立体几何第三课用传统方法求距离和角度

立体几何中的角度问题攻略新东方孟祥飞异面直线角：采用平移法，或者向量线面角：（1）当射影线好找时采用定义法，（2）当射影线不好找时建议采用向量法，但是等体积法也是不错的选择二面角：（1）当二面角的二面为双等腰图形或者全等对称或者二面交线垂线相对好平移的情况，采用定义法即可（2）当二面交线垂线不好平移（主要原因为计算量太大）建议直接采用向量法，但是三垂线法也是不错的选择，可以减少平移运算。

（3）三垂线法也会出现射影线不好找的情况，此时可以采用等体积转化。

S 中，E，F为中点，求异面直线BE，SF所称角度例题：1.正四面体ABCSEA CFB异面直线角的求法只需记住平移和向量即可，但是有些小题考查可能不好建系，所以需要大家对平移好好掌握，而平移其实就是构建辅助线，辅助线的构造基本和证明线面平行时的构造相同，即平行四边形构造和中位线构造，相对而言中位线可能够难想一点，中位线构造常常出现在三棱锥中。

SEPA CPF和SF所成平面角即所求FBSE这样的构建也是不错的选择EQ 和EB 所成角为所求A CQF B求三边套余弦定理即可，令正四面体边长为2，则EB=3，EQ=23，QB=27 所以32323247343cos =⨯⨯-+=QEB 此题还可以采用五坐标向量法来求解，2.三棱锥A BCD -，且,,,)(,>=<+===AC EF f DFCFBE AE λλλαβαλλ>=<BD EF ,λβ，求)(λf 的单调性 A EQB DFC此题的方法也为平移转化，由于是三棱锥，所以采用中位线（等比例线）方式平移，如图，不难发现，其实题目设计成求和角单调性，由于内角和为定值π，其实就是求角EQF 的单调性，而角EQF 为棱AC 和BD 之间角，是为定值的3.正方体1111D C B A ABCD -，E 是1BC 中点，求DE 与ABCD 所成角。

D 1 C 1 A 1 B 1 ED C Q A B线面角在求解时，我们觉得可能难度略大于异面直线，但是同学们注意其实把方法掌握，一样是很简单的，因为立体几何的特点是规律性非常强！我们看此题，线面角的定义是射影和斜线的成角，所以我们要先找DE 直线的射影，不难发现DE 的射影即为DQ ，所以所求线面角的平面角即为∠EDQ ，只需求解直角三角形EDQ 即可求出线面角的三角函数值。

立体几何（空间角、距离）1．两条直线（异面直线）所成的角通过作（证明平行线）转化为相交直线所成角 2．直线与平面所成角直线与该直线在平面上的射影所成角 3．平面与平面所成角（二面角） ⑴定义法 ⑵三垂线法 ⑶垂面法⑷面积射影法 cos α=SS 射影注意：空间角的计算步骤：一作、二证、三计算 4．点到平面的距离 ⑴定义法 ⑵等体积法例题：在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知棱长为a ，试分别求出下列问题⑴直线AB 1与直线BC 1所成角的余弦值 ⑵直线CC 1与平面BC 1D 所成角的余弦值 ⑶求二面角C-BD-C 1所成平面角的余弦值 ⑷异面直线AC 1与BB 1的距离 ⑸点C 到平面BC 1D 的距离 巩固提高1、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线A 1B 与直线DB 1所成角为（ ） A ．3πB ．4πC ．6πD ．2π2、直线a 与平面α成030的角，直线b ⊂α，则直线a 与b 所成的角的范围是（ ） A ．[00,090] B ．[00,0180] C ．[00,030] D ．[030,090]3、如图，已知E 、F 分别为正四面体ABCD 所在棱的中点，则异面直线AC 与EF 所成的角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°4、已知∆ABC 为正三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA=AB ，试求直线异面PB 与AC 所成角的大小（若不特殊可用一种三角函数值表示）5、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、CC 1的中点，求AE 、BF 所成角的余弦值．6、在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为 ( ) A ．60° B ．90° C ．105° D ．75°7、在正四面体ABCD 中，二面角A-BC-D 的平面角的余弦值为（ ）A ．31B ．41C ．32D ．528、在∆ABC 中，点M 、N 分别是直线AB 、AC 的中点，PM ⊥面ABC ，若BC=6，PM=3，则直线PN 与平面ABC 所成角为 （若不特殊可用一种三角函数值表示）9、点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=22AD ， 求异面直线AD 和BC 所成的角。

第02讲 玩转立体几何中的角度、体积、距离问题【学习目标】1.掌握各种角的定义，弄清异面直线所成的角与两直线所成的角，二面角与二面角的平面角，直线与平面所成的角和斜线与平面所成的角，二面角与两平面所成的角的联系与区别，弄清他们各自的取值范围。

2.细心体会求空间角的转化和数形结合思想。

3.掌握各种距离和距离的求解方法.【基础知识】知识点1.求点线、点面、线面距离的方法(1)若P 是平面α外一点，a 是平面α内的一条直线，过P 作平面α的垂线PO ，O 为垂足，过O 作OA ⊥a ，连接P A ，则以P A ⊥a ．则线段P A 的长即为P 点到直线a 的距离(如图所示)．(2)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离．(3)求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解．②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解．③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解．知识点2.异面直线所成角的常用方法求异面直线所成角的一般步骤：(1)找(或作出)异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线.(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角.(3)结论——设(2)所求角大小为θ.若090θ︒<≤︒，则θ即为所求；若90180θ︒<<︒，则180θ︒-即为所求.知识点3.直线与平面所成角的常用方法求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤(1)确定斜线与平面的交点(斜足)；(2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形.知识点4.作二面角的三种常用方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①，则∠AOB 为二面角α-l -β的平面角.(2)垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.如图②，∠AOB 为二面角α-l -β的平面角.(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A 向另一个平面作垂线，垂足为B ，由点B 向二面角的棱作垂线，垂足为O ，连接AO ，则AOB ∠为二面角的平面角或其补角.如图③，AOB ∠为二面角l αβ--的平面角.知识点5.求体积的常用方法选择合适的底面，再利用体积公式求解.【考点剖析】考点一：异面直线所成的角例1．在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若2==AC BD ，且AC 与BD 所成的角为60°，则EG 的长为（）A ．1或2B ．2或3C ．1或3D ．12或32考点二：线面角例2．如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，底面ABC 是正三角形，AA '⊥底面ABC ，且1AB =，2AA '=，则直线BC '与平面ABB A ''所成角的正弦值为______．考点三：二面角例3．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==．(1)求证：PC BD ⊥；(2)求二面角P CD A --的正弦值．考点四：距离问题例4．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,,22AB BC AA AC AB BC ⊥===，E ，F 分别是11,AC AB 的中点．(1)证明：AE ∥平面11B C F ．(2)求点C 到平面11B C F 的距离．考点五：体积问题例5．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点F 为线段PC 上的点，过A ，D ，F 三点的平面与PB 交于点E ．(1)证明：//EF 平面ABCD ；(2)若E 为PB 中点，且2AB PA ==，求四棱锥P AEFD -的体积．【真题演练】1．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π62．如图，四棱锥S -ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（ ） A ．AC ⊥SBB ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角1．线面平行垂直的判定；2．线面角，异面直线所成角3．已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ，则A ．123θθθ≤≤B ．321θθθ≤≤C ．132θθθ≤≤D ．231θθθ≤≤4．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为A 235D 7 5．已知正方体1111ABCD ABCD -中，E 、F 分别为11、BB CC 的中点，那么异面直线AE 与1D F 所成角的余弦值为____________.6．如下图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面SAD ⊥平面ABCD ，2SA SD ==，3AB =． （1）求SA 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：AB SD ⊥．7．如图，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =． （1）证明：C//B 平面D P A ；（2）证明：C D B ⊥P ；（3）求点C 到平面D P A 的距离．8．如图，在圆锥PO 中，已知2PO O 的直径2AB =，点C 在AB 上，且30CAB ∠=，D 为AC 的中点．（I ）证明：AC ⊥平面POD ；（II ）求直线OC 和平面PAC 所成角的正弦值．9．如图，P 是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面外一点，1PA =，P 在平面ABC 内的射影为BF 的中点O ．（Ⅰ）证明PA ⊥BF ；（Ⅰ）求面APB 与面DPB 所成二面角的大小的余弦值．10．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD ∥平面MAC ，PA PD =.(1)判断M 点在PB 的位置并说明理由；(2)记直线DM 与平面P AC 的交点为K ，求DK KM的值；(3)若异面直线CM 与AP M CD A --的平面角的正切值. 11．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AD =1，12AB AA ==，H ，F 分别是棱11C D ，1BB 的中点.(1)判断直线HF 与平面11A BCD 的位置关系，并证明你的结论；(2)求直线HF 与平面ABCD 所成角的正弦值；(3)在线段HF 上是否存在一点Q ，使得点Q 到平面11A BCD ，若存在，求出HQ HF的值；若不存在，说明理由. 【过关检测】1．在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，3AD =，点E 、F 分别是棱AB 、1AA 的中点，E 、F 、1C ∈平面α，直线11A D 平面P α=，则直线BP 与直线1CD 所成角的余弦值为（）A C 2．在正方体1111ABCD ABCD -中，E ，F 分别为棱AD ，11A B 的中点，则异面直线EF 与1CD 夹角的余弦值为（）A D3．如图所示，三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=，且2PA PB AB ===，=PC 则PC 与平面P AB 所成角的余弦值等于（）A B 4．在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若2==AC BD ，且AC 与BD 所成的角为60°，则EG 的长为（）A．1．1．125．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方形1111D C B A 的中心，则下列结论错误的是（） A ．BO AC ⊥B ．BO ∥平面1ACDC ．点B 到平面1ACD D ．直线BO 与直线1AD 的夹角为3π 6．在正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点，则下列结论中正确的是（） A ．1D D AF ⊥B ．二面角F AEC --的正切值为2C ．异面直线1A G 与EFD ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍7．如图，AB 是半球的直径，O 为球心，4,,AB M N =依次是半圆AB 上的两个三等分点，P 是半球面上一点，且PN MB ⊥，(1)证明：平面PBM ⊥平面PON ；(2)若点P 在底面圆内的射影恰在BM 上，求二面角--A PB N 的余弦值．8．已知平面四边形ABCD ，2AB AD ==，60BAD ∠=︒，30BCD ∠=︒，现将ABD △沿BD 边折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，此时AD CD ⊥，点P 为线段AD 的中点.(1)求证：BP ⊥平面ACD ；(2)若M 为CD 的中点，求MP 与平面BPC 所成角的正弦值；(3)在（2）的条件下，求二面角P BM D --的平面角的余弦值.9．已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，PD ⊥底面ABCD .(1)求证：AC ⊥平面PBD ；(2)当1PD =，BD =PB 与AD 所成角的余弦值；10．已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，PD ⊥底面ABCD ．(1)求证：AC ⊥平面PBD ；(2)已知1PD =，（Ⅰ）当BD PB 与AD 所成角的余弦值；（Ⅰ）当直线PB 与平面ABCD 所成的角为45︒时，求四棱锥P ABCD -的体积．11．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，12BB =.(1)求异面直线11B C 与1A C 所成角正切值的大小；(2)求点1B 与平面1A BC 的距离.第02讲 玩转立体几何中的角度、体积、距离问题【学习目标】1.掌握各种角的定义，弄清异面直线所成的角与两直线所成的角，二面角与二面角的平面角，直线与平面所成的角和斜线与平面所成的角，二面角与两平面所成的角的联系与区别，弄清他们各自的取值范围。

