《弧度制》公开课教学PPT课件【高中数学必修4(北师大版)】

2
4
，k Ζ
B． 2 k
C．
k 2
2 3
3
，k Ζ
与 k
，k Ζ
D． 2 k 1 与 3 k ， k Ζ
.
小结
（1） 180 弧度； （ 2）“角化弧”时，将 n 将 乘以
180

乘以

180
；“弧化角”时，
；
（3）弧长公式： l r 扇形面积公式： S
演示课件
.
一般地有：正角的弧度数是一个正数， 负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数 是0；角 的弧度数的绝对值
| | l r
其中 l 是 以 角 作为圆心角时所对的弧长，
r 是圆的半径。
.
角度制与弧度制的换算
1 把角度换成弧度
360 2 rad
2 把弧度换成角度
2 rad=360。
．
.
例6 求图中公路弯道处弧
的长l （精确到 1m ，图中长度单位：m ）．
.
练习
（1）若三角形的三个内角之比是2：3：4，求其三个内角 的弧度数．
2 （2）已知扇形的周长为 8cm ，面积为 4cm ，求扇形的中 心角的弧度数．
.
（3）下列角的终边相同的是（ A． k
4
）．
与 2 k 与
1 2 lr 1 2 r （其中 l为圆心角 所
2
对的弧长， 为圆心角的弧度数， r 为圆半径．）
.
作业
.
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滴滴的解释着。旁边被百蝶遗忘的慕容凌娢可谓是坐立不安，不知该怎么做，只好呆呆地看着他们沉浸在自己的“二人世界”之中。“韩公子， 昨天礼部张大人来过，百蝶听他说明年的会试定会由他主持……”百蝶突然转移了话题。“啪”的一声，那位公子猛然将手中杯子放在桌上，茶 水溅到了桌子。把正在发愣的慕容凌娢吓了一跳。喝茶就喝茶，怎么突然就生气了，我想喝还不行呢……说好了回来就吃东西，可我都等了这么 多章了，还只是坐在这里当背景……再不吃东西我就真的要挂了！“笑话！会试的主考官向来是由圣上定夺，他一个礼部侍郎竟敢如此揣测圣意， 真是太放肆了。”他皱了皱眉，然后脸上出现了不屑的笑，“倒是百蝶，你怎么开始在意这种事了呢？”“百蝶不是有意要惹公子生气的。”百 蝶低着头小声说，颇有一副无辜的样子，“只是……只是那天张大人喝多了酒，说得话有些猖狂……”“无妨，我又不会怪你。”他爱抚的将百 蝶搂在怀里，安慰她道，“这种人的言论你不要太在意就是了。”猖狂也是要有本钱的，谁让人家权高位重，你们在这说这些有什么用？再说下 去，一条人命就要被你们给间接杀害了。慕容凌娢不满的撇了撇嘴。不行，他们两个在那里不停地唧唧歪歪，鬼知道什么时候会说完。我必须想 办法让那个撩妹的家伙赶快离开，不然我迟早是饿死的料。“据我所知，会试历来是由礼部主持。”慕容凌娢生硬的插嘴道，“所以……不管你 怎么说，都是改变不了这个事实的。”“这位是……”那人在此时才注意到了慕容凌娢。原来你刚才根本就没有正眼看我啊？现在才发现我的存 在，也太不尊重人了吧……慕容凌娢平复了一下自己的情绪，仔细想想，这也不能怪他啊，毕竟自己在这里如坐针毡的等了半天，都没有敢发表 一下自己的意建，他没注意也是可以理解的。“这是我的远房表妹，初次来京城。没见过世面，也不懂礼数，还请公子恕罪。”百蝶一边介绍一 边用眼神示意慕容凌娢别在多说，“白绫，还不快给韩公子赔罪！”为什么要我给他赔罪？我说的明明就是实话啊。慕容凌娢看了他一眼，并没 有要道歉的意思。那人没有等到慕容凌娢的道歉，倒是产生了一丝惊奇。“原来如此，我说怎么没见过，原来不是醉影楼的人啊。”他饶有兴趣 的看了一眼慕容凌娢，继续说到，“这醉影楼里，还从未有人敢反驳我。”“没有人反驳不代表你是正确的，而且大多数客观存在的事情即是不 用反驳，也是事实。”“你的大道理还真有意思。”他起身便准备离去，“别被你所相信的真理给骗了。”“韩公子……莺凝，去送送韩公子。” 百蝶对站在走廊上的一个女子说道。可算是走了，慕容凌娢心里高兴的不能行，可偏偏还要装出什么都不知道的样子。可

