10.2.2二元一次方程组的解法

二元一次方程组的解法一、概述二元一次方程组是由两个同时存在的一次方程组成的方程组，可形式化地表示为：a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂其中，a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂为已知系数，x、y为未知数。

本文将介绍三种常见的解法：代入法、消元法和Cramer法。

二、代入法代入法是通过求解一个方程，然后将其解代入另一个方程，从而得到未知数的解。

以下为代入法的步骤：1. 选择一个方程，将其中一个未知数用另一个未知数表示，即得到一个未知数的表达式。

2. 将该表达式代入另一个方程中，得到一个只含有一个未知数的方程。

3. 解这个含有一个未知数的方程，求解得到第一个未知数的值。

4. 将求得的第一个未知数的值代入任意一个方程中，求解得到第二个未知数的值。

5. 验证解是否满足原方程组，若满足则为正确答案，否则继续调整求解过程。

三、消元法消元法是通过对方程组进行变形，使得一方程的一个未知数系数与另一个方程相应未知数系数的乘积相等，从而消除一个未知数。

以下为消元法的步骤：1. 将方程组进行适当的变形，使得两个方程中一个未知数的系数相等或者成比例。

2. 将两个方程相减或相加，得到一个只含有另一个未知数的方程。

3. 解这个只含一个未知数的方程，求得某个未知数的值。

4. 将求得的未知数值代入任意一个方程中，求解得到另一个未知数的值。

5. 验证解是否满足原方程组，若满足则为正确答案，否则继续调整求解过程。

四、Cramer法Cramer法是利用行列式的性质来求解二元一次方程组。

该方法要求方程组的系数行列式不为零。

以下为Cramer法的步骤：1. 计算原方程组系数行列式D。

2. 分别将方程组中第一个未知数的系数替换为等号右边的值，计算得到未知数x的系数行列式Dx。

3. 将方程组中第二个未知数的系数替换为等号右边的值，计算得到未知数y的系数行列式Dy。

4. 分别计算未知数x和y的值，即x = Dx / D，y = Dy / D。

（1）（2）（3）⎩⎨⎧=-=+6441125y x y x （4）（5）（6）．（7）（8）⎩⎨⎧=--+=-++0)1(2)1()1(2x y x x x y y x （9）（10）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=-++1213222132y x y x（11）已知关于x ，y 的二元一次方程y=kx+b 的解有和．（1）求k ，b 的值．（2）当x=2时，y 的值． （3）当x 为何值时，y=3？（1）（2）；（3）；（4）（5）．（6）（7）（8）（9）（10）；(11)．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a ，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为．（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？（2）求出原方程组的正确解.考点：解二元一次方程组．分析：先把两方程变形（去分母），得到一组新的方程，然后在用加减消元法消去未知数x，求出y的值，继而求出x的值．解答：解：由题意得：，由（1）×2得：3x﹣2y=2（3），由（2）×3得：6x+y=3（4），（3）×2得：6x﹣4y=4（5），（5）﹣（4）得：y=﹣，把y的值代入（3）得：x=，∴．点评：本题考查了二元一次方程组的解法，主要运用了加减消元法和代入法．考点：解二元一次方程组．分析：（1）（2）用代入消元法或加减消元法均可；（3）（4）应先去分母、去括号化简方程组，再进一步采（2）①×3﹣②×2得，﹣13y=﹣39，解得，y=3，把y=3代入①得，2x﹣3×3=﹣5，解得x=2．故原方程组的解为．（3）原方程组可化为，①+②得，6x=36，x=6，①﹣②得，8y=﹣4，y=﹣．所以原方程组的解为．（4）原方程组可化为：，①×2+②得，x=，②其中一个未知数的系数为1时，宜用代入法．3．解方程组：考点：解二元一次方程组． 专题：计算题． 分析：先化简方程组，再进一步根据方程组的特点选用相应的方法：用加减法． 解答：解：原方程组可化为，①×4﹣②×3，得 7x=42， 解得x=6．把x=6代入①，得y=4． 所以方程组的解为．点评： ；二元一次方程组无论多复杂，解二元一次方程组的基本思想都是消元．消元的方法有代入法和加减法．4．解方程组：考点： 解二元一次方程组．专题： 计算题．分析： 把原方程组化简后，观察形式，选用合适的解法，此题用加减法求解比较简单． 解答：解：（1）原方程组化为， ①+②得：6x=18， ∴x=3．代入①得：y=．所以原方程组的解为．点评： 要注意：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法5．解方程组：考点： 解二元一次方程组． 专题： 计算题；换元法．分析： 本题用加减消元法即可或运用换元法求解．解答：解：， ①﹣②，得s+t=4， ①+②，得s ﹣t=6， 即， 解得．所以方程组的解为．点评： 此题较简单，要熟练解方程组的基本方法：代入消元法和 6．已知关于x ，y 的二元一次方程y=kx+b 的解有和．（1）求k ，b 的值．（2）当x=2时，y 的值． （3）当x 为何值时，y=3？考点： 解二元一次方程组． 专题： 计算题． 