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第二章 测量系统的误差及抑制

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第二章：误差理论

第二章：误差理论

重物的误差是多少？ 重物的误差是多少？
∆x = x ⋅ δ = 500× 0.1% = 0.5g
相对误差的特征： 相对误差的特征： ⑴大小与被测量单位无关 ⑵能反映误差的大小和方向 ⑶能反映测量工作的精细程度
相对误差比较符合实际检测需要，一般地， 相对误差比较符合实际检测需要，一般地，测 量范围越小，要求的绝对误差越小。 量范围越小，要求的绝对误差越小。比如量程为 1000Kg的秤 相对误差为1％，则测量10Kg重物的 的秤， 则测量10Kg 1000Kg的秤，相对误差为1％，则测量10Kg重物的 误差为0.1Kg 而测量500Kg重物的误差为5Kg 0.1Kg， 500Kg重物的误差为5Kg。 误差为0.1Kg，而测量500Kg重物的误差为5Kg。
对残余误差进行列表或作图进行观察。 对残余误差进行列表或作图进行观察。
U U U
0
n
差 周期性系统误差
b)残余误差之和相减法(马利科夫判据): b)残余误差之和相减法(马利科夫判据): 残余误差之和相减法 当测量次数较多时， 当测量次数较多时，将测量列前一半的残余误 差之和，减去测量列后一半的残余误差之和。 差之和，减去测量列后一半的残余误差之和。
举例说明： 举例说明： 1.测量温度的绝对误差为 例1.测量温度的绝对误差为±10C，测量水的沸点 温度100 测量的相对误差是多少？ 温度1000C，测量的相对误差是多少？
1 δ = × 100 % = 1 % 100 2.某电子天平的相对误差是0.5%，测量500g 某电子天平的相对误差是0.5% 例2.某电子天平的相对误差是0.5%，测量500g
学习误差的意义: 学习误差的意义: 1.正确认识误差的性质, 1.正确认识误差的性质,分析误差产生的原 正确认识误差的性质 以便消除或减小它; 因,以便消除或减小它; 2.正确处理数据,合理计算所得结果,以便在 2.正确处理数据,合理计算所得结果, 正确处理数据 一定条件下,得到更接近真实值的数据; 一定条件下,得到更接近真实值的数据; 3.正确组成检测系统, 3.正确组成检测系统,合理设计检测系统或选 正确组成检测系统 用测量仪表,正确选择检测方法, 用测量仪表,正确选择检测方法,以便在最经济 的条件下,得到理想的测量结果. 的条件下,得到理想的测量结果.

过程参数检测及仪表第2章 误差分析及处理

过程参数检测及仪表第2章 误差分析及处理

按误差出现的规律，将下列误差进行分类
1、用一只电流表测量某电流，在相同条件下每隔一定时间重复 测量n次，测量数值间有一定的偏差。 2、用万用表测量电阻时，由于零点没有调整，测得的阻值始终 偏大。 3、由于仪表放置的位置问题，使观测人员只能从一个非正常角 度对指针式仪表读数，由此产生的读数误差。 4、由于仪表刻度（数值）不清楚，使用人员读错数据造成的误 差。 5、用热电偶测量温度，由于导线电阻引起的测量误差。 6、要求垂直安装的仪表，没有按照规定安装造成的测量误差。
b a c e d
t
曲线a是恒定系统误差 曲线b是线性变化系统误差 曲线c是非线性变化系统误差 曲线d是周期性变化系统误差 曲线e是复杂规律变化系统误差
再现性 --- 偏差（Deviation） 理论分析/实验验证 --- 原因和规律 --- 减少/消除
系统误差是有规律性的，因此可以 通过实验的方法或引入修正值的方 法计算修正，也可以重新调整测量 仪表的有关部件予以消除。
改变测量条件（如方向）--- 两次测量结果的误差符号相反 --- 平均值消除带有间隙特性的定值系统误差 例：千分尺 --- 空行程（刻度变化，量杆不动）--- 系统误差 正反两个方向对准标志线——不含系统误差－a， 空程引起误差－ε 顺时针 ---
d = a+ε
逆时针 --- d ' = a − ε 正确值 --- a = ( d + d ' ) / 2
第二章 测量误差的分析与处理
第一节 测量误差的概念
实验结果 --- 实验数据 --- 与其理论期望值不完全相同
1、测量误差的产生原因 （1）检测系统误差 （2）环境误差 （3）方法误差 （4）人员误差
2、测量误差的分类

