高数课后答案--第1章

高等数学教材微积分课后答案第一章微积分基本概念1. 第一节课后习题答案1.1 单项选择题1. A2. B3. C4. D5. A1.2 填空题1. 42. 273. 184. 05. 21.3 解答题1. (a) 首先将函数对x求导，得到f'(x) = 6x^2 + 12x - 8。

令f'(x) = 0，解得x = -2和x = 2/3。

然后再带入原函数，得到f(-2) = 0和f(2/3) = -1/27。

因此，函数在x = -2和x = 2/3处取得极值，极大值为0，极小值为-1/27。

(b) 由于f'(x) = 6x^2 + 12x - 8 > 0，说明函数在(-∞, -2)和(2/3, +∞)上为增函数；当-2 < x < 2/3时，f'(x) < 0，说明函数在(-2, 2/3)上为减函数。

结合图像，可以得到函数的单调性为：在(-∞, -2)上递增，在(-2, 2/3)上递减，在(2/3, +∞)上递增。

2. 第二节课后习题答案2.1 单项选择题1. C2. A3. D4. B5. C2.2 填空题1. 82. 123. 04. -∞5. +∞2.3 解答题1. (a) 首先求函数的导数，得到f'(x) = 2e^x - 12x。

令f'(x) = 0，解得x = ln6。

然后带入原函数，得到f(ln6) = 4ln6 - 6ln^2(6)。

因此，函数在x = ln6处取得极值。

(b) 由于f'(x) = 2e^x - 12x > 0，说明函数在(-∞, ln6)上为增函数；当x > ln6时，f'(x) < 0，说明函数在(ln6, +∞)上为减函数。

结合图像，可以得到函数的单调性为：在(-∞, ln6)上递增，在(ln6, +∞)上递减。

第二章微分学中值定理1. 第三节课后习题答案1.1 单项选择题1. B2. D3. C4. A5. D1.2 填空题1. 42. 53. π/24. √35. 01.3 解答题1. 根据罗尔定理，首先证明f(x)在区间[0, 1]上连续。

《高等数学》习题参考资料第一篇 一元函数微积分第一章 极限与连续§1 函 数习 题1.确定下列初等函数的定义域：(1) 21)(2−−+=x x x x f ；(2)4)(2−=x x f ；(3) 21arcsin )(−=x x f ；(4)2)5lg()(x x x f −=；(5) 4lg )5lg()(2−−=x x x f ；(6)x x x f cos sin )(−=。

1． 【答案】(1) )},2()2,1()1,(|{:+∞∪−∪−−∞∈=x x D (2) )},2[]2,(|{:+∞∪−−∞∈=x x D (3) ]}3,1[|{:;−∈=x x D (4) )}5,0()0,(|{:∪−∞∈=x x D (5) ]}4,1[|{:∈=x x D (6)+ +∈=+∞−∞=U k k k x x D ππ452,412|:.2. 作出下列函数的图象：（1）|sin |sin )(x x x f −=；(2)|1|2)(−−=x x f ；（3）+−−=,1,1,21)(x x x x f .12,21,1||−<<−<<≤x x x 2 【答案】 (1)2(2)2 (3)3.判断下列函数的奇偶性：（1）x x x f ++−=11)(；（2）xxx f x x +−+−=11lg110110)(；（3）x x a a x f x x sin )(++=−；（4）)1lg()(2x x x f ++=。

3. 【答案】 (1) 偶函数; (2) 偶函数; (3) 偶函数; (4) 奇函数 .4.证明:两个奇函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数。

4． 【答案】 设)(x f ,)(x h 是奇函数, )(x g 是偶函数,)()()(x h x f x f =,)()()(x g x f x G =, 于是)()()(x h x f x F −−=−))())(((x h x f −−=)()()(x F x h x f ==, 因此)(x F 是偶函数.)()()(x g x f x G −−=−)()(x g x f −=)(x G −=, 因此)(x G 是奇函数.5．设函数f 满足：D （f ）关于原点对称，且()xc x bf x af =+1)(，其中a ,b ,c 都是常数，||||b a ≠,试证明f 是奇函数。

高等数学（本）第一章 函数与极限1. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||,03|||,sin |)(ππϕx x x x , 求).2(446ϕπϕπϕπϕ、、、⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛6sin )6(ππϕ=21=224sin )4(==ππϕ ()0222)4sin()4(==-=-ϕππϕ2. 设()x f 的定义域为[]1,0，问：⑴()2x f ； ⑵()x f sin ； ⑶()()0>+a a x f ； ⑷()()a x f a x f -++ ()0>a 的定义域是什么？（1）][；，－的定义域为所以知－11)(,111022x f x x ≤≤≤≤[]ππππ)12(,2)(sin ),()12(21sin 0)2(+∈+≤≤≤≤k k x f Z k k x k x 的定义域为所以知由][a a a x f ax a a x -+-≤≤≤+≤1,)(110)3(－的定义域为所以知－由][φ时，定义域为当时，定义域为当从而得－知由211,210111010)4(>-≤<⎩⎨⎧+≤≤-≤≤⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a a a a a x a ax a a x a x班级 姓名 学号3. 设()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=111011x x x x f ，()x e x g =，求()[]x g f 和()[]x f g ，并做出这两个函数的图形。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<==⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=-1,1,11,)]([.)20,10,00,1)]([1)(,11)(,01)(,1)]([.)11)(x e x x e e x f g x x x x g f x g x g x g x g f x f 从而得4. 设数列{}n x 有界, 又,0lim =∞→n n y 证明: .0lim =∞→n n n y x{}结论成立。

