金融数学研究综述及其前景展望

∈Σ0.23
Σ
Σ0.4
Σ
R= ΣΣ0.48 Σ ΣΣ0.32 ΣΣΣ0.3
0.29 0.26 0.35 0.355 0.34
0.295 0.22 0.1 0.245 0.22
0.185
Σ Σ
Σ
0.12 Σ
Σ
0.07
Σ Σ
Σ
0.08
Σ Σ
0.14
ΣΣ Σ
其中权重 A=(a1 a2 a3 a4 a5)=(0.2 0.2 0.3 0.2 0.1)
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金融数学研究综述及其前景展望
内蒙古科技大学数理与生命工程学院 段 翀
［摘 要］金融数学是一门新兴的边缘科学，是数学与金融学的交叉。其核心问题是不确定条件下的最优投资策略的选择理论和资 本资产定价理论。本文简述了金融数学的发展历程及其主要理论,展望了金融数学未来的发展前景。 ［关键词］金融数学 投资组合选择理论 资本资产定价
Σ
Σ
Ri=(ri1,ri2,…,riP)T=
rΣ
Σ
i21
ΣΣ…
ri22 …
… …
ri2P
Σ Σ
…
Σ Σ
Σ
Σ
r r … r Σ
Σ im1 im2
Σ imP Σ
5. 进行模糊关系综合评价
本次调查采用两层次的经济型酒店核心竞争力评价模型，首先请
专家进行二级指标的评价，然后与二级指标的权重相乘，即 Si=AiRi；其 评价结果 S=(S1,S2,…,Sn)T 相对于一级指标构成一个模糊评价矩阵，然后 与一级指标权重相乘，即 S×R，并进行归一化计算得到 S'，从而得到经
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标。
2. 确定同级指标权重集
由于本文中评价指标体系是一个递进的层次结构，所以采用层次
分析法确定权重。为了避免单个专家对评价指标赋权值的主观性，由 5
位专家采用 satty 的 1- 9 标度对指标进行判定，获得判断矩阵；然后求
特征根和特征向量；接着进行一次性检验，得到总排序，即下级指标对
一、引言 金融数学，又称分析金融学、数理金融学、数学金融学，是 20 世纪 80 年代末、90 年代初兴起的数学与金融学的交叉学科。金融数学主要 运用现代数学理论和方法(如:随机分析、随机最优控制、组合分析、非线 性分析、多元统计分析、数学规划、现代计算方法等) 对金融(除银行功 能之外,还包括投资、债券、基金、股票、期货、期权等金融工具和市场) 的理论和实践进行数量的分析研究。其核心问题是不确定条件下的最 优投资策略的选择理论和资产的定价理论。套利,最优和均衡是其中三 个主要概念。近二十几年来，金融数学不仅对金融工具的创新和对金融 市场的有效运作产生直接的影响，而且对公司的投资决策和对研究开 发项目的评估(如实物期权)以及在金融机构的风险管理中得到广泛应 用。 二、金融数学的发展历程 金融数学的历史可以追溯到 1900 年法国数学家巴谢利耶的博士 论文《投机的理论》,这宣告了金融数学的诞生。在文中他首次用布朗运 动来描述股票价格的变化，他认为在资本市场中有买有卖，买者看涨、 卖者看跌，其价格的波动是布朗运动其统计分布是正态分布。然而，巴 谢利耶的工作没有引起金融学界的重视达 50 多年。20 世纪 50 年代初， 萨缪尔森通过统计学家萨维奇重新发现了巴谢利耶的工作，这标志了 现代金融学的开始。现代金融学随后经历了两次主要的革命，第一次是 在 1952 年。那年，25 岁的马尔柯维茨发表了他的博士论文，提出了资产 组合选择的均值方差理论。它的意义是将原来人们期望寻找“最好”股 票的想法引导到对风险和收益的量化和平衡的理解上来。给定风险水 平极大化期望收益，或者给定收益水平极小化风险，这就是上述均值方 差理论的主要思想。稍后，夏普和林特纳进一步拓展了马尔柯维茨的工 作，提出了资本资产定价模型(简称 CAPM) ,紧接着米勒提出了公司财 务理论（MM 理论）引发了第一次“华尔街革命”，是金融数学的开端。马 尔柯维茨和夏普也因他们金融数学中的开创性贡献而获得 1990 年诺 贝尔经济学奖。 1973 年，布莱克和斯克尔斯用数学方法给出了期权定价公式，以及 稍后，莫顿对该公式的发展和深化，期权定价公式给金融交易者和银行 家在衍生金融资产的交易中带来了便利，推动了期权交易的发展，期权 交易很快成为世界金融市场的主要内容，成为第二次“华尔街革命”。 两次“革命”避开了一般经济均衡的理论框架，形成了一门新兴的交叉 学科，即金融数学。马尔科维茨 夏普理论和布莱克一修斯公式一起构 成了蓬勃发展的新学科—— —金融数学的主要内容，同时也是研究新型 衍生证券设计的新学科—— —金融工程的理论基础，从而使这两次革命 的先驱者分别在 1990 年和 1997 年获得了诺贝尔经济学奖。美国经济 学家罗伯特·恩格尔和英国经济学家克莱夫·格兰杰对时间序列理论在 经济和金融的研究中取得重要成果，也于 2003 年获得诺贝尔经济学 奖，可以认为这是金融数学的研究第三次获得诺贝尔经济学奖。金融数 学这门新兴的交叉学科已经成为国际金融界的一枝奇葩。 