立体几何中角度距离的求法空间向量及其运算1 .空间向量的坐标表示及应用（1）数量积的坐标运算 _____________________________________________________ 设 a ＝（a 1，a 2，a 3），b ＝（b 1，b 2，b 3），则 a ·b ＝ _____________________________________ （2）共线与垂直的坐标表示设 a ＝（a 1，a 2，a 3）， b ＝（b 1，b 2，b 3），则 a ∥b ? ________a ⊥b ? _________ ? _______________________ （ a ，b 均为非零向量 ）. （3）模、夹角和距离公式 设 a ＝ （a 1， a 2， a3）， b ＝ （b 1，b 2，b3），设 A （a 1，b 1，c 1），B （a 2， b 2，c 2）， 则 d AB ＝|A →B|＝ ____2.空间向量的数量积及运算律 （1）数量积及相关概念① 两向量的夹角， 已知两个非零向量 a ，b ，在空间任取一点 O ，作O →A ＝a ，O →B ＝b ，则∠AOB叫做向量 a 与 b 的夹角，记作 ___________ ，其范围是 __________ ，若〈 a ，b 〉＝ 2π，则 称 a 与 b _________，记作 a ⊥ b .② ___________________________________________________ 两向量的数量积， 已知空间两个非零向量 a ，b ，则 _____________________________________ 叫做向量 a ，b 的数量积， 记作 ________ ，即 __________________ .（2）空间向量数量积的运算律①结合律： （λa ） ·b ＝ _____ ； ②交换律：a ·b ＝ _________③ ________________________分配律： a ·（b ＋ c ）＝ .2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理（1）共线向量定理对空间任意两个向量 a ，b （b ≠0） ，a ∥b 的充要条件是推论， 如图所示，点 P 在 l 上的充要条件是： O →P ＝O →A ＋ t a ①其中 a 叫直线 l 的方向向量， t ∈R ，在 l 上取 A →B ＝a ， 则①可化为 O →P ＝ ______________________ 或O →P ＝（1－t ）O →A ＋ tO →B.（2）共面向量定理的向量表达p ＝ __________ ，其中 x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量，M →→→→→→yO →A ＋z O →B ， 其中 x ＋ y ＋ z ＝ .（3）空间向量基本定理，如果三个向量 a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在有序实数组 { x ，y ， z} ，使得 p ＝ ________ ，把 { a ， b ， c }叫做空间的一个基底 .则 |a |＝ a ·a ＝cos 〈a ， b 〉a ·b|a||b|用向量的方法求角度(一)知识清单1.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1) 直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量.(2) 平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向n·a＝0量，则求法向量的方程组为.n·b＝02.空间向量与空间角的关系(1) ____________________________________________________________________________ 设异面直线l 1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cos θ＝__________ .(2) 设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l 与平面α所成角θ满足sin θ＝ ________ .(3) 求二面角的大小1°如图①，AB、CD 是二面角α—l—β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小2°如图②③，n1，n2分别是二面角α—l—β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ 满足cos θ＝ __________________________________ .(二) 题型题型一求异面直线所成的角例 1 如图所示，在长方体ABCD —A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3AA1＝2.E、F 分别是线段AB、BC 上的点，且EB＝BF＝1. 求直线EC1 与FD1所成的角的余弦值.解方法一以 A 为原点，A→B、A→D、A→A1分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D 1(0,3,2) ，E(3,0,0)，F(4,1,0)，C1(4,3,2)，于是E→C1＝(1,3,2)，F→D1＝(－4,2,2)，设EC1 与FD1所|EC1·FD 1| ＝1× －4 ＋3×2＋2×2|E →C1| |·F→D1|12＋32＋22× －4 2＋22＋22∴直线EC1与FD1所成的角的余弦值为21.14方法二延长BA 至点E1，使AE1＝1，连接E1F、DE1、D1E1、有D1C1∥E1E，D1C1＝E1E，则四边形 D 1E1 EC1 是平行四边形＝21，＝14，成的角为β，则：cos β＝则E1D 1∥EC 1.于是∠ E1D 1F(或补角)为直线EC1与FD1所成的角.在Rt△BE1F中，E1F＝E1B2＋BF 2＝52＋12＝26.在 Rt △ D 1DE 1中， D 1E 1＝ DE 12＋DD 21＝ AE 12＋AD 2＋DD 12＝ 12＋32＋22＝ 14. 在 Rt △D 1DF 中，FD 1＝ FD 2＋DD 12＝ CF 2＋CD 2＋ DD 12＝ 22＋42＋22＝ 24.练习 1 如图，在四棱锥 O —ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的菱形， π∠ABC ＝4.OA ⊥底面 ABCD ，OA ＝2，M 为 OA 的中点， N 为 BC 的中点 . (1)证明：直线 MN ∥平面 OCD ；(2) 求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小 .(1)证明作 AP ⊥CD 于点 P.如图，分别以 AB ，AP ，AO 所在直线为 x ， y ，z轴建立直角坐标系 .A(0,0,0)，B(1,0,0)，P 0， 22， 0 ，D － 22， 22， 0 ，题型二 求直线与平面所成的角例 2 如图所示，直三棱柱 ABC —A 1B 1C 1 中，底面是等腰直角三角形， ∠ACB ＝90°，侧棱 AA 1＝2，D 、E 分别是 CC 1、A 1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是△ ABD 的重心 G. 求 A 1B 与平面 ABD 所成角的正弦值 .解建立空间直角坐标系，坐标原点为 C ，设 CA ＝ 2a ，则 A(2a,0,0)，B(0,2a,0)在△E 1FD 1 中，由余弦定理得： cos ∠ E1D 1F ＝ D 1E 12＋FD 21－ E 1 F 2 2×D1E 1×FD 1 21. 14 .∴直线 EC 1 与 FD 1所成的角的余弦值为21. 14 .D(0,0,1)， A 1(2a,0,2)， E(a ，a,1)，G ，23a ， 31 ，E →G ＝ － BD ＝(0， －2a,1)，·B →D ＝32a 2－23＝0，∴a ＝1，E →G ＝ －31，－ 13， a ，3，O(0,0,2)，M(0,0,1)， N 1－ 42， 42， 0 . M →N ＝OD ＝2， 2，22，－2 .设平面 OCD 的法向量为 n ＝ (x ， y ，z)， 则 n ·O →P ＝ 0， 22y －2z ＝0，n ·O →D ＝0.即－ 22x ＋ 22y －2z ＝ 0.取 z ＝ 2，解得 n ＝ (0,4， 2).∵M →N ·n ＝ 1－ 2，24，4，－ 1 ·(0,4， 2)＝0，∴MN ∥平面 OCD.(2)解设 AB 与 MD 所成角为 θ， ∵A →B ＝(1,0,0)，M →D ＝ － 2， 222∴ cos θ＝ |AB ·MD | |A →B||·M →D |ππ∴θ＝3.∴直线 AB 与 MD 所成的角为 3.22，－ 2 ，2， 2，－ 11－ 4 ， 4 ，－112， θ∈于是 cos 〈 n ，A →D 〉n·AD ＝ － 3 7 |n | |·A →D| 4× 2 3题型三 求二面角 例 3 如图，四边形 ABCD 为正方形， (1)证明：平面 PQC ⊥平面 DCQ ； (2)求二面角 Q — BP — C 的余弦值 .(1)证明如图，以 D 为坐标原点，线段以 AD 、DP 、DC 所在直线为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz. 依题意有 Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，则 D →Q ＝(1,1,0) ，D →C ＝ (0,0,1) ，P →Q ＝(1，－ 1,0). 所以P →Q ·D →Q ＝0，P →Q ·D →C ＝0，即 PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC.又 DQ ∩DC ＝D ，所以 PQ ⊥平面 DCQ. 又 PQ? 平面 PQC ，所以平面 PQC ⊥平面 DCQ.(2)解依题意有 B(1,0,1)，C →B ＝(1,0,0)，B →P ＝(－1,2，－ 1).A 1B ＝(－2,2，－ 2).∵EG 为平面 ABD 的一个法向量， 且 cos 〈A →1B ，E →G 〉＝ A →1B ·E →G ＝ 32，∴A 1B 与平面 ABD 所成角的正弦值是 32. |A →1B||E →G| 3 3 练习 2 如图所示，在正三棱柱 ABC —A 1B 1C 1中， AB ＝4，AA 1＝ 7， 点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AC 上，且 DE ⊥A 1E. (1)证明：平面 A 1DE ⊥平面 ACC 1A 1； (2) 求直线 AD 和平面 A 1DE 所成角的正弦值 . (1)证明由正三棱柱 ABC —A 1B 1C 1的性质知，AA 1⊥平面 ABC.又DE? 平面 ABC ，所以DE ⊥AA 1.又 DE ⊥A 1E ，AA 1∩ A 1E ＝ A 1， 所以 DE ⊥平面 ACC 1A 1 .又 DE? 平面 A 1DE ， 故平面 A 1DE ⊥平面 ACC 1A 1. (2)解 如图所示，设 O 是 AC 的中点，以 O 为原点建立空间直角坐标 系，则相关各点的坐标分别是 A(2,0,0)， A 1(2,0， 7)， D(－ 1， 3，0)，E(－1,0,0).易知 A →1D ＝(－3， 3，－ 7)， D →E ＝(0，－ 3，0)，A →D ＝ (－3， 3，0).设 n ＝(x ， y ，z)是平面 A 1DE 的一个法向量，则 n ·D →→E ＝－ 3y ＝0， n ·A →1D ＝－ 3x ＋ 3y －7z ＝ 0. 