2016_2017学年高中物理时间长度的相对性相对论的速度变换公式质能关系广义相对论点滴选学自我小测

第4节相对论的速度变换公式__质能关系1.相对论速度变换公式v ＝u ＋v′1＋uv′c2，当u ≪c ，v′≪c 时，v ＝u＋v′，满足经典力学速度合成关系。

2．物体的质量与能量的对应关系：E ＝mc 2。

3．物体运动质量m 与静质量m 0的关系：m ＝m 01－v c 2。

4．运动物体的相对论动能表达式：E k ＝m 0c 2[11－v c2－1]v′沿着火车前进的方向相对火车运动，那么这个人相对地面的速度v 为v ＝u ＋v′1＋uv′c2。

理解这个公式时请注意：(1)如果车上的人的运动方向与火车的运动方向相反，则v′取负值。

(2)如果u ≪c ，v′≪c ，这时v′uc 2可忽略不计，这时相对论的速度合成公式可近似变为v ＝v′＋u 。

(3)如果v′与u 的方向垂直或成其他角度时，情况比较复杂，上式不适用。

[学后自检]┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(小试身手)在高速运动的火车上，设车对地面的速度为v ，车上的人以速度u′沿着火车前进的方向相对火车运动，那么他相对地面的速度u 与u′＋v 的关系是( )A ．u ＝u′＋vB ．u ＜u′＋vC ．u ＞u′＋vD ．以上均不正确解析：选B 按照经典的时空观，u ＝u′＋v ，而实际上人对地面的速度按照相对论速度公式计算，u ＝u′＋v1＋u′v c2，因此u 比u′与v 之和要小，但只有在u′和v 的大小接近光速时才能观察此差别。