三、金融数学的主要理论 金融数学既是经济学专业与管理学专业的必修课程，也是数学科 学专业的基础课程。目前，国外在金融数学方面的教学与研究发展都较 快。金融数学是一门新兴学科，是“金融高技术”的重要组成部分，因此 研究金融数学有着重要的意义。 （一）投资组合理论 1952 年，马尔柯维茨的论文“投资组合的选择是金融学也是金融数 学的第一个突破。他建立了一个复杂的数学模型—— — 两目标二次规划 模型，并且首次提出用方差来度量投资组合的风险，还提出了投资组合 的有效边界的概念：即均值一定时方差最小的点，方差一定时均值最大 的点组成的集合。他认为，个人投资组合的最优决策是选择个人的无差 异曲线与投资组合的有效边界的切点，并进而求出各资产持有的合理 的比例。 （二）CAPM 理论 20 世纪 60 年代中期，在马柯维茨的均值一方差投资组合理论的基 础上，斯坦福大学教授夏普、林特纳和默顿研究了均衡竞争市场中金融
一级指标权重值 A1=（a11 a12 a13）=(0.4 0.3 0.3),根据 Si=AiRi,得到 S1= (S11 S12 S13 S14)=(0.23 0.29 0.295 0.185)
以此类推，根据 R2,R3,R4 以及指标权重集 A2,A3,A4 可以求的： S2=A2R2=(0.4 0.26 0.22 0.12) S3=A3R3=(0.48 0.35 0.1 0.07) S4=A4R4=(0.32 0.355 0.245 0.08) S5=A5R5=(0.3 0.34 0.22 0.14) 由 S1、S2、S3、S4、S5 得到模糊关系矩阵
（三）Black—Scholcs 期权定价公式 1973 年，布莱克和斯科尔斯在“期权定价与公司负债”一文中提出 了著名的 Black—Scholes 公式(简称 B—S 公式) 他们证明了期权的合理 价格不依赖于投资者的偏好，也就是“风险中性原则”，这点不同于之前 的无套利定价原理。由于 B—S 公式具有较强的实用性和可操作性，B— S 模型可以被广泛用来制作各种金融衍生产品的价格，是开发新金融产 品的有效工具。B—S 模型也为套期保值与风险管理开辟了新的天地， 成为现代金融理论探索的源泉。几乎与此同时，默顿在“合理的期权定 价理论”一文中对 B—S 模型和定价公式做了多方面的系统推广：他研 究出了标的股票支付红利的期权定价公式；给出了欧式看涨期权和看 跌期权以及欧式看跌期权的定价公式。 四、金融数学中的最新理论进展 （一）鞅理论 现代金融理论最新的研究成果是鞅理论的引入。在市场是有效的 假定下，证券的价格可以等价于一个鞅随机过程。由鞅方法直接把鞅理 论引入到现代金融理论中，利用等价鞅测度的概念研究衍生证券的定 价问题，得到的结果不仅能深刻揭示金融市场的运行规律，而且可以提 供一套有效的算法，求解复杂的衍生金融产品的定价与风险管理问题。 利用鞅理论研究金融理论的另一个好处是它能够较好地解决金融市场 不完备时的衍生证券定价问题，从而使现代金融理论取得了突破性的 进展。目前基于鞅方法的衍生证券定价理论在现代金融理论中占主导 地位，但在国内还是一个空白。 （二）最优停时理论 最优停时理论是概率论中一个具有很强应用背景的领域，他的蓬 勃发展是 60 年代以后的事。近几年，在国内也有一些学者开始热心这 一领域的研究，而且取得了可喜的成果。运用最优停时理论研究了具有 固定交易费用的证券投资决策问题，给出了具有二个风险证券的投资 决策问题一种简化算法。 五、金融数学的发展趋势 （一）新问题越来越多 金融数学模型都是在很多假设的条件下才能成立,这些假设有些与 客观现实有一定差距甚至抵触,因而解决这类问题就不理想,范围也十 分狭窄,需要在数学上改进和发展。世界各国金融背景和管理模式各异, 需要大量建立符合自己国情的金融模型和分析方法, 例如 CAPM 适合 欧式期权不适合美式期权。即使假设比较合理,由于金融环境和社会需 求不断发生变化以及创新运动的发展,为金融理论和金融数学提出了越 来越多的问题,要求我们不断进行探索。 （二）实证研究成为主要方向 所谓实证研究主要是强调了数据的重要性,即从金融市场现实中取 得数据,分析数据并建立数学模型,然后揭示数据背后隐含的规律,最后 返回数据和现实中检验结论的正确性。如果离开实际数据的支持和检 验,单纯从概念到概念(即文科研究人员习惯的定性分析) ,或者单纯从 模型到模型(即理科研究人员习惯的逻辑推理) ,这很难深刻地、客观地 揭示金融市场的发展规律。 （三）金融数学的方法展望 金融系统由于非线性、不确定性而成为复杂系统,为金融数学提出 了较高的要求,尤其金融市场的特性:波动性、突发事件、市场不完全、信 息不对称等成为金融数学当前面临的重要课题。金融市场上的波动现 象一般可归结为随机的问题 ,像几何布朗运动,然后进行随机分析。但是 金融市场多数情况下并不满足稳定的假设,时常出现异常的波动。近些 年来的最新研究成果自回归条件异方差模型可以较好的派上用场。 突发事件是小概率事件,一般的随机分析不能解 （下转第 444 页）