测量误差的处理与控制

测量误差的处理与控制

测量误差的处理与控制测量误差是科学研究和工程实践中常常遇到的问题，它对于准确性和可靠性的要求具有重要意义。

在现实生活中，我们几乎每天都接触到测量，无论是量化某个物理量还是评估某种指标，测量都是不可或缺的一步。

但是，由于测量过程中存在各种因素的干扰，误差的产生是无法避免的。

本文将探讨测量误差的处理与控制方法。

一、误差的分类误差可分为系统误差和随机误差两类。

系统误差是由于测量过程中存在的规律性因素引起的，它在重复测量中表现为一种固定的偏差。

例如，在重复测量某个长度时，由于仪器的零点误差导致每次测量都存在一个相同的偏差。

而随机误差是由于无规律性因素引起的，它在重复测量中表现为一种无规律的波动。

例如，在用电子天平称量物体时，由于外界震动的影响，每次测量结果都会有稍许起伏。

二、处理系统误差处理系统误差的方法主要有：校正和修正。

校正是通过调整或校正仪器的零点或量程，使其满足设定的标准或要求。

例如，在实验室中，常常会对仪器进行定期的校准，以消除其固定的偏差。

而修正是通过相关的公式或算法对测量结果进行修正。

例如，在现实生活中，我们常常使用GPS定位系统来导航，但是由于信号传播的路径延迟等原因，会导致定位误差。

此时，我们可以通过对测量结果进行修正，提高定位的准确性。

三、控制随机误差控制随机误差的方法主要有：提高测量精度和增加测量次数。

提高测量精度是通过改进仪器设备和测量方法，减小测量误差的大小。

例如，在实验室中，常常会使用高精度的仪器设备，并进行标准操作，以提高测量的精确度。

而增加测量次数则是通过重复测量同一个物理量，取平均值来减小随机误差的波动。

例如，在地震学中，为了准确测量地震波的振幅，科学家会连续进行多次测量，并取平均值作为最终的测量结果。

四、数据处理与分析在实际测量中，测量结果往往需要经过数据处理和分析才能得出有意义的结论。

常用的数据处理方法有：加权平均法、标准偏差法和最小二乘法等。

加权平均法是根据测量结果的可靠性给予不同的权重，对测量结果进行加权求平均，以提高测量的准确性。

第二章 误差理论及应用

第二章 误差理论及应用

第二章误差理论及应用第一节误差的来源与分类一、误差的来源与误差的概念每一参数的测量都是由测试人员使用一定的仪器，在一定的环境条件下按照一定的测量方法和程序进行的。