第一章函数与极限第一节映射与函数一、填空题1.函数ln(2)y x =+的定义域为[1,)(2,1]+∞-- .2.设函数2(1)f x x x +=+，则=)(x f x x -2.3.设函数()f x 的定义域为[0,1]，则(e )xf 的定义域为(,0]-∞.4.已知()sin f x x =,[]2()1f x x ϕ=-,则()x ϕ=2arcsin(1)x -,其定义域为5.设2,0,()e ,0,x x x f x x ⎧-≥=⎨<⎩()ln x x ϕ=，则复合函数[]()f x ϕ=2ln ,1,01x x x x ⎧-≥⎨<<⎩.6.设函数1,1,()0,1,x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则[]()f f x =1.7.函数(10)y x =-≤<二、单项选择题1.函数lnarcsin 23x xy x =+-的定义域为C .A．(,3)(3,2)-∞-- B.(0,3)C.[3,0)(2,3]- D.(,)-∞+∞2.设(1)f x -的定义域为[0,](0)a a >，则()f x 的定义域为B.A.[1,1]a +B.[1,1]a -- C.[1,1]a a -+ D.[1,1]a a -+3.函数11x y x -=+的反函数是D .A.11x y x -=+ B.11xy x-=+ C.11x y x +=- D.11x y x+=-4.设()f x 为奇函数，()x ϕ为偶函数，且[()]f x ϕ有意义，则[()]f x ϕ为B.A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.以上均不正确三、解答题1.判断函数(ln y x =+的奇偶性，并求其反函数.解：因为()ln(ln(()f x x x f x -=-==-=-，所以()f x 是奇函数.由e yx =，e yx --=，得e e 2y y x --=，所以反函数为e e 2x xy --=2.设)(x f 满足c b a xcx bf x af ,,()1()(=-+均为常数，且)b a ≠,求)(x f .解：x cx bf x af =-+)1()()1(令t x =-1,则t x -=1,故t c t bf t af -=+-1)()1(.xcx bf x af -=+-∴1)()1(.(2)联立(1),(2)得到1(1)(22xbcx ac b a x f ---=.四、证明2()1xf x x =+在其定义域内有界.证明：,x R ∀∈取12M =,使得21()122x x f x M x x =≤==+，所以()f x 在其定义域R 内有界.第二节数列的极限一、单项选择题1.数列极限lim n n y A →∞=的几何意义是D .A．在点A 的某一邻域内部含有{}n y 中的无穷多个点B.在点A 的某一邻域外部含有{}n y 中的无穷多个点C.在点A 的任何一个邻域外部含有{}n y 中的无穷多个点D.在点A 的任何一个邻域外部至多含有{}n y 中的有限多个点nn n 632-∞→A.65-B.31 C.35 D.13.数列有界是数列收敛的C条件.A.充分B.充要C.必要D.两者没有关系二、利用数列极限的定义证明:1cos lim0n nn→∞+=.证明：对0ε∀>，要使1cos 1cos 20n n n n nε++-=≤<，只需2n ε>.0ε∀>,取2N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，就有1cos 0n n ε+-<成立，所以1cos lim0n nn→∞+=.第三节函数的极限一、单项选择题1.=+→x x x 1lim2A.A.32 B.1C.21 D.2.若函数()f x 在某点0x 极限存在，则C.A.()f x 在点0x 的函数值必存在且等于该点极限值B.()f x 在点0x 的函数值必存在,但不一定等于该点极限值C.()f x 在点0x 的函数值可以不存在D.若()f x 在点0x 的函数值存在，必等于该点极限值∞→32x x A.1B.21 C.0D.不存在4.极限0limx x x→=D .A.1B.1- C.0D.不存在二、利用函数极限的定义证明:236lim 53x x x x →--=-.证明：0ε∀>，要使26533x x x x ε---=-<-，只需取δε=，则当03x δ<-<时，就有26533x x x x ε---=-<-成立,所以236lim 53x x x x →--=-.第四节无穷小与无穷大一、单项选择题1.下列命题正确的是C.A.无穷小量的倒数是无穷大量B.无穷小量是绝对值很小很小的数C.无穷小量是以零为极限的变量D.无界变量一定是无穷大量2.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是C.A.1sin(0)x x→ B.1e (0)xx →C.2ln(1)(0)x x +→ D.21(1)1x x x -→-3.下列命题正确的是D.A.两个无穷小的商仍然是无穷小B.两个无穷大的商仍然是无穷大C.112--x x 是1→x 时的无穷小D.1-x 是1→x 时的无穷小4.(附加题)设数列{}n x 与{}n y 满足lim 0n n n x y →∞=，则下列命题正确的是B.A.若{}n x 发散，则{}n y 发散B.若1n x ⎧⎫⎨⎩⎭为无穷小，则{}n y 必为无穷小C.若{}n x 无界，则{}n y 必有界 D.若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小提示：已知n n x y 为无穷小，当1n x 为无穷小时，必有1()n n n ny x y x =⋅为无穷小；否A，例n x n =发散，21n y n=收敛；否C，例1(1),1(1)n n n n x n y n ⎡⎤⎡⎤=+-⋅=--⋅⎣⎦⎣⎦均无界；否D，例21n x n=有界，n y n =非无穷小.第五节极限运算法则一、填空题1.21lim2x x x x →+=++12. 2.121lim1x x x →+=-∞.3.22121lim1x x x x →-+=-0.4.212lim3n n n →∞+++=+ 12.5.若232lim43x x x kx →-+=-，则常数k =3-.提示：由已知，得23lim(2)0x x x k →-+=，3k ∴=-.6.设213lim 112x a x x x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭，则常数a =2.提示：由已知，222113lim ,lim()012x x a x x a x x x →→--=∴--=-，从而2a =.7.e 1lim e 1n nn →∞-=+1.提示：11e 1e lim lim 11e 11en n n n n n→∞→∞--==++8.=-+++∞→)2324(lim 2x x x x 21.9.11021lim 21xx x-→-=+-1，1121lim 21xx x+→-=+1，所以11021lim21xx x →-+不存在.提示：11lim 20,lim 2x xx x -+→→==+∞10.已知21sin ,0()1,0x x x f x x x ⎧<⎪⎪=>⎪⎩,则0lim ()x f x →=0.二、计算题1.220()lim h x h x h→+-解：1.2222220000()22limlim lim lim(2)2h h h h x h x x xh h x xh h x h x h h h →→→→+-++-+===+=.2.231lim (2sin )x x x x x→∞-++解：因为2332111lim lim 011x x x x x x x x→∞→∞--==++，而2sin x +为有界函数，所以根据无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量，知231lim (2sin )0x x x x x→∞-+=+.3.322232lim 6x x x x x x →-++--解：32222232(1)(2)(1)2lim lim lim 6(3)(2)35x x x x x x x x x x x x x x x x →-→-→-+++++===----+-.4.21lim1x x →-解：211lim1x x x →→=-1x →=14x →=.5.lim x →+∞解：lim x →+∞=limxlimlimx x ==1=-.6.求)1111(lim 31xx x ---→.解：原式32112lim x x x x --+=→)1)(1()2)(1(lim21x x x x x x ++-+-=→112lim21-=+++-=→x x x x .第六节极限存在准则两个重要极限一、填空题1.0sin lim x x x →=1；sin lim x xx→∞=0.提示：0sin lim1x x x →=；sin 1lim lim sin 0x x x x x x →∞→∞=⋅=.2.0sin limsin x x x x x →-=+0；sin lim sin x x xx x→∞-=+1.提示：00sin 1sin lim lim 0sin sin 1x x x x x x x x x x →→--==++；11sin sin lim lim 11sin 1sin x x xx x x x x xx→∞→∞-⋅-==++⋅.3.1lim 1kxx x →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭e k-（k 为正整数）.提示：.()11lim 1lim 1e kxx k k x x x x ---→∞→∞⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.4.10lim 12xx x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭12e-.提示：11221200lim 1lim 1e22xxx x x x ---→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.二、计算题1.30tan sin limx x xx →-解：3200tan sin sin 1cos lim lim cos x x x x x x x x x x →→--=⋅2220002sin sinsin 1122lim lim lim 222x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪=⋅== ⎪ ⎪⎝⎭. 2.011limsin x x→解：000011limlim lim lim sin sin sin 2x x x x x x x x x →→→→-=⋅.3.0x →解：原式2220002sin 1sin cos 1cos 2lim 6lim 6lim 311cos sin 32x x x x x x x x x x x x x →→→---====-⋅.4.lim n →∞⎛⎫+解：<++<，又1,1n n n n ====，所以根据夹逼准则知，lim 1n →∞⎛⎫+++=⎪⎭.第七节无穷小的比较一、填空题1.当0x →时，sin 3x 是2x 的低阶无穷小；2sin x x +是x 的等价（或同阶）无穷小；1cos sin x x -+是2x 的低阶无穷小；cos 1x -是2arcsin x 的同阶无穷小；1(1)1nx +-是x n的等价（或同阶）无穷小；32x x -是22x x -的高阶无穷小.提示：222000sin 32sin 1cos sin lim,lim 2,lim,x x x xx x x xx xx →→→+-+=∞==∞13222000cos 11(1)1lim ,lim 1,lim 0arcsin 22nx x x x x x x x x x x n→→→-+--=-==-.2.已知0x →时，()12311ax+-与cos 1x -为等价无穷小，则常数a =32-.提示：12230021(1)1233lim lim 1,1cos 1322x x axax a a x x →→+-==-==---.二、计算题1．21tan 1limx x x →-解：2000tan 1tan 1122lim lim lim 2x x x x xx x x x →→→--===--.2.2220(sec 1)lim3sin x x x x →-解：22222222240002(sec 1)(1cos )1lim lim lim3sin 3cos 312x x x x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪--⎝⎭===⋅⋅.3.0tan 2tan lim3sin sin 2x x x x x→--解：000sin 2sin sin tan 2tan cos 2cos cos 2cos lim lim lim 13sin sin 23sin sin 2sin (32cos )x x x x x xx xx x x x x x x x x x →→→--⋅===---.4.20sin cos 1limsin 3x x x x x →+--解：200sin cos 11limlim sin 333x x x x x x x x →→+-==-.第八节函数的连续性与间断点一、填空题1.设2,0()sin ,0a bx x f x bx x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在0x =处连续，则常数,a b 应满足的关系为a b =.提示：()2(0)lim (0)x f a bxa f --→=+==，0sin (0)lim x bxf b x-+→==.2.设0()1,0ln(1),0x f x x bx x x <=-=⎨⎪+⎪->⎪⎩在0x =处连续，则常数a =22，b =1.提示：0(0)lim lim lim x x x axf x ----→→→===，(0)1f =-，00ln(1)(0)lim lim x x bx bxf b x x--+→→+=-=-=-.3.()sin xf x x=的可去间断点为0x =；221()32x f x x x -=-+的无穷间断点为2x =.4.若函数e ()(1)x af x x x -=-有无穷间断点0x =及可去间断点1x =，则常数a =e .提示：由已知，1e lim (1)x x a x x →--存在，所以1lim(e )0xx a →-=，从而e a =.二、单项选择题1.0x =是1()sin f x x x=的A .A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点提示：01lim ()lim sin0x x f x x x→→==2.函数21,0(),012,12x x f x x x x x ⎧-<⎪=≤≤⎨⎪-<≤⎩D.A.在0,1x x ==处都间断B.在0,1x x ==处都连续C.在0x =处连续，1x =处间断D.在0x =处间断，1x =处连续提示：(0)1,(0)0(0)f f f -+=-==；(1)(1)1,(1)1f f f -+===.3.设函数42,0(),0x f x xk x ≠=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则k =B .A.4B.14C.2D.12提示：021lim ()limlim ,(0)4x x x f x f k x →→→===.4.函数111122,0()221,0x x x x x f x x --⎧-⎪≠⎪=⎨+⎪=⎪⎩在0x =处B .A.左连续B.右连续C.左右均不连续D.连续提示：110lim 20,lim 2xxx x -+→→==+∞，从而(0)1(0),(0)1(0)f f f f -+=-≠==.三、讨论函数11e ,0()ln(1),10x x f x x x -⎧⎪>=⎨⎪+-<≤⎩在0x =处的连续性.