分析：（1）将两组x ，y 的值代入方程得出关于k 、b 的二元一法求出k 、b 的值．（2）将（1）中的k 、b 代入，再把x=2代入化简即可得（3）将（1）中的k 、b 和y=3代入方程化简即可得出x解答： 解：（1）依题意得：①﹣②得：2=4k ，所以k=， 所以b=．（2）由y=x+， 把x=2代入，得y=．（3）由y=x+把y=3代入，得x=1．点评： 本题考查的是二元一次方程的代入消元法和加减消元法，通过已知条件的代入，可得出要求的数．（2）．考点： 解二元一次方程组． 分析： 根据各方程组的特点选用相应的方法：（1）先去分母再用加减法，（2）先去括号，再转化为整式方程解答．解答：解：（1）原方程组可化为， ①×2﹣②得： y=﹣1，将y=﹣1代入①得： x=1．∴方程组的解为；（2）原方程可化为， 即，①×2+②得： 17x=51， x=3，将x=3代入x ﹣4y=3中得： y=0．∴方程组的解为．点评： 这类题目的解题关键是理解解方程组的基本思想是消元，消元法．根据未知数系数的特点，选择合适的方法．8．解方程组：考点： 解二元一次方程组．专题： 计算题．分析： 本题应把方程组化简后，观察方程的形式，选用合适的方解答：解：原方程组可化为，①+②，得10x=30，x=3， 代入①，得15+3y=15， y=0．则原方程组的解为．点评： 解答此题应根据各方程组的特点，有括号的去括号，有分元法解方程组．9．解方程组：考点： 解二元一次方程组． 专题： 计算题．分析： 本题为了计算方便，可先把（2）去分母，然后运用加减解答：解：原方程变形为：，两个方程相加，得 4x=12，x=3．把x=3代入第一个方程，得 4y=11， y=．解之得． 点评： 本题考查的是二元一次方程组的解法，方程中含有分母的要先化去分母，再对方程进行化简、消元，即可解出此类题目．10．解下列方程组： （1）（2）考点： 解二元一次方程组．专题： 计算题． 分析： 此题根据观察可知：（1）运用代入法，把①代入②，可得出x ，y 的值；（2）先将方程组化为整系数方程组，再利用加减消元法求解．解答：解：（1），由①，得x=4+y ③，代入②，得4（4+y ）+2y=﹣1， 所以y=﹣，把y=﹣代入③，得x=4﹣=．所以原方程组的解为．（2）原方程组整理为，③×2﹣④×3，得y=﹣24，把y=﹣24代入④，得x=60， 所以原方程组的解为．点评： 此题考查的是对二元一次方程组的解法的运用和理解，学化和运用．11．解方程组：（1）（2）考点： 解二元一次方程组． 专题： 计算题；换元法．分析： 方程组（1）需要先化简，再根据方程组的特点选择解法方程组（2）采用换元法较简单，设x+y=a ，x ﹣y=b ，然解答：解：（1）原方程组可化简为，解得．（2）设x+y=a ，x ﹣y=b ， ∴原方程组可化为，解得， ∴∴原方程组的解为．点评： 此题考查了学生的计算能力，解题时要细心．12．解二元一次方程组：（1）；（2）．考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：（1）运用加减消元的方法，可求出x、y的值；（2）先将方程组化简，然后运用加减消元的方法可求出x、y的值．解答：解：（1）将①×2﹣②，得15x=30，x=2，把x=2代入第一个方程，得y=1．则方程组的解是；（2）此方程组通过化简可得：，①﹣②得：y=7，把y=7代入第一个方程，得x=5．则方程组的解是．点评：此题考查的是对二元一次方程组的解法的运用和理解，学生可以通过题目的训练达到对知识的强化和运用．13．在解方程组时，由于粗心，考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：（1）把甲乙求得方程组的解分别代入原方程组即可；（2）把甲乙所求的解分别代入方程②和①，求出正确的解答：解：（1）把代入方程组，得，解得：．把代入方程组，得，解得：．∴甲把a看成﹣5；乙把b看成6；（2）∵正确的a是﹣2，b是8，∴方程组为，解得：x=15，y=8．则原方程组的解是．点评：此题难度较大，需同学们仔细阅读，弄清题意再解答．14．考点：解二元一次方程组．分析：先将原方程组中的两个方程分别去掉分母，然后用加减消由（1）+（2），并解得x=（3），把（3）代入（1），解得y=∴原方程组的解为．点评：用加减法解二元一次方程组的一般步骤：1．方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；2．把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；3．解这个一元一次方程；4．将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解．考点：解二元一次方程组．分析：将两个方程先化简，再选择正确的方法进行消元．解答：解：（1）化简整理为，①×3，得3x+3y=1500③，②﹣③，得x=350．把x=350代入①，得350+y=500，∴y=150．故原方程组的解为．（2）化简整理为，①×5，得10x+15y=75③，②×2，得10x﹣14y=46④，③﹣④，得29y=29，∴y=1．把y=1代入①，得2x+3×1=15，∴x=6．故原方程组的解为．点评：方程组中的方程不是最简方程的，最好先化成最简方程，16．解下列方程组：（1）（2）考点：解二元一次方程组．分析：观察方程组中各方程的特点，用相应的方法求解．解答：解：（1）①×2﹣②得：x=1，将x=1代入①得：2+y=4，y=2．﹣y=﹣3，y=3．将y=3代入①得：x=﹣2．∴原方程组的解为．点评：解此类题目要注意观察方程组中各方程的特点，采用。