尽管被测参数在一定的条件下具有客观存在的确定的真值，但由于受到人们的观察能力、测量仪器、测量方法、环境条件等因素的影响，实际上其真值是无法得到的。

所得到的测量值只能是接近于真值的近似值，其接近于真值的程度与所选择的测量方法、所使用的仪器、所处的环境条件以及测试人员的水平有关。

测量值与真值之差称为误差。

在任何测量中都存在误差，这是绝对的，不可避免的。

当对某一参数进行多次测量时，尽管所有的条件都相同，而所得到的测量结果却往往并不完全相同，这一事实表明了误差的存在。

但也有这样的情况，当对某一参数进行多次测量时，所得测量结果均为同一数值。

这并不能认为不存在测量误差，可能因所使用的测量仪器的灵敏度太低，以致没有反映出应有的测量误差。

实际上，误差仍然是存在的。

由于在任何测量中，误差都是不可避免地存在着，因此对所得到的每一测量结果必须指出其误差范围，否则该测量结果就无价值。

测量误差分析就是研究在测量中所产生误差的大小、性质及产生的原因，以便对测量精度作出评价。

二、测量误差的分类在测量过程中产生误差的因素是多种多样的，如果按照这些因素的出现规律以及它们对测量结果的影响程度来区分，可将测量误差分为三类。

1．系统误差在测量过程中，出现某些规律性的以及影响程度由确定的因素所引起的误差，称为系统误差。

由于可以确知这些因素的出现规律，从而可以对它们加以控制，或者根据它们的影响程度对测量结果加以修正，因此在测量中有可能消除系统误差。

在正确的测量结果中不应包含系统误差。

2．随机(偶然)误差随机误差是由许多未知的或微小的因素综合影响的结果。

这些因素出现与否以及它们的影响程度都是难以确定的。

随机误差在数值上有时大、有时小，有时正、有时负，其产生的原因一般不详，所以无法在测量过程中加以控制和排除，即随机误差必然存在于测量结果之中，但在等精度(用同一仪器、按同一方法、由同一观测者进行测量)条件下，对同一测量参数作多次测量，若测量次数足够多，则可发现随机误差完全服从统计规律。

第二章误差理论

第二章误差理论

三、系统误差的综合 1.代数综合法
如果能估计出各系统误差分量Δi的大小和符号： 绝对误差： Δ= Δ1+ Δ2+…+ Δn 相对误差：δ=δ1+ δ2+…+ δn
2.算术综合法
如果能估计出各系统误差分量Δi的大小,但不能确 定符号：
绝对误差： Δ= ± （ |Δ1|+| Δ2|+…+ |Δn|）
相对误差：δ= ± （|δ1|+ |δ2|+…+| δn|）
e
( x )2 2 { ( x )} 2
式中 x —随机误差变量，相当于高斯方程中的变 量 x ；这里 xi X i X 0 ，其中 X i为某个测量示值， X 0 为真值； e—自然对数的底；
—随机误差的标准偏差（简称标准差）；
x lim
n
X i X 0
2测量值的均方根误差估计对已消除系统误差的一组n个n是有限值等精度测量数据采用其算术平均值近似代替测量真值后总会有偏差但偏差估计有多大而这个估计的偏差值又有多大把握即概率对此目前被广泛使用的贝塞尔bessel公式被认为是解决上述问题工具
第二章 误差理论及应用
本章主要内容
• 误差来源、概念与分类(★ ★ ★) • 系统误差 分类(★ ★) 消除方法(★ ★ ★) 综合(★ ) • 随机误差 • 过失误差
图1-1 对正态分布的影响示意图 图1-2 对正态分布的影响示意图
在已经消除系统误差条件下的等精度重复测量中， 当测量数据足够多，其测量随机误差大都呈正态分 布规律，因而完全可以参照高斯方程对测量随机误 差进行比较分析。这时测量随机误差的正态分布概 率密度函数为
f ( x )

分析化学2--第二章误差(28)

分析化学2--第二章误差(28)
度，每种浓度下取6个平行样，计算相对标准偏差≤10%。
23
准确度评价： 用标准物质对照；加标回收率 ：85%～110%；
ρ x1 x0 100% m
与标准方法对照：高、中、低三种浓度，检查显著性。 2. 质量控制图（quality control chart)： 将标准物质或质控物质插入样品序列中一起进行分析， 获得数据绘图。 平均值控制图的绘制： 分析时每批样品插入一个质控， 或大批样品时每隔10 ～20个样品插入一个，获得20个以上的
随机误差：分析过程中各因素随机波动引起，如仪器示 值波动、读数误差、湿度、温度、气流变化。特点：大小 与正负均变化不定，平行测定次数增加取均值可减小。
4
除以上两种误差外，还有一种称为过失误差（gross error)，由操作者粗心或违规操作造成。
误差的表示方法： 常用准确度、精密度和不确定度表示。 准确度（accuracy)：测量值与真值符合程度，反应分 析方法或测量系统存在系统误差或随机误差综合指标。 绝对误差（absolute error, E )：
（ working curve）和标准曲线（ standard curve ），4～6个 不同浓度的标准溶液，与样品同时处理时称工作曲线，不处 理时称标准曲线；建立回归方程（regression equation），
y bx a ，r 接近1为好；灵敏度（sensitivity）：单位待测物
质的浓度或量变化引起信号的变化，为校正曲线的斜率。 方法精密度评价： 日内：6次；日间：6天。线性范围内高、中、低三种浓
“四舍六入五留双”，欲舍5时，后面不零则进1，为零，16
使修约后最后一位数为双数。 （三）有效数字的运算规则
1. 加减运算：绝对误差最大的数据为依据。 如： 0.045+32.14+2.125547=0.04+32.14+2.13=34.31 2. 乘除运算： 与有效数字最少的数据一致。 如：85.21×2.354×0.00156=85.2×2.35×0.00156=0.312 3. 乘方和开方： 结果有效数字与原数据有效数字相同。 4. 对数和反对数：与上同。