相对论质量和能量[自读教材·抓基础]1．质能关系式E ＝mc 2。

式中m 是物体的质量，E 是它具有的能量。

由此可见，物体质量越大，其蕴含的能量越大。

能量与质量成正比。

2．相对论质量 m ＝m 01－v 2c2(m 0指静质量)； 与静质量对应的静能量为E 0＝m 0c 2。

[跟随名师·解疑难]1．对质速关系m ＝m 01－v c2的理解(1)式中m 0是物体静止时的质量(也称为静质量)，m 是物体以速度v 运动时的质量。

时间、长度的相对性 相对论的速度变换公式 质能关系 广义相对论点滴1．用相对论的观点判断下列说法是否正确（ ）．A ．时间和空间都是绝对的，在任何参考系中一个事件发生的时间和一个物体的长度总不会改变B ．在地面上的人看来，以10 km/s 的速度运动的飞船中的时钟会变快，但是飞船中的宇航员却看到时钟可能是准确的C ．在地面上的人看来，以10 km/s 的速度运动的飞船在运动方向上会变窄，而飞船中的宇航员却感觉到地面上的人看起来比飞船中的人扁一些D ．当物体运动的速度v ≪c 时，“时间膨胀”和“长度收缩”效果可忽略不计2．一个物体静止时质量为m 0，能量为E 0，速度为v 时，质量为m ，能量为E ，动能为E k ，下列说法正确的是（ ）．A ．物体速度为v 时能量E ＝mc 2B ．物体速度为v 时动能2k 12E mc = C ．物体速度为v 时的动能2k 12E mv = D ．物体速度为v 时的动能E k ＝（m －m 0）c 23．人马星座α星是离太阳系最近的恒星，它距地球4.3×1016 m ．设有一宇宙飞船自地球往返于人马星座α星之间．若宇宙飞船的速度为0.999c ，按地球上的时钟计算，飞船往返一次需时间______．如以飞船上的时钟计算，往返一次的时间又为______．4．用质子轰击锂核73Li ，生成2个α粒子，若用m p 表示质子的质量，m 表示锂核质量，m α表示α粒子质量，则此反应中释放的能量△E ＝______.5．在距地面8.00 km 的高空，由π介子衰变产生出一个μ子，它相对地球以v ＝0.998c 的速度飞向地面，已知μ子的固有寿命平均值τ0＝2.00×109 s ，试证该μ子能否到达地面？6．火箭以0.75c 的速度离开地球，从火箭上向地球发射一个光信号．火箭上测得光离开的速度是c ，根据过去熟悉的速度合成法则，光到达地球时地球上测得的光速是多少？根据狭义相对论的原理呢？7．A 、B 、C 是三个完全相同的时钟，A 放在地面上，B 、C 分别放在两个火箭上，以速度v B 和v C 朝同一方向飞行，v B ＜v C ，地面上的观察者认为哪个时针走得最慢？哪个走得最快？8．长度测量与被测物体相对于观察者的运动有关，物体在运动方向长度缩短了．一艘宇宙飞船的船身长度为L0＝90 m，相对地面以u＝0.8c的速度在一观测站的上空飞过．（1）观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少？（2）宇航员测得船身通过观测站的时间间隔是多少？参考答案1答案：CD2答案：AD 解析：由爱因斯坦的质能方程得E 0＝m 0c 2，E ＝mc 2.在经典物理学中，速度为v 时物体的动能2k 01=2E m v ，而这只是在v ＜c 时的近似，在相对论中物体的动能E k ＝E －E 0＝mc 2－m 0c 2.3答案：9年 0.4年 解析：以地球上的时钟计算16882 4.310s=2.8710s=90.999310s t v ⨯⨯∆==⨯⨯⨯年； 若以飞船上的时钟计算：因为△t ＝△t所以得△t ′＝△8＝1.28×107s ＝0.4年． 4答案：（m p ＋m －2m α）c 2解析：核反应过程中有能量放出，因此有质量亏损，根据△E ＝△mc 2，而△m ＝m p ＋m －2m α，所以△E ＝（m p ＋m －2m α）c 2.5答案：证明：在地面测μ子的寿命为t =μ子自产生到衰变的飞行距离989.47km L vt === 可见L ＞8.00 km ，故μ子能到达地面．6答案：0.25c c解析：根据过去熟悉的速度合成法则，光相对于地球的速度是：v ＝c －0.75c ＝0.25c .而根据狭义相对论原理，光速与光源、观测者之间的相对运动没有关系，光速仍为c .7答案：A 最快 C 最慢解析：地面上的观察者认为C钟走得最慢，因为它相对于观察者的速度最大．根据公式t ∆=可知，相对于观察者的速度v 越大，其上的时间进程越慢．地面钟v ＝0，它所记录的两事件的时间间隔最大，即地面钟走得最快． 8答案：（1）2.25×10－7 s（2）3.75×10－7s解析：（1）观测站测得船身的长度为L L =， 通过观测站的时间间隔为 -754m =2.2510s 0.8L t u c∆==⨯. （2）宇航员测得飞船船身通过观测站的时间间隔为 7090m 3.7510s 0.8L t u c∆===⨯－.。