第十章二元一次方程组10.1 二元一次方程（一课时）一、教学目标：1、经历分析实际问题中数量关系的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。

2、了解二元一次方程的概念，并会判断一组数据是否是某个二元一次方程的解。

3、培养学生主动探索、敢于实践、勇于发现、合作交流的精神。

二、教学重难点：重点:二元一次方程的认识。

难点：探求二元一次方程的解。

三、教学方法：引导探索法，讲练结合，探索交流。

四、教学过程：（一）创设情境，感悟新知情境一根据篮球的比赛规则，赢一场得2分，输一场得1分，在某次中学生比赛中，一支球队赛了若干场后积20分，问该队赢了多少场？输了多少场？情境二某球员在一场篮球比赛中共得了35分（其中罚球得10分），问他分别投中了多少个两分球？多少个三分球？情境三小亮在“智力快车”竞赛中回答10个问题，小亮能答对几题、答错几题？（学生自己先思考5分钟后，再讨论。

最后由4个人一小组中的一位同学说出讨论结果.）（二）探索活动，揭示新知1、如果设该队赢了x场，输了y场，那么可得方程：（）2、你能列出所有输赢的所有可能情况吗？3、如果设投中了（）个两分球，（）个三分球，根据题意可列方程：（）4、请你设计一个表格，列出这名球员投中两分球和三分球的各种情况，根据你所列的表格回答下列问题：（1）这名球员最多投中了（）个三分球（2）这名球员最多投中了（）个球（3）如果这名球员投中了10个球，那么他投中了（）个三分球，（）个两分球列出上面三小题的方程：（1）设该队赢了x场,输了y场，2x+y=20（2）设赢了x场，输了y场，2x+3y=35-10（3）设答对x题，答错y题，x+y=10观察方程：（1）这三个方程有哪些共同的特点？（2）你能根据这些特点给它们起一个名称吗？引导学生和以前学过的一元一次方程相联系，观察方程中有几个未知数，未知数的次数是几次？含有未知数的项的次数是几次？得出结论：像这含有两个未知数，并且所含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