解得 x ＝－ 37z ，y ＝0. 故可取 n ＝( 7，0，－ 3).故直线 AD 和平面 A 1DE 所成角的正弦值为21 8218 PD ⊥平面 ABCD ，PD ∥QA ， QA ＝AB ＝12PD.2 DA 的长为单位长，即 n设 n ＝ (x ， y ， z)是平面 PBC 的法向量，同理，设 m 是平面 PBQ 的法向量，故二面角 Q —BP —C 的余弦值为－ 515.B →D ＝(－2 3， 2,0). ∴B →D ·A →P ＝0，B →D ·A →C ＝0. ∴BD ⊥ AP ，BD ⊥AC.又∵ PA ∩ AC ＝ A ，∴ BD ⊥面PAC.(2)解 设平面 ABD 的法向量为 m ＝ (0,0,1)，设平面 PBD 的法向量为 n ＝ (x ， y ， z)， 则 n ·B →D ＝ 0，n ·B →P ＝ 0.∵B →P ＝ ( －2 3，0,3)，二距离的求法 ②等体积法，转化为求三棱锥的高③等价转移法； 则 B 到平面 α的距离 d④法向量法 .如图，设 AB 为平面 α的一条斜线段， n 为平面 α的法向量，2 题型则n ·C →B ＝ 0，n ·B →P ＝ 0，m ·BP ＝0，则 可取 m ＝ (1,1,1).所以 cos 〈 m ， n 〉 m ·P →Q ＝0，15 5(2)求二面角 P —BD —A 的大小 .(1)证明 如图，建立坐标系，则 A(0,0,0)， B(2 3，0,0)，C(2 3， 6,0)， y ＝ 3x ，解得2 3 z ＝ 3 x. 令 x ＝ 3， 则 n ＝ ( 3，3,2)，面角 P —BD — A 的大小为 60°.1.点面距的求法 ①垂面法：借助面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键题型一 用向量法求空间距离x ＝0，－x ＋2y －z ＝0. 因此可取 n ＝(0，－ 1，－ 2).练习 3 如图，在底面为直角梯形的四棱锥 P —ABCD 中， AD ∥BC ， ∠ABC ＝90°， PA ⊥平面 ABCD ，PA ＝3，AD ＝2，AB ＝2 3，BC ＝6.(1)求证： BD ⊥平面 PAC ；D(0,2,0)，P(0,0,3)，∴A →P ＝ (0,0,3)，A →C ＝(2 3，6,0)，－ 2 3x ＋ 2y ＝0， －2 3x ＋ 3z ＝ 0 ∴cos 〈m ，n 〉＝|m m ·||nn |＝21.例 1 在三棱锥 S —ABC 中，△ ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC ⊥平面 ABC ，SA ＝SC ＝2 3，M 、N 分别为 AB 、 SB 的中点，如图所示 . 求点 B 到平面 CMN 的距离 .说明 :点到平面的距离，利用向量法求解比较简单，它的理论基础仍出于几何法 .如本题，事 实上，作 BH ⊥平面 CMN 于 H.由B →H ＝B →M ＋M →H 及B →H ·n ＝n ·B →M ， ∴|B →H ·n |＝|n ·B →M|＝|B →H| |·n |， ∴|B →H|＝|n ·|n B |M|，即 d ＝|n ·|n B |M|.解 取 AC 的中点 O ，连接 OS 、 OB.∵SA ＝SC ，AB ＝BC ， ∴AC ⊥SO ，AC ⊥ BO. ∵平面SAC ⊥平面 ABC ，平面 SAC ∩平面 ABC ＝AC ，∴ SO ⊥平面 ABC ，又∵ BO? 平面 ABC ，∴SO ⊥BO.如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz ，则 B （0,2 3， 0），C （－2,0,0），S （0,0,2 2），M （1， 3，0），N （0， 3， 2）. ∴C →M ＝ （3， 3， 0）， M →N ＝ （ － 1,0， 2）， M →B ＝ （－ 1， 3，0）. 设n ＝（x ，y ，z ）为平面 CMN 的一个法向量， ，取 z ＝1，则 x ＝2，y ＝－ 6，∴ n ＝（ 2，－ 6，1）.∴点 B 到平面 CMN 的距离 d ＝|n ·MB|＝432. 3练习 1 如图，△ BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面MCD ⊥平面 BCD ，AB ⊥平面 BCD ， AB ＝2 3 .求点 A 到平面 MBC的距离 .解 取 CD 中点 O ，连接 OB ，OM ，则 OB ⊥CD ，OM ⊥CD. 又平面 则MO ⊥平面 BCD .取O 为原点，直线 OC 、BO 、OM 为 x 轴、y 轴、z 轴， 建立空间直角坐标系如图 .OB ＝OM ＝ 3，则各点坐标分别为 C （1,0,0）， M （0,0， 3），B （0，－ 3，0），A （0，－ 3，2 3）.设 n ＝（x ，y ，z ）是 平面 MBC 的法向量，则 B →C ＝ （1， 3，0），B →M ＝（0， 3， 3）， 由 n ⊥B →C 得 x ＋ 3y ＝0； 由n ⊥B →M 得 3y ＋3z ＝0.取 n ＝（ 3，－1,1），B →A ＝（0,0,2 3）， 则点 A 到平面 MBC 的距离|B →A ·n | 2 3 2 15 d ＝|n | ＝5 ＝5 . 题型二 用等体积法求距离 例2 已知直二面角 D AB E 中，四边形ABCD 是边长为 2 的正方形， AE=EB,F 为 CEC →M ·n ＝3x ＋ 3y ＝0则→M →N ·n ＝－ x ＋ 2z ＝|n |上的点，且 BF 平面 ACE(1) 求证 AE 平面 BCE , (2) 求二面角 B AC E 的大小， (3) 求点 D 到平面 ACE 的距离练习 2、如图，已知正三棱柱 ABC — A 1B 1C 1的底面边长是 2， D 是侧棱 CC 1的中点，直 线 AD 与侧面 BB 1C 1C 所成的角为 45 ．AFE 为二面角 A BD C 的平面角 在 Rt BEF 中，BE 1,sin EBF CD 2 3， EFBD 22( 2)23Ⅱ) Ⅲ) 解： 求此正三棱柱的侧棱长； 求二面角 A BD C 的大小； 求点 C 到平面 ABD 的距离． Ⅰ)设正三棱柱BEABC— A 1B 1C 1的侧棱长为 x ． C取 BC 中点 E ，连 AE ． ABC 是正三角形， AE BC ．又底面 ABC 侧面 BB 1C 1C ， 且交线为 BC ． AE侧面BB 1C 1C ．连 ED ，则直线 AD 与侧面 BB 1C 1C 所成的角为AEADE 45 ． 在 Rt AED 中， tan45 ED3，解得 x 2 2 此正三棱1 x 42柱的侧棱长为 2 2 ． 注：也可用向量法求侧棱长． Ⅱ)解法 1：过 E 作 EF BD 于 F ，连 AF ，AE侧面 BB 1C 1C, AF BD ．EF BEsin EBF ，又33． 又AE 3,A 1AB1DC 1在 Rt AEF 中， tan AFE EF 3，故二面角 A BD C 的大小为 arctan3． 解法 2 ：（向量法，）Ⅲ）解法 1 ：由（Ⅱ）可知， BD 平面 AEF , 平面 AEF 平面 ABD ，且交线为 AF ， 过 E 作 EG AF 于G ，则 EG 平面 ABD解法 2 ：取 AB 中点 H ，连 CH 和 DH ，由 CA CB, DA DB ，易得平面 ABD 平面CHD ，且交线为 DH ．过点 C 作CI DH 于 I ，则CI 的长为点 C 到平面 ABD 的距离． 解法 3：等体积变换 :由 V C ABD V A BCD 可求．解法 4 ：（向量法，见后）题（Ⅱ） 、（Ⅲ）的向量解法：取 n 1 ( 6, 3,1). 又平面 BCD 的一个法向量 n 2 (0,0,1).结合图形可知，二面角 A BD C 的大小为 arccos 10 ． 10 Ⅲ)解法 4 ：由(Ⅱ)解法 2 ， n 1 ( 6, 3,1), CA (0, 1, 3)(0, 1, 3) ( 6, 3,1) 2 30( 6)2 ( 3) 2 12 10在 Rt AEF 中， EGAE EF AF3 33( 3) 2 ( 33)230 10E 为 BC 中点， 点C 到平面 ABD 的距离为 2EG2 30 10Ⅱ)解法 2：如图，建立空间直角坐标系 o xyz ． z A 则 A(0,0, 3), B(0, 1,0), C(0,1,0), D ( 2,1,0) ．设n 1（x, y, z ）为平面 ABD 的法向量． n 1n 2 AB 0,得AD 02 x y 3z 0n 1 n 2cos n 1 ,n 2n 1 n 210( 6, 3,1) (0,0,1) 2 2 210点 C 到平面 CA n 1n 1B1BC 1DCyABD 的距离 d5.设 A （2,3,1），B （4,1,2），C （6,3,7），D （－5，－4,8），则 D 到平面 ABC的距离为6 在空间直角坐标系 O —xyz 中，平面 OAB 的一个法向量为 n ＝（2，－2,1），已知点 P （－1,3,2）， 则点 P 到平面 OAB 的距离 d 等于（ B ） A. 4 B. 2 C .3 D .1练习题1.如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为 a 的正方体 ABCO —A ′B ′C ′D ′，A ′C 的中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为22a2 在长方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1中， AA 1＝5，AB ＝12，那么直线 B 1C 1和平面 A 1BCD 1 的距离是 ___61033.正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为 1，E 、F 分别为 BB 1、CD 的中点，则点 F 到平面 A 1D 1E的距离为 __3105 _____ .4.在四面体 PABC 中， PA ，PB ，PC 两两垂直，设 PA ＝ PB ＝ PC ＝a ，则点 P 到平面 ABC 的距离为___33a49 17__________ . 17______ .7 已知在矩形 ABCD 中， AB ＝4，AD ＝ 3，沿对角线 AC 折叠，使面 ABC 与面 ADC 垂直，求 B 、 D 间的 距离． 解方法一 如图，过 D 、B 分别作 DE ⊥AC 于点 E ，BF ⊥AC 于点 F ，则由已知条件得 AC ＝5， 2 AD ·DC 12 AB ·BC 12 AD 2 9 7 ∴DE ＝ ＝ ，BF ＝ ＝ . ∴AE ＝ ＝ ＝CF. ∴EF ＝AC －2AE ＝ . AC 5 AC 5 ∴ ＝ AC 5 5 → → → → → 2 → → → 2 ∵DB ＝DE ＋EF ＋FB ， ∴|DB|2＝|DE ＋ EF ＋FB|2 → → → → → → → → → ＝DE 2＋EF 2＋FB 2＋2DE ·EF ＋2DE ·FB ＋2EF ·FB. ∵面 ADC ⊥面 ABC ，而 DE ⊥AC ， ∴DE ⊥面 ABC ，∴ DE ⊥ BF.（8 分） ∴|D →B |2＝D →E 2＋E →F 2＋F →B 2＝144＋49＋144＝337. 25 25 25 25 ∴|D →B |＝ 337，故 B 、D 间的距离为 337 55 方法二 过E 作 FB 的平行线交 AB 于 P 点，以E 为坐标原点， EC 、ED 所在直线分别为 x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，EF ＝ 57.（4 分） x 12 由方法一知 DE ＝FB ＝ ∴D 0，0， 152 ，B ∴|D →B|＝ 5 ，7 ，5 ＋ 7 2 ＋＋ 5 ＋ 0. 12 2 337 5＝5。

