青岛理工大学-高数上-考试题及答案

山东省青岛市数学高三上学期理数第一次联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·新课标Ⅰ卷理) 已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（）A . A∩B={x|x＜0}B . A∪B=RC . A∪B={x|x＞1}D . A∩B=∅2. （2分）(2018·衡水模拟) 若，则（）A . 1B . -1C . iD . -i3. （2分） (2016高三上·湖北期中) 下列命题中，是假命题的是（）A . ∃x0∈R，sinx0+cosx0=B . ∃x0∈R，tanx0=2016C . ∀x＞0，x＞lnxD . ∀x∈R，2x＞04. （2分） (2018高一下·北京期中) 某科研小组有20个不同的科研项目，每年至少完成一项。

有下列两种完成所有科研项目的计划：A计划：第一年完成5项，从第一年开始，每年完成的项目不得少于次年，直到全部完成为止；B计划：第一年完成项数不限，从第一年开始，每年完成的项目不得少于次年，恰好5年完成所有项目。

那么，按照A计划和B计划所安排的科研项目不同完成顺序的方案数量（）A . 按照A计划完成的方案数量多B . 按照B计划完成的方案数量多C . 按照两个计划完成的方案数量一样多D . 无法判断哪一种计划的方案数量多5. （2分）设D是正及其内部的点构成的集合，点P0是的中心，若集合.则集合S表示的平面区域是（）A . 三角形区域B . 四边形区域C . 五边形区域D . 六边形区域6. （2分）利用计算机在区间（0，1）上产生两个随机数a和b，则方程有实根的概率为A .B .C .D .7. （2分） (2017高一下·庐江期末) 若x、y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为（）A .B . ﹣C . ﹣5D . 58. （2分）函数的部分图像如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图像解析式为（）．A .B .C .D .9. （2分）(2018高三上·凌源期末) 已知函数在上单调递增，且，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .10. （2分） (2015高三上·大庆期末) 已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高三上·西安月考) 若数列的前项和满足：对都有（为常数）成立，则称数列为“和敛数列”，则数列，，，中是“和敛数列”的有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个12. （2分） (2019高一上·蛟河期中) 如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M(1,1)，N(1,2)，P(2,1)，Q(2,2)，G(2， )中，可以是“好点”的个数为（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·全国Ⅰ卷文) 已知函数f(x)=log2(x2+a).若f(3)=1,则a=________.14. （1分）使得二项式（3x+ ）n的展开式中含有常数项的最小的n为________．15. （1分）如图，已知椭圆C：=1（0＜m＜4）的左顶点为A，点N的坐标为（1，0）．若椭圆C上存在点M（点M异于点A），使得点A关于点M对称的点P满足PO=PN，则实数m的最大值为________16. （1分）(2019·台州模拟) 已知正方体中，为的中点，在平面A1B1C1D1内，直线，设二面角的平面角为，当取最大值时， ________.三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2017高三上·烟台期中) 已知 =（sinx，cos2x）， =（ cosx，1），x∈R，设f（x）= • ．（1）求f（x）的解析式及单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，f（A）=1，求△ABC面积的最大值．18. （10分）(2012·湖南理) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．（1）证明：CD⊥平面PAE；（2）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P﹣ABCD的体积．19. （10分） (2019高二下·长春月考) 随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式，某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托一家网络公司进行了网络问卷调查，并从参与调查的10000名网民中随机抽取了200人进行抽样分析，得到了下表所示数据：经常进行网络购物偶尔或从不进行网络购物合计男性5050100女性6040100合计11090200（1）依据上述数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民进行网络购物的情况与性别有关？（2）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取人，从这人中随机选出人赠送网络优惠券，求选出的人中至少有两人是经常进行网络购物的概率；（3）将频率视为概率，从该市所有的参与调查的网民中随机抽取人赠送礼物，记经常进行网络购物的人数为，求的期望和方差.附：，其中20. （10分）在△ABC中，若acosA+bcosB=ccosC，则△ABC的形状是什么？21. （5分）在数列中，（1）若，，求数列的通向公式；（2）若，，证明：。

一、选择题：每题2分，共10分 注意：请将答案填入下表，否则不给分。

1．“当0x x →时，A x f -)(是无穷小”是A x f x x =→)(lim 0的（ ）。

A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件2．若)(0x f '存在，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000=（ ）。

A. )(0x f '-B.)(0x f 'C. )(20x f 'D.)(20x f '- 3．若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且),(b a x ∈时，0)(<'x f ，又0)(<a f ，则（ ）。

A.)(x f 在],[b a 上单增且)(b f >0B.)(x f 在],[b a 上单增且)(b f <0C.)(x f 在],[b a 上单减且)(b f <0D.)(x f 在],[b a 上单增，但)(b f 的符号无法确定 4．下列反常积分发散的是（ ）。

A.⎰1xdx B.⎰-112x dx C.⎰+∞-0dx xe xD.⎰+∞∞-+21x dx 5．如函数y=(C 1+C 2x)e 2x，满足初始条件： y|x=0=0， y '|x=0=1，则C 1,C 2的值为（ ）。

A. C 1=0，C 2=1 B. C 1=1，C 2=0 C. C 1=π，C 2=0 D. C 1=0，C 2=π 二、填空题：每题2分，共10分 注意：请将答案填入下表，否则不给分。

1．极限⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x x x 7sin 3sinlim =_______________。

2．设x x f arctan )(=，则)0(f ''=_____________。

3．反常积分⎰+∞∞-++222x x dx=___________________。

青岛理工大学继续教育学院课程考试高等数学（1）课试卷B 使用层次专科出题教师冯学军学号：姓名：专业：年级：函授站：..........................................................密.......................................................封...........................................................线........................................................试卷类型：（B ）卷考核方式：（闭）卷第1页共1页请将答案写在答题纸上，写在其他地方无效一、（20分）填空题：1、设f(x)的定义域为(0,1),则)x 1(f 2-的定义域为。

2、函数xsin x ln )x (f π=的一个可去间断点是x ＝3、设x 1)x (f +=则f(3)+(x-3)f '(3)=4、积分⎰ππ-+dx x sin 1xcos x sin x 2=二、（20分）计算下列极限1、⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x x x sin 11sin lim 02、220x x tan )x sin 1ln(lim +→3、4)21(lim 22+-∞→n n n 4、131)23(lim -→-x x x 三、（20分）求导数与微分：1、设2x 1x 2arctg 21y -=，(x ≠0),求dy 。

2、设x arccos y =,求dy3、求由方程ysinx-cos(x+y)=0所确定的隐函数y=y(x)的导数y '.4、设y=(1+x 2)sinx ，求dxdy 四、（20分）计算下列积分：1、求⎰dx x sec x tan 25.⎰-20)sin (2πdxx x 、⎰⎰--+2ln 043dxxe e e dxx xx 、、五、（10分）设曲线方程由e xy -2x-y=3确定，求此曲线在纵坐标y=0处的切线与法线方程方程。