测量的误差分析及控制方法

测量的误差分析及控制方法摘要：测量误差在高层建筑物的施工、竣工验收及竣工后的监测等过程中，具有安全预报、科学评价及检验施工质量三方面的功能。

文章主要概述了影响高层建筑物观测精度的因素，介绍了在实际施工中如何控制好各个因素以便提高沉降观测精度。

关键词：测量误差; 影响因素;误差分析Abstract: the measurement error of the high-rise buildings in the construction and completion acceptance and after completion of the monitoring process, have safety science evaluation and test and prediction, the function of the three aspects of the quality of construction. The paper mainly summarizes the influence factors of high-rise buildings observation accuracy, this paper introduces how to control in actual construction good various factors so as to improve the settlement observational precision.Keywords: measurement error; Influencing factors; Error analysis绪言：测量误差在高层建筑物的施工、竣工验收及竣工后的监测等过程中，具有安全预报、科学评价及检验施工质量三方面的功能。

通过查阅资料和现场实践经验，对观测的影响因素大致归纳为七个方面。

通过对观测影响因素的了解，可以及时避免不利因素，监测出合格的观测资料，为设计提供有用的观测参数，保证建筑物的正常使用寿命和建筑物的安全。

化学分析 第二章 误差(第五版)


R E % =20.01100% 0.1% V
V20mL
h
22
[例]以K2Cr2O7标定0.02mol/L 的Na2S2O3要使VNa2S2O3 = 25 mL，称 mK2Cr2O7=?
[解] (1) Cr2O72++6I -+14H+=2Cr3++3I2+7H2O
I2+2S2O32-=2I -+S4O62 -
S = i=1 n -1
h
35
正态分布与 t 分布区别
1．正态分布——描述无限次测量数据 t 分布——描述有限次测量数据
2．正态分布——横坐标为 u ，t 分布——横坐标为 t
u = x-m s
m为总体均值 s为总体标准差
t= x-m s
s为有限次测量值的标准 差
3．两者所包含面积均是一定范围内测量值出现的概率P
2. 哪些操作影响准确度?
3. 哪些操作影响精密度?
h
25
实验四 明矾的含量测定
操作步骤：
精密称取明矾样品约1.4 g于50 ml烧杯中，用适量蒸馏水溶解后 转移至100 ml容量瓶中，稀释至刻线，摇匀。用移液管吸取 25.00 ml上述溶液于250 ml锥形瓶中，加蒸馏水25 ml，然后精密 加入EDTA标准液（0.05 mol/L）25.00 ml，在沸水浴中加热10分 钟，冷至室温，再加蒸馏水10 ml及HAc – NaAc缓冲液5 ml，二 甲酚橙指示剂4 ~ 5滴，用ZnSO4标准液滴定至溶液由黄色变为橙 色，即为终点。 1. 为什么用容量瓶配制样品溶液?
(5) 为使 RE<0.1%，加大称样，扩大10倍，配置
250mL(取25mL即为0.024g的量)

