】解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情境”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系抽象成数学问题，在数学领域寻找适当的方法解决，再返回到实际问题中加以说明．19．（12分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°（4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos48°（5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos55°（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【分析】（Ⅰ）选择（2），由sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣sin30°=，可得这个常数的值．（Ⅱ）推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=．证明方法一：直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果．证明方法二：利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα），即1﹣+cos2α+sin2α﹣sin2α﹣，化简可得结果．【解答】解：选择（2），计算如下：sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣sin30°=，故这个常数为．（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=．证明：（方法一）sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=sin2α+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=sin2α+cos2α+sin2α+s inαcosα﹣sinαcosα﹣sin2α=sin2α+cos2α=．（方法二）sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=1﹣+（cos60°cos2α+sin60°sin2α）﹣sin2α﹣sin2α=1﹣+cos2α+sin2α﹣sin2α﹣=1﹣﹣+=．【点评】本题主要考查两角差的余弦公式，二倍角公式及半角公式的应用，考查归纳推理以及计算能力，属于中档题．20．（12分）已知函数f（x）=ln（1+x）﹣x+x2（k≥0）．（Ⅰ）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．【分析】（I）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，然后求出切点坐标，再用点斜式写出直线方程，最后化简成一般式即可；（II）先求出导函数f'（x），讨论k=0，0＜k＜1，k=1，k＞1四种情形，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可．【解答】解：（I）当k=2时，由于所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．即3x﹣2y+2ln2﹣3=0（II）f'（x）=﹣1+kx（x＞﹣1）当k=0时，因此在区间（﹣1，0）上，f'（x）＞0；在区间（0，+∞）上，f'（x）＜0；所以f（x）的单调递增区间为（﹣1，0），单调递减区间为（0，+∞）；当0＜k＜1时，，得；因此，在区间（﹣1，0）和上，f'（x）＞0；在区间上，f'（x）＜0；即函数f（x）的单调递增区间为（﹣1，0）和，单调递减区间为（0，）；当k=1时，．f（x）的递增区间为（﹣1，+∞）当k＞1时，由，得；因此，在区间和（0，+∞）上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0；即函数f（x）的单调递增区间为和（0，+∞），单调递减区间为．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论的数学思想，属于基础题．21．（12分）已知函数f（x）=e1﹣x（﹣a+cosx）（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）存在单调递减区间，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=0，证明：，总有f（﹣x﹣1）+2f'（x）•cos（x+1）＞0．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，问题转化为存在取值区间，求出a的范围即可；（Ⅱ）问题转化为证对恒成立，首先令g（x）=e2x+1﹣（2x+2），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意得f'（x）=﹣e1﹣x（﹣a+sinx+cosx），…（1分）若函数f（x）存在单调减区间，则f'（x）=﹣e1﹣x（﹣a+sinx+cosx）≤0…（2分）即﹣a+sinx+cosx≥0存在取值区间，即存在取值区间…（4分）所以．…（5分）（Ⅱ）当a=0时，f（x）=e1﹣x cosx，f'（x）=﹣e1﹣x（sinx+cosx），…（6分）由有，从而cos（x+1）＞0，要证原不等式成立，只要证对恒成立，…（7分）首先令g（x）=e2x+1﹣（2x+2），由g'（x）=2e2x+1﹣2，可知，当时g（x）单调递增，当时g（x）单调递减，所以，有e2x+1≥2x+2…（9分）构造函数，，因为=，可见，在x∈[﹣1，0]时，h'（x）≤0，即h（x）在[﹣1，0]上是减函数，在时，h'（x）＞0，即h（x）在上是增函数，所以，在上，h（x）min=h（0）=0，所以g（x）≥0．所以，，等号成立当且仅当x=0时，…（11分）综上：，由于取等条件不同，故，所以原不等式成立．…（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，考查函数恒成立问题，是一道综合题．选修4-4；坐标系与参数方程22．（10分）平面直角坐标系xOy，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和圆C的极坐标方程；（2）设直线l和圆C相交于A，B两点，求弦AB与其所对的劣弧围成的图形的面积．【分析】（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得直线l 的普通方程．将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式可得极坐标方程．圆C 的参数方程为（θ为参数），利用cos 2θ+sin 2θ=1可得直角坐标方程，进而得到圆C 的极坐标方程．（2）联立，解得：A ，B ．再利用扇形与三角形的面积计算公式得出．【解答】解：（1）直线l 的参数方程为（t 为参数），消去参数t 直线l 的普通方程为﹣2=0．将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式可得：ρcosθ+ρsinθ﹣2=0． 化简得直线l 的方程为=1．圆C 的参数方程为（θ为参数），可得直角坐标方程：x 2+y 2=4，可得圆C 的极坐标方程为ρ=2．（2）由，解之得：A （2，0），B （2，）． ∴∠AOB=，∴S 扇形AOB ===． ∴S △AOB =|OA ||OB |sinα=．∴S=S 扇形AOB ﹣S △AOB =﹣．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为普通方程、曲线的交点、扇形与三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5；不等式选讲23．设f（x）=|2x﹣1|+|1﹣x|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤3x+4；（Ⅱ）对任意的x，不等式f（x）≥（m2﹣3m+3）•|x|恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）分情况将原不等式绝对值符号去掉，然后求解；（Ⅱ）分x=0与x≠0两种情况研究：当x=0时，显然成立；当x≠0时，两边同除以|x|，然后求出左边的最小值，解关于m的不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）当x≤时，原不等式可化为﹣（2x﹣1）﹣（x﹣1）≤3x+4，解得x≥﹣，故此时﹣≤x≤；当＜x≤1时，原不等式可化为2x﹣1﹣（x﹣1）≤3x+4，解得x≥﹣2，故此时＜x≤1；当x＞1时，原不等式可化为2x﹣1+x﹣1≤3x+4，即﹣2≤4，显然成立，故此时x＞1．综上可得，原不等式的解集为{x|x≥﹣}．（Ⅱ）当x=0时，原不等式为2≥0，显然恒成立；当x≠0时，原不等式两边同除以|x|，则不等式可化为：|2﹣|+|﹣1|≥m2﹣3m+3恒成立．因为|2﹣|+|﹣1|≥|（2﹣）+（﹣1）|=1．所以要使原式恒成立，只需m2﹣3m+3≤1即可，即m2﹣3m+2≤0．解得1≤m≤2．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题的解题思路，一般的不等式恒成立问题要转化为函数的最值问题来解．本题还考查了分类讨论思想的应用．。