第一章 函数与极限 第一节 映射与函数选择题1.已知函数)(x f 的定义域是()+∞∞-,，满足)()()(y f x f y x f +=+则)(x f 是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶 D.不能确定2.已知2x e x f =)(()[]x x φf -=1，且()0x ≥φ，()=x φ（ ）A.()x -1ln 1<xB.()x -1ln 0≤xC.()x -1ln 1-<xD.()x -1ln 0x <3.设2211x x x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则()=x f （ ）A.22-xB.22+xC.2-xD.x xx 1122-+4.已知21x y --=直接函数的反函数是21x y --=，则直接函数的定义域是（ ）A.()01,-B.[]11,-C.[]01,-D.[]10, 5.()x e x x x f cos sin = ()+∞<<∞-x 是（ ）A.有界函数B.单调函数C.周期函数D.偶函数6.设()x f 与()x g 分别为定义在()+∞∞-,上的偶函数与奇函数，则()()x g f 与()()x f g 分别（ ）A.都是偶函数B.都是奇函数C.是奇函数与偶函数D.是偶函数与奇函数7.设()⎩⎨⎧>+≤=0022x x x x x x f ，则（ ）A.()()⎩⎨⎧>+-≤-=-0022x xx x x x f B.()()⎩⎨⎧>-≤+-=-022x xx x x x f C.()⎩⎨⎧>-≤=-0022x x x x x x f D.()⎩⎨⎧>≤-=-0022x xx x x x f8.()x f y =的定义域是[]11,-，则()()a x f a x f y -++=的定义域是（ ） 其中10≤≤aA.[]11+-,a aB.[]11+---a ,aC.[]11-+-,a aD.[]11+--a ,a9.函数()x f y =与其反函数()x f y 1-=的图形对称于直线（ ） A.0=y B.0=x C.x y = D.x y -= 答案ABACD ADDC 练习题1.设()x x f y +==11，求()[]x f f解：()[]x f f xxx++=++=21111121-≠-≠,x x 2.指出下列两个函数是否相同，并说明理由 (1)()1+=x x f ()()21x x g += (2)()x x f =，()()x x g arcsin sin =(3)()xx x f =，()xx x g 2=解：(1)不同，对应法则不同(2)不同，定义域不同()x f 的是()+∞<<∞-x ,()x g 的是[]11,- (3)相同，定义域和对应法则都相同3.若()⎩⎨⎧≥<=02x xx xx f ，求()[]x f f 解：()[]()()()[]()()()[]⎩⎨⎧≥<=⎩⎨⎧≥<=00022x x f x x f x f x f x f x f x f f 4.（2001数学二考研题）()⎩⎨⎧>≤=1011x x x f ，则()[]x f f 解()[]()()()()∞+∞-∈≤⎩⎨⎧>≤=,x x f x f x f x f f 1111而5.()⎩⎨⎧<<-≤≤==012102x x x x x f y 求()1+x f解()()()()()⎩⎨⎧-<<-+≤≤-+=⎩⎨⎧<+<-+≤+≤+=+1212011011121101122x x x x x x x x x f6.设()x F 是定义在关于原点对称的某数集X 上的函数，证明()x F 必可表示成一个偶函数与一奇函数之和。

2022年山东省青岛市普通高校高职单招数学测试题(含答案)学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(20题)1.A.0B.C.1D.-12.函数y=lg（1-x）（x＜0）的反函数是（）A.y=101-x（x＜0）B.y=101-x（x＞0）C.y=1-10x（x＜0）D.y=1-10x（x＞0）3.A.1B.8C.274.若a，b两直线异面垂直，b，c两直线也异面垂直，则a，c的位置关系（）A.平行B.相交、异面C.平行、异面D.相交、平行、异面5.A.负数B.正数C.非负数D.非正数6.直线L过（-1，2）且与直线2x-3y+5=0垂直，则L的方程是（）A.3x+2y-1=0B.3x+2y+7=0C.2x-3y+6=0D.2x-3y+8=07.设l表示一条直线，α，β，γ表示三个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若l//α，α//β，则l//βB.若l//α，l//β，则α//βC.若α//β，β//γ，则α//γD.若α//β，β//γ，则α//γ8.若sinα=-3cosα，则tanα=()A.-3B.3C.-1D.19.A.-1B.-4C.4D.210.A.10B.-10C.1D.-111.函数y=lg(x+1)的定义域是（）A.(-∞,-1)B.(-∞,1)C.(-1，+∞)D.(1,-∞)12.已知互相垂直的平面α，β交于直线l若直线m，n满足m⊥a，n⊥β则（）A.m//LB.m//nC.n⊥LD.m⊥n13.若集合A={1，2,3}，B={1，3,4}，则A∩B的子集的个数为（）A.2B.3C.4D.1614.圆（x+2)2+y2=4与圆（x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为（）A.内切B.相交C.外切D.相离15.A.(1,2）B.(-1,2)C.(-1,-2)D.(1,-2)16.5人站成一排，甲、乙两人必须站两端的排法种数是（）A.6B.12C.24D.12017.若事件A与事件ā互为对立事件，则P(A) +P(ā)等于( )A.1/4B.1/3C.1/2D.118.A.B.C.D.19.已知等差数列的前n项和是，若，则等于（）A.B.C.D.20.设则f(f(-2))=()A.-1B.1/4C.1/2D.3/2二、填空题(20题)21.己知0<a<b<1，则0.2a 0.2b。

一、 判断题(每小题2分，共12分)1. 仅存在一个数z ，使得z z-=1. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 22sin cos 1z z +=且sin 1,cos 1z z ≤≤ ( )4. 若0z 是()f z 的m 级零点，则0z 是1()f z 的m 级极点. ( ) 5. 若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点. ( )6. 每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点. ( )二、 填空题(每小题3分，共18分)1. 将31i +化为三角表示式_______________________，指数表示式______________________.2. 函数e z 的周期为__________.3. =-⎰=-1||00)(z z nz z dz___________.（n 为自然数）4. 函数211)(z z f +=的幂级数展开式为______________________. 5. z zsin 的孤立奇点为______________(请指出奇点的类型).6. 求卷积t e t *=_____________________________.三、 求复数11+-z z 的实部与虚部 (10分).四、 设)(2323lxy x i y nx my +++为解析函数，求l ,m ,n 的值 (10分).五、 求积分⎰izdz z 0cos 的值 (10分).六、 已知y x y x u )1(2),(-=为一调和函数，且i f -=)2(，求解析函数),(),()(y x iv y x u z f += (10分). 七、 把函数)2)(1(1--z z 在1|1|0<-<z 的圆环域展开成洛朗级数 (10分).八、 计算积分⎰-c zdz z z e,)1(2c 为正向圆周：|z |=2 (10分).九、 利用留数定理计算积分：⎰+∞∞-+dx x 22)1(1(10分).十、 利用拉氏变换求方程 y ''+2y '-3y =e -t 满足初始条件1,000='===t t y y 的解 (10分).。

第一章n 阶行列式1.求下列各排列的逆序数：(1) 134785692 (2) 139782645 (3) 13…(2n-1)24…(2n) (4) 13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2 （11;17;2)1(-n n ;)1(-n n ） 2. 已知排列9561274j i 为偶排列，则=),(j i (8,3) .3.计算下列各阶行列式：(1) 600300301395200199204100103 (2)0d 0c 0b0a 0 (3)efcf bf de cd bdaeac ab --- [2000; 0; 4abcdef]4. 设xx x x x D 111123111212-=，则D 的展开式中3x 的系数为 -1 .5 求二次多项式()x f ，使得()61=-f ，()21=f ，()32=f解 设()c bx ax x f ++=2，于是由()61=-f ，()21=f ，()32=f 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-32426c b a c b a c b a 求c b a ,,如下： 06124111111≠-=-=D ，61231121161-=-=D ，121341211612==D ，183242116113-=-=D 所以 11==D D a ，22-==D D b ，33==DD c故()322+-=x x x f 为所求。

行列式的性质；克拉默法则1.n 阶行列式ij a D =，则展开式中项11342312n n n a a a a a - 的符号为( D ). （A ）- （B ）+ （C ）n)1(- （D ）1)1(--n2.如果1a a a a a a a a a D 333231232221131211==，求333231312322212113121111a a 3a 2a 4a a 3a 2a 4a a 3a 2a 4--- [-12] 3. 已知4521011130112101--=D ，计算44434241A A A A +++ [-1] 4. 计算行列式383326229432231---- [-50] 5.计算下列各行列式（D k 为k 阶行列式）(1)a11a,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0; [2--n naa ](2) aa a a x a a a x ; [1)(--n a x a ](3)n1n 321a xxxxx a x x x x xa xxx x x a xx x x x a- [利用递推公式来求]递推公式为1121)()())((---+---=n n n n D x a x a x a x a x Dn D =)1)(())((2121xa xx a x x a x x a x a x a n n -++-+-+--- (4) n2222232222222221[)!2(-n ](5)β+ααββ+αβ+ααββ+ααββ+ααββ+α1000000100001000010000[n n n n βαββαα++++--11 ] 6.问λ，μ取何值时，齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+μ+=+μ+=++λ0x x 2x 0x x x 0x x x 321321321有非零解？ [0;1==μλ]求每类商品的销售利润率。