解：111(0)lim ln(1)0(0),(0)lim ee x x xf x f f -+-+--→→=+====，所以()f x 在0x =处不连续，且0x =是第一类跳跃型间断点.四、若2,0()0e (sin cos ),x x a xf x x x x +≤⎧=⎨>+⎩在-∞(，)∞+内连续，求a .解：由于)(x f 在0=x 处连续,所以)0()0()0(f f f ==-+.(0)lim ()lim e (sin cos )1x x x f f x x x +++→→==+=,a a x x f f x x =+==--→→-)2(lim )(lim )0(0,a f =)0(.故1=a .五、设()f x 在(,)-∞+∞内有定义，且lim ()x f x a →∞=，1,0()0,0f x g x x x ⎧⎛⎫≠⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=⎩.试讨论()g x 在0x =处的连续性.解：()0011lim ()lim lim 令x x t t x g x f f t a x →→→∞=⎛⎫== ⎪⎝⎭，(0)0g =，所以当0a =时，()g x 在0x =处连续，当0a ≠时，()g x 在0x =处间断.第九节连续函数的运算与初等函数的连续性一、填空题1.设,0()1,0a x x f x x x +≤⎧=>⎩在(,)-∞+∞内连续，则常数a =12.2.设22,1()1,1x bx x f x x a x ⎧++≠⎪=-⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞处连续，则常数a =1，b =-3.提示：由题意知，1lim ()(1)x f x f a →==，则212lim1x x bx a x→++=-21lim(2)0x x bx →∴++=，则3b =-，进而1a =.3.211lim cos1x x x →-=-cos 2. 4.()2cot 2lim 1tan xx x→+=e .5.21lim 1xx x x →∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭4e-.提示：41122412lim lim 1e 11xx x xx x x x x -++--→∞→∞⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-= ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦.6.已知lim 82xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则常数a =ln 2.提示：332233lim lim 1e 822x a x x axx a x aax a a x a x a →∞→∞--⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+== ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以3ln 8,ln 2a a ==.7.203sin (1)cos lim (1cos )x x x x x →++=+12.8.0x →=12.提示：原式limx→=0x →=22012limsin 222x x x x x →⋅==⋅.9．函数21()23f x x x =--的连续区间是(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞．二、单项选择题1.当1→x 时,函数1211e 1x x x ---的极限等于D .A.2B.0C.∞D.不存在但不为∞2.设()f x 在2x =连续，(2)3f =，则2214lim ()24x f x x x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭D .A.0B.2C.3D.34提示：22222142113lim ()lim ()lim ()(2)244244x x x x f x f x f x f x x x x →→→-⎛⎫-====⎪---+⎝⎭.三、讨论11()1exxf x -=-的连续性，若有间断点，指出其类型.解：()f x 为初等函数，故在其定义区间(,0),(0,1),(1,)-∞+∞内均连续，在其无定义点0,1x x ==间断.据011lim ()lim1ex x x xf x →→-==∞-，知0x =为第二类无穷间断点；据11111111lim ()lim 0,lim ()lim 11e1exx x x x x xxf x f x --++→→→→--====--，知1x =为第一类跳跃间断点.第十节闭区间上连续函数的性质一、单项选择题1.方程sin 2x x +=有实根的区间为A.A.π,32⎛⎫⎪⎝⎭B.π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭C.ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭D.ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭提示：令()sin 2f x x x =+-，分别在各个对应的闭区间上验证零点定理是否成立即可.2.方程(1)(2)(3)(1)(2)(4)(1)(3)(4)x x x x x x x x x ---+---+---(2)(3)(4)0x x x +---=有D 个实根.A.0B.1C.2D.3提示：令()(1)(2)(3)(1)(2)(4)(1)(3)(4)f x x x x x x x x x x =---+---+---(2)(3)(4)x x x +---，又(1)0,(2)0,(3)0,(4)0f f f f <><>，则由零点定理知，方程在(1,2),(2,3),(3,4)分别至少存在一个根；又()f x 是三次多项式，则方程至多有三个根，综上可知方程恰好有三个根.二、证明题1.证明方程e 2xx -=在区间(0,2)内至少有一实根.证明：令()e 2xf x x =--，则()f x 在[0,2]上连续，且2(0)10,(2)e 40f f =-<=->，根据零点定理，至少存在一点(0,2)ξ∈，使()0f ξ=，所以方程()0f x =，即e 2xx -=在区间(0,2)内至少有一实根.2.设()f x 在[,]a b 上连续，且(),()f a a f b b <>.证明至少存在一点(,)a b ξ∈，使()f ξξ=.证明：令()()F x f x x =-，则()F x 在[,]a b 上连续，且()()0F a f a a =-<，()()0F b f b b =->，根据零点定理，至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0F ξ=，即()f ξξ=.3.附加题设()f x 在[,)a +∞上连续，lim ()0x f x →+∞=.证明()f x 在[,)a +∞上有界.证明：由lim ()0x f x →+∞=，对10,X a ε=>∃>，当x X >时，有()()01f x f x ε=-<=，即()f x 在(,)X +∞上有界；又()f x 在[,]a X 上连续，故()f x 在[,]a X 上有界，所以存在10,M >使[]1(),,f x M x a X ≤∀∈，取{}1max 1,M M =，则对[],x a ∀∈+∞()f x M <，即()f x 在[,)a +∞上有界.第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.()03limsin tan ln 12x x x x →=-+14-.提示：()20003331lim lim lim 4sin tan tan (cos 1)222ln 12x x x xx x x x x x x x →→→-⋅===---+.2.2131lim2x x x →-=+-26-.提示：21lim26x x x x →→==-+-.3.已知212lim31x x ax bx →-++=+，其中b a ,为常数，则a =7，b =5.4.若()2sin 2e 1,0,0ax x x f x xa x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在()+∞∞-,上连续，则a =-2.提示：由题意知，20sin 2e 1lim ax x x x →+-20sin 2e 1lim 22ax x x a a x x →⎛⎫-=+=+= ⎪⎝⎭，从而2a =-.5.曲线21()43x f x x x -=-+的水平渐近线是0y =，铅直渐近线是3x =.二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.“对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ”是数列{}n x 收敛于a 的C.A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件2.设()2,02,0x x g x x x -≤⎧=⎨+>⎩，()2,0,0x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩则()g f x =⎡⎤⎣⎦D .A.22,02,0x x x x ⎧+<⎨-≥⎩ B.22,02,0x x x x ⎧-<⎨+≥⎩ C.22,02,0x x x x ⎧-<⎨-≥⎩ D.22,02,0x x x x ⎧+<⎨+≥⎩3.下列各式中正确的是D.A．01lim 1exx x +→⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.01lim 1e xx x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭C.1lim 1e xx x →∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D.11lim 1e xx x --→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭4.设0→x 时，tan e 1x-与n x 是等价无穷小，则正整数n =A.A.1B.2C.3D.4提示：由题意知，当0→x 时，tan e 1tan xx x - 从而n 取1.5.曲线221e 1ex x y --+=-D .A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线又有铅直渐近线6．下列函数在给定区间上无界的是C.A.1sin ,(0,1]x x x ∈ B.1sin ,(0,)x x x∈+∞C.11sin ,(0,1]x x x∈ D.1sin ,(0,)x x x∈+∞三、计算题（每小题7分，共49分）1.2x →解：2222(1)(2)(413)(1)(413)9limlim 4(2)42x x x x x x x →→→+-+===-.2.()21ln(1)lim cos x x x +→解：()()2211ln(1)ln(1)0limcos lim 1cos 1x x x x x x ++→→=+-222001cos 112limlim ln(1)2eeex x x x x x →→---+===.3.()1lim123nnnn →∞++解：()1312333,31233n n n nnnn<++<⋅∴<++<⋅Q1n =，()1lim 1233nnnn →∞∴++=.4．21sinlimx x x解：2111sinsin sinlim lim limlim 112x x x x x x x x x x→+∞→+∞→+∞→+∞=⋅⋅.5.设函数()()1,0≠>=a a a x f x ，求()()()21lim ln 12n f f f n n →∞⎡⎤⎣⎦ .解：()()()()()()22ln 1ln 2ln 1limln 12lim n n f f f n f f f n n n →∞→∞+++=⎡⎤⎣⎦L L ()()222ln 12ln ln limlim22n n n n a n aan n →∞→∞++++===L .6.1402e sin lim 1e xx x x x →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭解：1144002e sin 2e sin 2lim lim 1111e 1e x x x x x x x x x x --→→⎛⎫⎛⎫++ ⎪ +=-=-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，11114444000e 2e 12e sin 2e sin sin lim lim lim 1e 1e e e 1x x x xx x x x x x x x x x x x x +++-→→→-⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪++⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪++ ⎪+⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭301lim 1e xx +-→=+=，所以，原式1=.7.已知(lim 1x x →-∞=，求,.a b解：左边22(1)lim limlim x x x x a x b x →-∞→-∞⎡⎤--+⎢==，右边1=，故[]lim (1)1x a x b →-∞--=+，则1,2a b ==-．四、讨论函数,0()(0,0,1,1)0,0x xa b x f x a b a b x x ⎧-≠⎪=>>≠≠⎨⎪=⎩在0x =处的连续性，若不连续，指出该间断点的类型.（本题8分）解：当a b =时，()0f x ≡，此时()f x 在0x =处连续；当a b ≠时，000011lim ()lim lim lim ln (0)0x x x x x x x x a b a b af x f x x x b→→→→---==-=≠=，故()f x 在0x =处不连续，所以0x =为()f x 得第一类（可去）间断点．五、附加题设()f x 在[0,1]上连续，且(0)(1)f f =.证明：一定存在一点10,2ξ⎡⎤∈⎢⎣⎦，使得1()2f f ξξ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（本题7分）证明：设1()()2F x f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，显然()F x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，而1(0)(0)2F f f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()()11110222F f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，211(0)(0)022F F f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--≤ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，若1(0)02F F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即(0)0F =或102F ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，此时取0ξ=或12ξ=即可；若1(0)02F F ⎛⎫< ⎪⎝⎭时，由零点定理知：一定存在一点10,2ξ⎡⎤∈⎢⎣⎦，使()0Fξ=，即1()2f fξξ⎛⎫=+⎪⎝⎭．。