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数学 必修4 配北师大版
第一章 三角函数
(3)任意角的弧度数与实数的对应关系 任一正角的弧度数都是一个_正__数___；任一负角的弧度数都 是一个_负__数___；零角的弧度数是__0__.
(4)角的弧度数的计算
设 r 为圆的半径，l 是圆心角 α 所对的弧长，则角 α 的弧度 l
数的绝对值满足|α|＝_r_.
所以－20 是第四象限角，终边相同的角的集合为{β|β＝2kπ＋(8π
－20)，k∈Z}．
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第一章 三角函数
【方法总结】 解决此类问题的关键是角度制与弧度制的 互化关系：π rad＝180°，再由公式18π0°＝这这个个角角的的弧度度数数 得：
(1)度数×1π80＝弧度数； (2)弧度数×1π80°＝度数．将角度制化为弧度制，当角度制
第一章 三角函数
)
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第一章 三角函数
类型 2 弧长公式及扇形面积公式的应用 例 2 一个扇形的面积为 1，周长为 4，求该扇形圆心角的
弧度数． 【解】 设扇形的半径为R，弧长为l，
则2R＋l＝4，∴l＝4－2R，
根据扇形面积公式S＝12lR，
得1＝12(4－2R)·R，∴R＝1，∴l＝2，∴α＝Rl ＝21＝2， 即扇形的圆心角为2 rad.
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第一章 三角函数
解：设圆的半径为r，A︵CB的长为l，则l＝23πr， ∵OA＝OB，OC与弦AB垂直， ∴∠AOC＝π3， ∴△AOC为等边三角形， ∵AD⊥OC，∴OD＝CD，
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∴r＝2CD＝2a，

方法归纳 用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时，其中 2kπ 是 π 的 偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．
跟踪训练 2 (1)将－1 125° 表示成 2kπ＋α，0≤α<2π，k∈Z 的 7π 形式为________ －8π＋ 4． (2)用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
【课标要求】 1.了解角的另外一种度量方法——弧度制. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式.
自主学习 基础认识 |新知预习| 1．度量角的两种制度 角 定义 用度作为单位来度量角的单位制 度 1 1 度的角 周角的360为 1 度的角，记作 1° 制 弧 定义 以弧度为单位来度量角的单位制 度 1 弧度 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度 制 的角 的角.1 弧度记作 1 rad
跟踪训练 1 将下列角度与弧度进行互化： 511 7π (1) 6 π；(2)－12rad；(3)10° ；(4)－855° .
511 511 解析：(1) 6 π＝ 6 ×180° ＝15 330° ； 7π 7 (2)－12 rad＝－12×180° ＝－105° ； π π (3)10° ＝10×180rad＝18rad； π 19 (4)－855° ＝－855×180＝－ 4 π.
解析：角的大小只与角的始边和终边的位置有关，而与圆的半 径大小无关，故选 D. 答案：D
35 B. 5 24π 48 C. 5 D.25π π 24π 解析：864° ＝864×180＝ 5 ，故选 C. 答案：C
4．5 弧度的角的终边所在的象限为( A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
类型二 用弧度制表示角的集合 [例 2] 已知角 α＝2 005° . (1)将 α 改写成 β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出 α 是第几 象限的角； (2)在[－5π，0)内找出与 α 终边相同的角．

第一章 三角函数
第一章 §3 弧度制
1
课前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练
4
课时作业
课前自主预习
• 节是航海速度单位，舰船每小时航程1海里为1节， 用代号“kn”表示．国际上承认的标准海里是1 852 米，我国也承认这个标准，海里的代号为“M”．而 汽车的时速单位是千米/时，用代号“km/h”表
[规律总结]
(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝
1 2
lR＝
12|α|R2(其中l是扇形弧长，α是扇形圆心角)．
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关
键是先分析题目中已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公
式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
• 已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取 什么值时，才能使该扇形的面积最大？最大面积是 多少？
的弧度数是( )
A．π3
B．π6
C．1 [答案] [解析]
D．π A ∵弦长与圆的半径长相等，
∴弦所对的圆心角为π3弧度．
• 2．若α ＝－3，则角α 的终边在( ) • A．第一象限 B．第二象限 • C．第三象限 D．第四象限 • [答案] C
[解析] ∵－π<－3<－π2，
∴角α的终边在第三象限．
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网

终边相同的角
（1）用角度表示
与终边相同的角可以表示为： k 360 ，k Z
它们构成一个集合： S | k 360 , k Z （2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为： 2k，k Z
它们构成一个集合： S | 2k , k Z
(2 1) ( ) 注意: 不能写成 的形式 . 10 例 3 不 能写 成 3 3 的 形 式, 4 而 应写 成 2 3
小结：
功=艰苦劳动+正确方法+少谈空话
作业：
本节课重点学习了圆的标准方程和一 般方程以及参数方程。考虑用圆的几何 性质帮助解题。可以事半功倍！下节课 直线与圆的位置关系中将会重点体现！
l
8cm, 面积为 4cm , 例5 已知扇形的周长为
2
求该扇形的圆心角的弧 度数.
R, 弧长为 L, 则由 解 : 设扇形半径为 L 2R L 8
1 LR 4 2