D BA C α一、空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角 1、异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围是]2,0(π。

（2）求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决（3）具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角； ③利用三角形来求角 2、直线与平面所成的角（1）直线与平面所成的角的范围是]2,0[π。

（2）求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

（3）具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。

3、二面角（1）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指],0(π，解题时要注意图形的位置和题目的要求。

（2）作二面角的平面角常有三种方法图一 图二 图三 ①棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角； 如图一示②面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角； 如图二示③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角 如图三示1、点到直线的距离：点Ｐ到直线a 的距离为点Ｐ到直线a 的垂线段的长，常先找或作直线a 所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作a 的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线a 的距离。

在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可。

例1、在△ABC 中，AB=2，BC=3，AC=4，求点A 到BC 的距离。

解：作BC AD ⊥，垂足为D ，又 AB=2，BC=3，AC=4， 874322432cos 222222=⨯⨯-+=⋅-+=∴BC AC AB BC AC C815)87(1sin 2=-=∴C41538154321sin 4321=⨯⨯⨯=⨯⨯=∴∆C S ABC AD BC S ABC ⋅=∆21又 2153415322=⨯==∴∆BCS AD ABC∴点A 到BC 的距离为2152、点到平面的距离：点Ｐ到平面α的距离为点Ｐ到平面α的垂线段的长．常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面α的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为n m :，则点Ａ，Ｂ到平面α的距离之比也为n m :．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面α的距离相等；③体积法例2、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，,22,2,51===AA BC AB E 在AD 上，且AE=1，F 在AB 上，且AF=3，（1）求点1C 到直线EF 的距离；（2）求点C 到平面EF C 1的距离。