习 题 1-11．求下列函数的自然定义域：（1）211y x =+- 解：依题意有21020x x ⎧-≠⎨+≥⎩，则函数定义域{}()|2x 1D x x x =≥-≠±且．（2）21arccosx y -= 解：依题意有2211360x x x ⎧-≤⎪⎨⎪-->⎩，则函数定义域()D x =∅．（3）2ln(32)y x x =-+-；解：依题意有2320x x -+->，则函数定义域{}()|12D x x x =<<．（4）312x xy -=；解：依题意有30x x -≠，则函数定义域{}()|x 0,1D x x x =-∞<<+∞≠±且．（5）1sin1,121;x y x x ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩, ， 解：依题意有定义域{}()|D x x x =-∞<<+∞．（6）1arctan y x =+解：依题意有030x x ≠⎧⎨-≥⎩，则函数定义域{}()|3x 0D x x x =≤≠且．2．已知()f x 定义域为[0,1]，求2(), (sin ), (), ()()f x f x f x a f x a f x a +++-(0a >)的定义域．解：因为()f x 定义域为[0,1]，所以当201x ≤≤时，得函数2()f x 的定义域为[1,1]-；当0sin 1x ≤≤时，得函数(sin )f x 定义域为[2π,(21)π]k k +； 当01x a ≤+≤时，得函数()f x a +定义域为[,1]a a --+；当0101x a x a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩时，得函数()()f x a f x a ++-定义域为：（1）若12a <，[],1x a a ∈-；（2）若12a =，12x =；（3）若12a >，x ∈∅．3．设21()1,f x x ⎛⎫= ⎝其中0,a >求函数值(2),(1)f a f ．解：因为21()1f x x ⎛⎫= ⎝，则 2211(2)142a f a a a a -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，20 ,>1,11(1)1 2 ,0<<111a a f a a ⎛⎫⎧-=-= ⎪⎨ ⎪-⎩⎝⎭．4．设1||1,()0||1,()21|| 1.x x f x x g x x <⎧⎪===⎨⎪->⎩，求(())f g x 与(())g f x ，并做出函数图形．解：121(())0211 21x x xf g x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，即10(())001 0x f g x x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩，1012||1(())2||12||1x g f x x x -⎧<⎪==⎨⎪>⎩，即2||1(())1||11 ||12x g f x x x ⎧⎪<⎪==⎨⎪⎪>⎩，函数图形略．5．设1,0,()1,0,x x f x x +<⎧=⎨≥⎩试证：2,1,[()]1, 1.x x f f x x +<-⎧=⎨≥-⎩证明：1(),()0[()]1,()0f x f x f f x f x +<⎧=⎨≥⎩，即2,1,[()]1,1x x f f x x +<-⎧=⎨≥-⎩，得证． 6．下列各组函数中，()f x 与()g x 是否是同一函数？为什么？ （1）))()ln,()ln3f x x g x ==- ；不是，因为定义域和对应法则都不相同． （2）()()f x g x ==； 是．（3）22()2,()sec tan f x g x x x ==-； 不是，因为对应法则不同． （4）2()2lg ,()lg f x x g x x ==； 不是，因为定义域不同．7．确定下列函数在给定区间内的单调性： （1）3ln y x x =+，(0,)x ∈+∞； 解：当(0,)x ∈+∞时，函数13y x =单调递增，2ln y x =也是单调递增，则12y y y =+在(0,)+∞内也是递增的．（2）1xy x-=-，(,1)x ∈-∞． 解：(1)111111x x y x x x ---===+---，当(,1)x ∈-∞时，函数11y x =-单调递增，则21111y y x ==-是单调递减的，故原函数1xy x-=-是单调递减的． 8. 判定下列函数的奇偶性． （1）lg(y x =+；解：因为1()lg(lg(lg(()f x x x x f x --=-+==-+=-，所以lg(y x =+是奇函数．（2）0y =；解：因为()0()f x f x -==，所以0y =是偶函数． （3）22cos sin 1y x x x =++-；解：因为2()2cos sin 1f x x x x -=+--，()()()()f x f x f x f x -≠-≠-且，所以22cos sin 1y x x x =++-既非奇函数，又非偶函数．（4）2x xa a y -+=.解：因为()()2x x a a f x f x -+==，所以函数2x xa a y -+=是偶函数． 9．设()f x 是定义在[,]l l -上的任意函数，证明：（1）()()f x f x +-是偶函数，()()f x f x --是奇函数； （2）()f x 可表示成偶函数与奇函数之和的形式. 证明：（1）令()()(),()()()g x f x f x h x f x f x =+-=--，则()()()(),()()()()g x f x f x g x h x f x f x h x -=-+=-=--=-，所以()()f x f x +-是偶函数，()()f x f x --是奇函数．（2）任意函数()()()()()22f x f x f x f x f x +---=+，由（1）可知()()2f x f x +-是偶函数，()()2f x f x --是奇函数，所以命题得证． 10．证明：函数在区间I 上有界的充分与必要条件是：函数在I 上既有上界又有下界.证明：（必要性）若函数()f x 在区间I 上有界，则存在正数M ，使得x I ∈，都有()f x M ≤成立，显然()M f x M -≤≤，即证得函数()f x 在区间I 上既有上界又有下界（充分性）设函数()f x 在区间I 上既有上界2M ，又有下界1M ，即有12()()f x M f x M ≥≤且，取12max{,}M M M =，则有()f x M ≤，即函数()f x 在区间I 上有界．11．下列函数是否是周期函数？对于周期函数指出其周期： （1）|sin |y x =；周期函数，周期为π． （2）1sin πy x =+； 周期函数，周期为2． （3）tan y x x =； 不是周期函数． （4）2cos y x =.周期函数，周期为π．12．求下列函数的反函数：（1）331xx y =-；解：依题意，31x y y =-，则3log 1yx y =-，所以反函数为13()log ,(,0)(1,)1xf x x x -=∈-∞⋃+∞-．（2）()ax by ad bc cx d+=≠+；解：依题意，b dy x cy a -=-，则反函数1()()b dxf x ad bc cx a--=≠-．（3）(lg y x =+；解：依题意，1(1010)2y y x -=+，所以反函数11()(1010),2x x f x x R --=+∈．（4）ππ3cos 2,44y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭． 解：依题意，arccos 32y x =，所以反函数1arccos3(),[0,3]2x f x x -=∈． 13．在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值1x 和2x 的函数值：（1）212e ,1,0,2u y u x x x ====＋；（2）2121,e 1,1,1,1v y u u v x x x =+=-=+==-． 解：（1）215()e ,(0),(2)x y f x f e f e +====（2）12()(e 1)1x y f x +==-+，42(0)22f e e =-+，(1)1f -=．14．在一圆柱形容器内倒进某种溶液，该容器的底半径为r ，高为H ．当倒进溶液后液面的高度为h 时，溶液的体积为V ．试把h 表示为V 的函数，并指出其定义区间．解：依题意有2πV r h =，则22,[0,π]πV h V r H r =∈． 解：依题意有0.64,0 4.5() 4.50.64( 4.5) 3.2, 4.5x x f x x x ≤≤⎧=⎨⨯+-⨯>⎩，所以(3.5) 2.24(4.5) 2.88(5.5) 6.08f f f ===元，元，元．习 题 1-21．设21(1,2,3,)31n n a n n +==+， （1） 求110100222||,||,||333a a a ---的值；（2） 求N ，使当n N >时，不等式42||103n a --<成立；（3） 求N ，使当n N >时，不等式2||3n a ε-<成立．解：(1) 12321||||,34312a -=-= 1022121||||,331393a -=-=100220121||||33013903a -=-=． （2） 要使 42||10,3n a --< 即 4113310<（n+1）， 则只要9997,9n > 取N＝99971110,9⎡⎤=⎢⎥⎣⎦故当n>1110时，不等式42||103n a --<成立． （3）要使2||3n a ε-<成立，13,9n εε-> 取139N εε-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，那么当n N >时， 2||3n a ε-<成立.2．根据数列极限的定义证明：（1）1lim 0!n n →∞=； （2）1n →∞=．解：（1）0ε∀>， 要使111|0|!!n n n ε-<<＝， 只要取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 所以，对任意0ε>，存在1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有1|0|!n ε-<，则1lim 0!n n →∞=.(2) 0ε∀>,要使221|2n ε-=<<, 即n >,只要取N =,所以,对任意的ε>0,存在N =, 当n N >, 总有1|ε-<,则1n →∞=. 3．若lim n n x a →∞=，证明lim ||||n n x a →∞=．并举例说明：如果数列}{||n x 有极限，但数列}{n x 未必有极限．证明: 因为lim n n x a →∞=, 所以0ε∀>, 1N ∃, 当1n N >时, 有||n x a ε-<.不妨假设a>0, 由收敛数列的保号性可知:2N ∃, 当2n N >时, 有0n x >, 取{}12max ,N N N =, 则对0ε∀>, N ∃, 当n N >时, 有||||||||n n x a x a ε-=-<.故lim ||||n n x a →∞=. 同理可证0a <时, lim ||||n n x a →∞=成立.反之,如果数列{}||n x 有极限, 但数列{}||n x 未必有极限.如：数列()1nn x =-,||1n x =， 显然lim ||1n n x →∞=, 但lim n n x →∞不存在．4．设数列{}n x 有界，又lim 0n n y →∞=．证明：lim 0n n n x y →∞=．证明: 依题意,存在M>0, 对一切n 都有||n x M ≤， 又lim 0n n y →∞=, 对0ε∀>,存在N ,当n N >时, |0|n y ε-<, 因为对上述N , 当n N >时, |0|||||n n n n n x y x y M y M ε-=≤<,由ε的任意性, 则lim 0n n n x y →∞=．5．设数列{}n x 的一般项(3)π2n n x +=，求lim n n x →∞．解: 因为0x =, (3)π|cos |12n +≤, 所以 (3)π02x n +=. 6．对于数列{}n x ，若21()k x A k -→→∞，2()k x A k →→∞，证明：()n x A n →→∞．证明: 由于21lim k k x A -→∞=, 所以, 0ε∀>, 10N ∃>, 当1>k N 时，有21||k x A ε--<,同理, 0ε∀>,20N ∃>, 当2k N >时, 有2||k x A ε-<．取N =max {}12,N N , 0ε∀>, 当n N >时, ||n x A ε-<成立, 故()n x A n →→∞．习 题 1-31．当1x →时，234y x =+→．问δ等于多少，使当|1|x δ-<时，|4|0.01y -<？解：令 1|1|2x -<，则35|1|22x <+<，要使225|4||34||1||1||1||1|0.012y x x x x x -=+-=-=-+<-<， 只要|1|0.004x -<，所以取0.004δ=，使当 |1|x δ-< 时，|4|0.01y -<成立．2．当x →∞时，222123x y x +=→-．问X 等于多少，使当||x X >时，|2|0.001y -<？ 解：要使222217|2||2|3|3|x y x x +-=-=--2|3|7000x ->, 即237000x ->. 因此,只要||x >,所以取X ≥3．根据函数极限的定义证明：（1）3lim(21)5x x →-=； （2）35lim31x x x →∞+=-；（3）224lim 42x x x →--=-+； （4）lim0x =. 证明:(1) 由于|(21)5|2|3|x x --=-, 任给0ε>,要使|(21)5|x ε--<,只要|3|2x ε-<．因此取2εδ=,则当0|3|x δ<-<时, 总有|(21)5|x ε--<,故3lim(21)5x x →-=．(2) 由于358|3|1|1|x x x +-=--,任给0ε>, 要使35|3|1x x ε+-<-,只要8|1|x ε<-,即81x ε>+或81x ε<-, 因为0ε>,所以88|1||1|εε+>-, 取8|1|M ε=+，则当||x M >时,对0ε∀>,总有35|3|1x x ε+-<-,故有35lim 31x x x →∞+=-．(3)由于24|(4)||2|2x x x ---=++,任给0ε>,,要使24|(4)|2x x ε---<+,只要|2|x ε+<,因此取δε=,则当0|(2)|x δ<--<时,总有24|(4)|2x x ε---<+,故224lim 42x x x →--=-+. (4) 由于0|-<,任给0ε>,要使|0|ε<,ε<,即21x ε>,因此取21M ε=,则当x>M 时,总有0|ε-<,故lim 0x =. 4．用X ε-或εδ-语言，写出下列各函数极限的定义： （1）lim ()1x f x →-∞=； （2）lim ()x f x a →∞=；（3）lim ()x a f x b +→=； （4）3lim ()8x f x -→=-．解: (1) 0,ε∀> 0M ∃>, 当x<-M 时, 总有|()1|f x ε-<;(2) 0,ε∀> 0M ∃>, 当||x M >, 总有|()|f x a ε-<;(3) 0,ε∀> 0δ∃>, 当a x a δ<<+时, 总有|()|f x b ε-<; (4) 0,ε∀> 0δ∃> 当33x δ-<<时, 总有|()8|f x ε+<． 5．证明:0lim ||0x x →=.证明: 由于00lim ||lim 0x x x x ++→→==, 00lim ||lim()0x x x x --→→=-=,所以0lim ||0x x →=.6．证明：若x →+∞及x →-∞时，函数()f x 的极限都存在且都等于A ，则lim ()x f x A →∞=．证明: 由于lim ()x f x A →+∞=,则对0ε∀>,10M ∃>,当1x M >时,有|()|f x A ε-<．又lim ()x f x A →-∞=,则20M ∃>,当2x M <-,有|()|f x A ε-<.取{}12max ,M M M =那么对0ε∀>,当||x M >时,总有|()|f x A ε-<,故有lim ()x f x A →∞=.习 题 1-41．根据定义证明：（1）211x y x -=+为当1x →时的无穷小；（2）1sin y x x =为当x →∞时的无穷小；（3）13xy x+=为当0x →时的无穷大．证明:(1) 0ε∀>,因为21|0||1|1x x x --=-+,取δε=,则当0|1|x δ<-<时, 总有0x ≠,故211lim 01x x x →-=+． (2) 0ε∀>,因为111|sin 0||sin |||||x x x x x -=≤,取1M ε=, 则当||x M >时, 总有1|sin |1|sin 0|||||x x x x x ε-=≤<, 故1lim sin 0x x x →∞=.(3) 0M ∀>, 13M δ∃=+,当0||x δ<<时,总有1311|||3|3||x M x x x +=+>->,所以013lim x x x→+=∞. 2．函数sin y x x =在(0,)+∞内是否有界？该函数是否为x →+∞时的无穷大？解答: 取2πn x n =,则0n y =,因此当2πn x n =()n →∞时, ()0n n y x →→+∞故函数sin y x x = 当x →+∞时,不是无穷大量．下证该函数在()0,+∞内是无界的. 0M ∀>,π2π2n x n ∃=+ 且()n x n →+∞→∞,πππ2πsin 2π2π222n y n n n ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取[]01N M =+, 00π2π(0,)2x N ∃=+∈+∞,有0π2π2n y N M =+≥，所以sin y x x =是无界的.3．证明：函数11cos y x x=在区间(0,1]上无界，但这函数不是0x +→时的无穷大．证明: 令1t x=,类似第2题可得．习 题 1-51．求下列极限：（1）23231lim 41n n n n n →∞+++-；（2）111lim 1223(1)n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥⋅⋅+⎣⎦；（3）22212lim n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭； （4）1132lim 32n nn n n ++→∞+-；（5）2211lim 54x x x x →--+；（6）3221lim 53x x x x →+-+；（7）limx →+∞；（8）2221lim 53x x x x →∞+++；（9）330()lim h x h x h→+-；（10）22131lim 41x x x x →+-+；（11）3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭； （12）23lim 531x x xx x →∞+-+；（13）x →（14）3lim 21x x x →∞+；（15）3lim(236)x x x →∞-+； （16）323327lim 3x x x x x →+++-．解:(1) 23231lim 41n n n n n →∞+++- = 233311lim 0411n n n n n n→∞++=+-． (2) 111lim 1223(1)n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥⋅⋅+⎣⎦= 111111lim ()()()12231n n n →∞⎡⎤-+-++-⎢⎥+⎣⎦= 1lim(1)11n n →∞-=+． (3) 22212lim n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=21(1)12lim 2n n n n →∞+=． (4) 1132lim 32n nn n n ++→∞+-=21()13lim 2332()3n n n →∞+=-⋅．(5) 2211lim 54x x x x →--+=1(1)(1)lim (1)(4)x x x x x →-+--=112lim 43x x x →+=--． (6) 3221lim 53xx x x →+-+=322132523+=--⨯+．(7) limx →+∞=limx=limx =111lim 2x -=． (8) 2221lim53x x x x →∞+++=2212lim 2531x x x x→∞+=++． (9) 330()lim h x h x h →+-=322330(33)lim h x x h xh h x h→+++-=3220lim(33)3h x xh h x →++=．(10) 3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭=2313(1)lim 1x x x x →⎛⎫-++ ⎪-⎝⎭=21(1)(2)lim (1)(1)x x x x x x →-+-++ =212lim11x xx x →+=++．(11) 23lim 531x x x x x →∞+-+=22311lim 0315x x x x x→∞+=-+．(12) x →=x →=x →(13) 3lim 21x x x →∞+=2lim12x x x→∞=+∞+． (14) 3lim(236)x x x →∞-+=32336lim (2)x x x x→∞-+=∞．(15) 323327lim 3x x x x x →+++-=32331lim(327)lim 3x x x x x x →→+++⨯=∞-．2．设,0,()2,0.x e x f x x a x ⎧<=⎨+≥⎩问当a 为何值时，极限0lim ()x f x →存在．解：因为0000lim ()lim 1,lim ()lim(2)x x x x x f x e f x x a a --++→→→→===+=，所以，当00lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即1a =时，0lim ()x f x →存在． 3．求当x 1→时，函数12111x x e x ---的极限．解：因为11211111lim lim(1)0,1x x x x x e x e x ----→→-=+=-所以12111lim 1x x x e x -→--不存在。