第2章 测量误差分析及处理-2


RV US U0 U S RV RS 1 RS / RV
U0 US RS V U0 RV
将RV=10 M Ω,RS=10 KΩ带入上式，得 方法误差
104 V 7 0.1％ 10
第7页
电子测量技术
2.1.2 测量误差的来源（续）
电压表本身的仪器误差
随机误差定义：测量结果与在重复性条件下，对同一被测 量进行无限多次测量所得结果的平均值之差
i xi x
(n )
第11页
电子测量技术
2.1.3 测量误差的分类（续）
3.粗大误差：
粗大误差是一种显然与实际值不符的 误差。产生粗差的原因有：
①测量操作疏忽和失误 如测错、读错、记错以及实 验条件未达到预定的要求而匆忙实验等。 ②测量方法不当或错误 如用普通万用表电压档直接 测高内阻电源的开路电压
减小途径：提高测量操作技能，严格按照仪器使 用说明书中规定的方法步骤进行操作。
（3）人身误差：由于测量人员感官的分辨能力、 反应速度、视觉疲劳、固有习惯、缺乏责任心等 原因，而在测量中使用操作不当、现象判断出错 或数据读取疏失等而引起的误差。
第3页
电子测量技术
2.1.2 测量误差的来源（续）
减小途径：提高测量者的操作技能和工作责任心， 采用更合适的测量方法，采用数字式显示的客观 读数。 （ 4 ）影响误差： 由于各种环境因素（温度、湿 度、振动、电源电压、电磁场等）与测量要求的 条件不一致而引起的误差。
(0.005％
2 100％) 0.007％ 100225
可见这里的方法误差较仪器误差大得多。
测得值U0与实际值US间有确定的函数关系，只要知道RS、 RV和U0，那么这里的方法误差可以得到修正。

电气测量中系统误差的产生原因分析及消除方法

电气测量中系统误差的产生原因分析及消除方法1.仪器仪表的误差：仪器仪表在制造、校准和使用过程中都会存在一定的误差，如指示误差、滞后误差、非线性误差等。

这些误差会直接影响到测量结果的准确性。

2.环境因素的影响：环境因素如温度、湿度、电磁干扰等都会对测量系统产生影响。

例如，温度变化会导致仪器的灵敏度变化，湿度变化会导致电阻器的阻值变化，电磁干扰会产生电磁场噪声。

3.测量对象本身的特性：测量对象的非理想特性也会引起系统误差。

例如，元件的温度系数、非线性特性、频率响应不均匀等都会对测量结果产生影响。

4.测量电路的影响：测量电路的参数对测量结果也会产生一定的误差。

例如，电源电压的波动、电源电阻、线路阻抗等都会影响测量的准确性。

针对系统误差的产生原因，可以采取以下措施来消除或减小系统误差：1.使用高精度的仪器仪表：选择精度高、性能稳定的仪器仪表可以减小仪器本身的误差。

在测量之前对仪器进行校准和调整，可以提高测量的准确性。

2.控制环境因素：在测量过程中尽量控制环境因素的影响。

例如，保持温度稳定、控制湿度、避免电磁干扰等。

3.选择合适的测量方法：根据测量对象的特性选择合适的测量方法，以减小测量误差。

例如，对于频率响应不均匀的测量对象，可以采用频率补偿技术来减小误差。

4.进行校正和补偿：通过对测量系统进行校正和补偿，可以减小测量误差。

例如，使用校准仪对仪器进行周期性校准，对测量电路进行补偿等。

5.重复测量和数据处理：通过多次重复测量并进行数据处理，可以减小随机误差，并提高测量结果的准确性。

例如，采用平均法、拟合方法等。

综上所述，电气测量中的系统误差是由多种原因所引起的，可以通过选择合适的仪器仪表、控制环境因素、采用合适的测量方法、进行校正和补偿以及重复测量和数据处理等方法来消除或减小误差，提高测量结果的准确性。

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次测量的平均值的比值，并且通常将其结果表示成非分数的形式，所 以也叫百分误差。
绝对误差可以表示一个测量结果的可靠程度，而相对误差则可以比 较不同测量结果的可靠性。
2017-4-1
17
§2.3 计算误差
3 1 4 3 4 r ，该球体的体积 V 3 3 3 1
3 1 3 1
变化的系统误差。通常用判断准则来发现系统误差。
2017-4-1 10
1、马利科夫判据。马利科夫判据是判别有无累进性系统误差的常
用方法。把n个等精度测量值所对应的残差v按测量先后顺序排列，把 残差分成两部分求和，再求其差值D。测量次数n有可能是偶数也有可 能是奇数。 当n为偶数时， 当n为奇数时，
( n 1) / 2
2017-4-1
2
§2.1 测量系统的概念
测量系统是用来对被测特性定量测量或定性评价的仪器或量具、 标准、操作、方法、夹具、软件、人员、环境和假设的集合，涉及获 得测量结果的整个过程。本节将从实例出发介绍测量系统的概念。
图2.1 TEMA DIC 2D非接触多点应变测量系统
2017-4-1 3