基础知识・自主学习I要点梳理知识冋顾理消救材1.空间向量与空间角的关系(1)已知异面直线11, 12的方向向量分别为S i, S2,当0<< Si, S2>< ，直线11与12的夹角等于〈S i, S2〉当n< < Si, S z>< n时，直线l1与l2的夹角等于n—< S1, S2 >.⑵已知平面n和n的法向量分别为n1和敗，当0<< n1, n2>< ，平面n与n的夹角等于〈n i, n2〉n当2< < n 1,敗〉^ n时，平面n与n的夹角等于兀―〈n i，n2>.⑶已知直线I的方向向量为S,平面n的法向量为n, 则直线l与平面n的夹角sin 0= |cos〈 s, n > |.2.距离公式点到直线的距离公式：d= . |PA|2—|P A S of.点到平面的距离公式：d= |PA n o|.I夯基释疑夯实基础突破疑砒1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面的夹角.n(4)两异面直线夹角的范围是(0,刁，直线与平面所成角的范围是⑸直线I的方向向量与平面a的法向量夹角为120 °则I和a所成角为30°2.已知二面角a—I —B的大小是n, m, n是异面直线，且m丄a, n丄伏则m,3n所成的角n B.nnC.2nD.6|OP n| |n ||— 2— 6 + 2| =2,故选 B.• cos 〈 n , a >又I 与a 所成角记为 0,即 sin = |cos 〈 n , a >4 5133答案 B解析 ■/ m 丄a, n 丄B,•••异面直线m , n 所成的角的补角与二面角 a-1- B 互补.又•••异面直线所成角的范围为(0,彳, • m , n 所成的角为33.在空间直角坐标系 Oxyz 中，平面OAB 的一个法向量为n = (2, — 2,1),已知点P( — 1,3,2), 则点P 到平面OAB 的距离d 等于 ()A . 4B . 2C . 3D . 1答案 B解析 P 点到平面OAB 的距离为4.若平面a 的一个法向量为n = (4,1,1)，直线l 的一个方向向量为 a = (— 2, — 3,3)，则I 与 a 所成角的正弦值为 _______________________ . 答案解析 •/ na =— 8— 3 + 3 = — 8, |n |=“ 16+ 1 + 1 = 3 2, |a |= ” ‘4+ 9 + 9 = .22,n a ―84^/11|n| |a |= 3 2X 22=—335 . P 是二面角a — AB — B 棱上的一点，分别在平面a B 上引射线PM 、PN ，如果/ BPM =/ BPN = 45° / MPN = 60° 那么平面 a 与B 的夹角为 _________ . 答案 90° 解析不妨设PM = a , PN = b ,如图，A作ME 丄AB 于E , NF 丄AB 于F ,•••/ EPM = / FPN = 45° •PE =, PF = -22b ,E为CC i的中点，则异面直线B.嚅C並C. 103 10D.^思维启迪本题可以通过建立空间直角坐标系，利用向量BC I、AE所成的角来求. 答案B解析建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C i(0,2,2). BC i= (—1,0,2),Al= (—i,2,i),cos〈BC i, AE >BC i A E 30D,G/Hi/I11111/E C y|BC I||AE|10 -求解，而两异面直线所成角的范围是，两向量的夹角a的范围是［0, n,所以要注意二者的区别与联系，应有cos 0= |cos a|.已知直四棱柱ABCD —A1B1C1D1中，底面ABCD 为正方形，AA1= 2AB, E 为AA i的中点，则异面直线BE与CD i所成角的余弦值为10 D.；—> —> —> —> —> —>EM FN = (PM —PE) (PN—PF)=PM PN —PM PF —PE PN+PE PF=abcos 60 —ax^bcos 45 —乎abcos 45 +^axab ab—辿 + ab= 0O 1 O 5••• EM丄FN , •••平面a与B的夹角为90°题型分类・深度剖析题型一求异面直线所成的角【例 1 长方体ABCD —A I B I C I D I中，AB= AA i= 2, AD = 1,BC i与AE所成角的余弦值为所以异面直线BC i与AE所成角的余弦值为誉.思维升华用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来1B.5答案C解析如图，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系.设AA i = 2AB = 2,则B(1,1,0), E(1,0,1), C(0,1,0), D i(0,0,2),•-BE = (0,- 1,1),••• cos 〈 BE , C D 1 >1 +2 = 3后2 • 5= 10题型二求直线与平面所成的角［例 2】如图，已知四棱锥 P — ABCD 的底面为等腰梯形， AB // CD ,AC 丄BD ，垂足为H , PH 是四棱锥的高，E 为AD 的中点. (1) 证明：PE 丄BC ;(2) 若/ APB = /ADB = 60 °求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值.思维启迪：平面的法向量是利用向量方法解决位置关系或夹角的关键，本题可通过建立 坐标系，利用待定系数法求出平面PEH 的法向量.(1)证明 以H 为原点，HA , HB , HP 所在直线分别为x , y , z 轴, 线段HA 的长为单位长度，建立空间直角坐标系(如图),则 A(1,0,0) , B(0,1,0).设 C(m,0,0), P(0,0, n) (m<0, n>0)，则 D(0, m,0), E ；,罗,0 . 可得 PE = 2,罗,-n , BC = (m ,- 1,0).因为 PE BC = m — m + 0 = 0,所以 PE 丄 BC.⑵解由已知条件可得 m = —_3故 C -于，0 0 , D 0，—于，0 , E J ,*, 0,P(0,0,1). 设n = (x , y , n H E = 0, 则Sgx -吕=0,』HP = 0, Z= 0.C D i = (0，- 1,2),yAC 丄BD,BC= 1 ,AD = AA1= 3.因此可以取n = (1, - 3, 0).又PA= (1,0, - 1), 所以|cos < F A, n〉1=乎.一迈所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为丁.思维升华利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.虽21,1 汙― （2013 湖南）如图，在直棱柱ABCD —A1B1C1D1中，AD // BC,/ BAD = 90°(1) 证明：AC 丄B1D;(2) 求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.方法一(1)证明如图，因为BB1丄平面ABCD , AC 平面ABCD，所以AC丄BB1.又AC丄BD，所以AC丄平面BB1D, 而B1D 平面BB1D，所以AC丄B1D.⑵解因为B1C1 // AD,所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为9).如图，连接A1D，因为棱柱ABCD —A1B1C1D1是直棱柱，且 / B1A1D1= / BAD = 90°从而Rt △ ABC s Rt △ DAB，故AB = DA =BCAB，所以A i B i丄平面ADD I A I，从而A i B i丄AD i.又AD = AA i= 3，所以四边形ADD i A i是正方形.于是A i D丄AD i,故AD i丄平面A i B i D，于是AD i丄B i D. 由⑴知，AC丄B i D，所以B i D丄平面ACD i. 故/ ADB i= 90°—0,在直角梯形ABCD中，因为AC丄BD，所以/ BAC = Z ADB.即AB= , DA BC = 3.连接AB i，易知△ AB i D 是直角三角形，且B I D2= BB2+ BD2= BB?+ AB2+ AD2= 2i，即B i D = 2i.AD 3 vf2i在Rt△ AB i D 中，cos Z ADB i= =21 = ^^，即cos(90 ° 0= 从而sin 0=一即直线B i C i与平面ACD i所成角的正弦值为一尹.方法二⑴证明易知，AB，AD，AA i两两垂直.如图，以 A 为坐标原点，AB，AD，AA i所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设AB= t，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B i(t,0,3)，C(t,i,0)，C i(t,i,3)，D(0,3,0)，D i(0,3,3).从而E h D = (—1,3，—3)，AC= (t,i,0)，BD = (—t,3,0).因为AC丄BD，所以A C E B D = —t2+ 3 + 0= 0，解得t= .3或t =—,3(舍去).于是B T D = (—.3，3，—3)，AC= ( . 3，i,0)，因为AC B i D = —3+ 3 + 0= 0，(2)解 由 AC = CB =-^AB 得， 以C 为坐标原点，CA 的方向为 方向，CC 1的方向为z 轴正方向,AC 丄 BC.x 轴正方向，CB 的方向为y 轴正建立如图所示的空间直角坐标系sin 0= |cos 〈 n , B 1C 1 > |=n B 1C 1|n | |E h C 1| _ .3_ .21=7= 7即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为21 7题型三求两个平面的夹角【例3】(2013课标全国II )如图，直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中,J 2AB , BB 1 的中点，AA 1 = AC = CB =-^AB. (1) 证明：BC 1 〃 平面 A 1CD ;(2) 求平面A 1CD 与平面A 1CE 夹角的正弦值.思维启迪 根据题意知/ ACB = 90°故CA 、CB 、C®两两垂直，可以 C 为原点建立空 间直角坐标系，利用向量求两个平面的夹角.(1)证明 连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点. 又D 是AB 的中点，连接DF ，则BC 1 // DF . 因为DF 平面A 1CD , BC 「平面A 1CD , 所以BC 1 //平面A 1CD.所以AC 丄B i D ，即AC 丄B i D.⑵解 由⑴知，AD i = (0,3,3), AC= ( 3, 1,0), B i C i = (0,1,0).设n = (x , y , z)是平面ACD i 的一个法向量， n A C = 0, 3x + y = 0,则$，即丫n AD i = 03y+3z= 0,令 x = 1，则 n = (1, -3, 3).设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为0,则D ,C|C可取m = (2,i,—2).从而cos〈n, m> ~~，故sin〈 n, m>6 3 .Cxyz.设CA= 2,贝U D(1,1,0), E(0,2,1), A i(2,0,2),CD = (1,1,0), CE = (0,2,1), CA i= (2,0,2).设n= (x i, y i, z i)是平面A i CD的法向量,n CD = 0, x i + y i = 0,则即可取n= (i, - i,—i).n CA i= 0, 2xi+ 2zi =0.同理，设m是平面A i CE的法向量,m CE = 0, 则Tm CA i= 0.