2017年春高二年期中考试理科数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分一．选择题（每题5分，共60分） 1．i 是虚数单位，52ii-=……………………………………………………（ ） A ．1+2i B ．-1-2i C ．1-2i D ．-1+2i2．设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩，则20()f x dx ⎰等于…………………………（ ）A34 B 45C 56D 不存在3. 设xx y sin 12-=，则='y ……………………………………………………（ ）A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+-C ．x x x x sin )1(sin 22-+-D ．xx x x sin )1(sin 22---4. 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为……………………（ ） A ．62n - B ．82n - C ．62n + D ．82n +5. 函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间是…………………………………（ ） A. )2,(-∞ B ．(0,3) C ．(1,4) D. ),2(+∞6. 对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足(2)()0x f x '->，则必有…………（ ）A. (2)(0)(3)f f f <<-B. (3)(0)(2)f f f -<<C. (0)(2)(3)f f f <<-D. (2)(3)(0)f f f <-<7．若函数321(02)3x y x x =-+<<的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值…①③是…………………………………………………………………（ ） A.4π B. 6πC. 56πD. 34π8. 从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 …………………………………………………（ ） A 85 B 56 C 49 D 289．设f′（x ）是函数f （x ）的导函数，将y=f （x ）和y=f′（x ）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的…………………………………………（ ）C邻，则不同排法的种数是……………………………………………（ ）A. 36B. 42C. 48D. 6011．已知函数2()log (2)2x f x a x =-+- ，若()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是……………………………………………………………………………（ ） A.[4,)+∞ B.[1,)+∞ C.[2,)+∞ D. (,4][4,)-∞-∞12. 在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22131)(23，极大值点)1,0(1∈x ，极小值点)2,1(2∈x ，则12--a b 的取值范围是……………………………………………（ ） A ．)41,21(- B ．)21,21(- C ．)1,41( D ． )1,21(二、填空题:（每小题5分，共20分） 13.2⎰=14．曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为 15．已知复数z =，z 是z 的共轭复数，则z z ∙= 16．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有三．解答题（6题共70分）17、（10分） 已知曲线21:2C y x =与221:2C y x =.求两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）的面积S .18、（10分）已知0,0>>b a 且2>+b a ，求证：baa b ++1,1中至少有一个小于2.19、（10分）已知函数[]2,1,3223-∈++-=x x x x y ，求此函数的（1）单调区间； （2）值域.20、（13分）用数学归纳法证明：12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22(n ≥2)．21、（13分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为803π立方米，且2l r ≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c >千元.设该容器的建造费用为y 千元。

福建省泉州市2016-2017学年高二数学下学期期中试卷理（含解析）一、选择题1.在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B=72，则展开式中常数项的值为（）A．6 B．9 C．12 D．183．我们知道：“心有灵犀”一般是对人的心理活动非常融洽的一种描述，它也可以用数学来定义：甲、乙两人都在{1，2，3，4，5，6}中说一个数，甲说的数记为a，乙说的数记为b，若|a﹣b|≤1，则称甲、乙两人“心有灵犀”，由此可以得到甲、乙两人“心有灵犀”的概率是（）A．B．C．D．4．收集一只棉铃虫的产卵数y与温度X的几组数据后发现两个变量有相关关系，并按不同的曲线来拟合y与X之间的回归方程，算出对应相关指数R2如下表：则这组数据模型的回归方程的最好选择应是（）=19.8x﹣463.7 =e0.27x﹣3.84=0.367x2﹣202 =A． =19.8x﹣463.7 B． =e0.27x﹣3.84C． =0.367x2﹣202 D． =5．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）．若P（0＜ξ≤1）=0.4，则P（ξ≥2）=（）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.16．n（其中n∈N且n≥6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n=（）A．6 B．7 C．8 D．97．设随机变量X的概率分布列如表，则P（|X﹣3|=1）（）A．B．C．D．8．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）A．B．C．D．9．反证法证明三角形的内角中至少有一个不小于60°，反设正确的是（）A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都小于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个小于60°10．某单位拟安排6位员工在今年5月28日至30日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值28日，乙不值30日，则不同的安排方法共有（）A．30种B．36种C．42种D．48种11．将数字“123367”重新排列后得到不同的偶数个数为（）A．72 B．120 C．192 D．24012．在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击（各发射一枚导弹），由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0.9，0.9，0.8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为（）A．0.998 B．0.046 C．0.002 D．0.954二、填空题复数（a∈R，i为虚数单位）为纯虚数，则复数z=a+i的模为．14．在（2x+1）（x﹣1）5的展开式中含x3项的系数是（用数字作答）．15．如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一点P，用A表示事件“点P恰好取自由曲线与直线x=1及x轴所围成的曲边梯形内”，B表示事件“点P恰好取自阴影部分内”，则P（B|A）= ．16．有6名选手参加学校唱歌比赛，学生甲猜测：4号或5号选手得第一名；学生乙猜测：3号选手不可能得第一名；学生丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；学生丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁四人中只有1人猜对，则获得第一名的选手号数是．三、解答题（6大题，共70分．解答时应按要求写出证明过程或演算步骤）17．（10分）已知盒子中有4个红球，2个白球，从中一次抓三个球，（1）求没有抓到白球的概率；（2）记抓到球中的红球数为X，求X的分布列和数学期望．18．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（1）证明：PA∥平面BDE；（2）求二面角B﹣DE﹣C的余弦值．19．（12分）某单位共有10名员工，他们某年的收入如表：（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于7万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望；（3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4万元，5.5万元，6万元，8.5万元，预测该员工第五年的年薪为多少？附：线性回归方程中系数计算公式分别为：，，其中为样本均值．20．（12分）2016世界特色魅力城市200强新鲜出炉，包括黄山市在内的28个中国城市入选．美丽的黄山风景和人文景观迎来众多宾客．现在很多人喜欢自助游，某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关，在黄山旅游节期间，随机抽取了100人，得如下所示的列联表：（1）若在100这人中，按性别分层抽取一个容量为20的样本，女性应抽11人，请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料能否在犯错误的概率不超过0.05前提下，认为赞成“自助游”是与性别有关系？（2）若以抽取样本的频率为概率，从旅游节游客中随机抽取3人赠送精美纪念品，记这3人中赞成“自助游”人数为X ，求X 的分布列和数学期望．21．（12分）已知函数f （x ）=．（Ⅰ）若a=2，求f （x ）在（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）求f （x ）在区间上的最小值；（Ⅲ）若f （x ）在区间（1，e ）上恰有两个零点，求a 的取值范围．22．（12分）已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且与椭圆+=1有相同的离心率．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与M有两个交点A、B，且⊥？若存在，写出该圆的方程，并求||的取值范围，若不存在，说明理由．2016-2017学年福建省泉州市泉港一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1.在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限．【解答】解：∵复数z=i（2﹣i）=﹣i2+2i=1+2i∴复数对应的点的坐标是（1，2）这个点在第一象限，故选A．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，本题解题的关键是写成标准形式，才能看出实部和虚部的值．2．在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B=72，则展开式中常数项的值为（）A．6 B．9 C．12 D．18【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】通过给x 赋值1得各项系数和，据二项式系数和公式求出B，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．