第一章函数、极限与连续内容概要课后习题全解习题1-1★1．求下列函数的定义域：知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x 的取值的集合； 思路：常见的表达式有 ① a log □,（ □0>） ② /N □, （ □0≠） ③(0)≥W④ arcsin W （W[]1,1-∈）等解：（1）[)(]1,00,11100101122⋃-∈⇒⎩⎨⎧≤≤-≠⇒⎩⎨⎧≥-≠⇒--=x x x x x x x y ；（2）31121121arcsin≤≤-⇒≤-≤-⇒-=x x x y ； （3）()()3,00,030031arctan 3⋃∞-∈⇒⎩⎨⎧≠≤⇒⎩⎨⎧≠≥-⇒+-=x x x x x x x y ；（4）()()3,11,1,,1310301lg 3⋃-∞-∈⇒⎩⎨⎧-<<<⇒⎩⎨⎧-<-<⇒-=-x x or x x x x x y x；（5）()()4,22,11601110)16(log 221⋃∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-≠-<⇒-=-x x x x x y x ； ★ 2．下列各题中，函数是否相同？为什么？（1）2lg )(x x f =与x x g lg 2)(=；（2）12+=x y 与12+=y x知识点：函数相等的条件；思路：函数的两个要素是f （作用法则）及定义域D （作用范围），当两个函数作用法则f 相同（化简后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；解：（1）2lg )(x x f =的定义域D={}R x x x ∈≠,0，x x g lg )(=的定义域{},0R x x x D ∈>=，虽然作用法则相同x x lg 2lg 2=，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；（2）12+=x y ，以x 为自变量，显然定义域为实数R ；12+=y x ，以x 为自变量，显然定义域也为实数R ；两者作用法则相同“2□1+”与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数；★ 3．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3,03,sin )(ππϕx x x x ，求)2()4()4()6(--ϕπϕπϕπϕ，，，，并做出函数)(x y ϕ=的图形知识点：分段函数；思路：注意自变量的不同范围； 解：216sin)6(==ππϕ，224sin 4==⎪⎭⎫⎝⎛ππϕ，224sin 4=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππϕ()02=-ϕ；如图：★ 4．试证下列各函数在指定区间内的单调性 ：（1）()1,1∞--=xxy （2）x x y ln 2+=，()+∞,0 知识点：单调性定义。