二元一次方程组的解法在代数学中，二元一次方程组是由两个未知数和两个方程组成的方程组。

解决这种方程组的方法有很多种，下面将介绍其中三种常见的解法。

方法一：代入法代入法是一种比较简单直观的解二元一次方程组的方法。

假设有如下二元一次方程组：{ Equation1{ Equation2首先将其中一个方程（不妨设为方程1）的其中一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后代入另一个方程（方程2）中消去这个未知数，从而得到一个只包含一个未知数的一次方程。

例如，假设方程组为：{ 2x + 3y = 7 Equation1{ 5x - y = 1 Equation2我们可以通过将方程2中y表示为x的函数（y = 5x - 1），将其代入方程1中，得到：2x + 3(5x - 1) = 7然后将这个一次方程化简，求解得到x的值。

将x的值代入方程2中，即可得到y的值。

最终得到方程组的解。

方法二：消元法消元法是解二元一次方程组的常用方法之一。

它通过逐步消去一个未知数，将方程组化为只含有一个未知数的一次方程，然后求解得到解。

例如，假设方程组为：{ 2x + 3y = 7 Equation1{ 5x - y = 1 Equation2我们可以通过将方程1乘以5，将方程2乘以2，然后将两个方程相减，消去y的系数，得到一个只含有x的一次方程：10x + 15y = 3510x - 2y = 2--------------17y = 33通过化简这个一次方程，求解得到y的值。

将y的值代入方程1或方程2中，即可得到x的值。

最终得到方程组的解。

方法三：Cramer法则Cramer法则是一种基于行列式的解二元一次方程组的方法。

假设有如下二元一次方程组：{ Equation1{ Equation2首先计算系数矩阵A的行列式值D，然后在D中用方程组右边的常数项替换掉A的某一列，得到矩阵Dx。

同理，用方程组右边的常数项替换掉A的另一列，得到矩阵Dy。

二元一次方程组的解法二元一次方程组是指包含两个未知数和两个方程的方程组。

解二元一次方程组的常用方法有消元法、代入法和矩阵法等。

下面将分别介绍这三种方法的步骤和应用。

一、消元法消元法是解二元一次方程组常用的方法，它的基本思想是通过消去一个未知数，从而将方程组转化为只含一个未知数的一次方程，进而求解。

假设给定的二元方程组为：a₁x + b₁y = c₁（1）a₂x + b₂y = c₂（2）步骤如下：1. 通过等式的加减消去一个未知数。

选择其中一个方程，将其系数乘以另一个方程中与其同未知数的系数的相反数，然后将两个方程相加或相减，消去该未知数。

2. 获得新的一次方程，其中只含有一个未知数。

3. 解新的一次方程，求得该未知数的值。

4. 将求得的未知数值代入原方程中，求得另一个未知数的值。

5. 检查解的可行性，在原方程组中验证求得的解是否满足原方程组。

二、代入法代入法是解二元一次方程组的另一种常用方法，它的基本思想是将一个方程的一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后将其代入另一个方程，从而将方程组转化为只含一个未知数的方程，进而求解。

假设给定的二元方程组为：a₁x + b₁y = c₁（1）a₂x + b₂y = c₂（2）步骤如下：1. 选择一个方程，将其一个未知数表示为另一个未知数的函数，例如将（1）中的 x 表示为 y 的函数：x = f(y)。

2. 将函数表达式代入另一个方程（2），得到只含有一个未知数 y的一次方程。

3. 解这个一次方程，求得 y 的值。

4. 将求得的 y 值代入第一个方程（1），求得 x 的值。

5. 检查解的可行性，在原方程组中验证求得的解是否满足原方程组。

三、矩阵法矩阵法是用矩阵运算的方法解二元一次方程组，它的基本思想是将方程组转化为矩阵方程，通过对矩阵的运算得到解。

假设给定的二元方程组为：a₁x + b₁y = c₁（1）a₂x + b₂y = c₂（2）将方程组表示为矩阵形式：⎛ a₁ b₁⎞⎛ x ⎞⎛ c₁⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝ a₂ b₂⎠ * ⎝ y ⎠ = ⎝ c₂⎠利用矩阵的逆矩阵，可以得到未知数向量的值：⎛ x ⎞⎛ a₁ b₁⎞⁻¹⎛ c₁⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝ y ⎠ = ⎝ a₂ b₂⎠⎝ c₂⎠通过计算矩阵的逆矩阵，可以求得未知数的值。