【解答】解：在二项式的展开式中，令x=1得各项系数之和为4n∴A=4n据二项展开式的二项式系数和为2n∴B=2n∴4n+2n=72解得n=3∴=的展开式的通项为=令得r=1故展开式的常数项为T2=3C31=9故选项为B【点评】本题考查求展开式各项系数和的方法是赋值法；考查二项式系数的性质；考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．3．我们知道：“心有灵犀”一般是对人的心理活动非常融洽的一种描述，它也可以用数学来定义：甲、乙两人都在{1，2，3，4，5，6}中说一个数，甲说的数记为a，乙说的数记为b，若|a﹣b|≤1，则称甲、乙两人“心有灵犀”，由此可以得到甲、乙两人“心有灵犀”的概率是（）A．B．C．D．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从6个数字中各自想一个数字，可以重复，可以列举出共有36种结果，满足条件的事件可以通过列举得到结果，根据等可能事件的概率公式得到结果．【解答】解：（I）由题意知，本题是一个等可能事件的概率列举出所有基本事件为：（1，1），（2，2），（2，3），（4，4），（5，5），（6，6）（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（1，4），（4，1），（1，5），（5，1），（1，6），（6，1）（1，3），（3，1），（2，4），（4，2），（3，5），（5，3），（4，6），（6，4），（1，4），（4，1），（2，5），（5，2），（3，6），（6，3），（1，5），（5，1），（2，6），（6，2），（1，6），（6，1），共计36个．记“两人想的数字相同或相差1”为事件B，事件B包含的基本事件为：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6） （1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）， （4，5），（5，4），（5，6），（6，5），共计16个． ∴P==，∴“甲乙心有灵犀”的概率为．故选D ．【点评】本题考查古典概型及其概率公式．考查利用分类计数原理表示事件数，考查理解能力和运算能力，注意列举出的事件数做到不重不漏．4．收集一只棉铃虫的产卵数y 与温度X 的几组数据后发现两个变量有相关关系，并按不同的曲线来拟合y 与X 之间的回归方程，算出对应相关指数R 2如下表： 则这组数据模型的回归方程的最好选择应是（ ）=19.8x ﹣=e0.27x ﹣=0.367x 2﹣=A ． =19.8x ﹣463.7B ． =e 0.27x ﹣3.84C ．=0.367x 2﹣202 D ．=【考点】BK ：线性回归方程．【分析】两个变量y 与x 的回归模型中，它们的相关指数R 2，越接近于1，这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中0.98是相关指数最大的值，得到结果．【解答】解：两个变量y 与x 的回归模型中，它们的相关指数R 2，越接近于1， 这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中0.996是相关指数最大的值， ∴拟合效果最好的模型是指数曲线：=e 0.27x ﹣3.84．故选：B．【点评】本题考查相关指数，这里不用求相关指数，而是根据所给的相关指数判断模型的拟合效果，这种题目解题的关键是理解相关指数越大拟合效果越好．5．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）．若P（0＜ξ≤1）=0.4，则P（ξ≥2）=（）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】利用正态分布的对称性得出答案．【解答】解：∵ξ～N（1，σ2），∴P（ξ≥2）=P（ξ≤0）=P（ξ≤1）﹣P（0＜ξ≤1）=0.5﹣0.4=0.1．故选：D．【点评】本题考查了正态分布的特点，属于基础题．6．（1+3x）n（其中n∈N且n≥6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n=（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，求出展开式中x5与x6的系数，列出方程求出n．【解答】解：二项式展开式的通项为T r+1=3r C n r x r∴展开式中x5与x6的系数分别是35C n5，36C n6∴35C n5=36C n6解得n=7故选B【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．7．设随机变量X的概率分布列如表，则P（|X﹣3|=1）（）A．B．C．D．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】根据随机变量X的概率分布列，求出m的值，再利用和概率公式计算P（|X﹣3|=1）的值．【解答】解：根据随机变量X的概率分布列知，+m++=1，解得m=；又|X﹣3|=1，∴X=2或X=4，则P（|X﹣3|=1）=P（X=2）+P（X=4）=+=．故选：B．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列计算问题，是基础题．8．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】先用组合数公式求出甲乙从这6个点中任意选两个点连成直线的条数共有C62，再用分步计数原理求出甲乙从中任选一条共有225种，利用正八面体找出相互平行但不重合共有共12对，代入古典概型的概率公式求解．【解答】解：甲从这6个点中任意选两个点连成直线，共有C62=15条，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有C62=15条，甲乙从中任选一条共有15×15=225种不同取法，因正方体6个面的中心构成一个正八面体，有六对相互平行但不重合的直线，则甲乙两人所得直线相互平行但不重合共有12对，这是一个古典概型，所以所求概率为=，故选D．【点评】本题的考点是古典概型，利用组合数公式和分步计数原理求出所有基本事件的总数，再通过正方体6个面的中心构成一个正八面体求出相互平行但不重合的对数，代入公式求解．9．反证法证明三角形的内角中至少有一个不小于60°，反设正确的是（）A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都小于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个小于60°【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】由于本题所给的命题是一个特称命题，故它的否定即为符合条件的反设，写出其否定，对照四个选项找出答案即可【解答】解：用反证法证明命题：“一个三角形中，至少有一个内角不小于60°”时，应由于此命题是特称命题，故应假设：“三角形中三个内角都小于60°”故选：B【点评】本题考查反证法的基础概念，解答的关键是理解反证法的规则及特称命题的否定是全称命题，本题是基础概念考查题，要注意记忆与领会．10．某单位拟安排6位员工在今年5月28日至30日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值28日，乙不值30日，则不同的安排方法共有（）A．30种B．36种C．42种D．48种【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，用间接法分析，首先计算计算6名职工在3天值班的所有情况数目，再排除其中甲在5月28日和乙在5月30日值班的情况数目，再加上甲在5月28日且乙在5月30日值班的数目，即可得答案．【解答】解：根据题意，先安排6人在3天值班，有C62×C42×C22种情况，其中甲在5月28日值班有C51×C42×C22种情况，乙在5月30日值班有C51×C42×C22种情况，甲在5月28日且乙在5月30日值班有C41×C31种情况，则不同的安排方法共有C62×C42×C22﹣2×C51×C42×C22+C41×C31=42种，故选：C．【点评】本题考查组合数公式的运用，注意组合与排列的不同，本题中要注意各种排法间的关系，做到不重不漏．11．将数字“123367”重新排列后得到不同的偶数个数为（）A．72 B．120 C．192 D．240【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①．在2、6中任选1个安排在个位数字，②由倍分法分析前5个数位的排法数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、要求为偶数，则其个位数字为2或6，有2种情况，②、将其余5个数字全排列，安排在前5个数位，由于其中有2个“3”，则前5个数位有=60种情况，则可以得到2×60=120个不同的偶数；故选：B【点评】本题考查排列、组合的应用，注意数字中有两个“3”．12．在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击（各发射一枚导弹），由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0.9，0.9，0.8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为（）A．0.998 B．0.046 C．0.002 D．0.954【考点】CA：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】三架武装直升机各向目标射击一次，可以设A k表示“第k架武装直升机命中目标”．分两种情况：①恰有两架武装直升机命中目标，分为三种：甲乙射中丙不中或甲丙射中乙不中或乙丙射中甲不中；②三架直升机都命中．分别求出其概率，再用加法原理，相加即可得到目标被摧毁的概率．【解答】解：设A k表示“第k架武装直升机命中目标”．k=1，2，3．这里A1，A2，A3独立，且P（A1）=0.9，P（A2）=0.9，P（A3）=0.8．①恰有两人命中目标的概率为P（）=P（A1）P（A2）P（）+P（A1）P（）P（A3）+P（）P（A2）P（A3）=0.9×0.9×0.1+0.9×0.1×0.8+0.1×0.9×0.8=0.306②三架直升机都命中的概率为：0.9×0.9×0.8=0.648∴目标被摧毁的概率为：P=0.306+0.648=0.954．故选D．【点评】此题主要考查n次重复独立试验发生k次的概率问题，其中涉及到相互独立事件的概率乘法公式．这两个知识点在高考中都属于重点考点，希望同学们多加理解．二、填空题（2017春•泉港区校级期中）复数（a∈R，i为虚数单位）为纯虚数，则复数z=a+i的模为．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件列出方程组，求解可得a的值，然后由复数求模公式计算得答案．【解答】解：∵==为纯虚数，∴，解得a=2．∴z=2+i．则复数z=2+i的模为：．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念以及复数模的求法，是基础题．14．在（2x+1）（x﹣1）5的展开式中含x3项的系数是﹣10 （用数字作答）．