2023-2024学年度第一学期期末学业水平检测高三数学试题本试卷共4页，22题．全卷满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，请将答题卡上交.一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合()13A ,=-，}0{|B x x a =+≥，若{}|1A B x x ⋃=>-，则实数a 的取值范围是（）A.[]3,1- B.(]3,1-C.[)3,1- D.()3,1-【答案】C【解析】由已知，{|}B x x a =≥-，因为{}|1A B x x ⋃=>-，所以13a -<-≤，即31a -≤<.故选：C 2.复数i z a =+（R a ∈，i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，若()()111z z ++=，则=a （）A.2-B.1-C.1D.2【答案】B【解析】因为i z a =+，所以i z a =-，()()()()()2111i 1i 111z z a a a ++=+++-=++=，解得1a =-，故选：B.3.在四边形ABCD 中，四个顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别是()2,0-，()1,3-，()3,4，()2,3，E ，F 分别为,AB CD 的中点，则EF AB ⋅=（）A.10B.12C.14D.16【答案】A【解析】由题意，3357,,,2222E F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()4,2EF =，()1,3AB = ，412310EF AB ⋅=⨯+⨯=.故选：A4.2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年．而今“一带一路”已成为当今世界最受欢迎的国际公共产晶和最大规模的国际合作平台.树人中学历史学科组近期开展了“回望丝路”系列主题活动，组织“一带一路”知识竞赛，并对学生成绩进行了汇总整理，形成以下直方图.该校学生“一带一路”知识竞赛成绩的第60百分位数大约为（）A.72B.76C.78D.85【答案】B【解析】由题中频率分布直方图知区间[]50,60的频率为：()10.0270.0250.0160.014100.18-+++⨯=则在区间[][]50,60,60,70的频率为：0.180.027100.45+⨯=，所以第60百分位数在区间[]70,80，且设为x ，则700.60.45100.25x --=，解得76x =.故选：B 5.已知等差数列{}n a 各项均为正整数，11123a a a a =++，210a <，则其公差d 为（）A.0B.1C.2D.4【答案】C【解析】因为等差数列{}n a 中，11123110a a a a a d =++=+，所以2310a a d +=，所以11210a d a d d +++=，所以127a d =，得172a d =，因为等差数列{}n a 各项均为正整数，所以公差d 为正整数，因为210a <，所以1910272d d d a d +=+=<，所以2009d <<，因为公差d 为正整数，所以1d =或2d =，当1d =时，由17771222a d ==⨯=，不合题意，舍去，当2d =时，17a =，符合题意，所以2d =，故选：C6.已知点F 是抛物线()2:20E y px p =>的焦点，过点()的直线l 与曲线E 交于点A ，B ，若2AF BF +的最小值为14，则E 的准线方程为（）A.4y =- B.=2y - C.4x =- D.2x =-【答案】D【解析】当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为(22)y k x =-，由22(22)y px y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得2222(422)80k x k p x k -++=，22422(422)3216240k p k pk p ∆=+-=+>，设1122(,),(,)A x y B x y ，则128x x =，且120,0x x >>，当直线l 的斜率不存在时，则直线l 为22x =，128x x =，所以122()()222p px AF BF x =++++12322x x p =++118322x p x =++1183322822x p p x ≥⋅+=+，当且仅当1182x x =，即12x =时取等号，所以2AF BF +的最小值为382p +，所以38142p +=，得4p =，所以抛物线E 的准线方程为22px =-=-，故选：D 7.已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，E ，F 是线段AC 1上的点，且AE ＝EF ＝FC 1，分别过点E ，F 作与直线AC 1垂直的平面α，β，则正方体夹在平面α与β之间的部分占整个正方体体积的（）A.13B.12C.23 D.34【答案】C【解析】构造平面1A BD ，平面11CB D ，则1AC ⊥平面1A BD ，1AC ⊥平面11CB D ，设正方体边长为1，则112A B A D BD ===，13AC =，133AE EF FC ∴===，11111111326A ABD CBCD V V --∴==⨯⨯=，设A 到平面1A BD 的距离为h ，则112131(2)346A AB D V h -== ，解得33h =，E ∴∈平面1A BD ，同理可得F ∈平面11CB D ，∴正方体夹在平面α与β之间的部分体积为121263-⨯=，∴体积之比是23，故选：C ．8.已知O 为坐标原点，双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点依次为1F 、2F ，过点1F 的直线与E 在第一象限交于点P ，若122PF PF =，OP =，则E 的渐近线方程为（）A.y =B.y =C.y x=± D.2y x=±【答案】如下图所示：因为122PF PF =，由双曲线的定义可得1222PF PF PF a -==，则14=PF a ，因为O 为12F F 的中点，则120F O F O += ，则1122PO PF F OPO PF F O⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，所以，122PO PF PF =+ ，又因为1221F F PF PF =-uuu u r uuu r uuu r ，所以，()()()22222212212112222PO F F PF PF PF PF PF PF +=++-=+，即()()()()222222422c a a +=⨯+⨯，整理可得223c a =，即2223a b a +=，所以，b =，因此，该双曲线的渐近线方程为by x a=±=.故选：A.二、多项选择题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.一个密闭的容器中装有2个红球和4个白球，所有小球除颜色外均相同．现从容器中不放回地抽取两个小球．记事件A ：“至少有1个红球”，事件B ：“至少有1个白球”，事件C A B = ，则（）A .事件A ，B 不互斥B.事件A ，B 相互独立C.()()||P A B P B A =D.()()()|2|P C A P C B P C +>【答案】AD【解析】对于A,由于至少有一个红球和至少有一个白球，可以同时发生，故事件A 与事件B 不互斥，A 正确；对于BC ，112426C C 8()C 15P AB ==,21122426C +C C 3()C 5P A ==,21142426C C C 14()C 15P B +==,所以()()()P AB P A P B ≠，故B 错误；故()8()415|=14()715P AB P A B P B ==，()8()815|=3()95P AB P B A P A ==，故C 错误；对于D ，112426C C 8()=()==C 15P C P AB ,故()()()()()()515|+|=()()2()()()()()314P AC P BC P C P C P C A P C B C P C P C P A P B P A P B +=+=+>,故D 正确，故选：AD.10.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象关于点4π,09⎛⎫⎪⎝⎭对称，在π5π,99⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，2π8π39f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．将()y f x =的图象向右平移2π9个单位得到函数()g x 的图象，则（）A.32ω=B.ππ3k ϕ=+，Z k ∈C.()()12023π2024π2f f ++= D.()g x 为偶函数【答案】AC【解析】因为函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>在π5π,99⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则周期5ππ8π2999T ⎛⎫>⨯-=⎪⎝⎭，则由2π8π39f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知函数()f x 图象关于2π8π7π3992x =+=对称，又函数()f x 图象关于点4π,09⎛⎫⎪⎝⎭对称,所以7π4π4π4993T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以32ω=，A 正确；当7π9x =时，函数()f x 取得最小值，则37π3π2π,Z 292k k ϕ⨯+=+∈，π2π,Z 3k k ϕ=+∈，B 错误；由3π()sin()23f x x =+，所以()()3π3π2023π2024πsin(2023πsin(2024π)2323f f +=⨯++⨯+πππ1sin()sin()2332=++=，C 正确；将()y f x =的图象向右平移2π9个单位得到函数()g x 的图象，()2π32ππ3()sin()sin 92932g x f x x x ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭，则()g x 为奇函数，D 错误.故选：AC 11.若实数,0a b >，且8ab a b =++，则（）A.8a b +≤B.16ab ≥C.34a b +≥+D.144113a b +≥--【答案】BCD【解析】对于选项A ，由28(2a b a b ab +++=≤，当且仅当a b =时等号成立，不妨设a b t +=，则得24320t t --≥，解得：8t ≥或4t ≤-，因,0a b >，则8a b +≥，故A 项错误；对于选项B ，由8ab a b -=+≥当且仅当a b =时等号成立，s =，则2280s s --≥，解得：4s ≥或2s ≤-，因0s >，则4s ≥，即16ab ≥，故B 项正确；对于选项C ，由8ab a b =++可得：(1)8a b b -=+，则1b >，且81b a b +=-，则899331343(1)44111b a b b b b b b b ++=+=++=++-≥+=+---，当且仅当93(1)1b b =--时取等号，即1,1b a =+=时，3a b +有最小值4+，故C 项正确；对于选项D ，由8ab a b =++可得：19ab a b --+=，即(1)(1)9a b --=，且1,1a b >>，则144113a b +≥==--，当且仅当1411a b =--时等号成立，由14118a b ab a b ⎧=⎪--⎨⎪=++⎩解得：527a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即当且仅当5,72a b ==时，1411a b +--有最小值43，故D 项正确.故选：BCD.12.将函数()y f x =的图象绕原点逆时针旋转π4后得到的曲线依然可以看作一个函数的图象、以下函数中符合上述条件的有（）A.sin y x =B.sin 2y x =C.ln y x x =-D.e xy x =【答案】AC【解析】若函数()f x 逆时针旋转π4角后所得函数仍是一个函数，则函数()f x 的图象与任一斜率为1的直线y x b =+均不能有两个或两个以上的交点.不对于sin y x =，设()sin f x x x b =--，则()cos 10f x x '=-≤，则()f x 为R 上的单调递减函数，即方程sin 0x x b --=只有一解，所以sin y x =与y x b =+只有一个交点，故符合题意，A 正确；对于sin 2y x =，设sin )2(g x x x =-，ππππ(0)0,()10,()004422g g g ==->=-<,则()g x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭有零点，即方程sin 20x x -=不只有一解，所以sin 2y x =与y x =多个交点，不符合题意，B 错误；对于ln y x x =-，设()ln ln F x x x x b x b =---=--，显然()F x 为()0,∞+上减函数，当e b x -=时，()0F x =，即所以ln y x x =-与y x b =+只有一个交点，故符合题意，C 正确；对于e x y x =，设()e 1x G x x x =--，则22(2)2e 10,(0)10,(2)2e 30G G G --=-+>=-<=->，显然()G x 在()2,0-和()0,2上各有零点，即所以e x y x =与1y x =+有多个交点，故不符合题意，D 错误.故选：AC.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.621()x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中含42x y 项的系数是__________（结果用数字表示）.【答案】25-【解析】展开式中含42x y 项的系数是223366C (1)2C (1)154025⨯-+⨯⨯-=-=-.故答案为：25-14.正八面体各个面分别标以数字1到8．抛掷一次该正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为{}1,2,3,4,5,6,7,8Ω=.已知事件{}1,2,3,4A =，{}1,2,3,6B =，{}1,,,C a b c =，若()()()()P ABC P A P B P C =但A ，B 与C 均不独立，则事件C =______．【答案】{}1,5,7,8【解析】由已知()()()12P A P B P C ===又()()()()18P ABC P A P B P C ==，所以{}1ABC =，又A ，B 与C 均不独立，即()()()14P AB P A P B ≠=，()()()14P AC P A P C ≠=，()()()14P BC P B P C ≠=，所以C ={}1,5,7,8.故答案为：{}1,5,7,815.已知动点P ，Q 分别在圆221:(ln )()4M x m y m -+-=和曲线ln y x =上，则PQ 的最小值为__．【答案】122-【解析】由题意得()ln ,M m m ，即圆心M 在e x y =上，半径为12，故PQ 的最小值等于MQ 的最小值减去半径12，设(),ln Q n n ，由于e x y =与ln y x =关于y x =对称，MQ 的最小值等于Q 到直线y x =的距离的最小值的2倍，由ln y x =，可得1y x '=，令11n=，解得1n =，故ln y x =在点()1,0Q 处的切线与y x =平行，此时()1,0Q 到y x =的距离最小，最小值为102211-=+，故MQ 的最小值为2222´=，则PQ 的最小值等于122-.