10.2二元一次方程组的解法
【学习目标】
1.探索二元一次方程组的解法，会用代入消元法解二元一次方程组；
2.了解二元一次方程组的“消元”思想方法，初步体会数学中“化未知为已知”的化归思想。

【回顾旧知】
已知方程x+6y=4,用含x 的代数式表示y,则y= ______；用含y 的代数式表示x ，则x=______.这两种形式哪一种更简单？当x=1时，y=_____, 当x=-1时，y=______
【自主学习】阅读课本51-52页观察与思考部分，思考以下问题。

⑴方程组中的方程①②中的x 分别代表什么？意义一样吗？y 分别代表什么？意义一样吗？
(2)如果将其中一个方程变形，把其中一个未知数用另一个未知数表示出来，比如，把方程②变形，用x 表示y ，y =③，变形后的方程③中的x,y 和原来的意义一样吗？数值相等吗？
(3)能否用方程③中的代数式代替方程组中的y 呢？依据是什么？分别代入①②试一试，你发现了什么？
所以，应该把③代人中，得到
此时，消去了未知数，得到关于的一元一次方程。

归纳总结：
1.解二元一次方程组的基本思想是什么？
2.什么是代入消元法？
例1．解 方 程 组
练习
本节课你学到了什么？
⎩
⎨⎧=--=）（）（23145121x 3y x y x y y x 17918=+=139
2-=-=+y x y x
【当堂达标】 152=+-=y x y x 132163-=+=+n m n m。

二元一次方程组的解法（第1课时）学习目标：1．通过探索，逐步发现解方程组的基本思想是“消元”，化二元—次方程组为一元一次方程。

2．了解“代人消元法”，并掌握直接代入消元法。

3．通过代入消元，初步理解把“未知”转化为“已知”，和复杂问题转化为简单问题的思想方法。

重点：代入法解二元一次方程组。

难点：用含一个未知数的代数式表示另一个方程。

一、【温故知新】1. 什么叫二元一次方程？什么叫二元一次方程组？什么叫二元一次方程组的解？2. 把下列方程写成用含y 的式子表示x 的形式：如，x+y=2，则x=2-y （1）2x －5y ＝3 （2）3x ＋8y －1＝0 (3)3y-2x = -1二、【创设情境】诸城市将举行篮球联赛，比赛规则：每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，我校为了争取较好名次，想在全部22场比赛中得40分，请计算一下我校的胜负场数各是多少。

1）如果设一个未知数：胜x 场，可得一元一次方程 ． 2）如果设两个未知数：胜x 场，负y 场，可得方程组3）请以小组为单位思考：得出的一元一次方程与二元一次方程组有什么关系？ 三、【探索新知】 （一）情境分析：用一个未知数表示另一个未知数 ⑴24x y +=，所以________x =；⑵345x y +=，所以________x =，________y =． （二）合作探究:探究一：1、在方程组 y-x=6 ①中，方程②说明y 和4x 是相等的，因此方程①中的y 可以用————代替，从而方程① y=4x ②可变成一元一次方程 ，解这个一元一次方程可得x= ，再把x 的值代入①或②，可得到y= ，所以方程组的解为 x= y=解：把 代入 得 （②说明y 和4x 相等）（①中消去y ，只剩x ，从而变为一元一次方程）解得：x= （解出x 的值）把x= 代入②得 （可以代入①求y 吗？） y= (求出y 的值)所以 x= （写出方程组的解）y=2、二元一次方程组中有 个未知数，消去其中的一个未知数，就把二元一次方程组转化成了我们熟悉的 ，我们可以先求出 ，然后再求出 ，这种将未知数由 化 ，逐一解决的思想叫做消元思想。