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】把（x﹣1）5 按照二项式定理展开，可得（2x+1 ）（x﹣1）5展开式中含x3项的系数．【解答】解：∵（2x+1）（ x ﹣1）5=（2x+1）（•x 5﹣•x 4+•x 3﹣•x 2+•x﹣）故含x 3项的系数是2（﹣ ）+=﹣10，故答案为：﹣10．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．15．如图所示，在边长为1的正方形OABC 内任取一点P ，用A 表示事件“点P 恰好取自由曲线与直线x=1及x 轴所围成的曲边梯形内”，B 表示事件“点P 恰好取自阴影部分内”，则P （B|A ）=．【考点】CM ：条件概率与独立事件．【分析】阴影部分由函数y=x 与围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，阴影部分由函数y=x 与围成，其面积为（﹣x ）dx=（）=，A 表示事件“点P 恰好取自曲线与直线x=1及x 轴所围成的曲边梯形内”，面积为+=，则P （B|A ）等于=．故答案为．【点评】本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．16．有6名选手参加学校唱歌比赛，学生甲猜测：4号或5号选手得第一名；学生乙猜测：3号选手不可能得第一名；学生丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；学生丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁四人中只有1人猜对，则获得第一名的选手号数是 3 ．【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】分别假设甲对、乙对、丙对，丁对，由已知条件进行推理，由此能求出结果．【解答】解：若甲猜对，则乙也猜对，与题意不符，故甲猜错；若乙猜对，则丙猜对，与题意不符，故乙猜错；若丙猜对，则乙猜对，与题意不符，故丙猜错；∵甲、乙、丙、丁四人中只有1人猜对，∴丁猜对．综上，获得第一名的选手号数是3．故答案为：3．【点评】本题考查推理能力，考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，考查命题的真假判断及应用，是中档题．三、解答题（6大题，共70分．解答时应按要求写出证明过程或演算步骤）17．（10分）（2017春•泉港区校级期中）已知盒子中有4个红球，2个白球，从中一次抓三个球，（1）求没有抓到白球的概率；（2）记抓到球中的红球数为X，求X的分布列和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）使用组合数公式计算概率；（2）根据超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望．【解答】解：（1）没有抓到白球，即取到的全是红球，∴没有抓到白球的概率是．（2）X的所有可能取值为1，2，3，， =，，∴X的分布列为：∴E（X）=1×+2×+3×=2．【点评】本题考查了组合数公式，超几何分布，数学期望的计算，属于基础题．18．（12分）（2012•雁塔区校级模拟）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（1）证明：PA∥平面BDE；（2）求二面角B﹣DE﹣C的余弦值．【考点】MR：用空间向量求平面间的夹角；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）法一：连接AC，设AC与BD交于O点，连接EO．由底面ABCD是正方形，知OE ∥PA由此能够证明PA∥平面BDE．法二：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则，设是平面BDE的一个法向量，由向量法能够证明PA∥平面BDE．（2）由（1）知是平面BDE的一个法向量，又是平面DEC的一个法向量．由向量法能够求出二面角B﹣DE﹣C的余弦值．【解答】（1）解法一：连接AC，设AC与BD交于O点，连接EO．∵底面ABCD是正方形，∴O为AC的中点，又E为PC的中点，∴OE∥PA，∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．解法二：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0）．∴，设是平面BDE的一个法向量，则由，得，∴．∵，∴，又PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．（2）由（1）知是平面BDE的一个法向量，又是平面DEC的一个法向量．设二面角B﹣DE﹣C的平面角为θ，由题意可知．∴．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是高考的重点题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．19．（12分）（2017•湖北模拟）某单位共有10名员工，他们某年的收入如表：（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于7万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望；（3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4万元，5.5万元，6万元，8.5万元，预测该员工第五年的年薪为多少？附：线性回归方程中系数计算公式分别为：，，其中为样本均值．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）根据表格数据计算该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2）ξ取值为0，1，2，求出相应的概率，即可求ξ的分布列和期望；（3）求出线性回归方程，根据回归方程预测．【解答】解：（1）平均值为11万元，中位数为=7万元．（2）年薪高于7万的有5人，低于或等于7万的有5人；ξ取值为0，1，2.，，，所以ξ的分布列为数学期望为．（3）设x i，y i（i=1，2，3，4）分别表示工作年限及相应年薪，则，，，得线性回归方程：y=1.4x+2.5．可预测该员工第5年的年薪收入为9.5万元．【点评】本题考查了古典概型的概率计算，求ξ的分布列和期望，线性回归方程的解法及应用，属于中档题．20．（12分）（2017•黄山二模）2016世界特色魅力城市200强新鲜出炉，包括黄山市在内的28个中国城市入选．美丽的黄山风景和人文景观迎来众多宾客．现在很多人喜欢自助游，某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关，在黄山旅游节期间，随机抽取了100人，得如下所示的列联表：（1）若在100这人中，按性别分层抽取一个容量为20的样本，女性应抽11人，请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料能否在犯错误的概率不超过0.05前提下，认为赞成“自助游”是与性别有关系？（2）若以抽取样本的频率为概率，从旅游节游客中随机抽取3人赠送精美纪念品，记这3人中赞成“自助游”人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 【考点】BO ：独立性检验的应用．【分析】（1）根所给数据得到列联表，利用公式求得K 2，与临界值比较，即可得到结论． （2）X 的所有可能取值为：0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到X 的分布列、数学期望． 【解答】解：（1）将2×2列联表中的数据代入计算，得K2的观测值：，∵3.030＜3.841，∴在犯错误的概率不超过0.05前提下，不能认为赞成“自助游”与性别有关系．（2）X的所有可能取值为：0，1，2，3，依题意，X的分布列为：．【点评】本题考查独立性检验知识，考查分布列和数学期望，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（12分）（2014•河北区三模）已知函数f（x）=．（Ⅰ）若a=2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最小值；（Ⅲ）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；51：函数的零点；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a=2代入可得f′（1）=﹣1，f（1）=，进而可得方程，化为一般式即可；（Ⅱ）可得x=为函数的临界点，分≤1，1＜＜e，，三种情形来讨论，可得最值；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当0＜a≤1或a≥e2时，不合题意，当1＜a＜e2时，需，解之可得a的范围．【解答】解：（I）当a=2时，f（x）=，f′（x）=x﹣，∴f′（1）=﹣1，f（1）=，故f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：y﹣=﹣（x﹣1）化为一般式可得2x+2y﹣3=0…..（Ⅱ）求导数可得f′（x）=x﹣=由a＞0及定义域为（0，+∞），令f′（x）=0，解得x=，①若≤1，即0＜a≤1，在（1，e）上，f′（x）＞0，f（x）在上单调递增，因此，f（x）在区间的最小值为f（1）=．②若1＜＜e，即1＜a＜e2，在（1，）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；在（，e）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，因此f（x）在区间上的最小值为f（）=，③若，即a≥e2在（1，e上，f′（x）＜0，f（x）在上单调递减，因此，f（x）在区间上的最小值为f（e）=．综上，当0＜a≤1时，f min（x）=；当1＜a＜e2时，f min（x）=；当a≥e2时，f min（x）=．…．（9分）（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当0＜a≤1或a≥e2时，f（x）在（1，e）上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点．当1＜a＜e2时，要使f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，则即，此时，e＜a＜．所以，a的取值范围为（e，）…..（13分）【点评】本题考查利用导数研究函数的切线，涉及函数的零点和闭区间的最值，属中档题．22．（12分）（2017春•泉港区校级期中）已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且与椭圆+=1有相同的离心率．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与M有两个交点A、B，且⊥？