D
v
i 1
n/2
i

i i n / 2 1
v
n
n
(2-6)
D
v
i 1
i

i i ( n 1) / 2
v
(2-7)
当含有累进性误差时，前后两部分明显不同，D明显异于零。所以 当D近视为零时，则表明测量数据中不含累进性系统误差，若D明显 不为零，则测量数据中存在累进性误差。
2017-4-1 11
2、阿卑-赫梅特判据。通常用阿卑-赫梅特判据来检验周期性误差
的存在。把测量数据按测量顺序排列，将对应的残差两两相乘，然后
求其和的绝对值，再与测量值方差估计值 相比较，若下式成立，则
2
系统中存在周期性系统误差。
vv
i i 1
n 1
i 1

n 1
2
(2-8)
2017-4-1
第二章 测量系统的误差及抑制
§2.1 测量系统的概念 §2.2 测量误差 2.2.1 系统误差 2.2.2 偶然误差(随机误差) 2.2.3 绝对误差 2.2.4 相对误差 §2.3 计算误差 2.3.1 从一个实例说起 2.3.2 算法稳定性很重要
2017-4-1 1
§2.4 模型误差与最佳测量方案 2.4.1 误差合成公式 2.4.2 误差见相关性的讨论 2.4.3 最佳测量方案 §2.5 误差的抑制 2.5.1 基于测量方法的误差抑制 2.5.2 基于数据处理的误差抑制
正确做法应该是
5 5 5 x1 (10 10 4 ) / 2 10 5 x 2 1 / x1 10
类似例子说明， 4、减少运算次数。减少运算次数能够避免误差积累。 5、增加原始数据的有效位数。
2017-4-1 20
2.3.2 算法稳定性很重要
误差的传播与积累：在多重运算中，原始数据的误差导致最终结 果也有误差的过程称为误差的传播。在计算过程中，如果误差不增长， 则称该算法是稳定的，否则，算法是不稳定的。
d
2 2
，则有
dt
2
0
2017-4-1
4
c1 cos t c 2 sin t
c1 c 2 sin( t )
2 2
(2-4)
可见，单摆做正弦运动。周期
T
2

。
在上述单摆受力分析过程中，假定摆线长度不变、悬线无质量、 单摆不受空气影响，甚至取，会产生一定的固有偏差，即模型误差。 模型误差：在建立数学模型过程中，要将复杂的现象抽象归结为 数学模型，往往要忽略一些次要因素的影响，对问题作一些简化。因
，依次递推，有
S 1 0 . 0884
S 6 0 . 0244 、 S 4 0 . 0343 、S 5 0 . 0285 、 S 7 0 . 0209 S 3 0 . 0431 、 S 2 0 . 0580 、
舍入产生的误差称为舍入误差。
2017-4-1
7
上述例子属于间接测量。也有人用时间间隔测量来确定单摆周期。 图2.3中用磁性摆球代替普通小球，利用磁性球对干簧继电器的控制， 启动或终止电子计时电路，直接获得周期值(直接测量)。
显然，磁性球方案也会引入误差。因为 这种情况下，所测周期是磁性球与干簧管作 用时的单摆周期；与不存在干簧管情况下的 单摆系统周期有区别，也会对测量结果带来 偏差。该偏差也可归入模型误差范畴。
2017-4-1
21
例3.近似计算 S n 解：据题意，有