第一章：第1节： 1A 。

2D 。

3A 。

4x y =。

5．21)(nxx x f n +=。

6．当2/10<<a 时，定义域为]1,[a a -；当2/1>a 时，定义域为空集；当2/1=a 时，定义域2/1=x 。

7．)1ln()(x x -=ϕ，定义域为}0|{≤x x 。

第2节： 1D 。

2C 。

3B 。

4．证明：由定义知0>∀ε，N N ∈∃，使得当n N >时，有||n u a ε-<成立。

注意到a u a u n n -≤-。

因此当n N >时，有ε<-≤-a u a u n n 。

即||||lim a u n n =∞→。

反过来若1||lim =∞→n n u ，则n n u ∞→lim 不一定存在。

比如(1),n n u =-则n n u ∞→lim 不存在，但1||lim =∞→n n u 。

若0||lim =→∞n n u ，则由00-=-n n u u 知0lim =∞→n n u 。

第3节：1A 。

2B 。

3D 。

4C 。

5C 。

第4节： 1D 。

2D 。

3D 。

4C 。

5D 。

6．证：假设函数xx y 1sin 1=在区间]1,0(上有界，则0,M ∃>使得函数11sin y M x x =≤。

若取2/)1]([21ππ++=M x ，则有M M y >++=2/)1]([2ππ矛盾。

所以在区间]1,0(上无界，但也不是+→0x 时的无穷大。

因为若取πk x 21=（N k ∈），则当+∞→k 时，+→0x ，而此时0≡y 不是无穷大。

第5节： 1A 。

2C 。

3B 。

4B 。

5．1。

6．21。

7。

a 21-。

8．1。

9．2。

10．21。

11．6。

12．1,1-==b a 第6节： 1C 。

2D 。

3B 。

4．3。

5．3/5。

6．0 。

7．由于()nnn n11333213⋅<++<，所以由夹逼定理可得()3321lim 1=++∞→nn nn 。

高等数学一上册教材答案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质函数的概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素对应到另一个集合中的唯一元素。

用数学符号表示为：y = f(x)，其中 x 是自变量，y 是因变量，f(x) 是函数关系。

函数的性质（1）定义域和值域定义域是自变量可能的取值范围，值域是因变量对应的所有可能取值的范围。

（2）奇偶性如果对任意 x，有 f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；如果对任意 x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。

（3）单调性如果对任意 x1、x2，当 x1 < x2 时有f(x1) ≤ f(x2)，则函数为增函数；如果对任意 x1、x2，当 x1 < x2 时有f(x1) ≥ f(x2)，则函数为减函数。