若存在，写出该圆的方程，并求||的取值范围，若不存在，说明理由．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由已知条件得a=2，e=，由此能求出椭圆M的方程．（Ⅱ）不妨设存在圆C：x2+y2=r2，（r＞0），若l的斜率不存在，设l：x=r，得；若l的斜率存在，设l：y=kx+m，由l与C相切，将直线l方程代入椭圆M的方程，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，由此能求出||的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆M： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，∴a=2，∵椭圆M与椭圆+=1有相同的离心率，∴e=，解得c=2，∴b2=8﹣4=4，∴椭圆M的方程为．（Ⅱ）不妨设存在圆C：x2+y2=r2，（r＞0）（i）若l的斜率不存在，设l：x=r，则A（r，y0），B（r，﹣y0），由，得，又，两式联立消去y，得，∴．（ii）若l的斜率存在，设l：y=kx+m，∵l与C相切，∴，∴m2=r2（1+k2），①又将直线l方程代入椭圆M的方程，得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理，得，，由=0，得，化简，得3m2=8+8k2，②联立①②，得，综上所述，存在圆C：，由，得|AB|2=（1+k2）===（1+），k≠0．∈（，12]．当k=0时，|AB|2=，∴|AB|∈[]．又当k不存在时，|AB|=，∴||的取值范围是[]．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查线段的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．。

2017-2018学年福建省泉州市晋江市养正中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．（5分）设复数z满足Z=，则|1+z|等于（）A．0B．1C．D．22．（5分）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则n，p分别等于（）A．n=45，p=B．n=45，p=C．n=90，p=D．n=90，p=3．（5分）①线性回归方程对应的直线=x+至少经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），…（x n，y n）中的一个点；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若ξ位于区域（0，1）内的概率为0.4，则ξ位于区域（0，2）内的概率为0.8；④对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握越大．其中真命题的序号为（）A．①④B．②④C．①③D．②③4．（5分）《九章算术》勾股章有一问题：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，现从该绳索上任取一点，该点取自木柱上绳索的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知p：∀x∈R，x2+2x+a＞0；q：2a＜8．若“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，3）C．（1，3）D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）6．（5分）盒子里共有7个除了颜色外完全相同的球，其中有4个红球3个白球，从盒子中任取3个球，则恰好取到2个红球1个白球的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知点P（n，4）为椭圆C：+=1（a＞b＞0）上一点，F1，F2是椭圆C的两个焦点，如△PF1F2的内切圆的直径为3，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知直线y=kx﹣1与双曲线x2﹣y2=4的右支有两个交点，则k的取值范围为（）A．B．C．D．10．（5分）求“方程log2x+log3x=0的解”有如下解题思路：设函数f（x）=log2x+log3x，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（1）=0，所以原方程有唯一解x=1．类比上述解题思路，方程（x﹣1）5+x﹣1=34的解集为（）A．{1}B．{2}C．{1，2}D．{3}11．（5分）某单位现需要将“先进个人”、“业务精英”、“道德模范”、“新长征突击手”、“年度优秀员工”5种荣誉分配给3个人，且每个人至少获得一种荣誉，五种荣誉中“道德模范”与“新长征突击手”不能分给同一个人，则不同的分配方法共有（）A．114种B．150种C．120种D．118种12．（5分）已知f′（x）为函数y=f（x）的导函数，当x（x）是斜率为k的直线的倾斜角时，若不等式f（x）﹣f′（x）•k＜0恒成立，则（）A．B．C．f（）﹣f（）＞0D．f（）﹣f（）＞0二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线的极坐标方程是．14．（5分）若（﹣）n的二项展开式中各项的二项式系数之和是64，则展开式中的常数项为．（用数字作答）15．（5分）某校高三年级学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）X服从正态分布N（110，102），从中抽取一个同学的数学成绩ξ，记该同学的成绩90＜ξ≤110为事件A，记该同学的成绩80＜ξ≤100为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率P（B|A）=（用分数表示）附：X满足P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.68，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.95，P （μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.99．16．（5分）对任意实数x，不等式|2x+1|﹣|2x+3a2|≤2a恒成立，则实数a的取值范围是三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）[选修4-5：不等式选讲]17．（10分）已知函数f（x）=|x+2a|+|x﹣1|，a∈R（1）当a=1时，解不等式f（x）≤5（2）若f（x）≥2对于∀x∈R恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]18．（12分）在直角坐标系xOy中，过点P（1，2）的直线l 的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于M，N 两点，求的值．19．（12分）如图所示，已知三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是等边三角形，且P A=PB=AC=2，D，E分别是AB，PC的中点．（1）证明：AB⊥平面CDE；（2）若PC =，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．20．（12分）伴随着智能手机的深入普及，支付形式日渐多样化，打破了传统支付的局限性和壁垒，有研究表明手机支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系，某调研机构随机抽取了50人，对他们一个月内使用手机支付的情况进行了统计，如表：（1）若以“年龄55岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关；（2）若从年龄在[55，65），[65，75）内的被调查人中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为ξ．①求随机变量ξ的分布列；②求随机变量ξ的数学期望．参考数据如下：参考格式：K2=，其中n=a+b+c+d21．（12分）已知点A（0，1），过点D（0，﹣1）作与x轴平行的直线l1，点B 为动点M在直线l1上的投影，且满足（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）已知点P为曲线C上的一点，且曲线C在点P处的切线为l2，若l1与直线l2相交于点Q，试探究在y轴上是否存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．22．（12分）已知函数f（x）=x1nx．（1）若函数g（x）=f′（x）+ax2﹣（a+2）x（a＞0），试研究函数g（x）的极值情况；（2）记函数F（x）=f（x）﹣在区间（1，2）内的零点为x0，记m（x）=min{f （x），}，若f（x）=n（n∈R）在区间（1，+∞）内有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），证明：x1+x2＞2x02017-2018学年福建省泉州市晋江市养正中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．（5分）设复数z满足Z=，则|1+z|等于（）A．0B．1C．D．2【考点】A8：复数的模．【解答】解：∵Z==，∴|1+z|=|1﹣i|=．故选：C．2．（5分）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则n，p分别等于（）A．n=45，p=B．n=45，p=C．n=90，p=D．n=90，p=【考点】CN：二项分布与n次独立重复试验的模型．【解答】解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，n=90，故选：C．3．（5分）①线性回归方程对应的直线=x+至少经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），…（x n，y n）中的一个点；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若ξ位于区域（0，1）内的概率为0.4，则ξ位于区域（0，2）内的概率为0.8；④对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握越大．其中真命题的序号为（）A．①④B．②④C．①③D．