时间、长度的相对性 相对论的速度变换公式 质能关系1.知道狭义相对论时间、长度的相对性并会进行适当计算.(重点＋难点)2.知道相对论速度变换公式，相对论质量和质能方程.一、时间、长度的相对性1.同时的相对性：相对论的时空观认为，“同时”具有相对性，即在同一个惯性系中不同地点同时发生的两个事件，在另一个惯性系中观察不一定是同时的.2.运动时钟的变慢：在一个相对于我们做高速运动的参考系中发生的物理过程，在我们看来，它所经历的时间比在这个惯性系中直接观察到的时间长.3.长度的相对性：相对论的时空观：“长度”也具有相对性，一条沿自身长度方向运动的杆，其长度总比静止时的长度小.设相对于杆静止的观察者认为杆的长度为l 0，与杆有相对运动的人认为杆的长度为l ，杆相对于观察者的速度为u ，则l 、l 0、u 的关系是：l ＝l 0__1－u 2c2. 4.相对论时空观：空间和时间的量度是与物体的运动有关的，是相对的. 二、相对论的速度变换公式 质能关系1.相对论的速度变换：在以速度u 相对于参考系S 运动的参考系S ′中，一物体沿与u 相同的方向以速率v ′运动时，在参考系S 中，它的速率为v ＝u ＋v ′1＋uv ′c2.2.相对论质量和能量(1)物体的质量随物体速度增大而增大.物体以速度v 运动时的质量m 与静止时的质量m 0之间的关系是：m ＝m 01－v 2c2，因为总有v <c .可知运动物体的质量m 总大于它静止时的质量m 0.(2)质能方程：物体质量m 与其蕴含的能量E 之间的关系是：E ＝mc 2.在经典物理学家的头脑中，如果两个事件在一个参考系中看来是同时的，在另一个参考系中看来也一定是同时的，但是如果接受爱因斯坦的两个假设，我们会得出什么样的结论？提示：“同时是相对的”这样一个结论.对狭义相对论几个主要结论的理解1.几个主要结论在相对事件发生地或物体静止的参考系中观察在相对事件发生地或物体运动的参考系中观察同时的相对性事件同时但不同地点发生事件不同时发生时间间隔的相对性两个事件发生的时间间隔为Δτ两事件发生的时间间隔变大.Δt＝Δτ1－⎝⎛⎭⎪⎫vc2长度的相对性杆的长度为l0若参考系沿杆的方向运动，观察到的杆的长度减小.l＝l01－⎝⎛⎭⎪⎫vc22.几个结论的理解要点(1)时间间隔、长度的变化，都是由于物质的相对运动引起的一种观测效应，它与所选取的参考系有关，物质本身的结构并没有变化.(2)两个事件的时间间隔和物体的长度，必须与所选取的参考系相联系，如果在没有选取参考系的情况下讨论时间的长短及空间的尺寸，是没有任何意义的.(1)在垂直于运动方向上，杆的长度没有变化.(2)时间延缓效应的来源是光速不变原理，是时空的一种属性，在运动参考系中的时间节奏变慢了.如图所示，假设一根10 m长的梭镖以光速穿过一根10 m长的管子，它们的长度都是在静止状态下测量的.以下叙述中哪项最好的描述了梭镖穿过管子的情况( )A．梭镖收缩变短，因此在某些位置上，管子能完全遮住它B．管子收缩变短，因此在某些位置上，梭镖从管子的两端伸出来C．两者都收缩，且收缩量相等，因此在某个位置，管子恰好遮住梭镖D．所有这些都与观察者的运动情况有关[解析] 如果你是在相对于管子静止的参考系中观察运动着的梭镖，那么梭镖看起来就比管子短，在某些位置梭镖会完全处在管子内部.然而当你和梭镖相对静止时，你看到的管子就缩短了，所以在某些位置，你可以看到梭镖两端都伸出管子.故选D．[答案] D(1)相对论中的长度是相对的，在不同惯性系中观察结果是不同的，解题时必须明确所取长度是相对哪一个参考系而言，即在哪一个参考系中测量或观察的结果.(2)平时我们观察不到这种长度收缩，是由于我们生活在比光速低的多的低速世界中.【通关练习】1.π＋介子是一种不稳定粒子，平均寿命是2.6×10－8s(在以自己为参考系中测得). (1)如果此粒子相对于实验室以0.8c 的速度运动，那么在实验室参考系中测量的π＋介子寿命多长？(2)π＋介子在衰变前运动了多长距离？ 解析：(1)π＋介子在实验室中的寿命为 Δt ＝Δt ′1－⎝ ⎛⎭⎪⎫v c 2＝2.6×10－81－0.82s ＝4.3×10－8s. (2)该粒子在衰变前运动的距离s ＝v ·Δt ＝0.8×3×108×4.3×10－8m ＝10.32 m. 答案： (1)4.3×10－8s (2)10.32 m2.如图所示，在地面上M 点固定一光源，在离光源等距的A 、B 两点上固定有两个光接收器，今使光源发出一闪光，问：(1)在地面参考系中观测，谁先接收到光信号？(2)在沿AB 方向高速运动的火车参考系中观测，谁先接收到光信号？