故答案为：122-16.若函数2()e 1x f x a x =+-在(0,)+∞上单调递增，则a 的取值范围是______．【答案】e e ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】()()222e 1,1()e 1e 1,01x x x a x x f x a x a x x ⎧+-≥⎪=+-=⎨--<<⎪⎩，当1x ≥时，()e 2xf x ax ='+，令()0f x '≥得ee 202xxax a x+≥⇒≥-，令()e xh x x =-，1x ≥，()()2e 10x x h x x '-=≤在[)1,x ∞∈+上恒成立，故()e xh x x=-在[)1,x ∞∈+上单调递减，又()()max 1e h x h ==-，所以2e a ≥-，解得2a e≥-；当01x <<时，()e 2xf x ax ='-，令()0f x '≥得e e 202x xx ax a -≥⇒≤，令()ex g x x=，01x <<，()()2e 10x x g x x '-=<在()0,1x ∈上恒成立，故()e xg x x=在()0,1x ∈上单调递减，其中()1e g =，故2a e ≤，解得2e a ≤，由于(1)e f =，即()f x 在1x =处连续，综上，e e ,22a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故答案为：e e ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.记ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .（1）证明：若2C A =，则2cos a b a C =-；（2）探究：是否存在一个ABC ，其三边为三个连续的自然数，且最大角是最小角的两倍？如果存在，试求出最大边的长度；如果不存在，说明理由．【解析】（1）证明：若2C A =，则()sin 2sin cos sin 2sin cos B A C A C A C-=+-sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C=+-()sin cos cos sin sin sin C A C A C A A =-=-=，所以，由正弦定理得：2cos a b a C =-．（2）假设存在ABC ，其三边为三个连续的自然数1m -、m 、()11m m +>，设这三边所对的角分别为A 、B 、C ，则若最大角是最小角的两倍，即2C A =．由（1）知，()121cos m m m C -=--，即()21cos 1m C -=．由余弦定理知，()()()222l l cos 21m m m C m m -+-+=-，所以，241m mm-=，即250m m -=，因为1m >，解得5m =，经检验满足条件．于是最大边长为16m +=．因此，存在一个ABC ，其三边为三个连续的自然数，最大边长为6．18.已知函数e ()ln (R)xa f x x x a x=-+∈．（1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）当1a =时，证明：()e 1f x ≥-．【解析】（1）当0a =时，()ln f x x x =-，则11()1(0)xf x x x x-'=-=>当01x <<时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，故()f x 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，（2）（法一）当1a =时，2(e )(1)()(0)x x x f x x x --'=>由（1）可知ln 1x x x ≤-<，即e x x <，当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以()f x 在()0,1单调递减，在(1,)+∞单调递增，因此，()()1e 1f x f ≥=-（当且仅当1x =时取得等号）（法二）当1a =时，e e e ()ln lnx x xf x x x x x x =-+=-令()()e 0x h x x x =>，可知(1)e ()xx h x x-'=于是()y h x =在()0,1单调递减，在(1,)+∞单调递增，因此，e ()(1)e xh x h x=≥=（当且仅当1x =时取得等号）．令()()ln ,e k x x x x =-≥，则由（1）知：故()k x 在[e,)+∞单调递增，因此()e 1k x ≥-．所以e ()e 1xf x k x ⎛⎫=≥- ⎪⎝⎭．19.如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥底面,,4,2,23,,ABC AB AC SA AB AC D E ⊥===分别为,BC SC 的中点，点,M N 都在棱SA 上，1AM =，且满足//DM 平面BEN .（1）求AN 的长；（2）求平面BEN 与平面DEM 夹角的余弦值.【解析】（1）如图，连接SD ，交BE 于点G ，连接NG ，则平面SMD ⋂平面BEN NG =.因为//DM 平面,BEN DM ⊂平面SMD ，所以//DM NG .因为,D E 分别为,BC SC 的中点，所以点G 为SBC △的重心，所以2SG GD =，所以2SN NM =.由题意知14AM SA =，则N 是SA 的中点，12.2AN SA ==（2）由题意知SA ⊥底面,ABC AB AC ⊥，所以AB ，,AC AS 两两垂直.以点A 为坐标原点，,,AB AC AS 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系如图，则()()()()()()()()0,0,0,2,0,0,0,23,0,0,0,4,1,3,0,0,3,2,0,0,2,0,0,1A B C S D E N M 所以()()2,3,2,2,0,2,(1BE BN DE =-=-=-，()0,2),1,3,1DM =--.设平面BEN 的法向量为()111,,m x y z =，则00m BE m BN ⎧⋅=⎨⋅=⎩即111112320220x y z x z ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩令11x =，则110,1y z ==，所以平面BEN 的一个法向量为()1,0,1m =.设平面DEM 的法向量为()222,,n x y z =，则00n DE n DM ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2222220x z x z -+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩令22x =，则223,13y z =-=，所以平面DEM 的一个法向量为32,,13n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.故36cos ,8m n m n m n⋅==，由图象可知平面BEN 与平面DEM 夹角为锐角，所以平面BEN 与平面DEM 夹角的余弦值为368.20.为培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某学校每月都会开展学农实践活动．已知学农基地前10个月的利润数据如下表，月份用x 表示，sin t x =，利润用y （单位：万元）表示，已知y 与x 的经验回归方程为ˆsin yb x a =+．x 12345678910y 4.683 4.819 3.282 1.486 1.082 2.441 4.314 4.979 3.8241.912t0.8410.9090.141-0.757-0.959-0.2790.6570.9890.412-0.544（1）求,a b 的值（结果精确到1）；（2）某班班主任和农学指导教师分别独立从该班5名班级干部名单中各随机选择2人作为组长，设被选出的组长构成集合M ，集合M 中元素的个数记为随机变量X .（i ）求X 的分布列及数学期望；（ii ）规定：进行多轮选择，每轮出现3X =记为A ，出现3X ≠记为B ，先出现AB 为甲胜，先出现AA 为乙胜．记1P 表示“第一轮为A 且最终甲胜的概率”，2P 表示“第一轮为B 且最终甲胜的概率”，求1P ，2P 及甲胜的概率．参考数据：114.23iii t y∞=≈∑，0.14t ≈， 3.28y =，1021() 4.80i i t t =-≈∑．参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ．其回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式为：1122211()ˆ()n niii ii i nni i i i x x y y x y nx ybx x x nx ====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-．【解析】（1）由已知公式得1011014.23100.14 3.289.6i ii t y t y =-≈-⨯⨯≈∑，所以9.6ˆ 2.04.8b=≈，ˆˆ 3.28 2.00.143a y bt=-=-⨯=，所以ˆˆ3,2a b==.（2）（i ）由题意知，X 的可能取值为2，3，4，555222C 1(2)C C 10P X ===，3112532255C C C 63(3)C C 105P X ====，54422255C C 3(4)C C 10P X ===，其分布列为X234P1103531013316()234105105E X =⨯+⨯+⨯=．当第一轮为A 时，若第二轮为B ，则甲胜；若第二轮为A ，则乙胜，所以13265525P =⨯=;当第一轮为B 时，若第二轮为A ，则最终甲胜的概率为125P ，若第二轮为B ，则最终甲胜的概率为225P ；所以2122226255255P P P P =+=+，解得2425P =．故甲胜的概率1225P P P =+=．21.已知O 为坐标原点，点P 在椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>上，1C 的左、右焦点12,F F 恰为双曲线2224:13C y x -=的左、右顶点，1C 的离心率12e =．（1）求1C 的标准方程；（2）若直线l 与1C 相交于A ，B 两点，AB 中点W 在曲线22222344:33y y C x x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭上．探究直线AB 与双曲线2C 的位置关系.【解析】（1）由题可知：12(1,0),(1,0)F F -所以221a b -=，22212a b e a -==，解得2,a b ==．所以椭圆C 的标准方程为；22143x y +=．（2）设11(,)A x y ，()22,B x y ，若直线l 斜率存在，设:l y kx m =+，联立方程22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：222(34)84120k x kmx m +++-=，则11228Δ0,34kmx x k >+=-+，可得1224234x x km k+=-+，12122()232234y y k x x m mk +++==+，设00(,)W x y ，则02434km x k =-+，02334m y k=+，可得()2220221634k m x k=+，()22022934m y k =+，则22222002224(1216)43(34)34y m k m x k k++==++，同理可得：2222220022224(1612)4(43)3(34)(34)y m k m k x k k ---==++，因为W 在曲线22222344:33y y C x x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭上，则()222222244(43)3434m m k k k ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭+，解得22443m k =-，联立方程22413y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得：222(34)8430k x kmx m ----=，所以()222Δ123440m k=+-=，直线AB 与2C 相切．若直线l 斜率不存在，由对称性知W 在x 轴上，W 在曲线22222344:33y y C x x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，令0y =，可得()222x x =，且0x ≠，解得1x =±，则()1,0W ±，直线:1AB x =±，此时也有直线AB 与2C 相切，综上可知：直线AB 与2C相切．22.在各项均为正数的数列{}n a 中，12a =，216a =，2114(1)n n n a a a n +-=>．（1）证明数列1n n a a +⎧⎫⎨⎩⎭为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若21)ln 1n nb n =+⋅+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ．（i ）求n S ；（ii ）证明：12n S >-．【解析】（1）由题意知114(1)n n n n a an a a +-=>，因此数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以218a a =为首项，以4为公比的等比数列，于是2112n n n a a ++=，2112(1)n n n an a --=>．2(21)(23)11321122122(1)n n n n n n n n a a a aa a n a a a a -+-++---=⋅⋅⋅⋅⋅==> ．又12a =适合上式，所以22n n a =．（2）（i ）因为2(21)ln2(21)ln (21)ln(1)2ln 1n nb n n n n n n n =++=+--++++，所以()()()()()()2ln13ln 22ln123ln 25ln 32ln 2221ln 21ln 12ln n S n n n n n =+-+++-++++--+++ ()2[03ln 23ln 25ln 3(21)ln (21)ln(1)]2ln1ln 2ln n n n n n n =+-+-++--+++++++ 2(21)ln(1)2ln !n n n n =-+++．（ii ）因为数列11121n n ⎧⎫⎛⎫--⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎩⎭的前n 项和为11111111111212231212n n n ⎛⎫⎛⎫--+-+-=-->- ⎪++⎝⎭⎝⎭ ，所以只需证明：1112(21)ln 121n n b n n n n ⎛⎫=++>-- ⎪++⎝⎭，也就是()()11211111ln21121(21)212121n n n n n n n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫>--=-+-=- ⎪ ++++++⎝⎭⎝⎭，令(0,1)1nx n =∈+，只需证明11ln 2x x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，设函数11()ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，(0,1)x ∈，222111(1)()0222x f x x x x--'=--=≤．所以()()10f x f >=，即11ln 2x x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭成立，得证．。