②③【考点】2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：①线性回归方程对应的直线=x+不一定经过其样本数据点（x 1，y1），（x2，y2），…（x n，y n）中的一个点，但一定过（，），故①错误；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故②正确；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若ξ位于区域（0，1）内的概率为0.4，则ξ位于区域（0，2）内的概率为0.8，故③正确；④对分类变量x与y的随机变量k2的观测值k来说，k越大，判断“x与y有关系”的把握越大，故④错误．故选：D．4．（5分）《九章算术》勾股章有一问题：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，现从该绳索上任取一点，该点取自木柱上绳索的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【解答】解：如图所示，Rt△ABC中，设AC=x，则斜边AB=x+3；∴x2+82=（x+3）2，x=；所求的概率为P==．故选：A．5．（5分）已知p：∀x∈R，x2+2x+a＞0；q：2a＜8．若“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，3）C．（1，3）D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）【考点】2E：复合命题及其真假．【解答】解：若∀x∈R，x2+2x+a＞0，则判别式△=4﹣4a＜0，得a＞1，即p：a＞1；由2a＜8得a＜3，即q：a＜3，若“p∧q”是真命题，则p，q都是真命题，则，即1＜a＜3，即实数a的取值范围是（1，3），故选：C．6．（5分）盒子里共有7个除了颜色外完全相同的球，其中有4个红球3个白球，从盒子中任取3个球，则恰好取到2个红球1个白球的概率为（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：盒子里共有7个除了颜色外完全相同的球，其中有4个红球3个白球，从盒子中任取3个球，基本事件总数n==35，恰好取到2个红球1个白球包含的基本事件个数m==18，则恰好取到2个红球1个白球的概率为p=．故选：B．7．（5分）已知点P（n，4）为椭圆C：+=1（a＞b＞0）上一点，F1，F2是椭圆C的两个焦点，如△PF1F2的内切圆的直径为3，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【解答】解：根据题意，设△PF1F2的面积为S，若点P（n，4）为椭圆C：+=1（a＞b＞0）上一点，则S=×4×|F1F2|=4c，△PF1F2的内切圆的半径为r，则S=（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）×r=×（2a+2c）×=（a+c），则有4c=（a+c），变形可得：5c=3a，则椭圆的离心率e==，故选：C．8．（5分）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【考点】69：定积分的应用；CF：几何概型．【解答】解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为∫01（﹣x）dx=（﹣）|01=，则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=；故选：C．9．（5分）已知直线y=kx﹣1与双曲线x2﹣y2=4的右支有两个交点，则k的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，∴当﹣1＜k≤1时，直线与双曲线的右支只有1个交点，当k≤﹣1时，直线与双曲线右支没有交点，把y=kx﹣1代入x2﹣y2=4得：（1﹣k2）x+2kx﹣5=0，令△=4k2+20（1﹣k2）=0，解得k=或k=﹣（舍）．∴1＜k＜．故选：D．10．（5分）求“方程log2x+log3x=0的解”有如下解题思路：设函数f（x）=log2x+log3x，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（1）=0，所以原方程有唯一解x=1．类比上述解题思路，方程（x﹣1）5+x﹣1=34的解集为（）A．{1}B．{2}C．{1，2}D．{3}【考点】F3：类比推理．【解答】解：令g（x）=（x﹣1）5+（x﹣1）﹣34，∵对任意x∈R，有g'（x）=5（x﹣1）4+1＞0，∴g（x）是R上的单调增函数，∵g（3）=0，∴方程（x﹣1）5+x﹣1=34的解集为{3}．故选：D．11．（5分）某单位现需要将“先进个人”、“业务精英”、“道德模范”、“新长征突击手”、“年度优秀员工”5种荣誉分配给3个人，且每个人至少获得一种荣誉，五种荣誉中“道德模范”与“新长征突击手”不能分给同一个人，则不同的分配方法共有（）A．114种B．150种C．120种D．118种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：将“先进个人”、“业务精英”、“道德模范”、“新长征突击手”、“年度优秀员工”5种荣誉分配给3个人，且每个人至少获得一种荣誉，五种荣誉中“道德模范”与“新长征突击手”不能分给同一个人，五种荣誉分3组：2，2，1类型；3，1，1类型；2，2，1类型；共有=12，则不同的分配方法有：12=72种方法．3，1，1类型；“道德模范”与“新长征突击手”=42种；每个人至少获得一种荣誉，五种荣誉中“道德模范”与“新长征突击手”不能分给同一个人，则不同的分配方法共有：72+42=114．故选：A．12．（5分）已知f′（x）为函数y=f（x）的导函数，当x（x）是斜率为k的直线的倾斜角时，若不等式f（x）﹣f′（x）•k＜0恒成立，则（）A．B．C．f（）﹣f（）＞0D．f（）﹣f（）＞0【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：∵k=tan x，f（x）﹣f′（x）•k＜0，x）∴cos x•f（x）﹣sin x•f′（x）＜0，设g（x）=，∴g′（x）=，∵不等式f（x）﹣f′（x）k＜0恒成立，∴g（x）＞0恒成立，∴g（x）在（0，）上单调递增，∴g（）＞g（1）＞g（）＞g（），∴＞＞＞，∴f（）＞f（），＞2f（），f（）＞f（），f（）＞f（）∴A，C，D错误，B正确，故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线的极坐标方程是ρsinθ=2．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【解答】解：点P化为极坐标：P（0，2），∴过点且平行于极轴的直线的直角坐标方程为：y=2．其极坐标方程是：ρsinθ=2；故答案为：ρsinθ=2．14．（5分）若（﹣）n的二项展开式中各项的二项式系数之和是64，则展开式中的常数项为15．（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．【解答】解：由题意，得2n=64，即n=6．∴=，其通项公式为．令，得r=2．∴展开式中的常数项为．故答案为：15．15．（5分）某校高三年级学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）X服从正态分布N（110，102），从中抽取一个同学的数学成绩ξ，记该同学的成绩90＜ξ≤110为事件A，记该同学的成绩80＜ξ≤100为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率P（B|A）=（用分数表示）附：X满足P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.68，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.95，P （μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.99．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【解答】解：由题意，P（A）=0.475，P（B）=（0.99﹣0.68）=0.155．P（AB）=（0.95﹣0.68）=0.135，∴P（B|A）==，故答案为．16．（5分）对任意实数x，不等式|2x+1|﹣|2x+3a2|≤2a恒成立，则实数a的取值范围是[，1]【考点】6P：不等式恒成立的问题．【解答】解：对任意实数x，不等式|2x+1|﹣|2x+3a2|≤2a恒成立，可设f（x）=|2x+1|﹣|2x+3a2|，可得|2x+1|﹣|2x+3a2|≤|2x+1﹣2x﹣3a2|=|1﹣3a2|，即有f（x）的最大值为|1﹣3a2|，可得2a≥|1﹣3a2|，即为﹣2a≤1﹣3a2≤2a，即，解得≤a≤1，故答案为：[，1]．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）[选修4-5：不等式选讲]17．（10分）已知函数f（x）=|x+2a|+|x﹣1|，a∈R（1）当a=1时，解不等式f（x）≤5（2）若f（x）≥2对于∀x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；R5：绝对值不等式的解法．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=|x+2|+|x﹣1|≤5①当x≥1时，f（x）=x+2+x﹣1≤5，解得：x≤2，即1≤x≤2②当1＞x＞﹣2时，f（x）=x+2+1﹣x=3≤5，恒成立③当x≤﹣2时，f（x）=﹣x﹣2﹣x+1≤5，解得：x≥﹣3，即﹣3≤x≤﹣2综上，不等式的解集是[﹣3，2]．（2）若f（x）对于∀x∈R恒成立，即f（x）=|x+2a|+|x﹣1|=|x+2a|+|1﹣x|≥|2a+1|∴|2a+1|≥2，即（2a+1）2≥4解得：a或a，∴实数a的取值范围是（﹣∞，]∪[，+∞）．[选修4-4：坐标系与参数方程]18．（12分）在直角坐标系xOy中，过点P（1，2）的直线l的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于M，N两点，求的值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【解答】解：（1）由已知得：，消去t得，∴化为一般方程为：，即：l：．曲线C：ρ=4sinθ得，ρ2=4ρsinθ，即x2+y2=4y，整理得x2+（y﹣2）2=4，即：C：x2+（y﹣2）2=4．（2）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的直角坐标方程中得：，即t2+t﹣3=0，设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，则，∴===．19．（12分）如图所示，已知三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是等边三角形，且P A=PB=AC=2，D，E分别是AB，PC的中点．