解析：(1)因光源离A 、B 两点等距，光向A 、B 两点传播速度相等，则光到达A 、B 两点所需要的时间相等，即在地面参考系中观测，两接收器同时收到光信号.(2)对于火车参考系来说，光源和A 、B 两接收器都沿BA →方向运动，当光源发出的光向A 、B 传播时，A 和B 都沿BA 方向运动了一段距离到达A ′和B ′.如图所示，所以光到达A ′的距离更长，到达B ′的距离更短.所以B 比A 先收到信号.答案： (1)同时收到 (2)B 先收到对相对论速度变换公式的理解1.以高速运动的火车为例，车对地的速度为v ，车上的人以u ′的速度沿火车前进的方向相对火车运动，则人对地的速度u ＝u ′＋v1＋u ′v c2.若人相对火车反方向运动，u ′取负值.2.公式中的v 和u ′如果满足：v ≪c ，u ′≪c ，u ′vc 2可忽略不计，这时相对论的速度合成公式可近似的变为u ＝u ′＋v ，与经典物理学的速度合成公式相同.3.根据此式若u ′＝c ，则u ＝c ，那么c 在惯性系中都是相同的.4.如果u ′与v 的方向不在一条直线上，相互垂直或成其他角度时，情况比较复杂，上式不适用.地球上一观察者，看见一飞船A 以速度2.5×108m/s 从他身边飞过，另一飞船B以速度2.0×108m/s 跟随A 飞行.求：(1)A 上的乘客看到B 的速度是多少？ (2)B 上的乘客看到A 的速度是多少？[解析] (1)A 上的乘客看到地面的速度为u ′＝－2.5×108m/s ，B 相对于地面的速度为v ＝2.0×108m/s ，则A 上的乘客看B 的速度为：u ＝u ′＋v 1＋u ′v /c 2＝－2.5×108＋2.0×1081＋－2.5×108×2×108(3×108)2m/s＝－1.125×108m/s.(2)同理B 看A 的速度为1.125×108m/s. [答案] 见解析相对论质量和质能方程1.对质速关系式m ＝m 01－⎝ ⎛⎭⎪⎫v c 2的理解(1)式中m 0是物体静止时的质量(也称为静质量)，m 是物体以速度v 运动时的质量.这个关系式表明：物体的质量会随物体速度的增大而增大.(2)v ≪c 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫v c 2＝0，此时有m ＝m 0，也就是说：低速运动的物体，可认为其质量与物体运动状态无关.(3)微观粒子的速度很高，因此粒子运动的质量明显大于静质量.例如：回旋加速器中被加速的粒子的质量会随粒子的加速明显增加.导致粒子圆周运动的周期变大.它的运动与加在D 形盒上的交变电压不再同步.回旋加速器加速粒子的最大能量因此受到了限制.2.对质能方程的理解质能方程表达了物体的质量和它所具有的能量的关系：一定的质量总是和一定的能量相对应.具体从以下几个方面理解：(1)静止物体的能量为E 0＝m 0c 2，这种能量叫做物体的静能量.每个有静质量的物体都具有静能量.(2)对于一个以速率v 运动的物体，其能量为E ＝mc 2＝m 0c 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫v c 2.(3)静质量为m 0、速率为v 的物体的动能为E k＝E －E 0＝m 0c 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－⎝ ⎛⎭⎪⎫v c 2－1. (4)由质能关系式可知ΔE ＝Δmc 2.一个原来静止的电子，经过100 V 电压加速后它的动能是多少？质量改变了百分之几？速度是多少？此时能否使用公式E k ＝12m 0v 2？(m 0＝9.1×10－31kg)[解析] 由动能定理得E k ＝eU ＝1.6×10－19×100 J ＝1.6×10－17 J.因E k ＝(m －m 0)c 2，有m －m 0＝E kc2.所以m －m 0m 0＝E k m 0c 2＝ 1.6×10－179.1×10－31×(3×108)2≈0.02%.上述计算表明：加速后电子的运动还属低速的范畴，因此可用E k ＝12m 0v 2进行有关计算，有v ＝2E km 0＝2×1.6×10－179.1×10－31 m/s ≈5.9×106m/s.[答案] 1.6×10－17J 0.02 % 5.9×106m/s 能经典力学中动能的定义公式E k ＝12mv 2，只适用于低速运动的物体，对高速运动的物体，其质量较静止质量发生明显的变化，故该定义公式对高速运动(能与光速c 相比较)的物体不再适用.【通关练习】1.回旋加速器给带电粒子加速时，不能把粒子的速度无限制地增大，其原因是( ) A ．