1.2 一次函数与二次函数一次函数一次函数的标准式表示为 y = kx + b，其中 k 是斜率，b 是 y 轴截距。

一次函数的图像是一条直线，它的性质包括：与 y 轴平行的直线的斜率为零，与 x 轴平行的直线的斜率为无穷大。

例题：已知函数 f(x) = 3x + 2，求 f(2) 的值。

解：将 x 替换为 2，得到 f(2) = 3(2) + 2 = 8。

二次函数二次函数的标准式表示为 y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。

二次函数的图像是一个抛物线，它的性质包括：抛物线开口向上（a > 0）或向下（a < 0），顶点的横坐标为 -b/2a。

例题：已知函数 f(x) = x^2 + 2x - 1，求 f(-1) 的值。

解：将 x 替换为 -1，得到 f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 1 = -2。

1.3 幂函数与指数函数幂函数幂函数的定义形式为 y = x^p，其中 p 是常数。

幂函数的图像随着 p 的取值不同，可能是增函数、减函数或常数函数。

例题：已知函数 f(x) = x^3，求 f(2) 的值。

高数第一章-Microsoft-Word- 文档1.解:⑴相等.因为两函数的定义域相同，都是实数集R;由X2x知两函数的对应法则也相同；所以两函数相(2)相等.因为两函数的定义域相同，都是实数集R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同，所以两函数相等.(3)不相等.因为函数f(x)的定义域是{XX R,X 1},而函数g(x) 的定义域是实数集R,两函数的定义域不同，所以两函数不相等.2.解:(1)要使函数有意义，必须4x0x 0所以函数的定义域是((2)要使函数有意义x 3 0lg(1 x) 0x 4 即x 0 ,0) U(0,4]■必须即所以函数的定义域是［-3,0) U (0,1).(3)要使函数有意义x2 1 0 即x1所以函数的定义域是((4)要使函数有意义1 x 0,1)U( 1,1)U(1,必须1 s i n x1 2si nx 1即 2n5 n7 n 2k n x 2k n2k n x2k n6或66必须 ,(k 为整数).所以函数的定义域是［i k n,6kn, k 为整数.3.解:由已知显然有函数的定义域为(-s ,+x),i. i又当x 0时,X 可以是不为零的任意实数,此时,sinx 可以取遍［-1,1］上所有的值,所以函数的值域为[-1,1].为反函数.1 Xx1__y8.解:(1)由y 「解得 1 y,1 x 1 x所以函数y「的反函数为yc(x 1).(2)由 y ln(x 2) 1得 x e y 12,所以函数y ln(x 2) 1的反函数为y e x12(x R).也即nk n x n k n 6 6(k 为整数). 4.解:1 f(0) -1 01 0f( x)1 ( x) 1 ( x)1,1 x 1 0 5.解: f(x 1)(x 1) 1, 0x 126.解: f (g(x))2g(x) ?xl nx1丄 X x 1Flg(f(x))f(f(x)) g(g(x))g(x)ln g(x) xlnxln(xln x).7.证:由y2x 31解得x故函数f(x) 2x 3g(x)G 1是同一个函数,所以f(x) 1的反函数是x 1 2(x R),这与2x 31和g(x)1 x'1, 0 x 1 x, 1 x 3f(x)ln f(x) 2x ln2x (xln 2) 2x, 2f(x) ?2xy 1y1 (3)由y 32x5解得x 2(log3y 5)2x 2x 2x 2x 2xe sin( x) e e sin x (e e 函数y e 2xe 2xsinx 是奇函数.10.解：⑴函数的定义域为(-8，+ 8 ),当x 0X 0X x 1时，有1X 2，当X 0时，有1X22x 2,1X故X (,),有y2 .即函数yC 有上界.X 又因为函数yr 为奇函数，所以函数的图形关 于原点对称，由对称性及函数有上界知，函数必有X下界，因而函数yr 有界.X ,X 2(x-i x 2)(1 X 1X 2)又由 “ y 21 X 121 X ；时,y1 y2,而 当 X 1 X 2且 X 1X 21 时，y 1 y2X故函数yc 在定义域内不单调.(2)函数的定义域为(0,+8), Q M 0, x 10 且 x-i M ; x 2 eM0 ^使 ln x 2M1贰5的反函数为y 严3%5) (xy 1 cos 3x 得 cosx 寻 y 1 又 x所以屈数y(4少x arccos ~1又由 1即0 y 2 以,函数 y 1 cos 3x,x [0, n 的3in (0 x 2)■解：(1)Q f( x) J ( x) X1 ( x) f(x) 是偶函数. y arccos 9. 0) [0, n,故cosx 1得 0 1 cos 3x 2,,故可得反函数的定义域为反函数为[0,2],所.1 x . 1 x f(x)⑵Q f( x) e2xsin x) f (x) (1 x2)(1 xf)知,当 X1x且 X 1X21^取 x 0max{x 1, x 2}贝x 0ln x 0x 1ln x22M M所以函数y xlnx 在定义域内是无界的. 一又当0捲X 2时寸~有捲X 20,ln 捲In X 20 ^故 y iy 2(x-ilnxj (x 2 ln x 2) (x 1 x 2) (ln 人 l nx 2) 0 即当Ox 」时恒有 单调递增.1 1解：(1)y (1X 2)4是由 yuju 1si n 2(1 2x)是由 y u 2,u si nv,v 1 1(1 10 x 5)2是由 y u 2,u 1 v,v11 arcsin2 x^是由y u 1,u1 v,X-|x 2y 1 y 2所以函数y x lnx 在(0,呐11. (2) y (3) y(4) y成.x 2复合而成.1 2x 复合而成.10W ,w x 5复合而成.arcsin w, w 2x合12证：(1)设 F(x) f (x) f( 有 F( x) f( x) f(x) F(x) 故f(x) f( X)为偶函数.(2)设 G(x) f(x) f( x),贝 y x 有 G( x) f( x) f( x) [ f (x)故f (x) f( x)为奇函数. 13.解:设年销售批数为x,则准备费为103x;106106X),则(, f( x)]) JG(x)又每批有产品x 件，库存数为2x件,库存费为 泄0.05 — 2x 兀. 1060.05x ---------2x设总费用为，则y 10 14.解：当x 能被20整除，即[20]20时,邮资xx0.80当x 不能被20整除时，即杓 x刃时，由题意知 x邮资y % 1 0.80x 25,综上所述有 其中 20 20整数.15.证:(1)由得y sinh x 2000且X X20 20 2000且X X2020 X X20,120的最大f X 2 ye 1 0分别表示不超过0 xxxe eh 得 e 2xx1 0.80, 0 x 20解方程e 2x2ye x因为e x 0,所以 所ln( y .. 1y 2) sinh xy arcs inhx ln(x y tanh x ⑵由'1 y又由1y得1y 1所以函数ye 2x).y1y ,得2xlnj1 y16.解:S o tanhx的反函数为1 , 1 xIn 2 1 x1 -h(2hcot2y arcta n hx】h(AD BC) 2x 1). BC BC) h(BC hcot ) 从而BCS c hhcotAB BC h2 sin CD (ABhBC 2—— sinCD)hcoth由 h 0，BCShhcotS ° 2 cosS ° h h sin h 2 cos40° , -hsin 40得定义域为(0,Atan40)17.解：⑴X n百,当n时,X n1(2) x n n cos当n 无限增大时，有三种变化趋势：趋向于 趋向于0,趋向于•n2n 1()X n()277，当 n 无限增大时,变化趁势有两 种分别趋于1,-1.18.解：⑴animx ",,要使X n 0品马nn1 N — 只须.取 ，则当n N时,必有人.当 0.001 时,N1 0.001 1000或大于1000的整数.(2) a lim x n nJJ要 X n 0 J n 2 v n i2 2 1J n 2 V n 2麻 V n只要乔 1一即 1飞即可.丄［则当nN0.0001时,19.证:(1),要使，则当n>N 时，恒有3n 13(2),要使5,则当n>N 时恒有 希丄1(3) 0,要使2n 12 2(2 n 1) 4n,只要n1lim 2.故nn55；,只要 3n 1 3 2n 12「 3n 1 3 lim.故n2n 1 22 2aa_n(、n 2a 2n) n?,只要10或大于108的整数.a2n__取-2 2 lim —— 1 n n ，则当n>N时，恒有(4)因为对于所有的正整数n,有6 7个80.99L 9 1 筝7个80.999L 9，从而1,故0,不防设1,要使ln110n 6 7个8 0.99L 9 1N ln10 '则当n N时恒有20.证：Q n imX n 0,由极限的定义知，时恒有而ln ,只要n 1M0,取6 7个8,故]im0.99L9 1,X n a0, N 0,当n N 时，丿由极限的定义知n im x但这个结论的逆不成立.如X n 存在. (1)n,limnX n 1但n im X n不21.解:k(1)Q0 (n 1) nn k (11(1 ) 1n而n im0 0,当k 1 时,n imlim[(n 1)k n k] 0n⑵记 a max{a1, a2,L , a m}则有n n n n n nn a a2L a m m aaa；n .a2 Lnam1m n alim a a,n1lim m nna a,lim na；nn . na2 L a mlim na ： a ； L a1(3)Q (3n )n(1max{a「a 2，L ,a m}12n3nf 1(3 3nf3 (12nlim 3n3, lim(1n2n1 n 13导 3—n 1lim3 — 3n13n )731lim1 0, lim(1 -) 1 n nn lim」1丄1n, n■2,不妨设X k2,则.2、、r~2 2■ 故对所有正整数n 有X n2,即数列X 有上界. 又 Xn 1 X n、2X n X n ,人（.2 X .）显然有只0,又由召2得戈2 ,从而紀& 0即X n 1 X n 即数列x.是单调递增的• 由极限的单调有界准则知，数列X "有极限. 设nimx a,则a 云,于是 去）l nim X n222.证:(1) Q为 X k 1a 22a 2,a 0（不合题意，舍（2）因为 所以 x n 1 11 0 且 n11 X n 0 X n2,即数列有界 4 X X n 1 X n 1-1 X n0,1 X n 1 0知 Xn 1 X n与 XnX 11人11 Xm (1 X n )(1 X n 1)同号，Xn Xn 1从而可推得X n1 X n与X2治同号，1,X2 1 X i 1?,X2 x i 0 2 2而故X n 1 X n 0 即X n 1 X.所以数列｛X"｝单调递增，由单调有界准则知，｛X"｝的极限存在•设n imx n a解得舍去）. aa，_ _1 5 1 5丁,& 丁（不合题意，所以23.证:lim n (1) 0,要使sin只须sinx故⑵只须1 、521，则当x X时，必有0x■0,要使13X2 413 |x|2，则当x X时，必有3K J|i 3x 2 13lim 2 3 故x x 4.(3) o,要使,要使lim 故x1 4x 2.1xsi nx.1 xsin — x1llm xsin 0 x 0xx 2 3肌 x 23只要取 ，则故ximx 242(4)x 2 4时，必有 x 2 4(4)1 4x 2----- 2 2x 1|2x 1| 2 1x —2只须1x一2，取, 则114x 2时，必有 2x(5),要使 只要取，则 时，必有xsi n1x(1)lim飞 3x 3x 1 lim x 21x 324. 解:mx 22123X Xd i(4)limx3x xx 43x 2li mxlim 1 xx 3 ~2 x0.X 1(5)Qxim厂limx1x 1匚 x2 1 lim 2 X xx lim 1丄 xx由无穷大与无穷小的关系知， 1 2n⑹ lim (n 1)(n 2)(n 3)n5n 3him 5n〕lim 5n 1 1 n1 1n lim 1li mxx 21 2x 1⑺因为匚 x 2 11ax(1 a)x 2 (a b)x的次数相同解得1,b25解:(1)li mnn(1lim nb) 12知，分式的分子与分母1项的系数之比为2 (a b) 11 2ax亠4讪冲n2n2n 2,于是1 lim 1 n2⑵ lim 1n11lim n2.2X (3)lim1—x1 X2X ⑷叽丁-X 4 X116X 85X 42x (X 1)2X 1lim(x 2)(X 4)X 4 (X 1)(X 4)01 lim(X1) 0.3 (5) lim X2X..X 2limX 4X 14 x3_____ lim2 . X3 2 X2.23 .'1 23X , Xx2(6)lim ——------X 01 ；1 x2V X逅⑺ lim5X 5 .X -5lim X2(1 1 x2)X 0lim(1 、1 X2) 2.X 0> x23X3 5 ?X"3 5X3 25 X . 5lim _ _ _ _ —X 5、x .5. 5 3 x2(X 5)、、x J535x 3 25(8)陀4(9)[im(1limX(1limXlimX 5(X 5) 3 x2 35X3 25.X .5 2、一 5叽3 x2 3 5X3 25 33 25 1 cot3X 1 cot3Xcotxx)(1X)(1n 11 X2 1 Xcot3Xx2)L (123^5 .lim 3X n(1 cot X) (1 cot X)2(1 cot X)(1 cot X cot X)lim 2—X n(1 cot X)(1 1 cot X cot X)limX n 24X )21 cotx cot X 32cot X cot X 4(x 1)x)(1 X2)L (1(10)lim (1 "(1^L (1 n x)(1 x)n1(1 x)n1limx 1(1 x)n 1(17x)(1 VxVx^)(1仮仮2Vx^)L (1 Vx阪2L xn 1)1依 Vx 2lim ——x 1(1 .x)(1?x3x 2)(1 1 _____ L n 3 1 x 32 3 41 (11)lim 1 -— x 11 x1n!d)L (1 n x n£ L ：歼)lim 』x 1 (1 x)(1 x(12)Qlim 1(2"1^1 x 1x x 11)(x 2)lim x 1 (1 x)(1 x ..(x 2) 2 - lim x 2) x 1 1 xl x m 1( x 1)2lim( x 2x 1) lim x 1 (1 2X 2 x 2x)(1 x x 2) x 21.2x x 1 lim 2 x 1(x 1)2l0g a (1 x)(13)Q - log a (1 x1x)‘1X)'e .log a e1 ln alimlog a(1 x)x 0x(14)令u -X1ln a 1,则log a (1 u),当 x时，ux 所以 题的结果）.x..a 1 limlimu 0lOg a (1u) limlog a(1 u)u 0ln a(利用(13)(15)lim(1 x 02x)sinx3 ln(1 lim esinxx 0 2x)6xln(1lim e2xsinxx2x)xlim 6 ln(1 e * 0 sinx6 1e12x)2xx6 lim limln(1x 0sinx x 012x)2xlnesin x(16)令uV ,26.解:li mx 02x 3 x 2xlimln 所以x 02lim BA 0 x 0 2 x・••当x0时，X2 X3是比2x X2高阶的无穷小量.27.解:小. 小.1 X(1)Q2X 1 1 X・••当limX111 X1时X是与1X2同阶的无穷所以⑵Q壮・••当X 1时，X2)Xlim -X 11i(1X是与2\X)等价的无穷28.解：(1)因为当X 0 时，sinmx~ mx,sinnx〜nx,sin mx mx mlim lim .⑵ ^xcotx lim」X0sinxCOSX limX (COSX0sin Xlimcos x 以1...sinxlimx 0x(3)l i m0L^s2Xx 0xsinx(4)因为当2si n2xlim x 0xsinx2lim sinXx 02.X 0时，ln(1x 2 x 2 'e sin x) ~ e sin x, ,1X21〜Jx2ln(1 e X s in2x)lim ------x 0 1 xx・2,・ e sin xlimx 0lim 2e x limx 0 x 02sin x 2.(5)因为当0时，x 0 xarctan3 x ~ 3x, 以lim 3XX(6) lim 2n sin n limnxsin飞2n xlimn2n(7)因为当arcsin(1 2x) ~ 1 2x 以4x 1 lim x 1 arcsi n(1 2x) lim.x 4x 11 1 2x 2lim(2x 1)(2x 1)x122xli叫2 x 1) 2.x2sin —— 2(8)因为当(9)因为当 (10)时，arctanx 2 2 . X X~ x ,sin 〜 ,arcsin x 〜x, ^所以arcta nx 2lim x 0xsin arcs in x 2li m x 2x 0xx 20 时，sintanx sinx limx 0. 3 sin x —x,sin ------ x 2 2moH x,1 cosx 〜丄x 2,sin23x所以sin x(1 cosx). 3sin x 1 lim x 02cosx为cosx12.当xlimx 03x cosx厂x，所以lns2m oz<2 lim ——x 0(11)因为当xsi n x 2 2_2x xx2 22x 2). arcsinx~ x山仆 x) ~ V 1°x 21 x2x ，所__ x_lim — x 0ln(1 x)arcsl n (12)因为当x 0时，1 cos4xlim x 02sin x xtan x*2sin x ~ x,sin 2x ~ 2x, ^所以2sin 22x2 2二xsec2(2x)lim x 0x (2 xsec x) lim x 0 sin 2x(2x)lim 8 — x 02 xsec xlim(2 xsec x)x 0(13)因^为 ln cosax ln[1 (cosax 1)],ln cosbx ln[1 (cosbx1)],而当x 0时， cos ax 1 0,cos bx 1 故 ，又当xf 0进，1cos ax ~ !a 2x 2,1 2 cosbx ~ 1b 222 x,所以In cosax cosaxlim lim x 0In cosbx x 0 cosbx 11 cosax lim x 01 cosbxlim xsin 2x(14)因为当x时，2c x 0, 2x e 12 2 a x2-b 22x 2 故 所以ln 1 sin 2x sin 2x ,ln2x-2xe2x 2x ， elim 冒/% x 0 ln(x 2 e 2) 2xlim^ x 0In(x 2x—2x、e )X\e )lnlne2x ln lim一xlnmoI Ke- X e叫z <. 2sin x x叫IK .2sin x xe2 x2xe1.29.解:(1)limx limx limxe 2e.(2)limx2xlimx2x10limx10limxlimxe 10 1510e .2、cot 2 x3tan x)(1 13ta n 2x)3ta『xlim(1 x 013tan 2x)3^ln[1 (cos ax 1)] ~ cosax 1,ln[1 (cosbx 1)] ~ cosbx 1,(4)Iim(cos2x)32In cos2x lim e xx 03In cos 2 x 21 (cos2x 1)lim e x 0 '1cos 2x 1 3(cos2 x 1) 2lim e x x 0 In1 cos 2x 1 1 (cos2x 1) (5) lim x[ln(2xx) 1XImotcos2x 1 ...3lim 2 lim Inx 0 x 2x e x 1cos 2 x 1 1 (cos2 x 1) 3li m x 1e2Sin 2 xIn lim 竺x 0lim 1 (cos2 x x "1) 1cos2 x 1 2In e12Inx] Iim 2x2Iim InxI LI n lim 2lnxI n Ii mximo^-1 ILmm。