（1）证明：AB⊥平面CDE；（2）若PC=，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【解答】证明：（1）连接PD，因为P A=PB=PC，底面ABC是等边三角形，又因为D是AB的中点，所以PD⊥AB，AB⊥CD，又因为CD∩PD=D，所以AB⊥平面CDE．解：（2）因为P A=PB=AC=2，由（1）可知PD=CD=，而PC=，所以PD⊥CD，以D为原点，以的方向为x轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则A（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（0，，0），P（0，0，），由题得平面ABP的一个法向量为=（0，1，0）．设平面BCP的一个法向量为=（x，y，z），所以，令z=1，得x=，y=1，所以=（），所以cos＜＞==，由题意知二面角A﹣PB﹣C为锐角，所以二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．20．（12分）伴随着智能手机的深入普及，支付形式日渐多样化，打破了传统支付的局限性和壁垒，有研究表明手机支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系，某调研机构随机抽取了50人，对他们一个月内使用手机支付的情况进行了统计，如表：（1）若以“年龄55岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关；（2）若从年龄在[55，65），[65，75）内的被调查人中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为ξ．①求随机变量ξ的分布列；②求随机变量ξ的数学期望．参考数据如下：参考格式：K 2=，其中n =a +b +c +d【考点】BL ：独立性检验；CH ：离散型随机变量的期望与方差． 【解答】解：（1）根据题意填写2×2列联表，如下；根据表中数据，计算K 2的观测值k =≈9.524＞6.635，所以有99%的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关； （2）①由题意，可知ξ所有可能取值有0，1，2，3； 计算P （ξ）=•=，P （ξ=1）=+•=，P （ξ=2）=•+•=，P （ξ=3）=•=，所以ξ的分布列是：②计算ξ的数学期望是E （ξ）=0×+1×+2×+3×=．21．（12分）已知点A （0，1），过点D （0，﹣1）作与x 轴平行的直线l 1，点B 为动点M 在直线l 1上的投影，且满足（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）已知点P 为曲线C 上的一点，且曲线C 在点P 处的切线为l 2，若l 1与直线l 2相交于点Q ，试探究在y 轴上是否存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由．【考点】J3：轨迹方程．【解答】解：（1）设M（x，y），由题得B（x，﹣1）．又A（0，1），∴=（﹣x，1﹣y），=（0，﹣1﹣y），=（x，﹣2），∵，∴（）•=0．∴（﹣x，﹣2y）•（x，﹣2）=0，解得x2=4y，∴轨迹C的方程为x2=4y．（2）设点N（0，n），P（），由y=，得，∴k2=，∴直线l2的方程为y﹣=（x﹣x0），令y=﹣1，可得Q点的坐标为（﹣，﹣1）．∴=（），=（﹣，﹣1﹣n），∵点N在以PQ为直径的圆上，∴==（1﹣n）（）+n2+n﹣2=0（*），要使方程（*）对x0∈R恒成立，则必有，解得n=1．即在y轴上存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，其坐标为（0，1）．22．（12分）已知函数f（x）=x1nx．（1）若函数g（x）=f′（x）+ax2﹣（a+2）x（a＞0），试研究函数g（x）的极值情况；（2）记函数F（x）=f（x）﹣在区间（1，2）内的零点为x0，记m（x）=min{f （x），}，若f（x）=n（n∈R）在区间（1，+∞）内有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），证明：x1+x2＞2x0【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：（1）∵f（x）=x1nx，x＞0，∴f′（x）=1+lnx，∴g（x）=f′（x）+ax2﹣（a+2）x=1+lnx+ax2﹣（a+2）x，∴g′（x）=+2ax﹣（a+2）==，令g′（x）=0，解得x=或x=，①当＞时，即0＜a＜2时，若g′（x）＞0，解得0＜x＜，或x＞，函数g（x）单调递增，若g′（x）＜0，解得＜x＜，函数g（x）单调递减，∴g（x）min=g（）=1+ln+a•﹣（a+2）•=﹣lna﹣，g（x）max=g（）=1+ln+a•﹣（a+2）•=﹣ln2﹣，②当＜时，即a＞2时，若g′（x）＞0，解得0＜x＜，或x＞，函数g（x）单调递增，若g′（x）＜0，解得＜x＜，函数g（x）单调递减，∴g（x）max=g（）=﹣lna﹣，g（x）mmin=g（）=﹣ln2﹣，③当=时，即a=2，g′（x）＞0恒成立，g（x）在（0，+∞）单调递增，∴函数无极值，（2）证明：设g（x）=，记函数F（x）=f（x）﹣g（x）在区间（1，2）内的零点为x0，由f（x）=xlnx，当0＜x≤1时，f（x）≤0，而g（x）=＞0，故f（x）＜g（x）；∵F′（x）=1+lnx+，当x＞1时，F′（x）＞0，存在零点x0∈（1，2），不然有：F（x0）=f（x0）﹣g（x0）=0，故1＜x＜x0时，f（x）＜g（x）；当x＞x0时，f（x）＞g（x）；而此得到m（x）=，显然：当1＜x＜x0时，m′（x）=1+lnx恒大于0，m（x）是单增函数．当x＞x0时，m′（x）=恒小于0，m（x）是单减函数．m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），则x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），显然：当x2→+∞时，x1+x2＞2x0．要证明x1+x2＞2x0，即可证明x2＞2x0﹣x1＞x0，而m（x）在x＞x0时是单减函数．故证m（x2）＜m（2x0﹣x1）．又由m（x1）=m（x2），即可证：m（x1）＜m（2x0﹣x1）．即x1lnx1＜，（构造思想）令h（x）=xlnx﹣，由（1＜x＜x0）．其中h（x0）=0，那么：h′（x）=1+lnx+﹣，记φ（t）=，则φ′（t）=，当t∈（0，1）时，φ′（t）＞0；当t＞1时，φ′（t）＜0；故φ（t）max=；而φ（t）＞0；故＞φ（t）＞0，而2x0﹣x＞0，从而有：﹣＜﹣＜0；因此：h′（x）=1+lnx+﹣＞0，即h（x）单增，从而1＜x＜x0时，h（x）＜h（x0）=0．即x1lnx1＜成立．故得：x1+x2＞2x0．。

季延中学高二年期中考试理科数学试卷一、单选题(每题5分)1．已知随机变量X 的分布列为1()122kP X k k n ===，，，，，则(24)P X <≤为（ ） A ．163B ．41 C ．161D ．165 2．222223410C C C C ++++等于（ ）A ．990B ．165C ．120D ．55 3．下列说法错误的是（ ）A ．在回归模型中，预报变量的值不能由解释变量唯一确定B ．若变量，满足关系，且变量与正相关，则与也正相关C ．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D ．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，4．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P(X ＝12)等于( )A ．B ．C ．D ． 5．设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++，则01211a a a a ++++的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．26．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为2133、，则小球落入A 袋中的概率为 （ ） A ．34 B ．14 C ．13 D ．237．甲、乙两人通过雅思考试的概率分别为，，两人考试时相互独立互不影响，记x 表示两人中通过雅思考试的人数，则x 的方差为（ ）A ．0.41B ．0.42C ．0.45D ．0.468．随机变量x 服从正态分布),10(~2σN X ，m x P =>)12(，n x P =≤≤)108(，则nm 12+的最小值为（ ）A ．243+B ．226+C ．228+D ．246+ 9．一场5局3胜制的乒乓球对抗赛,当甲运动员先胜2局时,比赛因故中断.已知甲、乙水平相当,每局甲、乙胜的概率都为21,则这场比赛的奖金分配(甲∶乙)应为( ) A ．6∶1 B ．7∶1 C ．3∶1 D ．4∶1 10．已知βα,是],0[π上的两个随机数，则满足1sin <αβ的概率为（ ）A ．π2 B ．22πC ．π4D ．24π11．黄冈市有很多处风景名胜，仅4A 级景区就有10处，某单位为了鼓励职工好好工作，准备组织5名优秀的职工到就近的三个景区：龟峰山、天堂寨、红安红色景区去旅游，若规定每人限到一处旅游，且这三个风景区中每个风景区至少安排1人，则这5名职工共有（ ）种安排方法A ．90B ．60C ．210D ．150 12．某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从这种线性相关关系，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为（ ）（附：对于一组数据),(),(),,(n 2211n y x y x y x ⋯⋯，其回归直线a x b y +=^^的斜率的最小二乘估计值为∑∑=---=--=ni i ni ii xn x yx n y x b 1221^.参考数值：511661=∑=i ii yx ，7.066122=-∑=-i i x x ）A ．9.4元B ．9.5元C ．9.6元D ．9.7元二、填空题（每题5分，共20分）13．25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为_____________ 14．dx e x x )1(2112+-⎰-（e 为自然对数的底数）＝__________．15．一个盒子装有3个红球和2个蓝球（小球除颜色外其它均相同），从盒子中一次性随机取出3个小球后，再将小球放回．重复50次这样的实验．记“取出的3个小球中有2个红球，1个蓝球”发生的次数为，则的方差是___________．16．将1，2，3，a,b,c 排成一排，则字母a 不在两端，且三个数字中有且只有两个数字相邻的概率是_____. 三、解答题(共70分) 17．（本题10分）在n xx )2(2+的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为21.（1）求的值；（2）求展开式中所有的有理项；（3）求展开式中系数最大的项.18．（本题12分）2016年1月1日，我国实行全面二孩政策，同时也对妇幼保健工作提出了更高的要求.某城市实行格化管理，该市妇联在格1与格2两个区域内随机抽取12个刚满8个月的婴儿的体重信息，体重分布数据的茎叶图如图所示（中位：斤）.体重不超过19.6斤的为合格.（1）从格1与格2分别随机抽取2个婴儿，求格1至少一个婴儿体重合格且格2至少一个婴儿体重合格的概率；（2）妇联从格1内8个婴儿中随机抽取4个进行抽检，若至少2个婴儿合格，则抽检通过，若至少3个合格，则抽检为良好.求格1在抽检通过的条件下，获得抽检为良好的概率； （3）若从格1与格2内12个婴儿中随机抽取2个，用X 表示格2内婴儿的个数，求X 的分布列与数学期望.19．（本题12分）春节来临，有农民工兄弟A 、B 、C 、D 四人各自通过互联网订购回家过年的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响.若A 、B 、C 、D 获得火车票的概率分别是1311,,,24p p ，其中13p p >，又131,,22p p 成等比数列，且A 、C 两人恰好有一人获得火车票的概率是12.（1）求13,p p 的值；（2）若C 、D 是一家人且两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家.设X 表示A 、B 、C 、D 能够回家过年的人数，求X 的分布列和期望EX .20. （本题12分）如图，四棱锥P ABCD -，//AB CD ，90BCD ∠=︒，224AB BC CD ===错误!未找到引用源。