R
解得 R 2 L 4 故该扇形的圆心角 的弧度数为
L 4 2 R 2
练习、下列角的终边相同的是（ B ）．
l r
1 1 2 扇形面积公式： S lr r 2 2 （其中 为圆心角 所对的弧长， 为圆心角的弧度数 ) l
谢谢光临指导！
再见！
B O r l=2r
A l=2πr
2π弧度
2弧度
O r
A(B)
若圆心角∠AOB表示一个负角，且它 所对的弧的长为3r，则∠AOB的弧度 数的绝对值是 l = 3，
r
l = －3弧度 即∠AOB=－ r
O r A
B
-3弧度

S扇 = 360
2、弧度制下的弧长公式 l = r
弧度制制下的扇形面积公式
S扇
=
1 lr 2
=
1 2
| | r2
l [例4]．求图中公路弯道处弧 的长
（精确到 1m ，图中长度单位：m）．
例5 已知扇形的周长为10cm, 面积为4cm2,求扇形的圆心角.
分析:要求圆心角,根据公式| |= l ,需求弧长l及半径R.
R
当R=4时,l=2cm时, = l = 1
R2 1
∴所求扇形的圆心角的弧度数为
2
1、已知扇形周长为6cm，面积为2cm2，则扇形
圆心角的弧度数为 C
A、1
B、4
C、1或4 D、2或4
2、当圆心角α=-216o，弧长l =7πcm时，其半径
r=__3_5_c_m___
6
所对3、圆在弧半的径长为为3_0__的4_0_圆__中__，__圆心角为周角的
（1）用角度表示
与终边相同的角可以表示为： k 360，k Z 它们构成一个集合：
S = | = k 360 , k Z
2k，k Z
（2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为：
它们构成一个集合：
S = | = 2k , k Z
弧度 这个关键．
练习：填表
度 30 45 60 90 180 270 360

弧度 6

4

3

2


3
2

2
弧度 度
弧度 度




0
12
6
4
3

2πR •α 0 360
零 负都是以度数形式给出的。 都是以度数形式给出的。
弧度制的定义:用弧度做单位来度量 弧度制的定义
角的制度叫做 弧度制
1.定义：把长度等于半径长的弧所对的圆 心角叫做1弧度的角 用符号 弧度的角.用符号 表示。 弧度的角 用符号rad表示。 表示
2.任一已知角 的弧度数的绝对值 任一已知角α的弧度数的绝对值 任一已知角
π
正角 负角 零角 任意角的集合
正数 负数 0 实数集R 实数集
6.正角的弧度数 正角的弧度数 负角的弧度数 零角的弧度数
正数 负数 零
二、例题： 例题： 例题1. 化成弧度； 例题 1) 把67°30′化成弧度； ° 化成弧度 3π 2) 把 rad化成度数； 化成度数； 化成度数 5 3) 用弧度表示图中阴影部分角的集合。 用弧度表示图中阴影部分角的集合。
┄∪{x｜ 解∵A={x|2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Ζ}=┄∪ ｜ ∈ ┄∪ -2π≤x≤-π}∪ {x｜0≤x≤π} ∪{x｜ ∪ ｜ ｜ 2π≤x≤2π+π}∪┄， ∪┄， ∪┄ B={x｜-6≤x≤6}, ｜ ∴A∩B={x｜-6≤x≤-π或0≤x≤π} ｜ 或
思考： 思考：弧度数
与实数是一一 对应的
π
12
2．已知扇形OAB的圆心角为 ．已知扇形 的圆心角为120°， 的圆心角为 ° 半径为6，求扇形弧长及所含弓形的面积。 半径为 ，求扇形弧长及所含弓形的面积。 思考：钟表分针和时针在3点到 点40分 点到5点 分 思考：钟表分针和时针在 点到 这段时间里 分针转过_______弧度的角， 弧度的角， 分针转过 弧度的角 时针转过___弧度的角。 弧度的角。 时针转过 弧度的角 若时针转过3cm,则时针转过的弧长是 若时针转过 则时针转过的弧长是 _________