所以平面A i CD与平面A i CE夹角的正弦值为思维升华求平面间的夹角最常用的方法就是分别求出两个平面的法向量，然后通过两n 个平面的法向量的夹角得到所求角的大小，但要注意平面间的夹角的范围为[0,刁.吕I」H如图，在圆锥PO中，已知PO= 2, O O的直径AB= 2,C是；的中点，D为AC的中点.(1)证明：平面POD丄平面FAC;(2)求平面ABF与平面ACF夹角的余弦值.(1)证明如图，以O为坐标原点，OB, OC, OF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O(0,0,0), A( —1,0,0),B(1,0,0), C(0,1,0), P(0,0, 2), D(—2, 2 0).设n i = (x i, y i, z i)是平面POD的一个法向量，则由n i OD = 0, n i OP = 0,lie —2xi + 2y i=,得2 2 (■：；'2 z i= 0.所以平面ABP与平面ACP夹角的余弦值为10 5所以z i = 0, x i = y i，取y i = 1,得n i = (1,1,0).设n2=(X2, y2, Z2)是平面PAC的一个法向量,则由n2 PA= 0, n2 PC= 0,| —X2—■.”'2Z2= 0,得y2 —：；.；2z2= 0.所以X2=—2z2, y2= ,2z2.取z> = 1,得n2= (—2, 2, 1).因为n 1 n2= (1,1,0) (—2, 2, 1)= 0,所以m丄n2•从而平面POD丄平面PAC.⑵解因为y轴丄平面FAB,所以平面PAB的一个法向量为n3= (0,1,0).由(1)知，平面PAC的一个法向量为n2= ( —2, 2, 1). 设向量n2和n3的夹角为0,则C0S 9=|器3|=€=甲.题型四求空间距离【例4 已知正方形ABCD的边长为4, CG丄平面ABCD , CG = 2, E, F分别是AB, AD的中点，则点C到平面GEF的距离为___________ .思维启迪所求距离可以看作CG在平面GEF的法向量的投影.答案*解析建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,n=(1,1,3)所以点C到平面GEF的距离为d=嘗6 11 11则CG = (0,0,2)，由题意易得平面GEF的一个法向量为思维升华求点面距一般有以下三种方法:②等体积法；③向量法.其1.①作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离; 中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便.亍心讥IY4 （2012大纲全国改编）已知直四棱柱 ABCD — A I B I C I D I 中，底面 ABCD 为正 方形，AB = 2, CC 1 = 2 2, E 为C®的中点，则点 A 到平面BED 的距离为 （）A . 2 B. 3C. ,2D . 1答案 D解析 以D 为原点，DA 、DC 、DD i 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 (如图)，贝U D(0,0,0), A(2,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), C i (0,2,2 .2), E(0,2 ,,2).设n = (x , y , z)是平面BED 的法向量.n BD = 2x + 2y = 0 则S T.DE = 2y+V2z = 0取y = 1，贝U n = （— 1,1, — .2）为平面BED 的一个法向量. 又 D A = （2,0,0）,•••点A 到平面BED 的距离是|n D A|l— 1x 2+ 0+ 0||n |'.；—12+ 12+ — ,22=答题按板系列8利用空间向量求角典例：（12分）（2013江西）如图，四棱锥 P — ABCD 中，PA 丄平面 ABCD , E 为BD 的中点，G 为PD 的中点，△ DABDCB , EA = EB = AB = 1 , PA = 3，连接 CE 并延长交 AD 于F.6G⑴求证：AD丄平面CFG ;(2)求平面BCP与平面DCP夹角的余弦值.思维启迪(1)可利用判定定理证明线面垂直；(2)利用AD、AP、AB两两垂直建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量，利用向量夹角求两个平面BCP、DCP夹角的余弦值.规范解答(1)证明在厶ABD中，因为E为BD的中点，所以EA= EB = ED = AB= 1 ,n故/ BAD = 2，n3'/ ABE = / AEB =-因为△ DAB也厶DCB，所以△ EABECB ,n从而有 / FED = Z BEC = Z AEB =-,3所以Z FED = Z FEA. [2分] 故EF 丄AD , AF = FD ,又因为PG = GD，所以FG // FA.又FA丄平面ABCD ,[4分] 所以GF丄AD,故AD丄平面CFG. [6分]⑵解以A为坐标原点建立如图所示的坐标系,[9分] [10 分][12 分]则 A(0,0,0) , B(1,0,0), C 号，于，0 ,D(0, ,3, 0), P 0, 0, 2 , 故BC =扌冷,0, Cp = -2,设平面BCP 的法向量为 n i = （X i , y i , Z i ）,n i CP = 0 则 -n i BC = 0令 y i = — ,3,贝V X i = 3, Z i = 2, n i = （3，— 3, 2）. 同理求得面DCP 的法向量为n 2= （i ,,3, 2）,从而平面BCP 与平面DCP 夹角0的余弦值为 ,I n i n 2|4 卫cos Fsg n 2〉= |n i ||n 2= 4X 2=〒利用向量求空间角的步骤 第一步：建立空间直角坐标系. 第二步：确定点的坐标.第三步：求向量（直线的方向向量、平面的法向量）坐标. 第四步：计算向量的夹角（或函数值）. 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角.第六步：反思回顾•查看关键点、易错点和答题规范.温馨提醒 (1)利用向量求角是高考的热点，几乎每年必考，主要是突出向量的工具性作用.GD—3电I 2， 2，0. [8分](2) 本题易错点是在建立坐标系时不能明确指出坐标原点和坐标轴，导致建系不规范.(3) 将向量的夹角转化成空间角时，要注意根据角的概念和图形特征进行转化，否则易错.思想方法・感悟提高方法与技巧1 .用向量来求空间角，各类角都可以转化为向量的夹角来计算.2 .求点到平面的距离，若用向量知识，则离不开以该点为端点的平面的斜线段.失误与防范1 .利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角.因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同.2 .求点到平面的距离，有时利用等体积法求解可能更方便.B i D 和CD i 所成的角( )、选择题1.已知正方体ABCD — A i B i C i D i 如图所示，则直线为 A . 60 ° B . 45 ° C . 30 ° D . 90 °答案 D解析 以A 为原点，AB 、AD 、AA i 所在直线分别为x , y , z 轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为i ,则射线CD i 、B i D 的方向向量分别是 CD i = (-i,O,i),•••直线B i D 和CD i 所成的角为90°2 .如图，四棱锥 S — ABCD 的底面为正方形，SD 丄底面ABCD ，则下列 结论中不正确的是 ()A . AC 丄 SB B . AB //平面 SCDC . SA 与平面SBD 所成的角等于 SC 与平面SBD 所成的角 D . AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角 答案 D解析 •••四边形ABCD 是正方形，• AC 丄BD. 又••• SD 丄底面 ABCD , • SD 丄AC.其中SD A BD = D , • AC 丄平面SDB ，从而 AC 丄SB. 故A 正确；易知 B 正确；设 AC 与DB 交于O 点，连接SO.则SA 与平面SBD 所成的角为/ ASO , SC 与平面SBD 所成的角为/ CSO ,练出高分A 组专项基础训练 (时间：40分钟)B i D = (— i,i ,i),COS 〈 CD i , B i D >i + 0— i 2X- 3= 0,SA. i2nB.nnC.4nD.6答案B解析如图所示：iS ABC = 2 X ■. 3 X•.：：.；: 3 X. nsin 3=3“ 34A： 2B.3 C逅C. 3答案解析以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设棱长为i,1则A i(0,0,i), E i , 0, 2 , D(0,i,0),Eft •-心=(0,i, —i) , A T E= i, 0, —2 ,设平面A i ED的一个法向量为n i= (i, y, z), y—z= 0 ,则i|i —2z= 0 ,y= 2,z= 2..n i= (1,2,2).•••平ABCD 的一个法向量为2n2= (0,0,i) , . cos〈n i ,血〉=23.所以平面A i ED与平面ABCD夹角的余弦值为2 3.在四面体P —ABC中,PA, PB, PC两两垂直,设PA = PB= PC = a,则点P到平面ABC又0A= OC, SA= SC,.•./ ASO= / CSO.故C正确；由排除法可知选 D.93. （2013山东）已知三棱柱ABC —A i B i C i的侧棱与底面垂直，体积为4底面是边长为.3的正三角形•若P为底面A i B i C i的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）VABC—A i B i C i = S\BC X OP = 3-43 X OP = 4, /. OP = _ 3. 又OA= ~2^X ,3X1= i, tan/ OAP = OA = .3,—/ 兀/ n又0< / OAP<2, OAP = 3.2 3余弦值为在正方体ABCD —A i B i C i D i中，点E为BB i的中点，则平面A i ED与平面ABCD夹角的的距离为A•身 B.fa C.3 D. 6a答案B解析根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系Pxy z,则P(0,0,0)，A(a,O,O)，B(0，a,0)，C(0,0，a).过点P作PH丄平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离.PA = PB= PC, ••• H ABC 的外心.又•••△ ABC为正三角形，• H ABC的重心，可得H点的坐标为(3，3，3)• PH - ... 3- 02+ a - 0 2+ 3 - 0 2詔a.•••点P到平面ABC的距离为-^a.二、填空题6. 已知两平面的法向量分别为_______________________________ m = (0,1,0), n= (0,1,1)，则两平面夹角的大小为 ____________________________________________ 答案n4m n 2 n解析cos〈m, n>=丽厂T，•〈m，n>=；.•两平面夹角的大小为n7. 如图所示，在三棱柱ABC—A i B i C i中，AA i丄底面ABC, AB = BC= AA i,/ ABC = 90°点E、F分别是棱AB、BB i的中点，则直线EF和BC i所成的角是_________ .答案60°解析以BC为x轴，BA为y轴，BB i为z轴，建立空间直角坐标系. 