第一章单元测试1、单选题：选项：A:AB:CC:DD:B答案:【A】2、单选题：选项：A:AB:CC:BD:D答案:【D】3、单选题：选项：A:AB:DC:BD:C答案:【D】4、单选题：选项：A:DB:BC:CD:A答案:【D】5、单选题：选项：A:AB:BC:CD:D答案:【D】6、判断题：选项：A:对B:错答案:【对】7、判断题：选项：A:对B:错答案:【对】8、判断题：选项：A:错B:对答案:【错】9、判断题：选项：A:错B:对答案:【对】10、判断题：选项：A:对B:错答案:【对】第二章单元测试1、单选题：选项：A:AB:BC:DD:C答案:【D】2、单选题：选项：A:BB:AC:CD:D答案:【C】3、单选题：选项：A:CB:DC:AD:B答案:【B】4、单选题：选项：A:CB:AC:DD:B答案:【D】5、单选题：选项：A:BB:DC:AD:C答案:【C】6、单选题：选项：A:BB:AC:CD:D答案:【B】7、单选题：选项：A:AB:BC:DD:C答案:【B】8、单选题：选项：A:DB:CC:BD:A答案:【D】9、单选题：选项：A:CB:DC:BD:A答案:【B】10、单选题：选项：A:AB:DC:BD:C答案:【A】11、判断题：选项：A:对B:错答案:【对】12、判断题：选项：A:对B:错答案:【对】13、判断题：选项：A:对B:错答案:【错】14、判断题：选项：A:对B:错答案:【错】15、判断题：选项：A:对B:错答案:【错】16、单选题：当时，函数的右极限与左极限都存在且相等是极限存在的（）条件.选项：A:既非必要也非充分B:必要非充分C:充分非必要D:充分必要答案:【充分必要】17、单选题：当时，x的等价无穷小量是（）选项：A:B:1-cosxC:xsinxD:sin3x答案:【】18、单选题：当时，1-cosx是xsinx的（）选项：A:低阶无穷小B:等价无穷小C:高阶无穷小D:同阶无穷小答案:【同阶无穷小】19、单选题：设，则当时，有（）选项：A:与x是等价无穷小B:与x同阶但非等价无穷小C:是比x高阶的无穷小D:是比x低阶的无穷小答案:【与x同阶但非等价无穷小】20、单选题：设函数，则x=0是的（）选项：A:连续点B:跳跃间断点C:第二类间断点D:可去间断点答案:【第二类间断点】21、单选题：设函数在点x=0连续，则a，b的值分别为（）选项：A:a=b=0B:a=b=1C:a=1，b=0D:a=0，b=1答案:【a=b=1】22、单选题：当时，用“”表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）选项：A:B:C:D:答案:【】23、单选题：设则结论正确的是（）选项：A:在x=0，x=1处连续B:在x=0处连续，在x=1处间断C:在x=0处间断，在x=1处连续D:在x=0，x=1处间断答案:【在x=0处间断，在x=1处连续】24、单选题：x=0是的（）选项：A:跳跃间断点B:可去间断点C:连续点第二类间断点答案:【可去间断点】25、单选题：设函数，则是该函数的（）选项：A:可去间断点B:第二类间断点C:跳跃间断点D:连续点答案:【连续点】26、单选题：函数在x=0处（）选项：A:不连续B:可导C:无定义D:连续但不可导答案:【连续但不可导】27、单选题：设，则在x=0处（）选项：A:极限不存在B:极限存在但不连续C:可导D:连续但不可导答案:【连续但不可导】28、单选题：设在x=a处可导，则（）选项：A:B:D:答案:【】29、单选题：下列结论错误的是（）选项：A:若在处连续，则在处可导B:若在处不连续，则在处不可导C:若在处可导，则在处连续D:若在处不可导，则在处也可能连续答案:【若在处连续，则在处可导】30、单选题：设，则在点x=0处（）选项：A:左、右导数都不存在B:左导数不存在，右导数存在C:左、右导数都存在D:左导数存在，右导数不存在答案:【左导数存在，右导数不存在】31、单选题：若函数在点处可导，且则当时，必有（）选项：A:dy是比低阶的无穷小量B:是与同阶的无穷小量C:是与高阶的无穷小量D:dy是比高阶的无穷小量答案:【是与高阶的无穷小量】32、单选题：设，则在点x=0处（）选项：A:可导B:连续但不可导C:极限不存在D:极限存在，但不连续答案:【连续但不可导】33、单选题：在处左可导且右可导是在处可导的（）选项：A:非充要条件B:充分非必要条件C:充要条件D:必要非充分条件答案:【充要条件】34、单选题：存在是数列有界的（）选项：A:非充要条件B:必要非充分条件C:充分非必要条件D:充分必要条件答案:【充分非必要条件】35、单选题：下列关于极值命题中正确的是（）选项：A:极大值一定大于极小值B:若，则必是的极值点C:若存在且是极值点，则必有D:若，则必是的极值点答案:【若存在且是极值点，则必有】36、判断题：（）选项：A:对B:错答案:【对】37、判断题：设函数在点x=0处连续，则a=1.（）选项：A:对B:错答案:【错】38、判断题：已知极限则a=0,b=6（）选项：A:错B:对答案:【错】39、判断题：设，则（）选项：A:对B:错答案:【错】40、判断题：设在x=1处可导，则a=2，b=-2（）选项：A:错B:对答案:【对】41、判断题：曲线在点处的切线方程为（）选项：A:对B:错答案:【错】42、判断题：曲线则.（）选项：A:错B:对答案:【对】43、判断题：设且二阶可导，则.（）选项：A:错B:对答案:【错】44、判断题：函数的单减区间为.（√）选项：A:对B:错答案:【对】45、判断题：曲线的拐点为.（）选项：A:错B:对答案:【错】。