180

(180)0


57018'
2）几个特殊角的弧度，30°45°60°90° 3）弧度符号rad常可省去不写，
弧度数与实数是一一对应的。
5. 弧长公式与扇形面积公式: 1) 弧长公式L=｜α｜R （α为弧度）
2) 扇形面积公式:
S 1 LR 2
二、例题：
例题1. 1) 把67°30′化成弧度； 2) 把 3 rad化成度数；
若时针转过3cm,则时针转过的弧长是
_________
作业: P习题1. (1) 2.(1),(3) 4. 6. 7 (3) (4). 8.
小结：
角的度量形式(角度制,弧度制),弧度的单 位.弧度的意义,角度制与弧度制间的互 换.会用弧度研究有关问题(弧长,扇形面 积等)
小宝结：剑锋从磨砺出 本节课重点学习了圆的标准方程和一
3°在半径为R的圆中，任一角α的弧度数的
绝对值都满足|α|= L R
其中L是圆心角α所对圆弧的长,R是圆的半径.
3. 弧度制: 用“弧度”作为单位来度量角的 单
位制—弧度制 角度制 ﹟角的度量方法 弧度制 4. 角度与弧度的互换:
360°=2πrad
πrad=180°
﹟：1）
10
,1rad
4
4
S 1 LR 1 R2 1 15 25 75
2
2
24
8
2) 已知扇形的周长为20cm,当扇形的
中心角为多大时，它有最大面积？这是？
解:2) 设圆半径为R, 则
（弧长,扇
L

20

2R

R, S

1
LR

2．－72°化为弧度是( )
A．－3π
B．－25π
C．－56π
D．－57π
B [－72°＝－72×18π0＝－25π.]
3．－2132π 化为角度为________． －345° [－2132π＝－2132π×18π0°＝－345°.]
4．设集合 M＝αα＝k2π－π3，k∈Z
2．弧长公式与扇形面积公式
已知 r 为扇形所在圆的半径，n 为圆心角的度数，α 为圆心角的
弧度数．
角度制
弧度制
弧长公式
l＝|1n8|π0r
l＝|α|r
扇形面积公式
S＝|n3|6π0r2
S＝12l·r＝_12_|α__|r_2
思考 2：扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？ [提示] 设扇形的半径为 r，弧长为 l，α 为其圆心角，则 S＝12lr， l＝αr.
1．将下列角度与弧度进行互化：
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－151π. [解] (1)20°＝20×1π80 rad＝9π rad.
(2)－15°＝－15×1π80 rad＝－1π2 rad.
7 (3)12π
rad＝172×180°＝105°.
(4)－151π rad＝－151×180°＝－396°.
，N＝{α|－π＜α＜π}，则 M∩N

＝________.
－56π，－π3，π6，23π [由－π＜k2π－π3＜π，得－43＜k＜83.因为 k∈
Z，所以 k＝－1,0,1,2，所以 M∩N＝－56π，－π3，π6，23π.]
5．在扇形中，已知半径为 8，弧长为 12，则圆心角是________ 弧度，扇形面积是________．
[解] 设扇形的半径为 R，弧长为 l， 则 2R＋l＝4，∴l＝4－2R， 根据扇形面积公式 S＝12lR， 得 1＝12(4－2R)·R，∴R＝1， ∴l＝2，∴α＝Rl ＝21＝2， 即扇形的圆心角为 2 rad.

24
用弧度制表示终边相同的角
【例 2】 (1)把－1 480°写成 α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中 0≤α<2π；
(2)若 β∈[－4π，0)，且 β 与(1)中 α 终边相同，求 β. [解] (1)∵－1 480°＝－794π＝－10π＋169π，0≤169π<2π， ∴－1 480°＝169π－2×5π＝169π＋2×(－5)π. (2)∵β 与 α 终边相同，∴β＝2kπ＋196π，k∈Z. 又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－29π，β2＝－290π.
28
弧长公式与面积公式的应用 [探究问题] 1．扇形的半径，弧长及圆心角存在怎样的关系？ [提示] |α|＝rl. 2．扇形的面积和相应的弧长存在怎样的关系？ [提示] S＝12lr.
29
【例 3】 一个扇形的面积为 1，周长为 4，求该扇形圆心角的弧 度数．
[思路探究] 设扇形的半径为R，弧长为l → 根据条件列方程组 → 解方程组求R、l → 求圆心角
∴当扇形的圆心角为 2 rad，半径为 10 cm 时，扇形的面积最大为 100 cm2.
34
灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题 的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题， 将扇形面积表示为半径的函数，转化为 r 的二次函数的最值问题.
35
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集 R 之间建 立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度 数)与它对应；反过来，每一个实数也都
第一章 三角函数
§3 弧度制
2
学习目标
核心素养
1.了解角的另外一种度量方法 1.通过学习弧度制的概念，提升
——弧度制． 数学抽象素养．