设AB = BC = AA i = 2,则C i(2,0,2), E(0,i,0), F(0,0,i),则E F = (0,- i,i), B C i= (2,0,2),•- EF BC i= 2,RBcos〈E F, B C1> 2 _ 1 -,2X2*2—2,答案3,5 i0解析以A为坐标原点，AB、AD、AA i所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，小i i则A i(0,0,i)，E(i,0，2)，F(2, i,0), D i(0,i,i).• A?E_ (1,0,—2), A?D i_ (0,1,0).设平面A i D i E的一个法向量为n_ (x, y, z),n A T E _ 0, 则n A i D i_ 0,1x —2z_ 0, 即2y_ 0.••• EF和BC i所成的角为60°8. 正方体ABCD —A i B i C i D i的棱长为1 , E、F分别为BB「CD的中点，则点F到平面AQ i E的距离为________令z_ 2，贝y x_ 1..・.n_ (1,0,2).又心_ (2, 1, —1),•••点F到平面A i D i E的距离为T1_ 心n I_〔2 —2|_ d_|n| _ 5 _10 .三、解答题9. 如图，四棱锥P—ABCD中，PD丄平面ABCD , PA与平面ABD所成的角为60°,在四边形ABCD 中，/ ADC _/ DAB _ 90° AB _ 4,CD _ 1 , AD _ 2.(1) 建立适当的坐标系，并写出点B, P的坐标;(2) 求异面直线PA与BC所成的角的余弦值.解(1)建立如图空间直角坐标系,•••/ ADC _ Z DAB _ 90°AB_ 4, CD_ 1, AD _ 2,a • A(2,0,0), C(0,1,0), B(2,4,0)..13 13，•异面直线PA与BC所成的角的余弦值为.13 13 .由PD丄平面ABCD，得/ FAD为PA与平面ABCD所成的角,•••/ FAD = 60°在Rt△ FAD 中，由AD = 2,得PD = 2.3, • P(0,0,2 . 3).—> ——>(2) •/ FA = (2,0，- 2 3), BC= (- 2,- 3,0),• cos〈PA, BC〉2 X - 2 + 0X -3 + - 2^3 X 04 .1310. (2013天津)如图，四棱柱ABCD - A1B1C1D1中，侧棱A1A丄底面ABCD , AB // DC , AB 丄AD , AD = CD = 1 , AA1 = AB= 2, E 为棱AA1的中点.(1) 证明：B1C1 丄CE;(2) 求二面角B1 - CE - C1的正弦值；(3) 设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为¥，求线段AM的长.方法一如图，以点A为原点，以AD, AA1, AB所在直线为x轴, y轴，z轴建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0), B(0,0,2) ,C(1,0,1),B1(0,2,2), C1(1,2,1), E(0,1,0).(1)证明易得B?C1 = (1,0, - 1), CE= ( - 1,1, - 1),于是B1C1C E =0,所以B1C1丄CE.(2)解B1C = (1 , - 2, - 1).设平面BQE的法向量m= (x, y, z),m B1C= 0, ]x-2y-z= 0,则即消去x,得y+ 2z= 0，不妨令z= 1，可得一个法m CE = 0, -x+ y-z=°.向量为m= (- 3,- 2,1).由(1)知，B1C1 丄CE，又CC1 丄B1C1，可得B1C1 丄平面CEC1, 故BQ1= (1,0，—1)为平面于是cos 〈 m, B i C i 〉 m B i C i|m | |B i C i |从而 sin 〈m , B ?C i 〉=亠尹sin 0= |cos 〈 AM , AB 〉|= AM AB||AM| |A B|于是-6，解得匸*（负值舍去）, CEC i 的一个法向量.所以二面角B i - CE - C i 的正弦值为亡尹 ⑶解 AE =（o,i,o ）, E C i =（i,i,i ），设E M = ?E C i =（入入为,o w 庄i ,有AM = AE + EM 可取AB = （0,0,2）为平面ADD i A i 的一个法向量.设B 为直线AM 与平面ADD i A i 所成的角，则所以AM = 2.方法二（1）证明因为侧棱CC i丄底面A i B i C i D i, B i C i平面A i B i C i D i，所以CC i丄B i C i.经计算可得B i E = .5, B i C i= .2, EC i=v3,从而B i E2= B i C i+ EC i,所以在△ B i EC i中，B i C i丄C i E,又CC i, C i E 平面CC i E, CC i Q C i E = C i,所以B i C i丄平面CC i E,又CE平面CC i E，故B i C i丄CE.⑵解过B i作B i G丄CE于点G,连接C i G.由⑴知，B i C i丄CE,故CE丄平面B i C i G，得CE丄C i G , 所以/ B i GC i为二面角B i-CE —C i的平面角.在Rt △ B1C1G 中, B i G ='42 3即二面角B i—CE —C i的正弦值为亠号.⑶解连接D i E,过点M作MH丄ED i于点H ,可得MH丄平面ADD i A i,连接AH , AM , 则/ MAH为直线AM与平面ADD i A i所成的角.设AM = x,从而在Rt△ AHM中，有在Rt△ C i D i E 中，C i D i = i, ED i = , 2,得EH = ,2MH = 3X.在厶AEH 中，/ AEH = i35° AE = i,由AH2= AE2+ EH2—2AE EHcos i35 °得珞（=i+9/+承整理得5x2— 2 2x— 6 = 0，解得x = ■, 2（负值舍去）.所以线段AM的长为.2.所以sin / B i GC i =• cos〈F D i, OE >〔+ 2=VT55 • 3= 5B组专项能力提升(时间：30分钟)1.过正方形ABCD的顶点A作线段PA丄平面ABCD ,若AB= PA,则平面ABP与平面CDP的夹角大小为A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案B解析建立如图所示的空间直角坐标系，设AB= PA= 1,知A(0,0,0) , B(1,0,0), D(0,1,0), C(1,1,0), P(0,0,1)由题意得，AD丄平面ABP,设E为PD的中点，连接AE,贝U AE丄PD ,又••• CD丄平面PAD, ••• AE丄CD,又PD A CD = D, • AE 丄平面CDP.• AD = (0,1,0), AE = (0, 2 , 2)分别是平面ABP、平面CDP的法向量,而〈AD, AE〉= 45°•平面ABP与平面CDP的夹角大小为45° 2 .在棱长为2的正方体ABCD —A i B i C i D i中，0是底面ABCD的中点，E, F分别是CC i,AD的中点，那么异面直线0E和FD i所成的角的余弦值等于 _____________ .答案严5解析以D为原点，分别以DA、DC、DD i为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，•F(1,0,O), D i(0,0,2), O(1,1,0), E(0,2,1),•F D i= (—1,0,2),OE = (—1,1,1),3. ________________________________________________________________________ 设正方体ABCD —A i B i C i D i的棱长为2，则点D i到平面A i BD的距离是_________________________DA I =(2,0,2), DB =(2,2,0),设平面A I BD的一个法向量n = (x, y, z),n DA I=2X+ 2z= 0 则S T .n DB = 2x+ 2y= 0令x= 1，贝U n= (1, - 1,- 1),•••点D1到平面A1BD的距离为.ID^A1 n| 2 23d |n| .3 3 .4. 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P—ABCD中，AD // BC,Z ABC=90° PA丄平面ABCD , PA = 3, AD = 2, AB = 2羽，BC= 6.(1)求证：BD丄平面PAC;(2)求平面BPD与平面ABD的夹角.(1)证明如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0) , B(2 3, 0,0),C(2 .3, 6,0), D(0,2,0), P(0,0,3),• A P =(0,0,3), A C = (2西，6,0), BD = (- 2亞,2,0).•- BD AP = 0, BD AC= 0.• BD 丄AP, BD 丄AC.又••• FA Q AC= A, • BD丄平面FAC.⑵解设平面ABD的法向量为m= (0,0,1), 平面PBD的法向量为n = (x, y, z),则n BD = 0, n BP = 0.答案2333解析如图建立空间直角坐标系,则D I(0,0,2) , A i(2,0,2), D(0,0,0), B(2,2,0), D1A1 = (2,0,0),••• BP = (- 2 3, 0,3), •••-2 3x+ 2y= 0,-2 3x+ 3z= 0, 丫=晶,解得\ =塑Z= 丁x.令x= .3，则n= ( .3, 3,2),m-n 1• cos〈 m, n > = ----- =一|m||n| 2•••平面BPD与平面ABD的夹角为60°(3)证明：在线段 5. (2013北京)如图，在三棱柱 ABC — A i B i C i 中，AAQ I C 是边长为4的正方形.平面 ABC 丄平面AA 1C 1C , AB = 3, BC = 5.(1)求证：AA i 丄平面ABC ;⑵求平面A 1BC 1与平面BB 1C 1夹角的余弦值;BD BC 1上存在点D ，使得AD 丄A 1B ，并求 的值. BC 1(1)证明 在正方形 AA 1C 1C 中，A 1A 丄AC.又平面ABC 丄平面AA 1C 1C ，且平面ABC 门平面AA 1C 1C = AC , ••• 丄平面 ABC.(2)解 在厶ABC 中，AC = 4, AB = 3, BC = 5,••• BC 2 = AC 2+ AB 2, AB 丄AC•以A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 Axyz. A 1(0,0,4), B(0,3,0), C 1(4,0,4), B 1(0,3,4), A 1C 1= (4,0,0), A 1B = (0,3 , — 4), B 1C 1 = (4 , — 3,0) , BB 1 = (0,0,4). 设平面 A 1BC 1的法向量 n 1= (X 1 , y 1 , Z 1),平面 B 1BC 1的法向量n 2= (X 2 , y ,Z 2).A 1C 1 n 1 = 0 , 4x 1 = 0• \AB m= 0 脚-4乙=0•取向量 n 1= (0,4,3)f _B 1C 1 n 2= 0, 4x 2 — 3y 2 = 0,由S _ ? $^B _1 n 2= 0 -4z2= °.取向量 n 2= (3,4,0), m n 2 16 16…cos 〈 n 1, n 2〉= 1 1 1 . = = cl2 |n 1| |n 2| 5X 5 25'由题意知二面角 A 1 — BC 1 — B 1为锐角，•平面A 1BC 1与平面BB 1C 1夹角的余弦值为 黒 25 ⑶证明 设D(x , y , z)是直线BC 1上一点，且BD =疋_1.• (x , y — 3, z) = X 4，— 3,4),3— 3 X, 4 A 解得 x = 4 入 y = 3 — 3 入 z = 4 X — AD = (4 人又 AD 丄A i B , ••• 0+ 3(3 — 3R — 16X= 09 BD 9则X=旦，因此BD =— 则 A 25 '因此 BC i 25.。