第十一章 无穷级数§ 1 常数项级数的概念和性质 1C,2D,3C 4、若+∞=∞→nn b lim ，0≠n b ,求 )11(11+∞=-∑n n n b b 的值 解： (=nS 11143322111)11......()11()11()11(++-=-+-+-+-n n n b b b b b b b b b b 所以11lim b S n n =∞→ 5、若级数∑∞=1n na收敛，问数列{n a }是否有界解：由于0lim =∞→nn a ，故收敛数列必有界。

6、若a a nn =∞→lim ，求级数)(11∑∞=+-n n n a a 的值解：=n S 1113221)......())(()(++-=-+-+-n n n a a a a a a a a故a a a a a a n n n n n-=-=-+∞→∞=+∑11111)(lim )(7、求)(12121-+∞=-∑n n n a a 的值解：=nS +-)(3a a a a a a a a n n n -=-+-+-+12121235)......()(故)(12121-+∞=-∑n n n a a =a a a n n -=-=+∞→1)(lim 128、求∑∞=++1)2)(1(1n n n n 的和 ()41§ 2 常数项级数的审敛法一、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判别下列级数的收敛性1、 判定级数∑∞=+-1)13)(23(1n n n 的敛散性解：由于)13)(23(1+-n n <21n,而∑∞=121n n收敛，故∑∞=+-1)13)(23(1n n n 收敛2、 判定敛散性∑∞=11n nnn解：nn = 2121).1(1.....1.1.<-=-+<nn n n n n n故n n n 1>n 21,而级数∑∞=121n n 发散，故∑∞=11n n nn 发散3、 判定敛散性∑∞=+111n na)0(>a,1>a 收敛; ≤<a 01, 发散4、 判定敛散性 ∑∞=-++13221n n nne n en ne (收敛);二、用比值或根值审敛法判别下列级数的收敛性5、 判定级数∑∞=1!.3n nn nn 的敛散性解：e a a nn n 3lim 1=+∞→>1,所以∑∞=1!.3n nn n n 发散6、 判定级数∑∞=-1354n nn n的敛散性解：154lim 1<=+∞→nn n a a ，所以∑∞=-1354n n nn收敛7、∑∞=+112tan.n n n π收敛8、 nn n an∑∞=+1)1( ，1>a 收敛三、判别下列级数是否收敛。

2010高等数学(上)B一、填空题：(每题3分，共18分)1、极限⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→x 2sin x xx sin lim x = 。

2、函数3x 3x 2x )x (f 2---=的间断点为 。

3、设函数2x sin y =，则y4、设函数3ax x 2y 23++=在x=1处取得极值，则5、设2x e 是函数f(x)的一个原函数，则不定积分⎰'(f6、定积分()⎰ππ-+22xdx cos x x =——二、选择题：(每题3分，共15分)1、设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0x ,)x a ln(0x ,x1sin x )x (f 2在(-∞,+∞)上连续，则a= 。

A.1 B.e C.2 D.e1 2、设函数f(x)可导，y=f(x 2)，则微分dy= 。

A.dx )x (f 2'B.dx )x (f 2C.d x )x (f x 22'D.dx ))x (f (x 22'3、设函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)，则方程0)x (f ='的实根个数是 。

A.4B.3C.2D.14、不定积分⎰-dx xe x = 。

A.C e )1x (x +--B.C e )1x (x ++--C.C e )x 1(x +--D.C xe x +-5、在下列反常积分中收敛的是A.⎰∞+0dx xx ln B.⎰∞+e 2dx )x (ln x 1 C.⎰∞+e dx x ln x 1 D.⎰∞+e 21dx )x (ln x 1三、(6分)求极限)x 1ln()x cos 1(x 1cos x x sin 3lim 20x +++→。

四、(6分)设函数y=y(x)由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==⎰2t 02tcos y du u sin x 确定，求二阶导数22dx y d五、计算下列不定积分：(每题5分，共计10分)1、⎰++dx x2cos 1x cos 12 2、⎰xdx tan x 2六、(12分)求函数x xe x f -=2)(的单调区间、函数曲线的凹凸区间、极值及拐点。

线性代数试题A-2009解答一 、填空题（每小题3分，共30分）1．n 阶行列式ij a D =，则展开式中项11342312n n n a a a a a - 的符号为1)1(--n 。

2．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=200123411,131021,1210121C B A 则C B A T)(+ =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--30221046。

3．设A 为三阶方阵，且 21=A ， *12)3(A A --=2716-。

4．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ，则k = 1 时， 1)(=A R 。

5．若线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+=+-=+414343232121a x x a x x a x x a x x 有解， 则常数4321,,,a a a a 应满足条件04321=+++a a a a 。