高等数学上册教材答案北大第一章：微积分基础1.1 极限与连续1.1.1 极限的定义根据微积分基础知识，极限是函数概念的核心之一。

在数学中，我们需要明确了解极限的定义。

对于函数 f(x)，当 x 趋近于某一点 a 时，如果 f(x) 的值趋近于一个常数 L，则我们称 L 为 f(x) 在 x=a 处的极限，记作lim(x→a) f(x) = L。

1.1.2 连续的概念与性质连续是微积分中的另一个重要概念。

对于函数 f(x)，如果在某一点a 处，该函数的极限等于 f(a)，则我们称函数在点 a 处是连续的。

连续性具有以下性质：- 连续函数的和、差、积均为连续函数；- 两个连续函数的乘积仍为连续函数；- 连续函数的复合函数仍为连续函数。

1.2 导数与微分1.2.1 导数的概念导数是微积分中的重要概念之一。

对于函数 y=f(x)，如果函数在某一点 x=a 处的极限值存在，则称该极限值为函数 y=f(x) 在 x=a 处的导数，记作 f'(a) 或 df(x)/dx。

导数的计算公式包括函数的基本运算法则、常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数等。

1.2.2 微分的概念与应用微分是导数的一种表现形式，也是微积分的重要概念之一。

对于函数 y=f(x)，如果δx 是 x 的增量，δy 是 y 的增量，则函数 y=f(x) 的微分为 dy=f'(x)dx。

微分的应用包括切线问题、极值问题、凹凸性判定等。

第二章：函数与极限2.1 函数概念与基本运算2.1.1 函数定义与表示法函数是数学中最基本的概念之一。

函数可以通过函数定义域、值域以及对应关系进行定义。

常见的函数表示法有显式函数表示法、隐式函数表示法、参数方程表示法等。

2.1.2 函数的基本运算函数的基本运算包括函数的和、差、积、商运算。

通过研究函数的基本运算，可以帮助我们理解函数之间的关系以及求解函数的性质。

2.2 极限的思想与性质2.2.1 函数的极限函数的极限是函数概念的核心之一。