加速器功率有限，不能提供足够大的能量 B ．加速器内无法产生磁感强度足够大的磁场 C ．加速器内无法产生电场强度足够大的电场D ．速度增大使粒子质量增大，粒子运行的周期与交变电压不再同步，无法再加速 解析：选D ．回旋加速器中带电粒子运动的周期为T ＝2πmqB，当粒子速度比较小时，可以认为其质量是不变的，那么其周期也不变.但当粒子的速度很大，接近光速时，其质量明显增大，周期也发生了明显变化，粒子运行的周期与交变电压不再同步，无法再加速.2.如果将电子由静止加速到速率为0.1c ，需对它做功多少？如果将电子由速率为0.8c 加速到0.9c ，又需对它做多少功？(m 0＝9.1×10－31kg)解析：对电子做的功，等于电子动能的增量， ΔE k ＝E k ＝mc 2－m 0c 2＝m 0c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫11－v 2/c 2－1 ＝9.1×10－31×(3×108)2×⎝⎛⎭⎪⎫11－0.12－1 ＝4.13×10－16J ＝2.58×103eVΔE ′k ＝E k2－E k1＝(m 2c 2－m 0c 2)－(m 1c 2－m 0c 2)＝m 2c 2－m 1c 2＝m 0c 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11－v 22c2－11－v 21c 2＝9.1×10－31×32×1016×⎝⎛⎭⎪⎫11－0.92－11－0.82＝5.14×10－14J ＝3.21×105eV.答案：2.58×103eV 3.21×105eV1.如图所示，沿平直铁路线有间距相等的三座铁塔A 、B 和C .假想有一列车沿AC 方向以接近光速行驶，当铁塔B 发出一个闪光，列车上的观测者测得A 、C 两铁塔被照亮的顺序是( )A．同时被照亮B．A先被照亮C．C先被照亮D．无法判断解析：选C．因列车沿AC方向接近光速行驶，根据“同时”的相对性，即前边的事件先发生，后边的事件后发生可知C先被照亮，答案为C．2.如图所示，竖直墙上挂着一面时钟，地面上的静止的观察者A观测到钟的面积为S，另一观察者B以0.8倍的光速沿平行y轴正方向运动，观察到钟的面积为S′.则S和S′的大小关系是( )A．S > S′B．S＝S′C．S < S′D．无法判断解析：选A．若参考系沿杆的方向运动，观察到的杆的长度减小.观察者B沿y轴正方向运动，以观察者B为参考系，钟沿y轴方向变短，但在沿z轴方向没有变，所以观察到的面积要变小.3.根据爱因斯坦质能方程，以下说法错误的是( )A．任何核反应，只要伴随能量的产生，则反应前后各物质的质量和一定不相等B．太阳不断地向外辐射能量，因而太阳的总质量一定不断减小C．虽然太阳不断地向外辐射能量，但它的总质量是不可改变的D．若地球从太阳获得的能量大于地球向外辐射的能量，则地球的质量将不断增大解析：选C．根据ΔE＝Δmc2，当能量变化时，参加核反应的物质的质量发生变化，故A 正确；太阳在发生聚变时，释放出大量能量，质量减小，故B正确，C错误.若地球向外辐射的能量小于从外界获得的能量，则地球的质量将不断增大，D正确.4.设有一飞行器以v＝0.8c的速度在地球上空飞行，如果这时从飞行器上沿其前进方向发射一物体，设该物体相对于飞行器的速度u ′＝0.9c ，问从地面上观察，该物体的速度多大？解析：设地面参考系为S 系，飞行器参考系为S ′系，由相对论速度叠加公式，从地面参考系S 中观察到的物体的速度为u ＝u ′＋v 1＋vu ′c2＝0.9c ＋0.8c 1＋0.8×0.9≈0.99c .答案：0.99c5.某人测得一静止棒长为l ，质量为m ，于是求得此棒线密度为ρ. (1)假定此棒以速度v 在棒长方向上运动，此人再测棒的线密度应为多少？ (2)若棒在垂直长度方向上以速度v 运动，它的线密度又是多少？(线密度ρ＝m l) 解析：(1)当棒沿长度方向运动时，棒的长度变小，质量变大.m ′＝m 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫v c 2，l ′＝l1－⎝ ⎛⎭⎪⎫v c 2ρ′＝m ′l ′＝m l·11－⎝ ⎛⎭⎪⎫v c 2＝ρ1－⎝ ⎛⎭⎪⎫v c 2. (2)当棒在垂直长度方向上运动时，棒的长度不变，质量变大.m ″＝m 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫v c 2，l ″＝l ，所以ρ″＝ρ1－⎝ ⎛⎭⎪⎫v c 2.答案：见解析。