6． 设n 维向量组s ααα,,,21 的秩为r ，则当s 和r 满足s r =时该向量组线性无关；当s r <时该向量组线性相关。

7．设n m ⨯矩阵A 的秩r A R =)(，则齐次线性方程组0=AX 基础解系的向量个数为 n-r 。

8．设方阵A 相似于对角形矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ300020001，相似变换阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100110111P ，则A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛300120111。

9．当方阵A 满足EA A T =时，A 为正交矩阵。

10．三阶方阵A 的三个特征值分别为1、2、3，则方阵E A A ++2的三个特征值分别为3,7,13 。

二、求解下列各题（每小题5分，共10分）1. 设行列式 4521011130112101--=D ， 计算 44434241A A A A +++，其中44434241,,,A A A A 为该行列式第4行元素对应的代数余子式。

解：44434241A A A A +++=161007100511021011102010511021011111011130112101-=----=--=------------------5分2.计算n 阶行列式xyy x x y x y x D n 00000000000000=解： n n n n n y x yxx y xy y xy x x y x x D 11)1(00000000)1(00000000++-+=-+=。

山东省青岛市2017-2018届高三上学期期末考试数学试题第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项只有一个是符合题目要求的. 1.已知集合{}21log ,1,,12xA y y x xB y y x B ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>==>⋂=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A ，则A B ⋂=A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()0,1C. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭D. ∅2.若复数12a i i++是纯虚数，则实数a 的值为A. 2B. 12- C. 2- D. 1-3.圆()2211x y -+=和圆222440x y x y +++-=的位置关系为 A.相交 B.相切 C.相离 D.以上都有可能4.已知函数()ln x f x e =，则函数()1y f x =+的大致图象为5.下列命题：①4k >是方程2224380x y kx y k +++++=表示圆的充要条件； ②把sin y x =的图象向右平移3π单位，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；③函数()sin 2036f x x ππ⎛⎫⎡⎤=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在，上为增函数；④椭圆2214x y m +=的焦距为2，则实数m 的值等于5.其中正确命题的序号为A.①③④B.②③④C.②④D.② 6.若圆台两底面周长的比是1：4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是 A.1：16 B.39：129 C.13：129 D.3：277.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是 A. 2016 B. 2 C. 12D. 1-8.函数()()2ln 1f x x x=+-的零点所在的大致区间是A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,eD. ()3,49.有3位同学参加测试，假设每位同学能通过测试的概率都是13，且各人能否通过测试是相互独立的，则至少以后一位同学能通过测试的概率为 A. 827B. 49C. 23D. 192710.已知函数()32123f x x ax bx c=+++有两个极值点1212,112x x x x -<<<<，且，则直线()130bx a y --+=的斜率的取值范围是A. 22,53⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 23,52⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 21,52⎛⎫- ⎪⎝⎭D.22,,53⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是_________.12.当01a a >≠且时，函数()()log 11a f x x =-+的图像恒过点A ，若点A 在直线0mx y n -+=上，则42m n +的最小值为_________. 13.两曲线20,2x y y x x -==-所围成的图形的面积是_________. 14.若数列{}n a 的通项公式为()()()()()()*122111...11n na n N f n a a a n =∈=---+，记,试通过计算()()()1,2,3f f f 的值，推测出()f n =_________.15.已知双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，双曲线的一个焦c 为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率e 为__________.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知直线两直线121:cos 10:sin ,26l x y l y x ABC παα⎛⎫+-==+∆ ⎪⎝⎭；中，内角A ，B ，C 对边分别为,,4=a b c a c A α==，，且当时，两直线恰好相互垂直； （I ）求A 值；（II ）求b 和ABC ∆的面积17. （本小题满分12分）右图为某校语言类专业N 名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80~90分数段的学员数为21人 （I ）求该专业毕业总人数N 和90~95分数段内的人数n ； （II ）现欲将90~95分数段内的n 名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校，若向学校甲分配两名毕业生，且其中至少有一名男生的概率为35，求n 名毕业生中男女各几人（男女人数均至少两人）？（III ）在（II ）的结论下，设随机变量ξ表示n 名毕业生中分配往乙学校的三名学生中男生的人数，求ξ的分布列和数学期望.18. （本小题满分12分）如图，ABCD为梯形，PD⊥平面ABCD，AB//CD，=ADC=90∠∠oBAD====，E为BC中点，连结AE，交BD于O.22,,DC AB a DA PD（I）平面PBD⊥平面PAE（II）求二面角D PC E--的大小（若非特殊角，求出其余弦即可）19. （本小题满分12分）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，数列{}n b 是等比数列，151,12b a =-恰为421S b 与的等比中项，圆()(222:22C x n y n -+=，直线:l x y n +=，对任意n N *∈，直线l 都与圆C 相切. （I ）求数列{}{}n n a b ，的通项公式； （II ）若1n =时，{}111111111,2...,111112n n n n nc n c c b b b b --=+≥=+++++时，的前n 项和为n T ，求证：对任意2n ≥，都有12n n T >+20. （本小题满分13分）已知()()()221,ln 1,1g x bx cx f x x ax x g x x =++=+++=在处的切线为2y x = （I ）求,b c 的值；（II ）若()1a f x =-，求的极值；（III ）设()()()h x f x g x =-，是否存在实数(],0,,a x e ∈当（ 2.718e ≈，为自然常数）时，函数()h x 的最小值为3.21. （本小题满分14分）已知抛物线21:2C y px =上一点()03M y ，到其焦点F 的距离为4；椭圆()2222210y x C a b a b +=>>：的离心率e = F.（I ）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；（II ）过点F 的直线1l 交抛物线1C 于A 、B 两不同点，交y 轴于点N ，已知NA AF NB BF λμ==u u r u u u r u u u r u u u r ，，求证：λμ+为定值.（III ）直线2l 交椭圆2C 于P ，Q 两不同点，P ，Q 在x 轴的射影分别为P '，Q '，10OP OQ OP OQ ''++=u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，若点S 满足：OS OP OQ =+u u r u u u r u u u r ，证明：点S 在椭圆2C 上.16．（本小题满分12分）解：(Ⅰ)当A α=时，直线 121:cos 10;:sin()26l x y l y x παα+-==+的斜率分别为122cos ,sin()6k A k A π=-=+，两直线相互垂直所以12(2cos )sin()16k k A A π=-+=-即1cos sin()62A A π+=可得1cos (sin cos cos sin )662A A A ππ+=211cos cos 22A A A +=11cos 212()222A A ++=1cos 2212A A ++= 即1sin(2)62A π+=…………………………4分 因为0A π<<，022A π<<，所以132666A πππ<+<所以只有5266A ππ+=所以3A π=………………………………6分 (Ⅱ)4,3a c A π===,所以2222cos 3a b c bc π=+- 即21121682b b =+-⨯所以2(2)0b -=即2b =…………………………9分 所以ABC∆的面积为11sin 42sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯=12分(Ⅱ)9095 分数段内共6名毕业生,设其中男生x 名,女生为6x -名设分配往甲校的两名毕业生中至少有一名男毕业生为事件A ,则 则66223()15x C P A C -=-= 解得2x =或9(舍去)即6名毕业生中有男生2人,女生4人…………………8分 (Ⅲ) ξ表示n 名毕业生中分配往甲学校的两名学生中男生的人数,所以ξ的取值可以为0,1,2当0ξ=时,34361(0)5C P C ξ===当1ξ=时,1224363(1)5C C P C ξ=== 当2ξ=时,2124361(2)5C C P C ξ=== 所以ξ的分布列为所以ξ期望为13390125555Eξ=⨯+⨯+⨯= (12)分18．（本小题满分12分） (Ⅰ) 连结BD90BAD ADC ∠=∠=,AB a DA ==,所以2BD DC BC a ===E 为BC 中点,所以,DE AD ==因为AB BE a ==,DB DB = 所以DAB ∆与DEB ∆为全等三角形 所以ADB EDB ∠=∠所以DAO ∆与DEO ∆为全等三角形所以在DAE ∆中,DO AE ⊥,即AE BD ⊥又因为PD ⊥平面ABCD ,AE ⊂平面所以AE PD ⊥而BD PD D =所以AE ⊥平面PBD ………………………5分 因为AE ⊂平面PAE所以平面PAE ⊥平面PBD ……………………6分 (Ⅱ) 以O 为原点,分别以,,DA DB DP 所在直线 为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系如图 二面角D PC E --即二面角D PC B --AD ⊥平面DPC ,平面DPC 的法向量可设为1(1,0,0)n = (7)分设平面PBC 的法向量为2(,,1)n x y =所以2200n BC n PC ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩ ,而,,0),(0,2,0),)B a C a P(,,0),(0,2,)BC a PC a ==即:020ay ay ⎧+=⎪⎨=⎪⎩,可求得21(2n = (10)分1(1,0,0)n =所以两平面DPC 与平面DBC 所成的角的余弦值为1212121cos ,||||n n n n n n ∙〈〉===12分设等比数列{}n b 的公比为q ,所以11112n n n b b q q --==51a -恰为4S 与21b 的等比中项549,16a S ==,212b q =,所以21(91)641612q -==⨯,解得12q =………………………7分所以111()2n n n b b q -==……………………8分(Ⅱ)2n ≥时,121222231111111...(1)()()22122122232n n T c c c =+++=++++++++++++ 11111...(...)21222n n n--++++++ 而2n ≥时,11111111......21222222n n n n n n nc --=+++>+++++ (10)分112(21)121222n n n n n ----+===所以12111...1 (2)22n n T c c c =+++>++++12n=+……………………………12分说明:本问也可用数学归纳法做. 20．（本小题满分13分）解: (Ⅰ) '()2g x bx c =+在1x =处的切线为2y x = 所以'1()2x g x ==,即22b = 又在1x =处2y =,所以(1)2g =所以2221112b c b c +=⎧⎨⨯+⨯+=⎩,可得10b c =⎧⎨=⎩ 所以2()1g x x =+……………………………3分 (Ⅱ) 1a =-时2()ln 1f x x x x =--+,定义域为(0,)+∞2'121(1)(21)()21x x x x f x x x x x---+=--==可以看出,当1x =时,函数()f x 有极小值(1)1y f ==极小 (8)分(Ⅲ) 因为2()ln 1f x x ax x =+-+,2()1g x x =+ 所以22()()()ln 1(1)ln h x f x g x x ax x x ax x =-=+-+-+=- 假设存在实数a ，使()ln ((0,])h x ax x x e =-∈有最小值3,'1()h x a x=-…………………9分①当0a ≤时，'()0h x <，所以()h x 在(0,]e 上单调递减，min 4()()13,h x h e ae a e==-==（舍去）… …………10分②当0a >时,1()a x a x- (i)当10a e <≤时,1e a≥，'()0h x <在(0,]e 上恒成立所以()h x 在(0,]e 上单调递减，min 4()()13,h x h e ae a e==-==（舍去）……11分(ii)当1a e>时, 10e a<<，当10x a<<时,'()0h x <所以()h x 在1(0,)a上递减当1x e a<<时'()0h x >,()h x 在1(,)e a上递增所以, min 1()()1ln 3h x h a a==+= …………12分所以2a e =满足条件, 综上，存在2a e =使(0,]x e ∈时()h x 有最小值3 (13)分所以2222(24)0k x k x k -++=216160k ∆=+>,所以212212241k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩ (*) (5)分由,NA AF NB BF λμ==得:1122(1),(1)x x x x λλ-=-=得: 1212,11x xx x λμ==--……………………………………7分所以121221121212121212(1)(1)211(1)(1)1()x x x x x x x x x x x x x x x x x x λμ-+-+-+=+==-----++将(*)代入上式,得12121212211()x x x x x x x x λμ+-+==--++ (9)分(Ⅲ)设(,),(,)p p Q Q P x y Q x y所以(,)p Q p Q S x x y y ++,则''(,0),(,0)P Q P x Q x由''10OP OQ OP OQ ∙+∙+=得21P Q P Q x x y y +=-(1)…………………………………11分2212P P y x +=,(2) 2212Q Q y x +=(3) (1)+(2)+(3)得:22()()12P Q P Q y y x x +++=即(,)p Q p Q S x x y y ++满足椭圆222:121y x C +=的方程命题得证………………………………………………………14分。