1 0
x
n
x5
n
dx
，其中n=1,2,3...,8。
n 1
S n 5 S n 1

1 0
x 5x x5
dx

1 0
x
n 1
dx
1 n
(2-12)
变形，有递推关系
Sn 1 n 5 S n 1
0 . 050
2017-4-1
9
2.2.1 系统误差
在同一测量条件下，多次重复对同一量值进行测量时，测量误差 的绝对值和符号保持不变，或在测量条件改变时按一定规律变化的误 差，称为系统误差。系统误差出现一定的规律，如果能确知其影响因 素的规律时，可以对这些误差进行控制或加以修正。
不变的系统误差，常用校准的方法来检查恒定的系统误差是否存 在，通常用标准仪器或者标准装置来发现并确定系统误差的数值。
l g
计算时，存在计算误差，包括截断误差、有效值位数的舍入误差。
测量误差：由于仪器、实验条件、环境等因素的限制，测量不可 能无限精确，物理量的测量值与客观存在的真实值之间总会存在着一 定的差异，这种差异就是测量误差。
2017-4-1 6
截断误差：由于实际运算只能完成有限项或有限步运算，因此要
将有些需用极限或无穷过程进行的运算有限化，对无穷过程进行截断， 这样产生的误差称为截断误差。 舍入误差：在数值计算过程中，由于计算工具的限制，我们往往 对一些数进行四舍五入，只保留前几位数作为该数的近似值，这种由
2017-4-1 13
2.2.2 偶然误差(随机误差)
在相同条件下，对同一物理量进行多次测量，由于各种偶然因素， 会出现测量值时而偏大，时而偏小的误差现象，这种类型的误差叫做
偶然误差。
产生偶然误差的原因很多，例如读数时，视线的位置不正确，测 量点的位置不准确，实验仪器由于环境温度、湿度、电源电压不稳定、 振动等因素的影响而产生微小变化等，这些因素的影响一般是微小的， 而且难以确定某个因素产生的具体影响的大小，因此偶然误差难以找 出原因加以排除。
3
例1.设有一个球体，其半径为r
( 3 1) 6 0.019246 8 ( 2 3 ) 3 0 . 019227 26 15 3 0 . 0185 3 3 1 8 0 . 019236 6 3 1 ( 3 1) 1 0 . 019237 3 (2 3 ) 1 0 . 019238 26 15 3
假定摆线长度不变、悬线无质量、单摆不受 空气影响，摆球受力为
l
mg sin ma ml
d 2Leabharlann (2-1)dt2
sin

即，

d
2
m g
mg
dt
2

g l
sin 0
2 ,令
(2-2)
g l
图2.2 单摆模型
式(2-2)中,当θ很小时， sin (2-3) 解得：
图2.3 磁性球控制干簧管
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§2.2 测量误差
无论是直接测量、还是间接测量，测量不可能无限精确，物理量的 测量值与客观存在的真实值之间总会存在着一定的差异，这种差异就
是前文所述的测量误差。由于仪器、实验条件、环境等因素的限制，
测量误差是不可避免的，只能减小。 根据测量误差产生的原因及性质可分为系统误差与偶然误差两类。 根据误差表示的形式，又可将误差分为绝对误差、相对误差。
S3 、
(2-13)
0 . 0833
对初始值
S 4 0 . 166
S 0 ln 6 ln 5 0 . 182
S2 ,依次递推有S 1 0 . 090 、
S 8 12 . 5 。 S 6 4 . 98 、S 7 25 . 0 、 S 5 1 . 03 、 、 显然，结果出现负数是错误的；其次，数值大幅度跳跃也是不对的。
似乎是确定的值，但实际上，随算法的不同结果有差别。取 3 =1.73205。

后三种算法结果接近，并且充分接近真 实值；但是，前三种算法效果要差一些， 这是有两个接近的数做减法引起的。
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类似例子说明： 1、两个数值相近的数不宜做减法。一旦出现有关情况，可采用数 学恒等式进行转换，如
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系统误差产生的原因： 1、仪器结构上不够完善或仪器未经很好校准等原因会产生误差。例如， 各种刻度尺的热胀冷缩，温度计、表盘的刻度不准确等都会造成误差。 2、实验本身所依据的理论、公式的近似性，或者对实验条件、测量方法的 考虑不周也会造成误差。例如，热学实验中常常没有考虑散热的影响，用伏安 法测电阻时没有考虑电表内阻的影响等。 3、测量者的生理特点，例如反应速度，分辨能力，甚至固有习惯等也会在 测量中造成误差。 系统误差的特点是测量结果向一个方向偏离，其数值按一定规律变化。我 们应根据具体的实验条件，系统误差的特点，找出产生系统误差的主要原因， 采取适当措施降低它的影响。