立体几何中的距离问题【要点精讲】 1．距离空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。

其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度点到平面的距离平面外一点P 在该平面上的射影为P ′，则线段PP ′的长度就是点到平面的距离；求法：○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。

○2等体积法。

直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。

求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。

异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为 ，它们的公垂线AA ′的长度为d ，在a 上有线段A ′E ＝m ，b 上有线段AF ＝n ，那么EF ＝θcos 2222mn n m d ±++（“±”符号由实际情况选定） 点到面的距离的做题过程中思考的几个方面:①直接作面的垂线求解；②观察点在与面平行的直线上，转化点的位置求解； ③观察点在与面平行的平面上，转化点的位置求解； ④利用坐标向量法求解⑤点在面的斜线上，利用比例关系转化点的位置求解。

立 体 几 何 中 的 求 距 离 问 题集美中学数学组 刘 海 江一、记一记，填一填，这些知识你掌握了吗？1、两点间的距离：连接两点的线段的长。

求法：（1）纳入三角形，将其作为三角形的一边，通过解三角形求得（2）用公式，),,(),,,(222111z y x B z y x A ，则|AB|= 。

（3）利用向量的模，|AB|=|AB =… （4）两点间的球面距离 ：A ，B 为半径是R 的球O 上的两点，若＜,＞=θ 则A ，B 两点间的球面距离为 。

2、点到直线的距离：从点向直线作（相交）垂线，该点与垂足间的线段长。

求法：（1）解三角形：所求距离是某直角三角形的直角边长，解此三角形即可。

（2）等积法：所求距离是某三角形的一高，利用面积相等可求此距离。

(3 ) 利用三垂线定理：所求距离视作某平面的斜线段长，先求出此平面的垂线段和射影的长，再由勾股定理求出所求的距离。

（4）利用公式：A 0:),,(00=++C By Ax l y x 到直线的距离为 。

基本思想是将点线距转化为点点距。

3、点到平面的距离与直线到平面的距离（重点）（1）从平面外一点引平面的一条垂线，这个点和____________的距离，叫做这个点到这个平面的距离。

求法： ①利用定义、做出平面的垂线，将垂线段纳入某个三角形内，通过解三角形求出此距离；②利用等积法、将此距离看作某个三棱锥的高，利用体积相等求出此距离； ③利用向量、点A ，平面α，满足ααα⊥∈∉O A ,,，则点A 到平面α的距离||n d = （ 是平面α的法向量 ）（2）一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意_________到这个平面的_________，叫做这条直线和这个平面的距离。

（一条直线和一个平面平行时，直线上任意两点到平面的距离相等） 求法：转化为点到平面的距离来求；（具体方法参照点到平面的距离的求法）4、两个平行平面的距离一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也_________另一个平面，这条直线叫做两个平面的__________，它夹在两个平行平面间的部分叫做这两个平面的_______,它的长度叫做两个平行平面的____________。