第八章 多元函数的微分法及其应用§ 1 多元函数概念一二、求下列函数的定义域： 1、 };1|),{(22≠+x y y x 2、 };0,|),{(≠≤x x y y x三、求下列极限：1、0； 2 、 (6e ) 四、证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2x y =趋于（0，0）时，极限为21,二者不相等，所以极限不存在五 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。

当)0,0(),(=y x 时，)0,0(01sin lim22)0,0(),(f yx xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。

所以函数 在整个xoy 面上连续。

六、设)(2y x f y x z+++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式.解：f(x)=x x-2，z y xy y x -++=2222§ 2 偏导数1证明：x yx yx ye x ,e x y e y +=∂∂-+=∂∂y z x z ，∴z xy xe xy xy x y+=++=∂∂+∂∂yzy x z x2、求空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=Γ21:22y y x z 在点（1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π) 3、设yx y xy y x f arcsin )1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1)4解：1-=∂∂y zx y z x u ，x x yz y u y zln 2-=∂∂ x x y z u y zln 1=∂∂ 5、设222z y x u ++=，证明 : u zu y u x u 2222222=∂∂+∂∂+∂∂ 6、)0,0(0),(lim 0f y x f y x ==→→ 连续； 201sinlim )0,0(xf x x →= 不存在， 000lim )0,0(0=--=→y f y y 7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求 xb x a f b x a f x ),(),(lim 0--+→（2f x (a,b)）§ 3 全微分1、单选题（1）D 2B2、求下列函数的全微分：42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=ϕ答案：1）xy ez= )1(2dy x dx x y edz xy +-=2）)sin(2xy z = 解：)2()cos(22xydy dx y xy dz +=3）zy x u = 解：xdz x zyxdy x z dx x z y du z yz y z yln ln 121-+=- 3、设)2cos(y x y z-=， 求)4,0(πdz解：dy y x y y x dx y x y dz ))2sin(2)2(cos()2sin(-+-+--=∴)4,0(|πdz =dy dx 24ππ-4、设22),,(y x z z y x f +=求：)1,2,1(df)542(251dz dy dx +--5、讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin)(),(2222y x y x yx y x y x f 在（0，0）点处的连续性 、偏导数、 可微性 解：)0,0(01sin)(lim2222)0,0(),(f yx y x y x ==++→ 所以),(y x f 在（0，0）点处连续。

高等数学（下）青岛理工大学智慧树知到答案2024年第一章测试1.方程的特解形式为。

（）A:错 B:对答案:B2.设均为某二阶常系数线性非齐次微分方程的通解，则该方程为（）A:错 B:对答案:A3.设常系数线性齐次方程特征根为则此方程通解为（）。

一个。

A: B:C:答案:C4.设非齐次方程有两个不同的解为任意常数，则该方程的通解是（）一个。

A: B: C:答案:A5.设均为某二阶线性非齐次微分方程的解，则该方程满足的解为（）。

一个。

A: B: C:答案:B第二章测试1.A:B:C:D:答案:B 2.A:B:C:D:答案:A 3.A:B:C:D:答案:A 4.A:B:C:答案:B 5.A:B:C:D:答案:B 第三章测试1.A:（-1,5）B:（1，-5）C:（1,5）D:（-1，-5）答案:A2.A:B:C:D:答案:B3.A:B:C:D:答案:D4.A:0B:-1C:1D:2答案:C 5.A:不存在B:0C:-1D:1答案:B 第四章测试1.A:B:C:D:答案:D 2.A:B:C:D:答案:C 3.A:B:C:D:答案:C 4.A:B:C:20D:10答案:B5.A:无法判断B:大于C:等于D:小于答案:B第五章测试1.A:B:C:D:答案:B 2.A:B:C:D:答案:B3.A:B:其他选项都不对C:D:0答案:D4.A:B:C:D:答案:D5.A:B:C:答案:D第六章测试1.A:发散 B:收敛但和不一定为0C:收敛且和为0 D:可能收敛也可能发散答案:D2.A:B:C:答案:D3.A:B:C:D:答案:B4.A:绝对收敛B:可能收敛也可能发散C:条件收敛D:发散答案:A5.A:B:C:D:答案:A。