2017 年春高二期中考试数学( 文) 科试卷考试时间：120 分钟满分： 150 分一、选择题（此题共12 题，每题 5 分，共60 分）1．在复平面内，复数z 1 i 对应的点在（）iA．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2. 用三段论推理命题：“ 任何实数的平方大于2”，你以为这个推理（）0，由于a是实数，因此a0A．大前题错误 B ．小前题错误 C ．推理形式错误 D ．是正确的3．设有一个回归方程为?2 3 x , 变量x增添一个单位时，则( ) yA. y 均匀增添 2 个单位B. y 均匀减少 3 个单位C. y 均匀减少 2 个单位D. y 均匀增添 3 个单位4．点M 的直角坐标是 ( 1, 3)，则点M 的极坐标为( )A．(2, ) B．(2, )3 3C．(2, 2D、( 2 , k2), k z )3 35．已知会合M { y | y x 2 1, x R } ， N { x | y 4 2 }，则M N（）xA. [ 1, 2]B. [ 1, )C. [ 2, )D. 6．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否认是() A．有两个内角是钝角B．有三个内角是钝角C．起码有两个内角是钝角D．没有一个内角是钝角2x2sin7．将参数方程(为参数)化为一般方程为( )2y sinA．y x 2 B．C．y x 2 ( 2 x 3) D．y x 2y x 2 (0 y 1)8．极坐标方程co s 2 sin 2 表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆 B ．两条直线C．一条直线和一个圆 D ．一个圆A．0B ． 1 C ． 2 D． 39．已知命题p : x 1；命题q :不等式 2 2 0 成立，则命题 p 的（）是命题 q .xxA ．充分而不用要条件B ．充要条件C ．必需而不充分条件D ． 既不充分也不用要条件10．若 pa a7 ， qa3a4 ( a 0 ) ，则 p , q 的大小关系是 ( )A ． p qB ． pq C ． pqD ．由 a 的取值确立11. 以下相关命题的说法正确的选项是（）A ．命题“若 21 ，则x121 ，则 x1 ”x”的否命题为： “若 xB ．“ x125 x6 0 ”的必需不充分条件”是“ xC ．命题“ x2x 10 ”的否认是： “ x2x 10 ”R 使得 x R 均有 xD ．已知命题 p : x 0 ,1 , a e x ，命题 q : x R ，使得 x 24 xa 0 ．若命题“ p q ”是假命题，则实数 a 的取值范围是, e4,．12. 设函数 f ( x )ln ( x21 ) ，则对随意实数 a， b， a b是 f ( a ) f ( b )的( )xA ．充分而非必需条件B ．充分必需条件C ．必需而非充分条件D ．既非充分也非必需条件二．填空题 ( 此题共 4题，每题 5 分，共 20 分)13．若复数 (1 a i ) 2i为虚数单 位， aR ) 是纯虚数，则复数 1 a i 的模是.(14 ． 在 同 一 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 由 曲 线 y t a nx 变 成 曲 线 y '3 ta n 2 x ' 的 伸 缩 变换.x1 t215．在直角坐标系 x 0 y 中，直线 l 的参数方程为t 为 参 数 ，若以直角坐标系23y t22x 0y 的 O 点为极点， 0x 为极轴，且长度单位同样，成立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为2 c o s(4 ) ．若直线 l 与曲线 C 交于 A ， B 两点，则 A B = ______ ．16．已知 222 33 3 444 , , 6 a a 2,8 3,41 56，若 a , t 均为正实数，3381 5tt则由以上等式，可推断 a t.三、解答题 ( 本大题共 6 个小题，共 70 分)17．（ 10 分）在平面直角坐标系 x O y 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，已知在极坐标系中， A （3 3， ），B （ 3， ），圆 C 的方程为2 cos2 3（ 1）求在平面直角坐标系xO y中圆 C 的标准方程；（ 2）已知 P 为圆 C 上的随意一点，求ABP 面积的最大值 .18. （12 分）已知会合A x 32．x 1 0 , Bx x9 x 1 4 0 , Cx 5 mx 2 m（Ⅰ）求 AB,CAB ；R（Ⅱ） 若xC 是 x AB 的 充 分 不 必 要 条 件 ， 求 实 数 m 的 取 值 范 围 ．19. （ 12 分）某地域在对人们休闲方式的一次检查中，共检查了 120 人，此中女性 70 人，男性 50人．女性中有 40 人主要的休闲方式是看电视，此外 30 人主要的休闲方式是运动；男性中有20 人主要的休闲方式是看电视，此外30 人主要的休闲方式是运动．（ 1）依据以上数据成立一个 2×2列联表；（ 2）可否在出错误的概率不超出 的前提下以为“性别与休闲方式相关系”？附：22n ( a d b c )K( ab )( cd )( a c )( b d )P （K 2≥ k ）k20． ( 满分12 分)1 0, 0 ) 作倾斜角为 2 2过点 P( 的直线与曲线 x 2 y1 交于点 M , N ，求2P M P N的最小值及相应的的值。

文科数学试卷(必修3，选修1-2，集合与简易逻辑)试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）1．若集合{}8,7,6,5,4,3,2,1=U ，{}8,5,2=A ，{}7,5,3,1=B ，那么(A U )B 等于( ) A ．{}5 B ．{}8,2 C ．{}7,3,1 D ． {}1,3,4,5,6,7,8 2．534+i的共轭复数是( )． A ．34-i B ．3545+i C ．34+i D ．3545-i3．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取n 个学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7人，那么从高三学生中抽取的人数应为( )． A ．10 B ．9 C ．8 D ．74．命题“存在x Z ∈，使220x x m ++≤”的否定是（ ） A ．存在x Z ∈，使220x x m ++> B ．不存在x Z ∈，使220x x m ++> C ．任意x Z ∈，使220x x m ++≤D ．任意x Z ∈，使220x x m ++>5．如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的( )． A ．平均数不变，方差不变 B ．平均数改变，方差改变 C ．平均数不变，方差改变 D ．平均数改变，方差不变 6．已知p ：|2x －3|＞1 ， q ：612-+x x ＞0，则p ⌝是q ⌝的( )． A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件7．按流程图的程序计算，若开始输入的值为3x =，则输出的x 的值是( )A ．6B ．21C ．156D ．231 8．在一次实验中，测得(),x y 的四组值分别是()1,2A ，()2,3B ，()3,4C ，()4,5D ， 则y 与x 之间的回归直线方程为( )．A ．1y x =+B ．2y x =+C ．21y x =+D ．1y x =- 9．在线性回归模型y bx a e =++中，下列说法正确的是( )．A ．y bx a e =++是一次函数；B ．因变量y 是由自变量x 唯一确定的；C ．因变量y 除了受自变量x 的影响外，可能还受到其它因素的影响； 这些因素会导致随机误差e 的产生；D ．随机误差e 是由于计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误差e 的产生。

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季延中学2018年春高二年期中考试数学（理）科试卷考试时间：120分钟满分：150分一，选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的）1。

以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（)A．2， 5 B．5, 5 C．5， 8 D．8，82．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ )A．13B．12C．23D．343. 已知随机变量η＝8--ξ，若ξ～B(10,0。

6)，则Eη，Dη分别是（）A．6和2.4 B．2和5.6 C．6和5.6 D．2和2。

44．给出下列五个命题:①某班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知7号,33号,46号同学在样本中，那么样本另一位同学的编号为23；②一组数据1、2、3、3、4、5的平均数、众数、中位数相同;③一组数据a、0、1、2、3,若该组数据的平均值为1,则样本标准差为2；④如图是根据抽样检测后得出的产品样本净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克,并且小于104克的产品的个数是90.其中真命题为（ )：A．①②B。